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MÉTODOS QUANTITATIVOS 
Caderno de exercícios 
Atualizado em quinta-feira, 22 de setembro de 2022 
 
2 
SUMÁRIO 
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA .......................................................................................................... 3 
2 PROBABILIDADE........................................................................................................................... 6 
2.1 União mutuamente exclusiva ............................................................................................... 7 
2.2 Complementar ....................................................................................................................... 9 
2.3 Intersecção independentes ................................................................................................ 11 
2.4 Intersecção dependentes ................................................................................................... 16 
2.5 União eventos não mutuamente exclusivos .................................................................... 21 
2.6 Condicional .......................................................................................................................... 26 
2.7 Total ...................................................................................................................................... 31 
2.8 Bayes .................................................................................................................................... 34 
3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ..................................................................................... 47 
3.1 Distribuição uniforme discreta .......................................................................................... 47 
3.2 Distribuição de Bernoulli .................................................................................................... 52 
3.3 Distribuição binomial .......................................................................................................... 55 
3.4 Distribuição de Poisson ..................................................................................................... 61 
3.5 Distribuição uniforme contínua ......................................................................................... 64 
3.6 Distribuição normal ............................................................................................................. 70 
3.7 Aproximação da distribuição binomial à normal ............................................................. 90 
3.8 Aproximação da distribuição de Poisson à normal ....................................................... 104 
4 ESTIMAÇÃO ............................................................................................................................... 112 
4.1 Estimação da média em populações infinitas ................................................................ 114 
4.2 Estimação da média em populações finitas ................................................................... 122 
4.3 Estimação da proporção em populações infinitas ........................................................ 125 
4.4 Estimação da proporção em populações finitas ........................................................... 128 
4.5 Estimação por mínimos quadrados ................................................................................ 133 
 
3 
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
1. Tomando como exemplo os dados contidos na aba “descritivas3”, da planilha “exercicios.xlsx”, 
responda as seguintes questões: 
a. Um investidor deseja investir em setores de fundos imobiliários que paguem os maiores 
dividendos. Que setor você recomendaria ao investidor? Por que? Justifique sua 
resposta. 
Os setores recomendados são aqueles que apresentam a maior média de dividendos, ou 
seja, desenvolvimento (2,64), escritórios (1,54) e shoppings (1,07). Empregou-se a 
média, por se tratar de um valor que representa uma expectativa ou esperança 
matemática. 
b. Um investidor deseja investir em cotas de fundos imobiliários que representem a metade 
superior de rentabilidade do setor de "desenvolvimento". Neste sentido, quais fundos ele 
deveria adquirir? Em adquirindo estes fundos, qual seria a rentabilidade esperada? 
Justifique sua resposta. 
A metade superior de rentabilidade do setor de “desenvolvimento” é dada pelos fundos 
que possuem rentabilidade superior a - R$ 2,01 (que se trata da mediana). Neste 
sentido, o investidor deveria adquirir os fundos DMAC11, HREC11, LUGG11, RVBI11 e 
RZTR11cuja rentabilidade média esperada seria de R$ 0,91. Empregou-se a mediana 
por se tratar de uma medida que separa um conjunto de dados em suas metades 
superior e inferior. Já a média foi empregada por se tratar de uma medida que 
representa uma expectativa ou esperança matemática. 
c. Ao investir em fundos imobiliários, quais os setores associados à rentabilidade mais 
recorrente? 
A rentabilidade mais recorrente (moda) é de 0%, encontrada nos setores bancário, 
desenvolvimento, escritórios, recebíveis e shoppings. 
2. Na aba "descritivas4", da planilha "exercicios.xlsx", um dos indicadores mostrados para 
algumas ações é o P/L (preço da ação dividido pelo lucro por ação). Este indicador mostra o 
número de anos necessário para se reaver o capital aplicado através do recebimento do lucro, 
se o lucro da ação permanecer constate. Elabore um relatório técnico, com base neste 
indicador, para as empresas do setor "indústria" e "público". Com base em seu relatório, qual 
setor seria o mais indicado para se investir, desejando o retorno mais breve possível do 
investimento? 
O setor industrial apresentou um P/L médio de 4,91, com elevado desvio padrão amostral, de 
116,8, sendo que o menor valor de P/L encontrado neste setor foi de -553,07 e o maior, 
1466,61. Já para o setor público, o P/L médio alcançou 27,33, com desvio padrão amostral de 
135,53 (mais elevado do que aquele encontrado no setor industrial), sendo o valor mínimo de -
225,87 e o máximo de 1466,61. O comparativo entre os setores mostra que o menor P/L médio 
foi encontrado junto às empresas do setor industrial, indicando que, de maneira geral, o retorno 
médio mais rápido é esperado entre empresas deste setor. Além disto, uma comparação entre 
os desvios padrão mostra que o setor industrial apresenta menor variabilidade em relação ao 
setor de empresas públicas. Assim sendo, recomenda-se investir no setor industrial. 
3. A partir da aba “descritivas3”, da planilha “exercicios.xlsx”, responda as seguintes questões: 
a) Um investidor é refratário a surpresas quanto aos seus investimentos. Neste momento, 
desejando diversificar, ele deseja aplicar em fundos imobiliários. Levando em 
4 
consideração o perfil deste investidor, qual setor você recomendaria que fossem feitos 
investimentos? Justifique sua resposta. 
b) A partir da aba "indicadores", da planilha "exercicios.xlsx", qual indicador apresentou a 
menor variabilidade percentual ao longo dos últimos 12 meses? Justifique sua resposta. 
4. O conjunto a seguir representa notas de 8 alunos {70, 90, 70, 80, 60, 40, 50, 60}. Quais são os 
valores para os quartis deste conjunto de dados? O que eles representam? 
1º passo: ordenar o conjunto em ordem crescente 
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 
40 50 60 60 70 70 80 90 
 
2º passo: encontrar os pontos de corte 
K1 = (n + 1)/4 = (8 + 1)/4 = 9/4 = 2,25 
K2 = (n + 1)/2 = (8 + 1)/2 = 9/2 = 4,5 
K3 = (3 × (n + 1))/4 = (3 × (8 + 1))/4 = (3 × 9)/4 = 27/4 = 6,75 
 
3º passo: extrair as frações dos pontos de corte 
F1 = 0,25 
F2 = 0,5 
F3 = 0,75 
 
4º passo: calcular os quartis 
Q1 = NUMK1-F1 + (F1 × (NUMK1-F1+1 – NUMK1-F1)) = NUM2 + (0,25 × (NUM3 – NUM2)) 
Q1 = 50 + (0,25 × (60 – 50)) = 50 + (0,25 × 10) = 50 + 2,5 = 52,5 
Q2 = NUMK2-F2 + (F2 × (NUMK2-F2+1 – NUMK2-F2)) = NUM4 + (0,25 × (NUM5 – NUM4)) 
Q2 = 60 + (0,5 × (70 – 60)) = 60 + (0,5 × 10) = 60 + 5 = 65 
Q3 = NUMK3-F3 + (F3 × (NUMK3-F3+1 – NUMK3-F3)) = NUM6 + (0,25 × (NUM7 – NUM6)) 
Q3 = 70 + (0,75 × (80 – 70)) = 70 + (0,75 ×10) = 70 + 7,5 = 77,5 
 
O Q1 representa que 25% das notas estão abaixo de 52,5 pontos e, portanto, 75% acima de 
52,5 pontos. 
O Q2 representa que 50% das notas estão abaixo de 65 pontos e, portanto, 50% acima de 65 
pontos. 
O Q3 representa que 75% das notas estão abaixo de 77,5 pontos e, portanto, 25% acima de 
77,5 pontos. 
5. O coeficiente de variação é calculado pela relação entre desvio padrão e média. Que 
informação traz o resultado desta relação? O que ela significa? (20 PONTOS) 
Significa o quanto, PERCENTUALMENTE, o conjunto de dados varia ao redor da média. 
6. Um investidor, avesso a riscos, está analisando duas empresas listadas na Bolsa de Valores. 
Ele teve acesso às Receitas de vendas de bens e/ou serviços destas empresas nos anos de 
2019 a 2021 (valores dados milhões de reais), conforme mostrado a seguir: 
Empresa 2021 2020 2019 
MGLU3 32 29 20 
VALE3 293 206 144 
Nestas condições, qual ação ele deverá escolher? Justifique sua resposta. 
Deverá escolher a MGLU3, visto ter a menor relação entre a variabilidade (desvio padrão) e a 
média, ou seja, o coeficiente de variação, conforme cálculos mostrados a seguir: 
Média MGLU3 (�̅�𝑥) = (32 + 29 + 40)/3 = 27 
MGLU3 Receitas (xi) xi – �̅�𝑥 (xi – �̅�𝑥)2 
2021 32 32 – 27 = 5 5² = 25 
5 
2020 29 29 – 27 = 2 2² = 4 
2019 20 20 – 27 = –7 –7² = 49 
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 25 + 4 + 49 = 78 
n – 1 = 3 – 1 = 2 
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)2𝑛𝑛𝑖𝑖=1
𝑛𝑛 − 1
=
78
2
= 39 
𝑠𝑠 = �
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)2𝑛𝑛𝑖𝑖=1
𝑛𝑛 − 1
= √39 = 6,24498 
𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑠𝑠
�̅�𝑥
=
6,24498
27
= 0,231296 
Ou seja, houve uma variação de R$ 6,24498 milhões ao redor da média de R$ 27 milhões, 
configurando uma variação percentual de 23,13%. 
 
