P2 - Fundamentos da Matemática

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UNEMAT – UNIVERIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CÂMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACET – FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
PROVA 2* 
 
Disciplina: Fundamentos da Matemática 
Docente: Carlos Alberto Cjanahuiri Aroquipa 
Discente: Daniella Neia de Freitas 
 
1. Resolva as equações exponenciais: 
 
a) 𝟑𝟑
𝒙𝒙+𝟑𝟑−𝒙𝒙
𝟑𝟑𝒙𝒙−𝟑𝟑−𝒙𝒙
= 𝟐𝟐 
Para 3𝑥𝑥 − 3−𝑥𝑥 ≠ 0: 𝑥𝑥 ≠ 0 
3𝑥𝑥 + 3−𝑥𝑥
3𝑥𝑥 − 3−𝑥𝑥
= 2 →
3𝑥𝑥 + 13𝑥𝑥
3𝑥𝑥 − 13𝑥𝑥
= 2 → 3𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 
𝑢𝑢 + 1𝑢𝑢
𝑢𝑢 − 1𝑢𝑢
= 2 →
𝑢𝑢2 + 1
𝑢𝑢
𝑢𝑢2 − 1
𝑢𝑢
= 2 →
𝑢𝑢2 + 1
𝑢𝑢2 − 1
= 2 → 𝑢𝑢2 + 1 = 2𝑢𝑢2 − 2 → 𝑢𝑢2 = 3 → 𝑢𝑢 = ±√3 
3𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 → 3𝑥𝑥 = ±√3 → 3𝑥𝑥 = 3
1
2 → 𝒙𝒙 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
 
 
b) 𝟑𝟑𝒙𝒙−𝟏𝟏 − 𝟓𝟓
𝟑𝟑𝒙𝒙+𝟏𝟏
= 𝟒𝟒 ∙ 𝟑𝟑𝟏𝟏−𝟑𝟑𝒙𝒙 
Para 3𝑥𝑥+1 ≠ 0 → 𝑥𝑥 ∈ ℝ 
3𝑥𝑥−1 −
5
3𝑥𝑥+1
= 4 ∙ 31−3𝑥𝑥 → 3𝑥𝑥 ∙ 3−1 −
5
3𝑥𝑥 ∙ 31
= 4 ∙ 31 ∙ 3−3𝑥𝑥 → 3𝑥𝑥 ∙
1
3
−
5
3𝑥𝑥 ∙ 3
= 4 ∙ 3 ∙
1
33𝑥𝑥
 
3𝑥𝑥 ∙
1
3
−
5
3𝑥𝑥 ∙ 3
= 12 ∙
1
(3𝑥𝑥)3
→ 3𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 
𝑢𝑢
3
−
5
3𝑢𝑢
=
12
𝑢𝑢3
→
𝑢𝑢
3
−
5
3𝑢𝑢
−
12
𝑢𝑢3
= 0 →
𝑢𝑢4 − 5𝑢𝑢2 − 36
3𝑢𝑢3
= 0 → 𝑢𝑢4 − 5𝑢𝑢2 − 36 = 0 
𝑢𝑢2 = 𝑣𝑣 
𝑣𝑣2 − 5𝑣𝑣 − 36 = 0 →
5 ± �(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−36)
2 ∙ 1
→ 𝑣𝑣1 =
5 + 13
2
= 9; 𝑣𝑣2 =
5 − 13
2
= −4 
𝑢𝑢2 = 𝑣𝑣1 = 9 → 𝑢𝑢 = ±3; 𝑢𝑢2 = 𝑣𝑣2 = −4 → 𝑢𝑢 ∉ ℝ 
 
 
* Todas os textos, símbolos matemáticos e equações foram feitos com o programa Microsoft Word. 
UNEMAT – UNIVERIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CÂMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACET – FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
3𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 = −3 → 𝑥𝑥 ∉ ℝ 
3𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 = 3 → 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 
 
2. Resolva as equações: 
a) 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟒𝟒(𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟑𝟑) =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
 
Para 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 > 0: 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 3 > 0 → 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) − 3(𝑥𝑥 − 1) > 0 
(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3) > 0 
 
