21 - escoamento interno - temperatura de mistura

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ESTO016-17
Fenômenos de transporte
Profa. Dra. Juliana M. Prado
CECS/UFABC
juliana.prado@ufabc.edu.br
mailto:juliana.prado@ufabc.edu.br
Escoamento interno
Transferência de calor em dutos
Aquecimento de fluido em uma tubulação
• Em aquecimento ou resfriamento de fluido em uma tubulação (escoamento 
interno)
– Calor é transferido ao fluido ao longo da tubulação
– Temperatura do fluido varia radialmente e axialmente ao longo da tubulação
Temperatura de referência
• Em escoamento externo o fluxo de calor ( 𝑞" = 𝑄/𝐴𝑠) é determinado por meio 
da diferença entre 2 temperaturas (ex: Tparede e Tfluido externo)
• Em escoamento interno (confinado) é necessário cuidado especial para 
estabelecer a temperatura de referência
– Visto que T varia radialmene e axialmente
Balanço de energia
Escoamento com troca de 
calor através de duto
Classificação: sistema aberto 
(volume de controle), 
processo contínuo, regime 
permanente
Considerações:
• Sem trabalho de eixo
• Limites rígidos
• Sem variações 
significativas de energia 
cinética e potencial
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= 𝑀𝑒 − 𝑀𝑠
regime permanente
 𝑀𝑒 = 𝑀𝑠 = 𝑀
Balanço de energia
Escoamento com troca de 
calor através de duto
Classificação: sistema aberto 
(volume de controle), 
processo contínuo, regime 
permanente
Considerações:
• Sem trabalho de eixo
• Limites rígidos
• Sem variações 
significativas de energia 
cinética e potencial
𝑑 𝑈 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃
𝑑𝑡
= 𝑄 + 𝑊𝑆 − 𝑃
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+ 𝑀𝑒 𝐻 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 𝑒 − 
 𝑀𝑠 𝐻 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 𝑠
regime permanente limites rígidos
sem trabalho de eixo
sem variação
 𝑄 = 𝑀𝑠 𝐻𝑠 − 𝑀𝑒 𝐻𝑒
 𝑀𝑒 = 𝑀𝑠 = 𝑀
 𝑄 = 𝑀 𝐻𝑠 − 𝐻𝑒
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
Cálculo da entalpia
• Tanto para a entrada quanto para a saída 
existe um perfil radial de velocidades e de 
temperaturas, que realizam o transporte de 
entalpia conjuntamente
• Em dado ponto axial do duto (área da seção 
transversal infinitesimal)
𝑑 𝑀 𝐻 𝑟 = 𝜌 × 𝑣 𝑟 × 𝑑𝐴𝑡 × 𝐶𝑃 × 𝑇 𝑟
𝑣 𝑟 = velocidade (função do raio)
𝐴𝑡 = área da seção transversal
𝑇 𝑟 = temperatura local (função do raio)
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
x
Cálculo da entalpia
𝑑 𝑀 𝐻 𝑟 = 𝜌 × 𝑣 𝑟 × 𝑑𝐴𝑡 × 𝐶𝑃 × 𝑇 𝑟
𝐴𝑡 = 𝜋𝑟
2 ⇒ 𝑑𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑑 𝑀 𝐻 𝑟 = 2𝜋𝜌𝐶𝑃 × 𝑣 𝑟 × 𝑇 𝑟 × 𝑟𝑑𝑟