Média VALE3 (�̅�𝑥) = (293 + 206 + 144)/3 = 214,3333 
MGLU3 Receitas (xi) xi – �̅�𝑥 (xi – �̅�𝑥)2 
2021 293 293 – 214,3333 = 78,6667 78,6667² = 6188,4444 
2020 206 206 – 214,3333 = –8,3333 –8,3333² = 69,4444 
2019 144 144 – 214,3333 = –70,3333 –70,3333² = 4946,7778 
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 6188,4444 + 69,4444 + 4946,7778 = 11204,67 
n – 1 = 3 – 1 = 2 
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)2𝑛𝑛𝑖𝑖=1
𝑛𝑛 − 1
=
11204,67
2
= 5602,3333 
𝑠𝑠 = �
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)2𝑛𝑛𝑖𝑖=1
𝑛𝑛 − 1
= �5602,5 = 74,84874 
𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑠𝑠
�̅�𝑥
=
74,84874
214,3333
= 0,3492 
Ou seja, houve uma variação de R$ 74,84874 milhões ao redor da média de R$ 214,3333 
milhões, configurando uma variação percentual de 34,92%. 
7. Um investidor possui ações de 6 empresas em sua carteira, conforme mostrado a seguir: 
Empresa Valor 
AZUL4 17,87 
CSNA3 13,10 
GOLL4 10,57 
RAIL3 19,64 
BBDC4 16,65 
EMBR3 13,99 
A partir destes dados, forneça os resultados para as seguintes questões (use arredondamento 
na segunda casa decimal): 
a) Qual o valor do desvio padrão amostral? 
Média = (17,87 + 13,1 + 10,57 + 19,64 + 16,65 + 13,99)/6 = 91,82/6 = 15,30 
Empresa Valor Preço - Média (Preço - Média)² 
AZUL4 17,87 17,87 – 15,30 = 2,57 2,57² = 6,6 
CSNA3 13,10 13,10 – 15,30 = –2,2 –2,2² = 4,84 
6 
GOLL4 10,57 10,57 – 15,30 = –4,73 –4,73² = 22,37 
RAIL3 19,64 19,64 – 15,30 = 4,34 4,34² = 18,84 
BBDC4 16,65 16,65 – 15,30 = 1,35 1,35² = 1,82 
EMBR3 13,99 13,99 – 15,30 = –1,31 –1,31² = 1,72 
Número de casos = 6 
Graus de liberdade = Número de casos – 1 = 6 – 1 = 5 
Variância = (Σ(Preço - Média)²)/Graus de liberdade = (6,6 + 4,84 + 22,37 + 18,84 + 1,82 
+ 1,72)/5 = 56,19/5 = 11,24 
Desvio padrão amostral = √Variância = √11,24 = 3,35 
b) Qual o valor do coeficiente de variação? 
Coeficiente de variação = Desvio padrão/Média = 3,35/15,30 = 0,22 
c) Qual o valor do 1º quartil? 
1º passo: classificar os dados em ordem crescente: 
posição 1 2 3 4 5 6 
números 10,57 13,1 13,99 16,65 17,87 19,64 
2º passo: definir pontos de corte para cada quartil: 
K1 = (Número de casos + 1)/4 = (6 + 1)/4 = 7/4 = 1,75 
K2 = (Número de casos + 1)/2 = (6 + 1)/2 = 7/2 = 3,5 
K3 = (3 × (Número de casos + 1))/4 = (3 × (6 + 1))/4 = (3 × 7)/4 = 21/4 = 5,25 
3º passo: extrair as frações de cada ponto de corte: 
F1 = 1,75 – 1 = 0,75 
F2 = 3,5 – 3 = 0,5 
F3 = 5,25 – 5 = 0,25 
4º passo: calcular o quartil: 
Q1 = NK1 – F1 + (F1 × (NK1 – F1 + 1 – NK1 – F1)) = N1,75 – 0,75 + (0,75 × (N1,75 – 0,75 + 1 – N1,75 – 0,75)) 
Q1 = N1 + (0,75 × (N1 + 1 – N1) = N1 + (0,75 × (N2 – N1) = 10,57 + (0,75 × (13,1 – 10,57)) 
Q1 = 10,57 + (0,75 × 2,53) = 10,57 + 1,90 = 12,47 
2 PROBABILIDADE 
1. A partir da aba "probabilidade teorica 2", calcule as probabilidades de um investidor ingênuo, 
ao acaso, investir em cada um dos setores. 
n(S) = 229 
n(bancário) = 4 
n(desenvolvimento) = 14 
n(educacional) = 4 
n(escritórios) = 43 
7 
n(fundos) = 24 
n(galpões) = 25 
n(híbrido) = 8 
n(hospitais) = 3 
n(hoteis) = 3 
n(indefinido) = 8 
n(recebíveis) = 53 
n(shoppings) = 38 
n(varejo) = 2 
 
P(bancário) = 4/229 = 0,017 
P(desenvolvimento) = 14/229 = 0,061 
P(educacional) = 4/229 = 0,017 
P(escritórios) = 43/229 = 0,188 
P(fundos) = 24/229 = 0,105 
P(galpões) = 25/229 = 0,109 
P(híbrido) = 8/229 = 0,035 
P(hospitais) = 3/229 = 0,013 
P(hoteis) = 3/229 = 0,013 
P(indefinido) = 8/229 = 0,035 
P(recebíveis) = 53/229 = 0,231 
P(shoppings) = 38/229 = 0,166 
P(varejo) = 2/229 = 0,009 
 
2.1 União mutuamente exclusiva 
É aplicada quando os eventos E1 e E2 não possuem elementos em comum. Geralmente 
envolve a expressão “OU”. 
P(A U B) = P(A) + P(B) 
1. Um aluno de Ciências Contábeis tem algum dinheiro para investir. Ele quer explorar a 
possibilidade de investir em empresas estrangeiras, adquirindo BDRs (Brazilian Depositary 
Receipts). Dados os BDRs listados na B3, disponíveis na aba "união mutuamente exclusiva 3", 
qual a chance de escolher investir em uma empresa: 
a. da China ou do Reino Unido? 
n(S) = 703 
n(China) = 21 
n(Reino Unido) = 21 
P(China) = 21/703 = 0,0299 
P(Reino Unido) = 21/703 = 0,0299 
P(China U Reino Unido) = P(China) + P(Reino Unido) 
P(China U Reino Unido) = 0,0299 + 0,0299 = 0,0598 
b. da Austrália ou do Canadá? 
n(S) = 703 
n(Austrália) = 4 
n(Canadá) = 4 
P(Austrália) = 4/703 = 0,0057 
P(Canadá) = 4/703 = 0,0057 
P(Austrália U Canadá) = P(Austrália) + P(Canadá) 
P(Austrália U Canadá) = 0,0057 + 0,0057 = 0,0114 
c. dos EUA ou da Bélgica? 
8 
n(S) = 703 
n(EUA) = 583 
n(Bélgica) = 2 
P(EUA) = 583/703 = 0,8293 
P(Bélgica) = 4/703 = 0,0028 
P(EUA U Bélgica) = P(EUA) + P(Bélgica) 
P(EUA U Bélgica) = 0,8293+ 0,0028 = 0,8321 
2. Uma empresa de consultoria possui clientes espalhados em 100 municípios do estado. Um 
contador, desta empresa, deve visitar 3 clientes em 3 municípios, a serem determinados pelo 
seu supervisor. Como cada visita ocorrerá de segunda à sexta-feira, ele gostaria de aproveitar 
os finais de semana para conhecer os pontos turísticos dos municípios. Ele tem preferência 
pelos municípios de Foz do Iguaçu, Londrina e Matinhos. Neste contexto, qual a chance de ele 
ser designado a um deste municípios? 
Municípios = {1, 2, 3, Foz do Iguaçu, 5, 6, Londrina, 8, 9, 10, Matinhos, 12, ..., 100} 
Resultado = {Foz do Iguaçu} OU {Londrina} OU {Matinhos} 
 
n(S) = 100 
n(Foz do Iguaçu) = 1 
n(Londrina) = 1 
n(Matinhos) = 1 
 
p(Foz do Iguaçu) = 1/100 = 0,01 
p(Londrina) = 1/100 = 0,01 
p(Matinhos) = 1/100 = 0,01 
 
p(Foz do Iguaçu U Londrina U Matinhos) = p(Foz do Iguaçu) + p(Londrina) + p(Matinhos) 
p(Foz do Iguaçu U Londrina U Matinhos) = 0,01 + 0,01 + 0,01 = 0,03 
 
Ou seja, a chance de o contador ir para uma das três cidades desejadas é de 3%. 
 
3. 29 candidatos estão concorrendo a uma vaga de auditor trainee em uma grande empresa de 
consultoria. A formação deles se distribui da seguinte maneira: Administração (7), Ciências 
Contábeis (9), Economia (6), Engenharia (5) e Outros (2). Nestas condições, quais as chances 
da vaga ser preenchida por um candidato de Ciências Contábeis ou Economia? 
n(S) = 29 
n(Administração) = 7 
n(Ciências Contábeis) = 9 
n(Economia) = 6 
n(Engenharia) = 5 
n(Outros) = 2 
 
p(Ciências Contábeis) = 9/29 = 0,31 
p(Economia) = 6/29 = 0,21 
 
p(Ciências Contábeis U Economia) = p(CiênciasContábeis) + p(Economia) 
p(Ciências Contábeis U Economia) = 0,31 + 0,21 = 0,52 
 
Ou seja, a chance de um contador ou economista ser escolhido é de 52%. 
 
4. Um investidor possui uma carteira composta por 13 fundos imobiliários, conforme mostrado a 
seguir: 
9 
Fundo Setor 
AFOF11 shoppings 
AIEC11 shoppings 
ALMI11 escritórios 
ARCT11 fundos 
ARRI11 recebíveis 
ATSA11 escritórios 
BARI11 recebíveis 
BBFI11B escritórios 
BBFO11 escritórios 
BBPO11 bancário 
BBRC11 bancário 
BCFF11 fundos 
BCIA11 fundos 
Com o atual cenário econômico brasileiro, ele teme por quedas significativas nos fundos de 
escritório e em fundos que investem em outros fundos – pelo fato de sua carteira ter, em sua 
maioria, este tipo de fundo. Assim sendo, qual a chance de, de fato, haver queda em um fundo 
de escritório ou em um fundo de fundos? 
n(S) = 13 
n(Bancário) = 2 
n(Escritórios) = 4 
n(Fundos) = 3 
n(Recebíveis) = 2 
n(Shoppings) = 2 
 
p(Escritórios) = 4/13 = 0,31 
p(Fundos) = 3/13 = 0,23 
 
p(Escritórios U Fundos) = p(Escritórios) + p(Fundos) 
p(Escritórios U Fundos) = 0,31 + 0,23 = 0,54 
 
Ou seja, a chance de haver queda em um fundo de escritório ou em um fundo de fundos é de 
54%. 
2.2 Complementar 
O complementar do evento E1 é formado pelo evento [não E1]. Geralmente é acompanhado da 
expressão “NÃO”. Matematicamente é dado pela fórmula P(Ec) = 1 – P(E). 
1. Cristina é aluna da disciplina de Métodos Quantitativos e está apreensiva quanto à aprovação. 
Para tentar diminuir sua preocupação, Miguel, seu colega, verificou no edital que dos 60 alunos 
matriculados no semestre anterior, 48 foram aprovados. Se esta relação se mantiver no 
semestre atual, qual a chance de Cristina não ser aprovada? 
n(S) = 60 
n(Aprovados) = 48 
 
p(Aprovados) = 48/60 = 0,8 
p(Aprovadosc) = 1 – p(Aprovados) 
p(Aprovadosc) = 1 – 0,8 = 0,2 
 
Ou seja, a chance de Cristina não ser aprovada é de 20%. 
 
10 
2. Em uma consultoria existem 39 consultores júniores. Destes, 20 são Contadores, 5 são 
Administradores, 12 são Economistas e 2 são Engenheiros. Um deles será escolhido para 
fazer uma palestra no curso de Ciências Contábeis da UFPR. Qual a chance de ele não ser um 
Contador? 
n(S) = 39 
n(Contadores) = 20 
 
p(Contadores) = 20/39 = 0,51 
p(Contadoresc) = 1 – p(Contadores) 
p(Contadoresc) = 1 – 0,51 = 0,49 
 
