Versão para impressão - TESTES DE ESPECIFICAÇÃO E AJUSTES NO MODELO

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TESTES DE
ESPECIFICAÇÃO E
AJUSTES NO
MODELO
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Apresentação 
Olá, seja muito bem-vindo(a)!
O referencial de estudo, desta unidade, continua sobre a análise de regressão linear múltipla,
porém o embasamento serão os testes de inferência. Ao elaborar um modelo econométrico
que apresenta relação causal entre as suas variáveis e em seguida estimar os parâmetros
com os dados disponíveis, faz-se necessário avaliar se o que foi feito possui importância ou
significância na estatística. Isto é, faz-se necessária a realização de testes para averiguar a
consistência do modelo e dos resultados alcançados.
Sendo assim, é possivel retomar os testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo de
regressão. Para tanto, o objetivo é conhecer a distribuição amostral utilizada pelo método
dos mínimos quadrados ordinários para entender seu valor esperado e sua variância. Em
seguida, serão definidos os intervalos de confiança utilizados nos testes e como são
estabelecidas as hipóteses. Por fim, cabe evidenciar que os conhecimentos adquiridos
serão necessários para entender e aplicar dois principais testes: o teste t e o teste F.
Bons estudos!
Objetivos
Apresentar a distribuição amostral geralmente utilizada pelos estimadores de Mínimos
Quadrados Ordinários.
Definir e entender como são realizados os intervalos de confiança e os testes de
hipóteses.
Compreender o teste t e sua utilização.
Compreender o teste F e sua utilização.
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Desafio 
Para testar hipóteses usando a abordagem clássica, faz-se necessário primeiro formular a
hipótese alternativa, em seguida, escolher o nível de significância que determina o valor
crítico e com esse valor identificado compara-se com o valor da estatística t, assim, a
hipótese nula será rejeitada ou não dado o nível de significância.
Diante do exposto, quais dos seguintes itens pode fazer com que a estatística t de MQO não
seja válida:
1. Omitir uma variável explicativa importantes.
2. Heterocedasticidade.
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Conteúdo 
Distribuição amostral dos estimadores de MQO
As distribuições amostrais dos estimadores de MQO dependem da distribuição do termo de
erro. Para obter a distribuição amostral dos estimadores ( ), adota-se que o erro não
observado é normalmente distribuído na população. Esta seria a hipótese 6, chamada de
hipóteses da normalidade.
As 5 hipóteses definidas, anteriormente, acrescidas à hipótese 6 são conhecidas como
Hipóteses do Modelo Linear Clássico (MLC) ou hipótese de Gauss – Markov, hipótese do
termo de erro normalmente distribuído. As hipóteses de MLC podem ser representadas da
seguinte forma:
Justifica-se a distribuição normal do erro porque u é a soma de muitos fatores diferentes
não observados que afetam y de modo que, a partir do teorema central do limite, é possível
dizer que u tem distribuição normal.
O teorema central do limite descreve a distribuição da média de uma amostra aleatória de
uma população com variância finita. Quando o tamanho amostral é suficientemente grande,
a distribuição da média é aproximadamente normal.
Embora a hipótese de normalidade seja fortemente criticada pela literatura da área, é
preciso adotá-la como referência, visto que a não normalidade dos erros não é um problema
sério para amostras de tamanhos grandes. Portanto, a normalidade do termo de erro resulta
na distribuição normal amostral dos estimadores de MQO:
No qual a  é expressa por:
Sobre essa variância é importante dizer que ao padronizar uma variável aleatória normal ao
subtrair sua média e em seguida dividi-la pelo seu desvio padrão (dp), resulta numa variável
aleatória normal padronizada. Sendo assim, sob a hipótese 6, os erros são variáveis
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aleatórias independentes e identicamente distribuídas com normal (0, ).
Se admitir que u se distribui normalmente, os estimadores de MQO e Máxima
Verossimilhança serão idênticos. Ao comparar os dois estimadores de , percebe-se que
conforme cresce o tamanho da amostra, os dois estimadores de  tendem a se igualar.