• Entalpia na entrada ou saída (ponto axial 
fixo)
 𝑀 𝐻 = 
0
𝑅
2𝜋𝜌𝐶𝑃 × 𝑣 𝑟 × 𝑇 𝑟 × 𝑟𝑑𝑟
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
x
Cálculo da entalpia
 𝑀 𝐻 = 
0
𝑅
2𝜋𝜌𝐶𝑃 × 𝑣 𝑟 × 𝑇 𝑟 × 𝑟𝑑𝑟
• Representamos ( 𝐻) pelo produto entre 𝐶𝑃
e uma temperatura de mistura (𝑇𝑚)
 𝑀 𝐻 = 𝑀𝐶𝑃𝑇𝑚
𝑇𝑚 =
 𝑀 𝐻
 𝑀𝐶𝑃
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
x
Cálculo da entalpia
• Substituindo uma equação na outra 
 𝑀 𝐻 = 
0
𝑅
2𝜋𝜌𝐶𝑃 × 𝑣 𝑟 × 𝑇 𝑟 × 𝑟𝑑𝑟
𝑇𝑚 =
 𝑀 𝐻
 𝑀𝐶𝑃
𝑇𝑚 =
 0
𝑅
2𝜋𝜌𝐶𝑃 × 𝑣 𝑟 × 𝑇 𝑟 × 𝑟𝑑𝑟
 𝑀𝐶𝑃
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
x
Temperatura de mistura
𝑇𝑚 =
 0
𝑅
2𝜋𝜌𝐶𝑃 × 𝑣 𝑟 × 𝑇 𝑟 × 𝑟𝑑𝑟
 𝑀𝐶𝑃
• Equivale a T obtida retirando uma amostra 
de fluido em toda a seção transversal do 
duto e misturando
• Conveniente pois (𝐶𝑃𝑇𝑚) representa ( 𝐻) na 
seção transversal do duto
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
x
Temperatura de mistura
𝑇𝑚 =
 0
𝑅
2𝜋𝜌𝐶𝑃 × 𝑣 𝑟 × 𝑇 𝑟 × 𝑟𝑑𝑟
 𝑀𝐶𝑃
• Substituindo 𝑇𝑚 no BE
 𝑄 = 𝑀 𝐻𝑠 − 𝐻𝑒
 𝑄 = 𝑀𝐶𝑃 𝑇𝑚,𝑠 − 𝑇𝑚,𝑒
𝑇𝑚 = temperatura de referência
– Aquecimento: 𝑇𝑚 aumenta ao longo de x
– Resfriamento: 𝑇𝑚 diminui ao longo de x
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
x
Coeficiente local de 
transferência de calor (ℎ𝑥)
• Coeficiente local de transferência de calor 
por convecção (ℎ𝑥): definido em função da 
temperatura de referência (𝑇𝑚) e da 
temperatura da parede (𝑇𝑝) pela Lei do 
Resfriamento de Newton
 𝑞" = ℎ𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑚
ℎ𝑥 =
 𝑞"
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
x
Balanço de energia
• Voltando ao BE aplicado a volume de 
controle de espessura Δx
 𝑄 = 𝑀 𝐻𝑠 − 𝐻𝑒
 𝑀 𝐻𝑒 = 𝜌 𝑣𝐴𝑡 𝐶𝑃𝑇𝑚,𝑒
 𝑀 𝐻𝑠 = 𝑀 𝐻𝑒 + 𝜌 𝑣𝐴𝑡 𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
∆𝑥
 𝑄 = 𝜌 𝑣𝐴𝑡 𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
∆𝑥
• Da definição de fluxo de calor
 𝑞" = 𝑄/𝐴𝑠
 𝑄 = 𝑞"𝑃∆𝑥
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠x
Balanço de energia
• Igualando as equações
 𝑄 = 𝜌 𝑣𝐴𝑡 𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
∆𝑥
 𝑄 = 𝑞"𝑃∆𝑥
𝜌 𝑣𝐴𝑡 𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
∆𝑥 = 𝑞"𝑃∆𝑥
𝜌 𝑣𝐴𝑡 𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
= 𝑞"𝑃
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠
 𝑀𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
= 𝑞"𝑃
x
Balanço de energia ( 𝑞" constante)
 𝑀𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
= 𝑞"𝑃
• Para fluxo de calor ( 𝑞") constante
 𝑀𝐶𝑃 
𝑇𝑚,𝑒
𝑇𝑚,𝑥
𝑑𝑇𝑚 = 𝑞"𝑃 
0
𝑥
𝑑𝑥
𝑇𝑚,𝑥 =
 𝑞"𝑃𝑥
 𝑀𝐶𝑃