Ou seja, a chance de o escolhido não ser um contador é de 49%. 
3. Um aluno de Ciências Contábeis tem algum dinheiro para investir. Ele quer explorar a 
possibilidade de investir em empresas estrangeiras, adquirindo BDRs (Brazilian Depositary 
Receipts). Dados os BDRs propostos por um analista do mercado financeiro, qual a chance de 
escolher investir em uma empresa: 
BDRs 
DBAG34 Alemanha N1UE34 EUA 
SAPP34 Alemanha BOEI34 EUA 
MELI34 Argentina H1EI34 EUA 
ABUD34 Bélgica BILB34 Espanha 
G1LP34 Bélgica BCSA34 Espanha 
BHPG34 Austrália RDSA34 Holanda 
T1AM34 Austrália ASML34 Holanda 
W1BK34 Austrália PHGN34 Holanda 
B1BL34 Austrália C1HL34 Hong Kong 
A1TH34 China M1LC34 Hong Kong 
G1DS34 China FMXB34 México 
I1QY34 China A1MX34 México 
P1DD34 China E1QN34 Norway 
W1BO34 China DEOP34 Reino Unido 
Z1TO34 China CAPH34 Reino Unido 
V1IP34 China L1BT35 Reino Unido 
P1HC34 EUA V1OD34 Reino Unido 
N1UE34 EUA W1PP34 Reino Unido 
a. Que não seja da China ou do Reino Unido? 
n(S) = 36 
n(China) = 7 
n(Reino Unido) = 5 
p(China) = 7/36 = 0,1944 
p(Reino Unido) = 5/36 = 0,1389 
p(China U Reino Unido) = p(China) + p(Reino Unido) 
p(China U Reino Unido) = 0,1944 + 0,1389 = 0,3333 
p((China U Reino Unido)c) = 1 – 0,3333 = 0,6667 
Ou seja, a probabilidade de investir em uma BDR que não seja da China ou do Reino 
Unido é de 66,67%. 
b. Que não seja da Austrália ou do México? 
n(S) = 36 
n(Austrália) = 4 
n(México) = 2 
11 
p(Austrália) = 4/36 = 0,1111 
p(México) = 2/36 = 0,0556 
p(Austrália U México) = p(Austrália) + p(México) 
p(Austrália U México) = 0,1111 + 0,0556 = 0,1667 
p((Austrália U México)c) = 1 – 0,1667 = 0,8333 
Ou seja, a probabilidade de investir em uma BDR que não seja da Austrália ou do 
México é de 83,33%. 
c. Que não seja dos EUA ou da Bélgica? 
n(S) = 36 
n(EUA) = 5 
n(Bélgica) = 2 
p(EUA) = 5/36 = 0,1389 
p(Bélgica) = 2/36 = 0,0556 
p(EUA U Bélgica) = p(EUA) + p(Bélgica) 
p(EUA U Bélgica) = 0,1389 + 0,0556 = 0,1944 
p((EUA U Bélgica)c) = 1 – 0,1944 = 0,8056 
Ou seja, a probabilidade de investir em uma BDR que não seja dos EUA ou da Bélgica é 
de 80,56%. 
2.3 Intersecção independentes 
Geralmente são acompanhadas da expressão “E”. No caso de “independentes”, os sorteios 
são realizados COM reposição e os elementos sorteados não apresentam relação entre si – a 
ocorrência de um não interfere na ocorrência do outro. 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 
1. Um gerente de consultoria está decidindo quem escolher para liderar duas equipes que irão 
prestar serviços a duas cooperativas do segmento agropecuário, a partir dos profissionais 
mostrados a seguir: 
Candidato Demóstenes Jandira Estevão Sandra Amália João 
Formação contábeis economia contábeis contábeis contábeis economia 
Em função de outras atividades, será possível alocar o mesmo líder em duas equipes. Nestas 
condições calcule: 
a. Quais a chances de os líderes serem um contador e um economista? 
Contadores 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 4 → n(contábeis) 
P(A) = 4/6 = 0,666666667 → P(contábeis) 
 
Economistas 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 2 → n(economia) 
P(B) = 2/6 = 0,333333333 → P(economia) 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0,6667 × 0,3333 = 0,2222 
Ou seja, a probabilidade de os líderes serem um contador e um economista é de 
22,22%. 
b. Quais as chances de ambos serem contadores (ainda que as duas equipes sejam 
lideradas pela mesma pessoa)? 
12 
Contadores 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 4 → n(contábeis) 
P(A) = 4/6 = 0,666666667 → P(contábeis) 
 
Contadores 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 4 → n(contábeis) 
P(B) = 4/6 = 0,666666667 → P(contábeis) 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0,6667 × 0,6667 = 0,4445 
Ou seja, a probabilidade de os líderes serem contadores é de 44,45%. 
c. Quais as chances de ambos serem economistas (ainda que as duas equipes sejam 
lideradas pela mesma pessoa)? 
Economistas 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 2 → n(economia) 
P(A) = 2/6 = 0,333333333 → P(economia) 
 
Economistas 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 2 → n(economia) 
P(B) = 2/6 = 0,333333333 → P(economia) 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0,3333 × 0,3333 = 0,1111 
Ou seja, a probabilidade de os líderes serem economistas é de 11,11%. 
2. Para a atribuição de orientadores para equipes de Estágio Supervisionado, faltam duas 
equipes ainda sem orientador. Sabendo que os professores disponíveis são Panhoca 
(Ambiental), Anelise (Finanças), Claudio (Finanças), Luiz (Gerencial), Nayane (Gerencial) e 
Flaviano (Finanças), e que eles podem orientar as duas equipes, calcule: 
a. Qual é a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Ambiental e a outra da área de Finanças? 
Ambiental 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 1 → n(ambiental) 
P(A) = 1/6 = 0,166666667 → P(ambiental) 
 
Finanças 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 3 → n(finanças) 
P(B) = 3/6 = 0,5 → P(finanças) 
 
P(A∩B) = 0,166666667 × 0,5 = 0,083333333 
Ou seja, a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Ambiental e a outra da área de Finanças é de 8,33%. 
b. Qual é a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Ambiental e a outra da área de Gerencial? 
Ambiental 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 1 → n(ambiental) 
13 
P(A) = 1/6 = 0,166666667 → P(ambiental) 
 
Gerencial 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 2 → n(gerencial) 
P(B) = 2/6 = 0,333333333 → P(gerencial) 
 
P(A∩B) = 0,166666667 × 0,333333333 = 0,055555556 
Ou seja, a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Ambiental e a outra da área Gerencial é de 5,56%. 
 
c. Qual é a probabilidade de ambas as equipes serem orientadas pelo professor da área 
Ambiental? 
Ambientaln(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 1 → n(ambiental) 
P(A) = 1/6 = 0,166666667 → P(ambiental) 
 
Ambiental 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 1 → n(ambiental) 
P(B) = 1/6 = 0,166666667 → P(ambiental) 
 
P(A∩B) = 0,166666667 × 0,166666667 = 0,027777778 
Ou seja, a probabilidade de ambas as equipes serem orientadas pelo professor da área 
Ambiental é de 2,77%. 
d. Qual é a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área de 
Finanças e a outra da área de Ambiental? 
Finanças 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 3 → n(finanças) 
P(A) = 3/6 = 0,5 → P(finanças) 
 
Ambiental 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 1 → n(ambiental) 
P(B) = 1/6 = 0,166666667 → P(ambiental) 
 
P(A∩B) = 0,5 × 0,166666667 = 0,083333333 
Ou seja, a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Finanças e a outra da área Ambiental é de 8,33%. 
e. Qual é a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área de 
Finanças e a outra da área de Gerencial? 
Finanças 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 3 → n(finanças) 
P(A) = 3/6 = 0,5 → P(finanças) 
 
Gerencial 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 2 → n(gerencial) 
14 
P(B) = 2/6 = 0,333333333 → P(gerencial) 
 
P(A∩B) = 0,5 × 0,333333333 = 0,166666667 
Ou seja, a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Finanças e a outra da área Ambiental é de 16,67%. 
f. Qual é a probabilidade de ambas as equipes serem orientadas pelo professor da área de 
Finanças? 
Finanças 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 3 → n(finanças) 
P(A) = 3/6 = 0,5 → P(finanças) 
 
Finanças 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 3 → n(finanças) 
P(B) = 3/6 = 0,5 → P(finanças) 
 
P(A∩B) = 0,5 × 0,5 = 0,25 
Ou seja, a probabilidade de ambas as equipes serem orientadas pelo professor da área 
de Finanças é de 25%. 
g. Qual é a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Gerencial e a outra da área Ambiental? 
Gerencial 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 2 → n(gerencial) 
P(A) = 2/6 = 0,333333333 → P(gerencial) 
 
Ambiental 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 1 → n(ambiental) 
P(B) = 1/6 = 0,166666667 → P(ambiental) 
 
P(A∩B) = 0,333333333 × 0,166666667 = 0,055555556 
Ou seja, a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Gerencial e a outra da área Ambiental é de 5,56%. 
h. Qual é a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Gerencial e a outra da área de Finanças? 
Gerencial 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 2 → n(gerencial) 
P(A) = 2/6 = 0,333333333 → P(gerencial) 
 
Finanças 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 3 → n(finanças) 
P(B) = 3/6 = 0,5 → P(finanças) 
 
P(A∩B) = 0,333333333 × 0,5 = 0,166666667 
Ou seja, a probabilidade de a primeira equipe ser orientada por um professor da área 
Gerencial e a outra da área de Finanças é de 5,56%. 
15 
i. Qual é a probabilidade de ambas as equipes serem orientadas pelo professor da área 
Gerencial? 
Gerencial 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(A) = 2 → n(gerencial) 
P(A) = 2/6 = 0,333333333 → P(gerencial) 
 
Gerencial 
n(S) = 6 → espaço amostral 
n(B) = 2 → n(gerencial) 
P(B) = 2/6 = 0,333333333 → P(gerencial) 
 