O método dos mínimos quadrados ordinários junto à hipótese de normalidade de u
apresentam como ferramentas necessárias para realizar as estimativas e os testes de
hipóteses dos modelos de regressão linear.
Intervalos de confiança e Testes de hipóteses
Intervalos de confiança, para um parâmetro populacional (βj), são construídos sob as
hipóteses do modelo linear clássico. Utilizando o fato de que possui distribuição t com n - k
– 1 graus de liberdade:
De forma que o intervalo de confiança de é dado por:
Na qual ep significa o erro padrão. Se as amostras aleatórias fossem obtidas repetidas
vezes, então o valor populacional desconhecido  estaria dentro do intervalo em 95%.
Porém, para determinada amostra que se utiliza para construir o intervalo de confiança, não
é possível saber se  está realmente contido no intervalo.
Não se tem garantia, mas espera-se que a amostra obtida, seja uma das 95% de todas em
que a estimativa de intervalo contém . Um intervalo de confiança será tão bom quanto tão
boa forem as hipóteses feitas para construi-lo. Se forem omitidos fatores importantes que
são correlacionados às variáveis explicativas, então, as estimativas dos coeficientes não
serão confiáveis e podem estar viesados.
Nas aplicações, os testes são normalmente realizados com mais de um parâmetro da
população. O problema central de um teste de hipótese estatístico é descobrir se uma dada
observação é compatível ou não com a inferência formulada. Isto é, se a observação é
suficientemente próxima do valor escolhido, por hipótese, para que a hipótese formulada
não seja rejeitada. Assim a teoria (ou até mesmo uma experiência anterior) pressupõe que o
verdadeiro coeficiente de inclinação do  , ou seja o   observado, obtido na amostra
trabalhada é consistente com a hipótese formulada, então, não descarta a hipótese, caso
contrário, pode-se rejeitá-la.
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A hipótese formulada, na linguagem estatística é, conhecida como nula, indicada pelo
símbolo . Ela é normalmente testada contra uma hipótese denominada alternativa,
representada por . A hipótese alternativa pode ser simples ou composta. A hipótese
alternativa simples especifica o valor, por exemplo :  , já a composta não especifica
o valor, por exemplo : .
A teoria do teste de hipótese tem como objetivo desenvolver regras ou procedimentos para
decidir se uma hipótese nula deve ser rejeitadaou não. Existem duas abordagens que se
complementam e delineiam essas regras, que são o intervalo de confiança e o teste de
significância. Elas pressupõem que a variável que está sendo analisada tenha alguma
distribuição de probabilidade e que o teste de hipóteses faça declarações ou afirmações
sobre os valores dos parâmetros dessa distribuição.
A maioria das hipóteses estatísticas fazem afirmações sobre um ou mais valores dos
parâmetros de alguma determinada distribuição de probabilidade, tais como t, F ou .
Teste t
Conforme estudos adquiridos, você já sabe que os  são características desconhecidas da
população e  impossíveis de  conhecê-los com segurança. Porém, é possível construir
hipóteses sobre os valores que  pode assumir e, em seguida, utilizar a inferência
estatística para testar as construídas. Sendo assim, o objetivo deste tópico é analisar como
testar hipóteses de um particular .
Para iniciar, considere o modelo populacional:
No qual, sob as hipóteses do Modelo Linear Clássico, a distribuição t para os estimadores
padronizados será dado por:
No qual k + 1 é o número de parâmetros desconhecidos do modelo populacional, ou seja, k
parâmetros mais o intercepto . A distribuição t da expressão é oriunda do fato de que a
constante σ em  foi substituída pela variável aleatória . Isso mostra que a equação
mencionada pode ser escrita como a razão da variável aleatória normal padronizada sobre a
raiz quadrada de . Nessa mesma equação o intuito é testar hipóteses que envolvam os .