+ 𝑇𝑚,𝑒 =
 𝑞"𝐴𝑠
 𝑀𝐶𝑃
+ 𝑇𝑚,𝑒
• T varia linearmente com x
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠x
Balanço de energia ( 𝑞" constante)
• T varia linearmente com x
• Tp sempre aumenta e pode ser calculada
 𝑞" = ℎ𝑥 𝑇𝑝 − 𝑇𝑚
𝑇𝑝 =
 𝑞"
ℎ𝑥
+ 𝑇𝑚,𝑥
• Observação: para escoamento 
desenvolvido, h é constante e 𝑇𝑝 possui a 
mesma inclinação de 𝑇𝑚
 𝑄
 𝑀𝑒 𝑀𝑠x
Balanço de energia (𝑇𝑝 constante)
 𝑀𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
= 𝑞"𝑃
• Para temperatura de parede (𝑇𝑝) constante 
não é possível integrar diretamente a 
equação do BE
• Assumimos um valor de coeficiente 
convectivo de transferência de calor médio 
( ℎ)
 𝑞" = ℎ 𝑇𝑝 − 𝑇𝑚
 𝑀𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
= ℎ 𝑇𝑝 − 𝑇𝑚 𝑃
𝑇𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
 𝑀𝑒 𝑀𝑠x
Balanço de energia (𝑇𝑝 constante)
 𝑀𝐶𝑃
𝑑𝑇𝑚
𝑑𝑥
= ℎ 𝑇𝑝 − 𝑇𝑚 𝑃
 𝑀𝐶𝑃 
𝑇𝑚,𝑒
𝑇𝑚,𝑥 𝑑𝑇𝑚
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚
= ℎ𝑃 
0
𝑥
𝑑𝑥
ln
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑥
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑒
= −
 ℎ𝑃𝑥
 𝑀𝐶𝑃
• Para x = L (comprimento total do tubo)
ln
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑠
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑒
= −
 ℎ𝐴𝑠
 𝑀𝐶𝑃
𝑇𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
 𝑀𝑒 𝑀𝑠x
𝐴𝑠 = 𝑃𝐿
(área superficial de 
transferência de calor)
Exemplo 1
Água escoa através de um duto aquecido de 3 cm de diâmetro com velocidade 
média de 1 m/s. A temperatura de mistura da água na entrada da seção de 
aquecimento é igual a 18 °C. São transferidos 20 kW de potência para a água. 
Calcule a temperatura de mistura da água no ponto em que ela deixa o tubo. 
Despreze variações de energia cinética e potencial.
Exemplo 1
Água escoa através de um duto aquecido de 3 cm de diâmetro com velocidade 
média de 1 m/s. A temperatura de mistura da água na entrada da seção de 
aquecimento é igual a 18 °C. São transferidos 20 kW de potência para a água. 
Calcule a temperatura de mistura da água no ponto em que ela deixa o tubo. 
Despreze variações de energia cinética e potencial.
3 cm𝑇𝑚,𝑒 = 18℃ 𝑇𝑚,𝑠 =?
 𝑄 = 20 𝑘𝑊
 𝑣 = 1 𝑚/𝑠
Exemplo 1
Propriedades avaliadas na temperatura 
média de mistura
Supondo 𝑇𝑚,𝑠 = 25℃
𝑇𝑝𝑟𝑜𝑝 =
𝑇𝑚,𝑒 + 𝑇𝑚,𝑠
2
𝑇𝑝𝑟𝑜𝑝 =
18 + 25
2
= 21,5℃ =
= 294,65 𝐾~295𝐾
3 cm𝑇𝑚,𝑒 = 18℃ 𝑇𝑚,𝑠 =?
 𝑄 = 20 𝑘𝑊
 𝑣 = 1 𝑚/𝑠
Exemplo 1
Processo a 𝑞" constante
𝑇𝑚,𝑥 =
 𝑞"𝐴𝑠
 𝑀𝐶𝑃
+ 𝑇𝑚,𝑒
Sabendo que 𝑄 = 𝑞"𝐴𝑠
𝑇𝑚,𝑠 =
 𝑄
 𝑀𝐶𝑃
+ 𝑇𝑚,𝑒
 𝑀 = 𝜌𝑣𝐴𝑡
 𝑀 = 998 × 1 × 3,1416 × 0,0152
 𝑀 = 0,705 𝑘𝑔/𝑠
3 cm𝑇𝑚,𝑒 = 18℃ 𝑇𝑚,𝑠 =?