P(A∩B) = 0,333333333 × 0,333333333 = 0,111111111 
Ou seja, a probabilidade de ambas as equipes serem orientadas pelo professor da área 
Gerencial é de 25%. 
4. A turma A1 da disciplina de Métodos Numéricos é composta por 53 alunos, sendo que 25 deles 
entraram no curso pelo vestibular, 20 pelo ENEM e, 8 deles por outras formas de ingresso. Já a 
turma B1 possui 61 alunos, sendo que 23 deles entraram por vestibular, 31 por ENEM e 7 de 
outras maneiras. Serão escolhidos 1 representante de cada turma. Neste contexto, calcule: 
Baseado em BRUNI, Adriano Leal. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. São Paulo: Atlas, 2011, p.98. 
Trata-se de intersecção de eventos independentes porque a probabilidade de ocorrência de 
algum evento da turma A1 não influencia a probabilidade de ocorrência de algum evento da 
turma A1, visto que, mesmo que o sorteio não seja com reposição, são dois espaços amostrais 
distintos. = 
a. Qual a chance de ocorrer que ambos não tenham ingressado por vestibular? 
A1 
n(S) = 53 
n(vestibular) = 25 
P(vestibular) = 25/53 = 0,4717 
P(vestibularc) = 1 – 0,4717 = 0,5283 
B1 
n(S) = 61 
n(vestibular) = 23 
P(vestibular) = 23/61 = 0,3770 
P(vestibularc) = 1 – 0,3770 = 0,6230 
P(vestibularA1c ∩ vestibularB1c) = P(vestibularA1c) × P(vestibularB1c) 
P(vestibularA1c ∩ vestibularB1c) = 0,5283 × 0,6230 = 0,3291, ou seja, 32,91% de 
chances de ocorrer que ambos os candidatos não terem ingressado por vestibular. 
b. Qual a chance de ocorrer que ambos não tenham ingressado por ENEM? 
A1 
n(S) = 53 
n(ENEM) = 20 
P(ENEM) = 20/53 = 0,3774 
P(ENEMc) = 1 – 0,3774 = 0,6226 
B1 
n(S) = 61 
n(ENEM) = 31 
P(ENEM) = 31/61 = 0,5082 
P(ENEM c) = 1 – 0,5082 = 0,4918 
P(ENEMA1c ∩ ENEMB1c) = P(ENEMA1c) × P(ENEMB1c) 
P(ENEMA1c ∩ ENEMB1c) = 0,6226 × 0,4918 = 0,3062, ou seja, 30,62% de chances de 
ocorrer que ambos os candidatos não terem ingressado por ENEM. 
c. Qual a chance de não ocorrer que ambos não tenham ingressado por outras formas? 
A1 
n(S) = 53 
n(outras) = 8 
P(outras) = 8/53 = 0,1509 
P(outrasc) = 1 – 0,1509 = 0,8491 
B1 
n(S) = 61 
n(outras) = 7 
P(outras) = 7/61 = 0,1148 
P(outrasc) = 1 – 0,1148 = 0,8852 
16 
P(outrasA1c ∩ outrasB1c) = P(outrasA1c) × P(outrasB1c) 
P(outrasA1c ∩ outrasB1c) = 0,8491 × 0,8852 = 0,7516, ou seja, 75,16% de chances de 
ocorrer que ambos os candidatos não terem ingressado por ENEM. 
d. Qual a chance de ocorrer que o representante da A1 não tenha entrado por vestibular e 
o da B1 não tenha ingressado por ENEM? 
A1 
n(S) = 53 
n(vestibular) = 25 
P(vestibular) = 25/53 = 0,4717 
P(vestibularc) = 1 – 0,4717 = 0,5283 
B1 
n(S) = 61 
n(ENEM) = 31 
P(ENEM) = 31/61 = 0,5082 
P(ENEM c) = 1 – 0,5082 = 0,4918 
P(vestibularA1c ∩ ENEMB1c) = P(vestibularA1c) × P(ENEMB1c) 
P(vestibularA1c ∩ ENEMB1c) = 0,5283 × 0,4918 = 0,2598, ou seja, 25,98% de chances 
de ocorrer que o representante da A1 não tenha entrado por vestibular e o da B1 não 
tenha ingressado por ENEM. 
e. Qual a chance de ocorrer que o representante da A1 não tenha entrado por vestibular e 
o da B1 não tenha ingressado por outras maneiras? 
A1 
n(S) = 53 
n(vestibular) = 25 
P(vestibular) = 25/53 = 0,4717 
P(vestibularc) = 1 – 0,4717 = 0,5283 
B1 
n(S) = 61 
n(outras) = 7 
P(outras) = 7/61 = 0,1148 
P(outrasc) = 1 – 0,1148 = 0,8852 
P(vestibularA1c ∩ outrasB1c) = P(vestibularA1c) × P(outrasB1c) 
P(vestibularA1c ∩ outrasB1c) = 0,5283 × 0,8852 = 0,4677, ou seja, 46,77% de chances 
de ocorrer que o representante da A1 não tenha entrado por vestibular e o da B1 não 
tenha ingressado por outras maneiras. 
f. Qual a chance de ocorrer que o representante da A1 não tenha entrado por ENEM e o 
da B1 não tenha ingressado por outras formas? 
A1 
n(S) = 53 
n(ENEM) = 20 
P(ENEM) = 20/53 = 0,3774 
P(ENEMc) = 1 – 0,3774 = 0,6226 
B1 
n(S) = 61 
n(outras) = 7 
P(outras) = 7/61 = 0,1148 
P(outrasc) = 1 – 0,1148 = 0,8852 
P(ENEMA1c ∩ outrasB1c) = P(ENEMA1c) × P(outrasB1c) 
P(ENEMA1c ∩ outrasB1c) = 0, 6226× 0,8852 = 0,5512, ou seja, 55,12% de chances de 
ocorrer que o representante da A1 não tenha entrado por ENEM e o da B1 não tenha 
ingressado por outras maneiras. 
2.4 Intersecção dependentes 
Ocorre quando se deseja saber a probabilidade de um evento no espaço amostral, sendo que, 
anteriormente, um evento já “saiu”. 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A), onde P(B|A) é lido como “probabilidade de B dado que ocorreu A”. 
1. Um aluno de Ciências Contábeis, recém-formado, enviou currículo para 9 empresas do 
segmento de Contabilidade, em Curitiba. Quais as chances de ele ser chamado para 
entrevistas justamente em duas empresas de assessoria contábil? 
empresa especialidade 
Munick assessoria 
La Guardian assessoria 
JOGABI assessoria 
17 
Marck consultoria 
GMS assessoria 
Porto consultoria 
Aliança contabilidade 
Clerise contabilidade 
Simiano contabilidaden(S) = 9 
n(assessoria) = 4 
P(assessoria) = 4/9 = 0,444 
 
n(S) supondo que já saiu uma "assessoria" = 9 - 1 = 8 
n(assessoria) supondo que já saiu uma "assessoria" = 4 - 1 = 3 
P(assessoria|assessoria) = 3/8 = 0,375 
 
P(A∩B) = P(A)×P(B|A) ∴ P(assessoria∩assessoria) = P(assessoria)×P(assessoria|assessoria) 
P(assessoria) = 0,444 
P(assessoria|assessoria) = 0,375 
P(assessoria∩assessoria) = 0,444 × 0,375 = 0,1667 
 
Ou seja, a probabilidade de ser chamado em duas empresas de assessoria é de 16,67%. 
2. Um analista financeiro observou o comportamento de algumas ações ao longo do mês e notou 
o movimento que mais frequentemente ocorreu ao término dos pregões, conforme mostrado a 
seguir: 
Ação Segmento Movimento 
PRIO3 Petróleo Alta 
PETR4 Petróleo Baixa 
BRDT3 Petróleo Alta 
HAPV3 Saúde Estável 
QUAL3 Saúde Alta 
FLRY3 Saúde Alta 
USIM5 Siderúrgico Baixa 
GGBR4 Siderúrgico Estável 
RAIL3 Transporte Alta 
GOLL4 Transporte Baixa 
Para estabelecer sua estratégia de investimento, este analista deseja saber se: 
a. Em havendo alta na primeira ação escolhida, qual a chance da segunda ação também 
se manter em alta? 
n(Total) = 10 ações 
n(Alta) = 5 
P(Alta) = 5/10 = 0,5 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação em “Alta” = 10 – 1 = 9 
n(Alta) supondo que já saiu uma ação em “Alta” = 5 – 1 = 4 
P(Alta | Alta) = 4/9 = 0,44 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Alta ∩ Alta) = P(Alta) × P(Alta | Alta) 
P(Alta ∩ Alta) = 0,5 × 0,44 = 0,22 
 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação em alta, sendo que já havia sido 
escolhido em ação em alta, é de 22,22%. 
b. Em havendo alta na primeira ação escolhida, qual a chance da segunda ação cair? 
18 
n(Total) = 10 ações 
n(Alta) = 5 
P(Alta) = 5/10 = 0,5 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação em “Alta” = 10 – 1 = 9 
n(Baixa) supondo que já saiu uma ação em “Alta” = 3 
P(Baixa | Alta) = 3/9 = 0,33 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Alta ∩ Baixa) = P(Alta) × P(Baixa | Alta) 
P(Alta ∩ Baixa) = 0,5 × 0,33 = 0,167 
 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação em baixa, sendo que já havia sido 
escolhido em ação em alta, é de 16,67%. 
c. Em havendo alta na primeira ação escolhida, qual a chance da segunda ação se manter 
estável? 
n(Total) = 10 ações 
n(Alta) = 5 
P(Alta) = 5/10 = 0,5 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação em “Alta” = 10 – 1 = 9 
n(Estável) supondo que já saiu uma ação em “Alta” = 2 
P(Estável | Alta) = 2/9 = 0,22 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Alta ∩ Estável) = P(Alta) × P(Estável | Alta) 
P(Alta ∩ Estável) = 0,5 × 0,22 = 0,11 
 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação que se mantenha estável, sendo que já 
havia sido escolhido em ação em alta, é de 11,11%. 
d. Em havendo baixa na primeira ação escolhida, qual a chance da segunda ação se 
manter em alta? 
n(Total) = 10 ações 
n(Baixa) = 3 
P(Baixa) = 3/10 = 0,3 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação em “Baixa” = 10 – 1 = 9 
n(Alta) supondo que já saiu uma ação em “Baixa” = 5 
P(Alta | Baixa) = 5/9 = 0,55 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Baixa ∩ Alta) = P(Baixa) × P(Alta | Baixa) 
P(Baixa ∩ Alta) = 0,3 × 0,55 = 0,167 
 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação em alta, sendo que já havia sido 
escolhido em ação em baixa, é de 16,67%. 
e. Em havendo baixa na primeira ação escolhida, qual a chance da segunda ação também 
cair? 
n(Total) = 10 ações 
n(Baixa) = 3 
P(Baixa) = 3/10 = 0,3 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação em “Baixa” = 10 – 1 = 9 
n(Baixa) supondo que já saiu uma ação em “Baixa” = 3 – 1 = 2 
19 
P(Baixa | Baixa) = 2/9 = 0,22 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Baixa ∩ Baixa) = P(Baixa) × P(Baixa | Baixa) 
P(Baixa ∩ Baixa) = 0,3 × 0,22 = 0,067 
 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação em baixa, sendo que já havia sido 
escolhido em ação em baixa, é de 6,67%. 
f. Em havendo baixa na primeira ação escolhida, qual a chance da segunda ação se 
manter estável? 
n(Total) = 10 ações 
n(Baixa) = 3 
P(Baixa) = 3/10 = 0,3 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação em “Baixa” = 10 – 1 = 9 
n(Estável) supondo que já saiu uma ação em “Baixa” = 2 
P(Estável | Baixa) = 2/9 = 0,22 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Baixa ∩ Estável) = P(Baixa) × P(Estável | Baixa) 
P(Baixa ∩ Estável) = 0,3 × 0,22 = 0,067 
 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação em baixa, sendo que já havia sido 
escolhido em ação em baixa, é de 6,67%. 
g. Se a primeira ação escolhida se mantiver estável, qual a chance da segunda ação 
aumentar seu preço? 
n(Total) = 10 ações 
n(Estável) = 2 
P(Estável) = 2/10 = 0,2 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação “Estável” = 10 – 1 = 9 
n(Alta) supondo que já saiu uma ação “Estável” = 5 
P(Alta | Estável) = 5/9 = 0,55 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Estável ∩ Alta) = P(Estável) × P(Alta | Estável) 
P(Estável ∩ Alta) = 0,2 × 0,55 = 0,11 
 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação em alta, sendo que já havia sido 
escolhido em ação estável, é de 11,11%. 
h. Se a primeira ação escolhida se mantiver estável, qual a chance da segunda ação cair? 
n(Total) = 10 ações 
n(Estável) = 2 
P(Estável) = 2/10 = 0,2 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação “Estável” = 10 – 1 = 9 
n(Baixa) supondo que já saiu uma ação “Estável” = 3 
P(Baixa | Estável) = 3/9 = 0,33 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Estável ∩ Baixa) = P(Estável) × P(Baixa | Estável) 
P(Estável ∩ Baixa) = 0,2 × 0,33 = 0,067 
 
20 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação em baixa, sendo que já havia sido 
escolhido em ação estável, é de 6,67%. 
i. Se a primeira ação escolhida se mantiver estável, qual a chance da segunda ação 
também se manter estável? 
n(Total) = 10 ações 
n(Estável) = 2 
P(Estável) = 2/10 = 0,2 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação “Estável” = 10 – 1 = 9 
n(Estável) supondo que já saiu uma ação “Estável” = 2 – 1 = 1 
P(Estável | Estável) = 1/9 = 0,11 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Estável ∩ Estável) = P(Estável) × P(Estável | Estável) 
P(Estável ∩ Estável) = 0,2 × 0,11 = 0,022 
 
Ou seja, a probabilidade se escolher uma ação estável, sendo que já havia sido 
escolhido em ação estável, é de 2,22%. 
j. Dadas estas situações, qual deve ser a estratégia do investidor? 
Nestas condições, a maior probabilidade foi encontrada na combinação de Alta e Alta. 
Assim sendo, ele deve investir em uma primeira ação que fechou em alta e, em uma 
segunda ação que também teve o fechamento em alta. 
3. Para a atribuição de orientadores para equipes de Estágio Supervisionado, faltam duas 
equipes ainda sem orientador. Sabendo que os professores disponíveis são Panhoca 
(Ambiental), Anelise (Finanças), Claudio (Finanças), Luiz (Gerencial), Nayane (Gerencial) e 
Flaviano (Finanças), e que eles podem orientar somente uma equipe, se for efetuado um 
sorteio, qual é a probabilidade de ambas as equipes serem orientadas por professores da área 
Gerencial? E qual a probabilidade de, nesta ordem, o primeiro professor ser da área de 
Finanças e o segundo da área de Ambiental? 
n(Total) = 6 empresas 
n(Gerencial) = 2 
P(Gerencial) = 2/6 = 0,333 
 
n(Total) supondo que já saiu um orientador Gerencial = 6 – 1 = 5 
n(Gerencial) supondo que já saiu um orientador Gerencial = 2 – 1 = 1 
P(Gerencial | Gerencial) = 1/5 = 0,2 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Gerencial ∩ Gerencial) = P(Gerencial) × P(Gerencial | Gerencial) 
P(Gerencial ∩ Gerencial) = 0,33 × 0,2 = 0,0667 
 