Na maioria das aplicações da literatura da área, é importante testar a hipótese nula: = 
= 0. No qual o j representa qualquer uma das k variáveis explicativas. Como mede o efeito
parcial de uma determinada variável explicativa sobre a dependente, após controlar todas a
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outras variáveis explicativas, a hipótese nula significa que, uma vez considerada todas as
explicativas , a variável explicativa xj não tem nenhum efeito sobre o valor
esperado de y.
A estatística que usamos para testar a hipótese nula é denominada a estatística t ou a razão
t de é pode ser expressa como:
Para esclarecer, vaja o exemplo do formulador de política pública que avalia o efeito do nível
de educação dos indivíduos sobre o salário por hora, a partir do modelo de regressão:
A hipótese nula nesse caso é = = 0, ao considerar a educação e a experiência, a
quantidade de treinamento (Trei) não tem efeito nenhum sobre os salários dos indivíduos.
Se essa inferência for verdadeira, significa que a realização de treinamentos não tem efeito
nenhum sobre os salários. Mas, se > 0, as horas de treinamento contribuem para a
produtividade e assim para os salários.
Cabe ressaltar que em qualquer aplicação relevante, a estimativa pontual de jamais será
exatamente igual a zero, sendo verdadeira ou não. O que se pode afirmar é que um valor
amostral de muito distante de zero gera evidência contra = = 0. Porém é importante
lembrar que existe um erro na estimativa de , sendo assim o tamanho de deve ser
ponderado pelo seu erro amostral.
Como o erro padrão de é uma estimativa do desvio padrão de , logo  mede quantos
desvios padrão estimados de  estão afastados de zero. É exatamente isso que é feito ao
testar se a média de uma população é zero usando a estatística t. Nesse sentido, é
importante lembrar que estão sendo realizados testes de hipóteses sobre parâmetros
populacionais e não sobre uma estimativa em particular. O que está sendo feito é um teste
se o valor populacional desconhecido β é zero.
Outro aspecto importante é que é comum testar a hipótese nula contra uma alternativa
bilateral, representada geralmente da seguinte forma:
: > 0 ou
: < 0 ou
: ≠ 0
: > 0 ou : < 0 são consideradas hipóteses alternativas unilaterais. Muitas vezes
com base na teoria econômica, são excluídos os valores populacionais de maiores (ou
menores) que zero. Dessa forma, é preciso procurar um valor positivo (ou negativo) afim de
rejeitar a hipótese nula em favor da alternativa que são exemplos de teste monocaudal.
1
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A hipótese alternativa : ≠ 0 é considerada uma alternativa bilateral. Sob essa hipótese,
as variáveis explicativas têm um efeito ceteris paribus (mantendo os demais constantes)
sobre y sem especificar se é positivo ou negativo. Quando a alternativa é bilateral, o
interesse é no valor absoluto da estatística t, desta forma,  a regra de rejeição para a
hipóteses nula contra essa alternativa seria . No qual  representa o valor absoluto
e c é um valor crítico apropriado escolhido.
O valor crítico escolhido na maioria das aplicações é o com nível de significância de 5%, que
corresponde ao 95º percentil de uma distribuição t com n – k – 1 graus de liberdade. Para
os casos de : ≠ 0 tem um teste bicaudal. Quando uma hipótese alternativa específica
não é formulada, considera-se geralmente que ela é bilateral.
Quando a hipótese nula é rejeitada em favor da alternativa no nível de 5%, é possível dizer
que a variável explicativa é estatisticamente significante. Se a hipótese nula não é rejeitada,
considere que a variável explicativa é estatisticamente não significante no nível de 5%.
De forma sucinta, para testar a hipóteses usando a abordagem clássica siga os passos:
formula a hipótese alternativa, escolhe o nível de significância que determina o valor crítico.
Com o valor crítico identificado, o valor da estatística t é comparado com o valor crítico, e a
hipótese nula será rejeitada ou não dado o nível de significância.
Teste F
Frequentemente faz-se necessário testar hipóteses múltiplas sobre os parâmetros de
determinado modelo . A ideia seria testar se um grupo de variáveis não tem
efeito sobre a variável dependente, de modo que a hipótese nula seria que um conjunto de
variáveis explicativas não tem efeito sobre a dependente.