 𝑄 = 20 𝑘𝑊
 𝑣 = 1 𝑚/𝑠
Exemplo 1
𝑇𝑚,𝑠 =
 𝑄
 𝑀𝐶𝑃
+ 𝑇𝑚,𝑒
𝑇𝑚,𝑠 =
20
0,705 × 4,181
+ 18
𝑇𝑚,𝑠 = 24,78℃
 𝑀 = 0,705 𝑘𝑔/𝑠
𝑇𝑚,𝑠~ T do chute inicial (25 °C)
OK
3 cm𝑇𝑚,𝑒 = 18℃ 𝑇𝑚,𝑠 =?
 𝑄 = 20 𝑘𝑊
 𝑣 = 1 𝑚/𝑠
Exemplo 2
Ar entra em duto circular de 3 cm de diâmetro com velocidade média de 20 m/s. A 
superfície do duto está a temperatura uniforme de 80 °C e a temperatura de 
mistura do ar que entra no duto é de 15 °C. Determine o comprimento do duto 
necessário para obter temperatura de saída de 35 °C. O coeficiente médio de 
transferência de calor por convecção é igual a 80 W/m2.°C.
Exemplo 2
Ar entra em duto circular de 3 cm de diâmetro com velocidade média de 20 m/s. A 
superfície do duto está a temperatura uniforme de 80 °C e a temperatura de 
mistura do ar que entra no duto é de 15 °C. Determine o comprimento do duto 
necessário para obter temperatura de saída de 35 °C. O coeficiente médio de 
transferência de calor por convecção é igual a 80 W/m2.°C.
3 cm
𝑇𝑚,𝑒 = 15℃𝑣𝑒 = 20 𝑚/𝑠
𝑇𝑚,𝑠 = 35℃
 ℎ = 80
𝑊
𝑚2. ℃
𝑇𝑝 = 80℃
𝐿 =?
Exemplo 2
Propriedades avaliadas na temperatura 
média de mistura
𝑇𝑝𝑟𝑜𝑝 =
𝑇𝑚,𝑒 + 𝑇𝑚,𝑠
2
𝑇𝑝𝑟𝑜𝑝 =
15 + 35
2
= 25℃ = 298,15 𝐾
T (K)
ρ 
(kg/m3)
CP
(kJ/kg.K)
μ × 107
(N.s/m2)
ν × 106
(m2/s)
k × 103
(W/m.K)
α × 106
(m2/s)
Pr
250 1,3947 1,006 159,6 11,44 22,3 15,9 0,72
298,15 1,1700 1,007 183,7 15,73 26,2 22,3 0,707
300 1,1614 1,007 184,6 15,89 26,3 22,5 0,707
3 cm
𝑇𝑚,𝑒 = 15℃
 𝑣𝑒 = 20 𝑚/𝑠
𝑇𝑚,𝑠 = 35℃
 ℎ = 80
𝑊
𝑚2. ℃
𝑇𝑝 = 80℃
𝐿 =?
Exemplo 2
Problema de 𝑇𝑝 constante para comprimento do 
duto total
ln
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑠
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑒
= −
 ℎ𝐴𝑠
 𝑀𝐶𝑃
ln
80 − 35
80 − 15
= −
80 × 2 × 3,1416 × 0,015 × 𝐿
0,017 × 1007
𝐿 = 0,81 𝑚
3 cm
𝑇𝑚,𝑒 = 15℃
 𝑣𝑒 = 20 𝑚/𝑠
𝑇𝑚,𝑠 = 35℃
 ℎ = 80
𝑊
𝑚2. ℃
𝑇𝑝 = 80℃
T (K)
ρ 
(kg/m3)
CP
(kJ/kg.K)
μ × 107
(N.s/m2)
ν × 106
(m2/s)
k × 103
(W/m.K)
α × 106
(m2/s)
Pr
250 1,3947 1,006 159,6 11,44 22,3 15,9 0,72
298,15 1,1700 1,007 183,7 15,73 26,2 22,3 0,707
300 1,1614 1,007 184,6 15,89 26,3 22,5 0,707
 𝑀 = 𝜌 𝑣𝐴𝑡
 𝑀 = 1,17 × 20 × 3,1416 × 0,0152
 𝑀 = 0,017 𝑘𝑔/𝑠
𝐿 =?