Ou seja, a probabilidade de ser sorteado um professor da área de Gerencial, sendo que um 
professor desta área já teria sido sorteado, é de 6,67%. 
 
n(Total) = 6 empresas 
n(Finanças) = 3 
P(Finanças) = 3/6 = 0,5 
 
n(Total) supondo que já saiu um orientador de Finanças = 6 – 1 = 5 
n(Ambiental) = 1 
P(Ambiental | Finanças) = 1/5 = 0,2 
 
21 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Finanças ∩ Ambiental) = P(Finanças) × P(Ambiental | Finanças) 
P(Finanças ∩ Ambiental) = 0,5 × 0,2 = 0,1 
 
Ou seja, a probabilidade de ser sorteado um professor da área de Ambiental, sendo que um 
professor de Finanças já teria sido sorteado, é de 10%. 
4. Um consultor financeiro está montando uma carteira de ações para seu cliente. Ele enviou uma 
proposta com as ações BRKM3 (setor“Básico”), CIEL3 e IRBR3 (setor “Financeiro”) e EMBR3 
e WEGE3 (setor “Industrial”), solicitando que o cliente escolhesse duas delas. Tentando 
antecipar alguns cenários, qual será a probabilidade de o cliente tendo selecionado uma 
empresa do setor "Básico", selecionar a outra do setor "Financeiro"? 
n(Total) = 5 ações 
n(Básico) = 1 
P(Básico) = 1/5 = 0,2 
 
n(Total) supondo que já saiu uma ação do setor “Básico” = 5 – 1 = 4 
n(Financeiro) supondo que já saiu uma ação do setor “Básico” = 2 
P(Financeiro | Básico) = 2/4 = 0,5 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Básico ∩ Financeiro) = P(Básico) × P(Financeiro | Básico) 
P(Básico ∩ Financeiro) = 0,2 × 0,5 = 0,1 
5. Um contador trainee será alocado para trabalhar em equipes que irão verificar a contabilidade 
das seguintes empresas: 
Empresa Segmento 
MTSA Máq. e Equip. Construção e Agrícolas 
BBSE Seguradoras 
STTR Máq. e Equip. Construção e Agrícolas 
ALSO Exploração de imóveis 
BRML Exploração de imóveis 
CXSE Seguradoras 
SULA Seguradoras 
Sabendo-se que o aluno não será alocado duas vezes para atuar na mesma empresa, qual a 
chance de ele ser escolhido para atuar em duas empresas do segmento de “Seguradoras”? 
n(Total) = 7 empresas 
n(Seguradoras) = 3 
P(Seguradoras) = 3/7 = 0,4286 
 
n(Total) supondo que já saiu uma empresa Seguradora = 7 – 1 = 6 
n(Seguradoras) supondo que já saiu uma empresa Seguradora = 3 – 1 = 2 
P(Seguradoras|Seguradoras) = 2/6 = 0,3333 
 
P(A∩B) = P(A) × P(B|A) 
P(Seguradoras ∩ Seguradoras) = P(Seguradoras) × P(Seguradoras|Seguradoras) 
P(Seguradoras ∩ Seguradoras) = 0,4286 × 0,3333 = 0,1429 
2.5 União eventos não mutuamente exclusivos 
Ocorre quando existe intersecção entre os elementos dos conjuntos. 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
22 
1. A coordenação do curso de Ciências Contábeis fez uma pesquisa com egressos do curso, no 
sentido de saber quais áreas estão absorvendo os profissionais formados pela universidade. A 
coordenação obteve os seguintes resultados: 
• Auditor: 30 
• Perito: 20 
• Ambos: 5 
• Nenhum: 5 
A coordenação solicitou à secretária que entrasse em contato com um destes alunos para 
extrair maiores informações sobre a inserção no mercado de trabalho. Qual a chance do aluno 
contatado estar atuando como auditor ou como perito? 
 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
P(A∩B) = P(A) × P(B) 
 
n(S) = (30 – 5) + 5 + (20 – 5) + 5 (nenhum) = 50 
n(Auditor) = 30 
n(Perito) = 20 
n(Ambos) = 5 
n(Nenhum) = 5 
 
P(Auditor) = 30/50 = 0,6 
P(Perito) = 20/50 = 0,4 
P(Ambos) = 5/50 = 0,1 
 
P(Auditor U Perito) = P(Auditor) + P(Perito) – P(Ambos) 
P(Auditor U Perito) = 0,6 + 0,4 – 0,1 = 0,9 
2. Um investidor deseja investir em BDRs listadas na aba “união não mutua exclusiva 3”. Ele está 
indeciso sobre o setor e país. Se ele não levar mais nada em consideração, quais as 
probabilidades de que a escolha de uma BDR seja: 
a. Comunicação ou Reino Unido 
Comunicação 
n(S) = 703 
n(Comunicação) = 29 
P(Comunicação) = 29/703 = 0,041 
 
Reino Unido 
n(S) = 703 
n(Reino Unido) = 21 
P(Reino Unido) = 21/703 = 0,03 
 
23 
P(Comunicação∩Reino Unido) = P(Comunicação) × P(Reino Unido) 
P(Comunicação∩Reino Unido) = 0,041 × 0,03 = 0,0012 
 
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) ∴ P(Comunicação∩Reino Unido) = P(Comunicação) + 
P(Reino Unido) - P(Comunicação∩Reino Unido) 
P(Comunicação∩Reino Unido) = 0,041 + 0,03 - 0,0012 = 0,0698 
 
As chances de o investidor aplicar em um BDR de comunicação ou do Reino Unido são 
de 6,98%. 
b. Comunicação ou China? 
Comunicação 
n(S) = 703 
n(Comunicação) = 29 
P(Comunicação) = 29/703 = 0,041 
 
China 
n(S) = 703 
n(China) = 21 
P(China) = 21/703 = 0,03 
 
P(Comunicação∩China) = P(Comunicação) × P(China) 
P(Comunicação∩China) = 0,041 × 0,03 = 0,0012 
 
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) ∴ P(Comunicação∩China) = P(Comunicação) + 
P(China) - P(Comunicação∩China) 
P(Comunicação∩Reino Unido) = 0,041 + 0,03 - 0,0012 = 0,0698 
 
As chances de o investidor aplicar em um BDR de comunicação ou da China são de 
6,98%. 
3. Um escritório de perícia contábil possui 30 processos em andamento (alguns novos, outros de 
revisão), conforme mostrado a seguir: 
Processos Novos Revisão 
Públicas 10 3 
Privadas 12 5 
Depois de ter voltado de férias, um dos contadores deverá atuar nestes processos. Assim 
sendo, qual é a chance de ele escolher, em primeiro lugar, um processo vindo de empresa 
privada, ou um processo de revisão? 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
P(A∩B) = P(A) × P(B) 
 
n(S) = 10 + 12 + 3 + 5 = 30 
n(Privadas) = 17 
n(Revisão) = 8 
n(Privadas ∩ Revisão) = 5 
 
P(Privadas) = 17/30 = 0,56 
P(Revisão) = 8/30 = 0,26 
P(Privadas ∩ Revisão) = 5/30 = 0,167 
 
P(Privadas U Revisão) = P(Privadas) + P(Revisão) – P(Privadas ∩ Revisão 
P(Privadas U Revisão) = 0,56 + 0,26 – 0,167 = 0,667 
24 
4. Existe suspeita de uma sofisticada fraude no balanço de um banco. Um dos gerentes de 
auditoria do BACEN precisa colocar dois auditores para demonstrar a fraude. Ele sabe que 
Leonardo, mais experiente, tem resolvido questões desta natureza em 75% das vezes e que, 
Luísa, novata, tem chances de 60%. Colocando estes auditores para trabalharem de forma 
independente, qual a chance de a fraude ser demonstrada? 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
P(A∩B) = P(A) × P(B) 
 
P(A) = P(Leonardo) = 0,75 
P(B) = P(Luísa) = 0,6 
 
P(A∩B) = 0,75 × 0,6 = 0,45 
P(AUB) = 0,75 + 0,6 – 0,45 = 0,90, ou 90%. 
5. Uma turma de formandos do curso de Ciências Contábeis tem 70 alunos, sendo que 44 são 
homens. Nesta turma existem 10 mulheres casadas e 19 homens casados. Um aluno será 
sorteado como orador da turma. Qual a probabilidade de ser homem ou de ser casado(a)? 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
P(A∩B) = P(A) × P(B) 
 
P(A) = P(Homem) = 44/70 = 0,63 
P(B) = P(Casado(a)) = (10 + 19) / 70 = 29/70 = 0,41 
 
P(A∩B) = 0,63 × 0,41 = 0,26 
P(AUB) = 0,63 + 0,41 – 0,26 = 0,78, ou 78%. 
6. O quadro a seguir mostra as probabilidades de egressos do curso de Ciências Contábeis 
associadas ao seu desempenho profissional após 10 anos de formados: 
Salário Graduação Especialização Mestrado Total 
A (≥ 10k) 0,02 0,12 0,28 0,42 
B (entre 10k e 5k) 0,09 0,19 0,15 0,43 
C (≤ 5k) 0,1 0,04 0,01 0,15 
Total 0,21 0,35 0,44 1 
Analisando estes dados, responda às questões: 
a. Qual é a probabilidade de um egresso, escolhido ao acaso, ter feito até a especialização? 
Salário Graduação Especialização Mestrado Total 
A (≥ 10k) 0,02 0,12 0,28 0,42 
B (entre 10k e 5k) 0,09 0,19 0,15 0,43 
C (≤ 5k) 0,1 0,04 0,01 0,15 
Total 0,21 0,35 0,44 1 
35% 
b. Qual é a probabilidade de um egresso, escolhido ao acaso, ter feito apenas a graduação e 
ter salário inferior a R$ 5.000,00? 
Salário Graduação Especialização Mestrado Total 
≥ R$ 10.000,00 0,02 0,12 0,28 0,42 
entre 10k e 5k 0,09 0,19 0,15 0,43 
≤ R$ 5.000,00 0,1 0,04 0,01 0,15 
Total 0,21 0,35 0,44 1 
25 
10% 
c. Qual é a probabilidade de um egresso, escolhido ao acaso, ter feito apenas a graduação 
ou ter salário superior a R$ 10.000,00? 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
P(A∩B) = P(A) × P(B) 
 
P(A) = P(Graduação) = 0,21 
P(B) = P(≥ 10k) = 0,42 
P(A∩B) = 0,02 
P(AUB) = 0,21 + 0,42 – 0,02 = 0,61, ou 61%. 
d. Qual é a probabilidade de um egresso, escolhido ao acaso, ter feito apenas a 
especialização ou ter salário entre R$ 5.000,00 a R$ 10.000,00? 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
P(A∩B) = P(A) × P(B) 
 