Para entender o motivo de testar a significância de um grupo de variáveis, veja o exemplo do
formulador de política pública que quer avaliar o efeito do nível de educação dos indivíduos
sobre o salário:
Suponha testar a hipótese nula de que, uma vez tendo sido controlados anos de educação
(Edu) e tempo de experiência (Exp), as estatísticas que medem treinamento (Trei), educação
dos pais (EP) e números de irmãos (NI) não têm efeito sobre o salário dos indivíduos.
Sendo assim, em termos de parâmetros do modelo, a hipótese nula seria expressa da
seguinte forma:
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Como é possível observar, a hipótese nula constitui três restrições de exclusão, portanto se
ela for verdadeira, então horas de treinamento, educação dos pais e número de irmãos não
têm efeito sobre o salário do indivíduo, isso após educação e tempo de experiência terem
sido controlados. Esse é um exemplo de restrição múltipla, pois foi especificado mais de
uma restrição sobre o parâmetro. Para essa situação, um teste de restrições múltiplas é
conhecido como teste de hipóteses múltiplas ou conjuntas.
Para uma hipótese nula com várias restrições, a hipóteses alternativa pode ser
simplesmente: : não é verdadeira e se manterá caso um dos três parâmetros 
 seja diferente de zero. A hipótese alternativa também pode ser: 
, porém essa não é a melhor alternativa, visto que seriam
necessários testes separados.
O ideal é uma forma de testar as restrições de exclusão conjuntamente.  A estatística F é
definida da seguinte forma:
Onde é a adição dos quadrados dos resíduos do modelorestrito e é a soma dos
quadrados dos resíduos do modelo irrestrito. O modelo irrestrito é o modelo no qual as
variáveis da hipótese de restrição são excluídas, isto é, seria o modelo:
O modelo irrestrito seria o modelo original com todas as variáveis explicativas. Sendo assim,
ele sempre tem menos variáveis explicativas que o modelo irrestrito. Cabe ressaltar que,
conforme visto no modelo MQO, o SQR sempre aumenta quando variáveis explicativas são
tiradas do modelo, isso é um fato algébrico. Portanto, não pode ser maior que ,
logo a estatística F é sempre não negativa, assim, se o cálculo da estatística F resultar num
valor negativo, considere algum erro no cálculo.
Na formulação do teste F, o valor de q representa o número de restrições impostas ao
modelo irrestrito para ele se tornar restrito, isto é, o número de variáveis que foram retiradas
do modelo. O q pode ser representado da seguinte forma:
q = graus de liberdade do numerador = – 
Lembrando que gl (grau de liberdade) é o número de observações menos o número de
parâmetros estimados. Já o valor n - k – 1, é:
n – k - 1 = graus de liberdade do denominador = 
Para utilizar a estatística F, faz-se necessário conhecer sua distribuição amostral sob a
hipótese nula para então escolher os valores críticos e as regras de rejeição. F é distribuído
como uma variável aleatória F com q, n- k – 1 graus de liberdade, e pode ser expresso da
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seguinte forma:
Nessa conformidade, dada a definição de F, rejeita em favor de quando F for
suficientemente grande, lembrando que a grandeza depende do nível de significância
escolhido. Se for rejeitada, diz-se que são estatisticamente
significantes conjuntamente no nível de significância apropriado. Caso a hipótese nula não
seja rejeitada, as variáveis analisadas são conjuntamente não significantes, é uma
justificativa plausível para retirá-las do modelo.
Cumpre destacar que o teste F realizado sozinho não permite dizer quais das variáveis tem
efeito sobre a variável dependente: todas elas podem afetar y, ou então, apenas uma delas
pode ter efeito.
A estatística F utilizada para testar a exclusão de uma única variável é igual ao quadrado da
estatística t da variável correspondente. A estatística t, nesse caso, é considerada mais
flexível para testar uma única hipótese, porque ela pode ser utilizada para testar alternativas
unilaterais. A estatística t é mais fácil de ser obtida do que a estatística F. Assim, não há
razão para usar a estatística F um único parâmetro quando se tem a estatística t com mais
facilidade.