Exemplo 3
Ar a 20 °C entra em duto retangular de 10 cm × 5 cm × 10 m de comprimento. A 
temperatura de mistura do ar que deixa o duto é de 35 °C. A velocidade média do 
ar é de 20 m/s e as paredes internas do duto são mantidas a 76 °C. Determine: i) a 
taxa de transferência de calor do ar; ii) o coeficiente médio de transferência de 
calor.
Exemplo 3
Ar a 20 °C entra em duto retangular de 10 cm × 5 cm × 10 m de comprimento. A 
temperatura de mistura do ar que deixa o duto é de 35 °C. A velocidade média do 
ar é de 20 m/s e as paredes internas do duto são mantidas a 76 °C. Determine: i) a 
taxa de transferência de calor do ar; ii) o coeficiente médio de transferência de 
calor.
10 m
5 cm
10 cm
𝑇𝑝 = 76℃
𝑇𝑚,𝑒 = 20℃ 𝑇𝑚,𝑠 = 35℃
 𝑣 = 20𝑚/𝑠
 𝑄 =?
 ℎ =?
Exemplo 3
Propriedades avaliadas na temperatura 
média de mistura
𝑇𝑝𝑟𝑜𝑝 =
𝑇𝑚,𝑒 + 𝑇𝑚,𝑠
2
𝑇𝑝𝑟𝑜𝑝 =
20 + 35
2
= 27,5℃ =
= 300,65 𝐾~300 𝐾
10 m
5 cm
10 cm
𝑇𝑝 = 76℃
𝑇𝑚,𝑒 = 20℃ 𝑇𝑚,𝑠 = 35℃
 𝑣 = 20𝑚/𝑠
 𝑄 =?
 ℎ =?
Exemplo 3
10 m
5 cm
10 cm
𝑇𝑝 = 76℃
𝑇𝑚,𝑒 = 20℃ 𝑇𝑚,𝑠 = 35℃
 𝑣 = 20𝑚/𝑠
Cálculo de 𝑄
 𝑄 = 𝑀𝐶𝑃 𝑇𝑚,𝑠 − 𝑇𝑚,𝑒
 𝑄 = 𝜌 𝑣𝐴𝑡 𝐶𝑃 𝑇𝑚,𝑠 − 𝑇𝑚,𝑒
 𝑄 = 0,116 × 1007 × 35 − 20
 𝑄 = 1754,3 𝑊 𝑀 = 𝜌 𝑣𝐴𝑡
 𝑀 = 1,1614 × 20 × 0,05 × 0,1
 𝑀 = 0,116 𝑘𝑔/𝑠
 𝑄 =?
 ℎ =?
Exemplo 3
10 m
5 cm
10 cm
𝑇𝑝 = 76℃
𝑇𝑚,𝑒 = 20℃ 𝑇𝑚,𝑠 = 35℃
 𝑣 = 20𝑚/𝑠
Cálculo de ℎ (problema de 𝑇𝑝 constante para 
comprimento do duto total)
ln
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑠
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑒
= −
 ℎ𝐴𝑠
 𝑀𝐶𝑃
ln
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑠
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑒
= −
 ℎ𝑃𝐿
 𝑀𝐶𝑃
𝑃 = 2 × 0,05 + 2 × 0,1 = 0,3 𝑚
 𝑀 = 0,116 𝑘𝑔/𝑠
 𝑄 = 1754,3 𝑊
𝑃 = 0,3 𝑚
 𝑄 =?
 ℎ =?
Exemplo 3
10 m
5 cm
10 cm
𝑇𝑝 = 76℃
𝑇𝑚,𝑒 = 20℃ 𝑇𝑚,𝑠 = 35℃
 𝑣 = 20𝑚/𝑠
Cálculo de ℎ (problema de 𝑇𝑝 constante para 
comprimento do duto total)
ln
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑠
𝑇𝑝 − 𝑇𝑚,𝑒
= −
 ℎ𝑃𝐿
 𝑀𝐶𝑃
ln
76 − 35
76 − 20
= −
 ℎ × 0,3 × 10
0116 × 1007
 ℎ =
12,2 𝑊
𝑚2. ℃
 𝑀 = 0,116 𝑘𝑔/𝑠
 𝑄 = 1754,3 𝑊
𝑃 = 0,3 𝑚
 𝑄 =?
 ℎ =?