P(A) = P(Especialização) = 0,35 
P(B) = P(entre) = 0,43 
P(A∩B) = 0,19 
P(AUB) = 0,35 + 0,43 – 0,19 = 0,59, ou 59%. 
7. No centro administrativo de um banco, 9 contadores de uma equipe estão distribuídos nas 
seguintes tarefas: 4 estão trabalhando na normalização de regras de compliance, 3 estão 
dedicados na auditoria de uma das agências e, 2 estão atuando em ambas as tarefas. Uma 
nova agência será aberta nos próximos dias e é necessário escolher um contador desta equipe 
para acompanhar o início das atividades. Qual a chance de, escolhido ao acaso, este contador 
estar atuando no compliance ou na auditoria? 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
P(A∩B) = P(A) × P(B) 
 
P(A) = P(compliance)= 4/9 = 0,44 
P(B) = P(auditoria) = 3/9 = 0,33 
P(A∩B) = 2/9 = 0,22 
P(AUB) = 0,44 + 0,33 – 0,22 = 0,55, ou 55%. 
8. Um aluno da disciplina de Métodos Quantitativos irá estudar para a prova com a ajuda de 
vídeos do Youtube. Ele pesquisou vídeos sobre União de Eventos Independentes e encontrou 
8 deles, sendo 2 elaborados por professores, 3 por estudantes e, outros 3 por escolas. Este 
aluno também classificou os vídeos pelo tempo de duração, em minutos. Como ele não sabe 
qual vídeo assistir, qual a chance de escolher um vídeo feito por outros estudantes ou que 
tenha duração superior a 9 minutos? 
vídeos tempo 
professor 11,29 
estudante 8,35 
estudante 12,02 
estudante 10,13 
professor 7,59 
escola 8,23 
escola 8,15 
26 
escola 16,11 
 
P(A) = estudante OU P(B) > 9 minutos 
 
n(Total) = 8 
n(Estudante) = 3 
P(Estudante) = 3/8 = 0,375 
 
n(Total) = 8 
n(> 9) = 4 
P(> 9) = 4/8 = 0,5 
 
n(Total) = 8 
n(Estudante ∩ > 9) = 2 (número de estudantes com vídeos acima de 9 minutos) 
P(Estudante ∩ > 9) = P(A∩B) = 2/8 = 0,25 
 
P(Estudante OU > 9) = P(Estudante) + P(> 9) - P(Estudante ∩ > 9)∴ P(AUB) = P(A) + P(B) – 
P(A∩B) 
P(AUB) = 0,375 + 0,5 – 0,25 = 0,63 
2.6 Condicional 
Ocorre quando desejamos calcular a chance de determinado evento ocorrer, SABENDO DE 
ANTEMÃO que outro evento (que impactará o evento anterior) ocorreu. 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) = 𝑛𝑛(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
, leia-se “Probabilidade de A dado que ocorreu B”. 
1. Um analista financeiro está analisado a rentabilidade anual de algumas empresas listadas na 
bolsa de valores. Ele tabulou estes valores: 
Rentabilidade Número de empresas 
39 1 
38 10 
37 3 
36 5 
35 6 
Assumindo que uma empresa possui rentabilidade acima de 36%, qual a chance de ela 
apresentar rentabilidade de 38%? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(38| > 36) =
𝑛𝑛(38 ∩> 36)
𝑛𝑛(> 36)
 
n(B) = 3 + 10 + 1 = 14 
n(A∩B) = 10 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(38| > 36) =
10
14
= 0,71 
 
Ou seja, a probabilidade de uma empresa que possui rentabilidade acima de 36%, ter 
rentabilidade de 38% é de 71%. 
2. Um candidato ao PPGCONT deseja saber a probabilidade de uma vez tendo sido alocado para 
ser orientado por um professor graduado em Contabilidade, que este professor também seja 
pós-graduado em Contabilidade. Sabe-se que 7 professores são graduados e pós-graduados 
em Contabilidade; 5 são graduados em Contabilidade e pós-graduados em outro curso; 4 são 
graduados em outro curso e pós-graduados em Contabilidade e; 2 são graduados e pós-
graduados outros cursos. 
27 
Quantidades Grad Cont Grad Outras Totais 
Pos Cont 7 4 11 
Pos Outra 5 2 7 
Totais 12 6 18 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝑃𝑃𝑜𝑜𝑠𝑠 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛𝐶𝐶|𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛𝐶𝐶) =
𝑛𝑛(𝑃𝑃𝑜𝑜𝑠𝑠 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛𝐶𝐶 ∩ 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛𝐶𝐶)
𝑛𝑛(𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛𝐶𝐶)
 
n(Grad Cont) = 7 + 5 = 12 
n(Pos Cont ∩ Grad Cont) = 7 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝑃𝑃𝑜𝑜𝑠𝑠 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛𝐶𝐶|𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛𝐶𝐶) =
7
12
= 0,58 
Ou seja, a probabilidade de o candidato ser orientado por um professor graduado e pós-
graduado em Contabilidade é de 58%. 
3. Um analista financeiro está verificando as chances de as indicações de investimento terem tido 
resultado positivo. Para isto, para cada empresa que fazia parte do portfólio recomendado, ele 
anotou o resultado depois de três meses, conforme mostrado a seguir: 
empresas resultado fundos resultados 
CASH3 positivo KNIP11 positivo 
B3SA3 negativo IRDM11 negativo 
PRIO3 negativo HCTR11 positivo 
BBAS3 positivo HGLG11 negativo 
VIIA3 negativo MXRF11 negativo 
COGN3 positivo CPTS11 negativo 
BRML3 negativo XPLG11 negativo 
ABEV3 positivo BTLG11 negativo 
VALE3 negativo HGRU11 negativo 
Assim sendo, calcule: 
a. Tendo indicado o investimento em uma empresa, quais as chances de ter obtido resultado 
positivo? 
 empresa fundo totais 
negativo 5 7 12 
positivo 4 2 6 
totais 9 9 18 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜|𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺) =
𝑛𝑛(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜 ∩ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺)
𝑛𝑛(𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺)
 
n(empresa) = 5 + 4 = 9 
n(positivo ∩ empresa) = 4 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜 ∩ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺)
𝑛𝑛(𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺)
∴ 𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜|𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺) =
4
9
= 0,44 
Ou seja, a probabilidade de ter indicado uma empresa e esta ter tido resultado positivo é 
de 44%. 
b. Tendo indicado o investimento em uma empresa, quais as chances de ter obtido resultado 
negativo? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝐺𝐺𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜|𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺) =
𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝐺𝐺𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜 ∩ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺)
𝑛𝑛(𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺)
 
n(empresa) = 5 + 4 = 9 
n(negativo ∩ empresa) = 5 
28 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜 ∩ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺)
𝑛𝑛(𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺)
∴ 𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜|𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑒𝑒𝑠𝑠𝐺𝐺) =
5
9
= 0,56 
Ou seja, a probabilidade de ter indicado uma empresa e esta ter tido resultado negativo é 
de 56%. 
c. Tendo indicado o investimento em fundos, quais as chances de ter obtido resultado 
positivo? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜|𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠) =
𝑛𝑛(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜 ∩ 𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠)
𝑛𝑛(𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠)
 
n(fundos) = 7 + 2 = 9 
n(positivo ∩ fundos) = 2 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜 ∩ 𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠)
𝑛𝑛(𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠)
∴ 𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑝𝑝𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜|𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠) =
2
9
= 0,22 
Ou seja, a probabilidade de ter indicado um fundo e este ter tido resultado positivo é de 
22%. 
d. Tendo indicado o investimento em fundos, quais as chances de ter obtido resultado 
negativo? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝐺𝐺𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜|𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠) =
𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝐺𝐺𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜 ∩ 𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠)
𝑛𝑛(𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠)
 
n(fundos) = 7 + 2 = 9 
n(negativo ∩ fundos) = 7 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝐺𝐺𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜 ∩ 𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠)
𝑛𝑛(𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠)
∴ 𝑃𝑃(𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝐺𝐺𝐶𝐶𝑝𝑝𝑐𝑐𝑜𝑜|𝑓𝑓𝑜𝑜𝑛𝑛𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠) =
7
9
= 0,78 
Ou seja, a probabilidade de ter indicado um fundo e este ter tido resultado negativo é de 
78%. 
4. Os alunos que ainda não cursaram a disciplina de Métodos Quantitativos têm ficado 
apreensivos em relação a qual professor irá ministrar esta disciplina no próximo semestre, pois 
temem que um professor pode reprovar mais que outro. Para dirimirem esta dúvida, eles 
coletaram números de alunos aprovados e reprovados por estes professores desde que 
começaram a lecionar no curso de Ciências Contábeis. 
quantidades cicero nayane claudio 
aprovados 27 68 82 
reprovados 10 31 25 
A partir destes dados, quais são as chances de: 
a. Ser aprovado pelo professor Cicero? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑛𝑛(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝐺𝐺𝑜𝑜) =
𝑛𝑛(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠 ∩ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝐺𝐺𝑜𝑜)
𝑛𝑛(𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝐺𝐺𝑜𝑜)
 
n(cicero) = 27 + 10 = 37 
n(aprovados ∩ cicero) = 27 
𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝐺𝐺𝑜𝑜) =
27
27 + 10
= 0,73 
b. Ser reprovado pelo professor Cicero? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝐺𝐺𝑜𝑜) =
𝑛𝑛(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠 ∩ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝐺𝐺𝑜𝑜)
𝑛𝑛(𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝐺𝐺𝑜𝑜)
 
n(cicero) = 27 + 10 = 37 
29 
n(reprovados ∩ cicero) = 10 
𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝐺𝐺𝑜𝑜)=
10
27 + 10
= 0,27 
c. Ser aprovado pela professora Nayane? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝑒𝑒) =
𝑛𝑛(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠 ∩ 𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝑒𝑒)
𝑛𝑛(𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝑒𝑒)
 
n(nayane) = 68 + 31 = 99 
n(aprovados ∩ nayane) = 68 
𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝑒𝑒) =
68
68 + 31
= 0,69 
d. Ser reprovado pela professora Nayane? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝑒𝑒) =
𝑛𝑛(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠 ∩ 𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝑒𝑒)
𝑛𝑛(𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝑒𝑒)
 
n(nayane) = 68 + 31 = 99 
n(reprovados ∩ nayane) = 31 
𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑛𝑛𝑒𝑒) =
31
68 + 31
= 0,31 
e. Ser aprovado pelo professor Cláudio? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝑜𝑜𝐺𝐺𝑝𝑝𝑜𝑜) =
𝑛𝑛(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠 ∩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝑜𝑜𝐺𝐺𝑝𝑝𝑜𝑜)
𝑛𝑛(𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝑜𝑜𝐺𝐺𝑝𝑝𝑜𝑜)
 
n(claudio) = 82 + 25 = 107 
n(aprovados ∩ claudio) = 82 
𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝑜𝑜𝐺𝐺𝑝𝑝𝑜𝑜) =
82
82 + 25
= 0,77 
f. Ser reprovado pelo professor Cláudio? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
∴ 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝑜𝑜𝐺𝐺𝑝𝑝𝑜𝑜) =
𝑛𝑛(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠 ∩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝑜𝑜𝐺𝐺𝑝𝑝𝑜𝑜)
𝑛𝑛(𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝑜𝑜𝐺𝐺𝑝𝑝𝑜𝑜)
 