• Se (𝑥𝑥 − 1 > 0) e (𝑥𝑥 − 3 > 0): 
𝑥𝑥 − 1 > 0 → 𝑥𝑥 > 1 
𝑥𝑥 − 3 > 0 → 𝑥𝑥 > 3 
 
• Se (𝑥𝑥 − 1 < 0) e (𝑥𝑥 − 3 < 0): 
𝑥𝑥 − 1 < 0 → 𝑥𝑥 < 1 
𝑥𝑥 − 3 < 0 → 𝑥𝑥 < 3 
 
Então: 𝑥𝑥 < 1 ou 𝑥𝑥 > 3 
 
log4(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3) =
1
2
→ log4(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3) = log4(2) → 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 = 2 
𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 1 = 0 →
4 ± �(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1
2 ∙ 1
→ 𝑥𝑥1 =
4 + √12
2
; 𝑥𝑥2 =
4 − √12
2
 
𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 + √𝟑𝟑; 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 − √𝟑𝟑 
 
b) 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟑𝟑�𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟐𝟐(𝒙𝒙)� = 𝟏𝟏 
Para log2(𝑥𝑥) > 0: 𝑥𝑥 > 1 
log3(log2(𝑥𝑥)) = 1 → log2(𝑥𝑥) = 31 → log2(𝑥𝑥) = 3 → 𝑥𝑥 = 23 → 𝒙𝒙 = 𝟖𝟖 
 
3. Resolva as inequações: 
a) 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟎𝟎,𝟑𝟑(𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟑𝟑) < 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟎𝟎,𝟑𝟑(𝟓𝟓) 
Para 4𝑥𝑥 − 3 > 0: 𝑥𝑥 > 3
4
 
log0,3(4𝑥𝑥 − 3) < log0,3(5) → 4𝑥𝑥 − 3 > 5 → 𝒙𝒙 > 𝟐𝟐 
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CÂMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACET – FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
b) 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟓𝟓(𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙) > 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟎𝟎,𝟐𝟐 �
𝟏𝟏
𝟔𝟔
� 
Para 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 > 0: 𝑥𝑥 > 0; 𝑥𝑥 > 1 
log5(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥) > log0,2 �
1
6
� → log5(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥) > log5−1(6−1) → log5(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥) > log5(6) 
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 > 6 → 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 6 > 0 →
1 ± �(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−6)
2 ∙ 1
→ 𝑥𝑥1 >
1 + 5
2
; 𝑥𝑥2 <
1 − 5
2
 
𝑥𝑥1 > 3; 𝑥𝑥2 < −2 → 𝒙𝒙 ∈ ℝ− ] − 𝟐𝟐,𝟑𝟑[ ou 𝒙𝒙 ∈ ] −∞,−𝟐𝟐[ ∪ ]𝟑𝟑, +∞[ 
 
4. Dividindo-se 𝒑𝒑(𝒙𝒙) por (𝒙𝒙 − 𝟑𝟑) resulta um resto −𝟕𝟕 e um quociente (𝒙𝒙 − 𝟒𝟒). Qual 
é o polinômio 𝒑𝒑(𝒙𝒙)? 
Realizando-se o processo inverso da divisão de polinômios: 
• Produto entre o quociente e o dividendo: 
(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 − 3) = 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 12 = 𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 12 
• Soma do resto com o produto obtido: 
𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 12 + 7 → 𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟕𝟕𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 
 
5. O seno de um ângulo é 𝟏𝟏
𝟐𝟐
. Calcular o cosseno, a tangente e a cotangente deste 
mesmo ângulo. 
a) Se o ângulo está no primeiro quadrante. 
1º quadrante: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 1
2
→ 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋
6
+ 2𝑘𝑘𝜋𝜋 → 𝑘𝑘 = 0 → 𝒙𝒙 = 𝝅𝝅
𝟔𝟔
 
 
b) Se o ângulo está no quarto quadrante. 
4º quadrante: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 1
2
→ 𝑥𝑥 = 5𝜋𝜋
6
+ 2𝑘𝑘𝜋𝜋 → 𝑘𝑘 = 1
2
→ 𝑥𝑥 = 5𝜋𝜋
6
+ 2 ∙ 1
2
∙ 𝜋𝜋 → 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝝅𝝅
𝟔𝟔
 
 
Questão Extra: Determine o valor de 𝒙𝒙 para que: 
�𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟏𝟏
𝟐𝟐
(𝒙𝒙)� ∙ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈𝟏𝟏
𝟖𝟖
�
𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟐𝟐
� =
𝟓𝟓
𝟑𝟑
 
Intervalo definido: 𝑥𝑥 > 0 
�log1
2
(𝑥𝑥)� ∙ log1
8
�
1
32
� =
5
3
→ log1
2
(𝑥𝑥) ∙ log2−3 2−5 =
5
3
→ log1
2
(𝑥𝑥) ∙
5
3
=
5
3
 
log1
2
(𝑥𝑥) = 1 → 𝑥𝑥 =
1
2
1
→ 𝒙𝒙 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
 
	PROVA 20F*