É possível que duas ou mais variáveis que têm, cada uma, estatísticas t não significantes
podem ser conjuntamente significantes. Também é possível que, em um grupo de muitas
variáveis explicativas, uma variável tenha uma estatística t significante, mas em conjunto,
essas variáveis não sejam significantes. Portanto, espera-se que a estatística F revele se
qualquer combinação de um conjunto de coeficientes é diferente de zero, mas ele nunca é o
melhor teste para dizer se um único coeficiente é diferente de zero.  O teste t é considerado
o mais apropriado para testar um única hipótese.
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Finalizando a Unidade 
Tendo como objetivo basilar os estudos dos testes de especificação e sua utilização
nos ajustes no modelo, foi apresentada a distribuição que geralmente é utilizada por
estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários. Isso é fundamental para entender
como os testes são aplicados às estimações.  Em seguida, foi apresentada a
definição dos intervalos de confiança para um parâmetro populacional e a aplicação
dos testes de hipóteses.
O primeiro teste apresentado foi o teste t, conforme as hipóteses do Modelo Linear
Clássico, a distribuição t para os estimadores padronizados, bem como a definição
das hipóteses nula e alternativa. O segundo teste apresentado foi o teste F que é de
significância conjunta. Ambos são significativos para a inferência estatística.
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Dica do Professor 
Faz-se oportuno, também, a leitura dos seguintes artigos científicos:
Importância da Estatística para o Processo de Conhecimento e Tomada de Decisão,
de Sérgio Aparecido Ignácio. Neste artigo, apresenta estudo sobre o surgimento e
papel adquirido pela estatística durante o século XX até os dias atuais, e ainda, a sua
importância no desempenho da empresa para redução de custos e maximização de
lucros.
Proposta de um teste de hipótese para a existência de dependência espacial em
dados geoestatísticos, dos autores Enio J. Seidel e Marcelo de Oliveira Silva. Neste
estudo, os autores criaram um teste de significância “para a hipótese nula de ausência
de dependência espacial, para uma melhor decisão sobre a existência ou não de
dependência em dados geoestatísticos”.
O papel do comitê de ética em pesquisa na avaliação de testes estatísticos, de
Wilson P. Spiandorello. De acordo com a literatura, este artigo revisa algumas
implicações éticas do uso de testes estatísticos e analisa suas consequências de
desvios sobre os resultados finais dos estudos, defendendo que os comitês devem
assumir responsabilidade quanto à adequação das análises estatísticas nos projetos
avaliados.
http://www.ipardes.gov.br/ojs/index.php/revistaparanaense/article/view/89
https://www.redalyc.org/pdf/3939/393933926002.pdf
https://www.redalyc.org/pdf/3615/361533266011.pdf
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Saiba Mais 
Para que seu estudo seja mais significativo, leia o artigo de Luiz Sergio Costa e Victor
Manoel Cunha de Almeida, “Valor da Marca: Teste Empírico da Importância das
Dimensões Formadoras do Valor da Marca na Perspectiva do Consumidor no Contexto
Brasileiro”. As dimensões formadoras do valor da marca na perspectiva do
consumidor são investigadas no contexto brasileiro, mediante o uso de alguns testes.
Assista ao vídeo “O que são Testes de Hipóteses | Para que servem os Testes de
Hipóteses” que apresenta uma visão prática, didática e rápida do teste de hipótese. 
Disponibilizado pelo Canal Professor Guru e tem livre acesso.
http://www.revistabrasileiramarketing.org/ojs-2.2.4/index.php/remark/article/view/2357/2096
https://www.youtube.com/watch?v=h4QcWDDlrW0
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Referências 
GUJARATI, D. N.; PORTER, D. C. Econometria básica. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
HOFFMANN, R. Análise de regressão: uma introdução à econometria. 4ª ed. SP:
Editora Hucitec, 2006.
WOOLDRIDGE, J. M. Introdução à Econometria: Uma Abordagem Moderna; SP:
Cengage Learning, 2014.