n(claudio) = 82 + 25 = 107 
n(reprovados ∩ claudio) = 25 
𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑒𝑒𝑝𝑝𝐺𝐺𝑜𝑜𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝑜𝑜𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝑜𝑜𝐺𝐺𝑝𝑝𝑜𝑜) =
25
82 + 25
= 0,23 
5. O Ibovespa Futuro (IND) é um contrato negociado na bolsa de valores, muitas vezes 
apontando para o desempenho que a própria B3 terá naquele dia, medido pelo índice IBOV. 
Um analista de mercado, durante um mês, anotou as vezes em que o IBOV fechou em alta, 
estável e baixa, associando às vezes em que o IND abriu em alta ou em baixa, conforme 
mostrado a seguir: 
 IND 
 alta baixa 
IB
O
V alta 5 5 
estável 2 4 
baixa 3 1 
A partir destes dados, calcule: 
a. Quais as chances de o Ibovespa Futuro abrir em alta e o IBOV fechar em alta? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(IND↑) = 5 + 2 + 3 = 10 
30 
P(A∩B) = P(IBOV↑ ∩ IND↑) =5 
P(A|B) = 5/10 = 0,5, ou seja, 50% 
b. Quais as chances de o Ibovespa Futuro abrir em alta e o IBOV fechar estável? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(IND↑) = 5 + 2 + 3 = 10 
P(A∩B) = P(IBOV↔ ∩ IND↑) =2 
P(A|B) = 2/10 = 0,2, ou seja, 20% 
c. Quais as chances de o Ibovespa Futuro abrir em alta e o IBOV fechar em baixa? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(IND↑) = 5 + 2 + 3 = 10 
P(A∩B) = P(IBOV↓ ∩ IND↑) =3 
P(A|B) = 3/10 = 0,3, ou seja, 30% 
d. Quais as chances de o Ibovespa Futuro abrir em baixa e o IBOV fechar em alta? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(IND↓) = 5 + 4 + 1 = 10 
P(A∩B) = P(IBOV↑ ∩ IND↑) =5 
P(A|B) = 5/10 = 0,5, ou seja, 50% 
e. Quais as chances de o Ibovespa Futuro abrir em baixa e o IBOV fechar estável? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(IND↓) = 5 + 4 + 1 = 10 
P(A∩B) = P(IBOV↑ ∩ IND↔) =4 
P(A|B) = 4/10 = 0,4, ou seja, 40% 
f. Quais as chances de o Ibovespa Futuro abrir em baixa e o IBOV fechar em baixa? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(IND↓) = 5 + 4 + 1 = 10 
P(A∩B) = P(IBOV↑ ∩ IND↓) =1 
P(A|B) = 1/10 = 0,1, ou seja, 10% 
6. O coordenador do curso de Ciências Contábeis da UFPR, em uma parceria com CRC, resolveu 
verificar onde os formados, pelas universidades de Curitiba, estão se colocando 
profissionalmente. A partir de dados de 206 profissionais formados nos últimos 2 anos, 
mostrados a seguir, o coordenador deseja saber: 
quantidades ufpr outras 
privada 27 82 
pública 55 15 
empreendedor 18 9 
a. Dado que um profissional foi para a iniciativa privada, qual a probabilidade de ter sido 
formado pela UFPR? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(privada) = 27 + 82 = 109 
P(A∩B) = P(UFPR ∩ privada) = 27 
31 
P(A|B) = 27/109 = 0,247, ou seja, 24,7% 
b. Dado que foi formado pela UFPR, qual a probabilidade um profissional ter ido para o setor 
público? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(UFPR) = 27 + 55 + 18 = 100 
P(A∩B) = P(público ∩ UFPR) = 55 
P(A|B) = 55/100 = 0,55, ou seja, 55% 
c. Dado que é empreendedor, qual a probabilidade de ter sido formado pela UFPR? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(empreendedor) = 18 + 9 = 27 
P(A∩B) = P(UFPR ∩ empreendedor) = 18 
P(A|B) = 18/27 = 0,67, ou seja, 67% 
d. Dado que foi formado pela UFPR, qual a probabilidade um profissional ter ido para o setor 
privado? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
P(B) = P(UFPR) = 27 + 55 + 18 = 100 
P(A∩B) = P(privado ∩ UFPR) = 27 
P(A|B) = 27/100 = 0,27, ou seja, 27% 
2.7 Total 
Utilizada quando desconhecemos a probabilidade de um evento, mas conhecemos suas 
ocorrências em vários cenários disjuntos e a probabilidade de cada cenário. 
 
 
Portanto, P(B) = P(B|A1)×P(A1) + P(B|A2)×P(A2) + P(B|A3)×P(A3) + P(B|A4)×P(A4), ou 
𝑃𝑃(𝐵𝐵) = �𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑖𝑖) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖)
𝑘𝑘
𝑖𝑖=1
 
1. Três empresas de Contabilidade elaboram as declarações dos impostos de renda de uma 
localidade, de tal maneira que 50% das declarações são elaboradas pela empresa A, 25% pela 
B e, naturalmente, 25% pela C. Sabe-se que 2% das declarações elaboradas pelas empresas 
A e B caem na malha fina – percentual que sobre para 4% para a empresa C. Assim sendo, 
qual a probabilidade de uma declaração vinda desta localidade cair na malha fina? 
𝑃𝑃(𝐵𝐵) = �𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑖𝑖) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖)
𝑘𝑘
𝑖𝑖=1
 
32 
P(D) = P(defeitos) 
P(A) = 0,5 
P(B) = 0,25 
P(C) = 0,25 
P(D|A) = 0,02 
P(D|B) = 0,02 
P(D|C) = 0,04 
 
P(D) = P(D|A) × P(A) + P(D|B) × P(B) + P(D|C) × P(C) 
P(D) = 0,02 × 0,5 + 0,02 × 0,25 + 0,04 × 0,25 = 0,025, ou seja, 2,5%. 
2. Um empresário deseja contratar serviços de contabilidade ambiental para sua empresa. A 
chance de ele encontrar fornecedores destes serviços na sua cidade é de 2/5 e na capital, de 
3/5. Ele incumbiu sua secretária de verificar este assunto. Sabe-se que ela tem 2/3 de chances 
de verificar as empresas da própria cidade. Dados estes valores, qual a chance de encontrar 
um fornecedor para estes serviços? 
𝑃𝑃(𝐵𝐵) = �𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑖𝑖) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖)
𝑘𝑘
𝑖𝑖=1
 
P(F) = P(fornecedor) 
P(Ci) = P(cidade) = 2/3 
P(Ca) = P(capital) = 1 – 2/3 = 1/3 
P(F|Ci) = P(fornecedor na cidade) = 2/5 
P(F|Ca) = P(fornecedor na capital) = 3/5 
 
P(F) = P(F|Ci) × P(Ci) + P(F|Ca) × P(Ca) 
P(F) = 2/5 × 2/3 + 3/5 × 1/3 
P(F) = 4/15 + 1/5 = 7/15 = 0,47, ou seja, 47%. 
3. O proprietário de um escritório de contabilidade tem percebido que estagiários vindos da UFPR 
têm sido efetivados em 99% das vezes e, de outras faculdades, em 95% das vezes. Sabendo-
se que a UFPR tem fornecido 60% dos estagiários, qual a chance de um estagiário ser 
efetivado nesta empresa? 
𝑃𝑃(𝐵𝐵) = �𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑖𝑖) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖)
𝑘𝑘
𝑖𝑖=1
 
P(E) = P(efetivação) 
P(UFPR) = 0,6 
P(Outras) = 1 – 0,6 = 0,4 
P(E|UFPR) = P(efetivação vindos da UFPR) = 0,99 
P(E|Outras) = P(efetivação vindos de outras) = 0,95 
 
P(E) = P(E|UFPR) × P(UFPR) + P(E|Outras) × P(Outras) 
P(E) = 0,99 × 0,6 + 0,95 × 0,4 
P(E) = 0,59 + 0,38 = 0,97, ou seja, 97%. 
4. Um aluno de Ciências Contábeis acredita que tem 60% de chances de reprovar em Métodos 
Quantitativos, 40% de reprovar em Contabilidade Intermediária e, 30% em Economia. 
Observando os editais de notas de semestres anteriores, ele percebeu que a disciplina de 
Métodos Quantitativos tem reprovado 20% dos alunos, enquanto que as de Contabilidade 
Intermediária e Economia, 10%. Nestas condições quais são as chances deste aluno reprovar? 
33 
𝑃𝑃(𝐵𝐵)= �𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑖𝑖) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖)
𝑘𝑘
𝑖𝑖=1
 
P(R) = P(reprovação) 
P(M) = P(Métodos Quantitativos) = 0,2 
P(I) = P(Contabilidade Intermediária) = 0,1 
P(E) = P(Economia) = 0,1 
P(R|M) = P(Reprovação em Métodos) = 0,6 
P(R|I) = P(Reprovação em Contabilidade Intermediária) = 0,4 
P(R|E) = P(Reprovação em Economia) = 0,3 
 
P(R) = P(R|M) × P(M) + P(R|I) × P(I) + P(R|E) × P(E) 
P(R) = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,1 + 0,3 × 0,1 
 
P(R) = 0,12 + 0,04 + 0,03 = 0,19, ou seja, 19%. 
5. Um proprietário de escritório de contabilidade está traçando um perfil de seus clientes. Ele 
sabe que 70% das empresas que procuram os serviços deste escritório, são do setor de 
comércio, 20% de serviços e 10% de indústrias. Das empresas de serviço, 1% não fecham 
negócio, 2% das empresas de comércio não fecham negócio e, 5% das indústrias não fecham 
negócio. Neste cenário, qual a chance de a próxima empresa que buscar os serviços do 
escritório não fechar negócio? 
 
𝑃𝑃(𝐵𝐵) = �𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑖𝑖) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖)
𝑘𝑘
𝑖𝑖=1
 
P(A1) = 0,7 ∴ P(comércio) 
P(A2) = 0,2 ∴ P(serviços) 
P(A3) = 0,1 ∴ P(indústria) 
P(B|A1) = 0,02 ∴ P(não fechar| comércio) 
P(B|A2) = 0,01 ∴ P(não fechar|serviços) 
P(B|A3) = 0,05 ∴ P(não fechar| indústria) 
P(B) = P(B|A1) × P(A1) + P(B|A2) × P(A2) + P(B|A3) × P(A3) 
P(B) = 0,01 × 0,7 + 0,02 × 0,2 + 0,05 × 0,1 = 0,016 
Ou seja, a probabilidade de o próximo cliente não fechar negócio é de 1,6%. 
34 
2.8 Bayes 
Utilizada no caso de “informações privilegiadas” que podem alterar as probabilidades originais. 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
1. Em 90% das vezes, um teste de COVID apresenta resultados positivos para quem, de fato, tem 
COVID e, negativos para quem não tem COVID mesmo. Assim sendo, sabendo que você vem 
de uma população onde 1% das pessoas, de fato, têm COVID (informação a priori), qual a 
chance de você ter COVID se o teste apontar resultado positivo? 
Exemplo adaptado de DIDÁTICA TECH. Entenda o Teorema de Bayes (ótima explicação!). Didática Tech. 
Disponível em https://youtu.be/I643PqSrETM. Acesso em 12/07/2022. 
 
