Álgebra Linear e Geometria

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LISTA 2 
 
Prof. Rafael Farias 19/06/23 
Data de entrega: 27/06/23 
 
01. Seja 𝑇𝑇: ℝ2 → ℝ3 a transformação linear dada por 
 
𝑇𝑇 �
𝑥𝑥
𝑦𝑦� = �
𝑦𝑦
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
�. 
 
Encontre a matriz de 𝑇𝑇 em relação às bases {𝑢𝑢�⃗ 1, 𝑢𝑢�⃗ 2} e �𝑏𝑏�⃗ 1, 𝑏𝑏�⃗ 2, 𝑏𝑏�⃗ 3�, onde 
 
𝑢𝑢�⃗ 1 = �3
1� , 𝑢𝑢�⃗ 2 = �1
2�, 
𝑏𝑏�⃗ 1 = �
1
0
0
� , 𝑏𝑏�⃗ 2 = �
1
1
0
� , 𝑏𝑏�⃗ 3 = �
1
1
1
�. 
 
02. Seja 𝑇𝑇: ℝ3 → ℝ3 o operador linear dado por 𝑇𝑇(�⃗�𝑥) = 𝐴𝐴 ⋅ �⃗�𝑥, onde 
 
𝐴𝐴 = �
2 2 0
1 1 2
1 1 2
�. 
 
Seja 𝐸𝐸 = �𝑏𝑏�⃗ 1, 𝑏𝑏�⃗ 2, 𝑏𝑏�⃗ 3� base de ℝ3, onde 
 
𝑏𝑏�⃗ 1 = �
1
−1
0
� , 𝑏𝑏�⃗ 2 = �
−2
1
1
� , 𝑏𝑏�⃗ 3 = �
1
1
1
�. 
 
(a) Encontre a matriz 𝑆𝑆 de transição de base, da base canônica para a base 𝐸𝐸. 
 
(b) Encontre a matriz 𝑆𝑆−1 de transição de base, da base 𝐸𝐸 para a base canônica. 
 
(c) Encontre a matriz de 𝑇𝑇 em relação à base 𝐸𝐸. 
 
03. Responda os itens a seguir justi�icando sua resposta. 
(a) Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores �⃗�𝑥 = �
1
2
0
� e �⃗�𝑦 = �
0
1
−1
�. 
(b) Demonstre a Lei dos Cossenos usando produto escalar. 
 
04. Determine o ponto da reta {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2; 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0} que está mais próximo do ponto �1
1�. 
 
05. Seja 𝜋𝜋 o plano que passa pelo ponto �
−1
0
3
� e é normal ao vetor 𝑛𝑛�⃗ = �
1
−1
1
�. 
 
(a) Encontre a equação do plano 𝜋𝜋. 
 
(b) a Veri�ique se o ponto �
0
0
2
� pertence a 𝜋𝜋. 
(c) Encontre o ponto do plano 𝜋𝜋 mais próximo ao ponto �
1
1
1
�.