Pergunta 1: 
Quantas pessoas foram diagnosticadas com COVID? 
Resposta: 99 (erradas) + 9 = 108 
 
Pergunta 2: 
Das 108 pessoas diagnosticadas com COVID, quantas, de fato tinham COVID? 
Resposta: 9 
 
Pergunta 3: 
Qual a probabilidade, portanto, de ter COVID, dado que você foi diagnosticado com COVID? 
35 
Resposta: 9/108 = 0,0833 ou 8,33% 
 
Pelo teorema de Bayes... 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
 
P(A|B) = ter COVID (A) dado que teste positivo (B) 
P(B|A) = ter dado positivo (B) dado que tinha COVID (A) 
P(A) = ter COVID 
P(B|Ac) = ter dado positivo (B) dado que não tinha COVID (Ac) 
P(Ac) = não ter COVID 
 
P(A|B) = ??? 
P(B|A) = 0,9 (é a própria acurácia do teste) 
P(A) = 0,01 (é a probabilidade que se sabe que tem – a priori) 
P(B|Ac) = 0,1 (e o erro do teste) 
P(Ac) = 0,99 (é a probabilidade que se sabe que não tem – a priori) 
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
0,9 × 0,01
0,9 × 0,01 + 0,1 × 0,99
=
0,009
0,009 + 0,099
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
0,009
0,009 + 0,099
=
0,009
0,108
= 0,083 
 
Com base nestes conceitos, calcule: 
a. Qual a probabilidade de os diagnósticos serem positivos? (Use probabilidade total) 
𝑃𝑃(𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 +) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) 
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,01 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,01 = 0,99 
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,9 
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,9 = 0,1 
𝑃𝑃(𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 +) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) = 0,9 × 0,01 + 0,1 × 0,99 = 0,108 
Ou seja, a probabilidade de os diagnósticos serem positivos é de 10,8%. 
b. Qual a probabilidade de os diagnósticos serem negativos? (Use probabilidade total) 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 1 − 0,9 = 0,1 
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,01 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 − |𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,9, que 
nada mais é do que as chances de acertos (ora, se o teste acerta 90% das vezes, significa 
que ele acerta 90% dos casos que são COVID (P(B|A)) e 90% dos casos que não são 
COVID (P(Bc|Ac)). 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,01 = 0,99 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) = 0,1 × 0,01 + 0,9 × 0,99 = 0,892 
ou 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 −) = 1 − 𝑃𝑃(𝐵𝐵) = 1 − 0,108 = 0,892 
Ou seja, a probabilidade de os diagnósticos serem negativos é de 89,2%. 
c. Qual a probabilidade de ter COVID, tendo sido diagnosticado com COVID? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,9 
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,01 
36 
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,9 = 0,1 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,01 = 0,99 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
= 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
0,9 × 0,01
0,9 × 0,01 + 0,1 × 0,99
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
0,009
0,009 + 0,099
=
0,009
0,108
= 0,0833 
Ou seja, a probabilidade de ter COVID, tendo sido diagnosticado com COVID é de 8,33%. 
d. Qual a probabilidade de não ter COVID, tendo sido diagnosticado com COVID? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
 
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,9 = 0,1 
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,01 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,01 = 0,99 
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,9 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵) =
0,1 × 0,99
0,1 × 0,99 + 0,9 × 0,01
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵) =
0,099
0,099 + 0,009
=
0,099
0,108
= 0,9167 
ou 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) = 1 − 0,0833 = 0,9167 
Ou seja, a probabilidade de não ter COVID, tendo sido diagnosticado com COVID é de 
91,67%. 
e. Qual a probabilidade de não ter COVID, não tendo sido diagnosticado com COVID? 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵𝑐𝑐) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 − |𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,9 que 
nada mais é do que as chances de acerto (ora, se o teste acerta 90% das vezes, significa 
que ele acerta 90% dos casos que são COVID (P(B|A)) e 90% dos casos que não são 
COVID (P(Bc|Ac)). 
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,01 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,01 = 0,99 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 1 − 0,9 = 0,1 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵𝑐𝑐) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵𝑐𝑐) =
0,9 × 0,99
0,9 × 0,99 + 0,1 × 0,01
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵𝑐𝑐) =
0,891
0,891 + 0,001
=
0,891
0,892
= 0,9988 
Ou seja, a probabilidade de não ter COVID, não tendo sido diagnosticado com COVID é 
de 99,88%. 
f. Qual a probabilidade de ter COVID, não tendo sido diagnosticado com COVID? 
37 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵𝑐𝑐) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 1 − 0,9 = 0,1 
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,01 
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 1 − 0,01 = 0,99 
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 − |𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐺𝐺𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛 + |𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼) = 0,9, que 
nada mais é do que as chances de acerto (ora, se o teste acerta 90% das vezes, significa 
que ele acerta 90% dos casos que são COVID (P(B|A)) e 90% dos casos que não são 
COVID (P(Bc|Ac)). 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵𝑐𝑐) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵𝑐𝑐|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵𝑐𝑐) =
0,1 × 0,01
0,1 × 0,01 + 0,9 × 0,99
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵𝑐𝑐) =
0,001
0,001 + 0,891
=
0,001
0,892
= 0,0011 
ou 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵𝑐𝑐) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐|𝐵𝐵𝑐𝑐) = 1 − 09988 = 0,0011 
Ou seja, a probabilidade de ter COVID, não tendo sido diagnosticado com COVID é de 
0,11%. 
2. O que diferencia o Teorema de Bayes da probabilidade condicional? 
Teorema de Bayes 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
Probabilidade condicional 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
 
Inicialmente é preciso notar que ambos os teoremas buscam pela chance de ocorrer A dado 
que ocorreu B, ou seja, P(A|B). 
Na probabilidade condicional temos a probabilidade de ocorrência de B, ao passo que no 
teorema de Bayes, este valor não é diretamente conhecido, mas se sabe a probabilidade de 
ocorrência de B uma vez que ocorreu A e uma vez que ocorreu Ac, ou seja, em todas as 
possibilidades de A. Já na probabilidade condicional, além da probabilidade de ocorrência de 
B, também temos conhecimento da possibilidade de ocorrência de elementos comuns entre A 
e B – o que, naturalmente, não ocorre no teorema de Bayes. 
3. Um investidor deseja adquirir uma ação de uma empresa que está prestes a ser privatizada. 
Se, de fato, ela for privatizada, o investidor terá auferido ganhos. O primeiro passo para a 
privatização é o Conselho de Administração aprovar esta operação. Um insider sabe que 70% 
dos conselheiros irão votar pela privatização. Se este investidor tiver acesso a esta informação, 
qual será a chance de ele obter ganhos? É importante destacar que se trata tão somente de 
um exercício. O uso indevido de informações privilegiadas foi criminalizado em 2001, com a 
alteração da Lei de Mercado de Capitais (Lei 6.385/1976). O artigo 27-D, atualizado em 2017, 
preceitua que utilizar informação privilegiada relevante e ainda não divulgada no mercado para 
propiciar vantagem indevida, para si ou para outrem, sujeita o agente à pena de reclusão e 
multa. 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
 
P(A) = P(ganhos) = 0,5 (possibilidade de ganho sem a informação privilegiada) 
P(Ac) = P(prejuízos) = 1 – 0,5 = 0,5 (possibilidade de perda sem informação privilegiada) 
P(B|A) = P(previsão de ganhos | ganhos) = 0,7 
38 
P(B|Ac) = P(previsão de ganhos | prejuízos) = 1 – 0,7 = 0,3 
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
=
0,7 × 0,5
0,7 × 0,5 + 0,3 × 0,5
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
0,35
0,35 + 0,15
=
0,35
0,5
= 0,7 
Ou seja, com a informação do insider, a chance de o investidor obter lucro aumenta para 70%. 
4. Um contador de um banco está conferindo o lançamento de notas em um determinado mês. O 
relatório que ele utiliza como base pode apresentar erros de lançamento ou a nota não ter sido 
lançada. Se constatar erros de lançamento, o serviço de conferência não precisa ser 
interrompido, mas se alguma nota não tiver sido lançada, então o serviço é interrompido até 
que a situação seja regularizada. A chance de o relatório apresentar erros de lançamento é de 
20%. Já a chance de não ter notas lançadas é de 15% se não houve erros de lançamento 
anteriores, e de 25% se houver erros de lançamento precedentes. Com base nestas 
informações, calcule: 
a. Qual a probabilidade de se interromper a conferência? (Probabilidade total) 
Note que a interrupção da conferência se dá qual uma nota não foi lançada. Assim sendo: 
 
EL = Erros de lançamento 
NNL = Notas não lançadas 
P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|Ac) × P(Ac) 
∴ 
P(NNL) = P(NNL|EL) × P(EL) + P(NNL|ELc) × P(ELc) 
 
P(EL) = 0,2 
P(ELc) = 1 – P(EL) = 1 – 0,2 = 0,8 
P(NNL|ELc) = 0,15 
P(NNL|EL) = 0,25 
 
P(NNL) = P(NNL|EL) × P(EL) + P(NNL|ELc) × P(ELc) 
P(NNL) = 0,25 × 0,2 + 0,15 × 0,8 = 0,05 + 0,12 = 0,17 
Ou seja, a chance de o processo de conferência ser interrompido (ou encontrar uma nota 
não lançada) é de 17%. 
 
b. Se a conferência foi interrompida, qual a chance de ter sido por erros de lançamento? 
Ou seja, se a interrupção da conferência se dá quando uma nota não foi lançada, deseja-
se saber a chance de haver erros de lançamento, dado que uma nota não foi lançada. 
Assim sendo: 
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
∴ 
EL = Erros de lançamento 
NNL = Notas não lançadas 
P(EL) = 0,2 
P(ELc) = 1 – P(EL) = 1 – 0,2 = 0,8 
P(NNL|ELc) = 0,15 
P(NNL|EL) = 0,25 
39 
𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸|𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸) =
𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸|𝐸𝐸𝐸𝐸) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸)
𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸|𝐸𝐸𝐸𝐸) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸) + 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸|𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐)
 
𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸|𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸) =
0,25 × 0,2
0,25 × 0,2 + 0,15 × 0,8
=
0,05
0,05 + 0,12
=
0,05
0,17
= 0,2941 
ou seja, 29,41%. 
c. Qual é a probabilidade de que não tenha havido erros de lançamentos em determinado dia 
dado que houve interrupção do processo de conferência? 
Ou seja, se a interrupção da conferência se dá quando uma nota não foi lançada, deseja-
se saber a chance de não haver erros de lançamento, dado que houve problemas de 
notas não lançadas. Assim sendo: 
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
∴ 
EL = Erros de lançamento 
NNL = Notas não lançadas 
P(EL) = 0,2 
P(ELc) = 1 – P(EL) = 1 – 0,2 = 0,8 
P(NNL|ELc) = 0,15 
P(NNL|EL) = 0,25 
𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐|𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸) =
𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸|𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐)
𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸|𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐) + 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸|𝐸𝐸𝐸𝐸) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸)
 
𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐|𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸) =
0,15 × 0,8
0,15 × 0,8 + 0,25 × 0,2
=
0,12
0,12 + 0,05
=
0,12
0,17
= 0,7059 
ou seja, 70,59%. 
d. Qual é a probabilidade de probabilidade de ter havido erros de lançamentos dado que não 
houve interrupção da conferência? 
Ou seja, se a interrupção da conferência se dá quando uma nota não foi lançada, deseja-
se saber a chance de ter havido erros de lançamento, dado que não houve problemas de 
notas não lançadas. Assim sendo: 
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑐𝑐)
 
∴ 
EL = Erros de lançamento 
NNL = Notas não lançadas 
P(EL) = 0,2 
P(ELc) = 1 – P(EL) = 1 – 0,2 = 0,8 
P(NNL|ELc) = 0,15 
P(NNL|EL) = 0,25 
P(NNLc|EL) = 1 – P(NNL|EL) = 1 – 0,25 = 0,75 
P(NNLc|ELc) = 1 – P(NNL|ELc) = 1 – 0,15 = 0,85 
 
𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸|𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸𝑐𝑐) =
𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸𝑐𝑐|𝐸𝐸𝐸𝐸) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸)
𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸𝑐𝑐|𝐸𝐸𝐸𝐸) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸) + 𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸|𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐) × 𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐)
 
𝑃𝑃(𝐸𝐸𝐸𝐸|𝑁𝑁𝑁𝑁𝐸𝐸𝑐𝑐) =
0,75 × 0,2
0,75 × 0,2 + 0,85 × 0,8
=
0,15
0,15 + 0,68
=
0,15
0,83
= 0,187 
ou seja, 18,7%. 
e. Qual é a probabilidade de probabilidade de não ter havido erros de lançamentos dado que 
não houve interrupção da conferência? 
40 
Ou seja, se a interrupção da conferência se dá quando uma nota não foi lançada, deseja-
se saber a chance de não ter havido erros de lançamento, dado que não houve problemas 
de notas não lançadas. Assim sendo: 
 
𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) =
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐴𝐴)