AnaliseI_aula02-03-04-05_Elasticidade_01jun2020

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Análise de Estruturas I
Elasticidade
Profs: Evandro Parente Junior
Antônio Macário Cartaxo de Melo
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL
2
Introdução
 Teoria da Elasticidade:
 Ramo da Mecânica do Contínuo que estuda o 
comportamento dos sólidos elásticos.
 Objetivo: determinar as tensões, deformações e 
deslocamentos de um sólido devidos às ações 
externas.
 Comportamento elástico: o sólido retorna à sua 
configuração inicial imediatamente após a retirada 
do carregamento.
 Elasticidade linear x não-linear.
3
Introdução
 Mecânica do Contínuo:
 Busca descrever o comportamento dos materiais 
sem considerar a estrutura atômica e molecular.
 Hipótese do Contínuo:
 A natureza descontínua (i.e. discreta) da matéria 
pode ser representada por um meio contínuo 
equivalente que apresenta as mesmas propriedades 
macroscópicas.
 Permite conciliar a física (mecânica) com a 
matemática (cálculo diferencial). 
 Homogeneização.
4
Microestrutura / escalas
ciks.cbt.nist.gov/~garbocz/appendix1/node5.html
Concreto: escala 
mm; compósito 
de argamassa 
(matriz) + 
agregados 
graúdos (3 a 30 
mm).
Argamassa: escala 
mm; pasta de 
cimento (matriz) + 
agregados miúdo -
areia (1 a décimos 
de mm); manchas 
escuras = cimento 
não hidratado 
(dezenas de m).
Pasta de cimento: 
massas brancas 
(inversão) – grãos 
de cimento que 
não reagiram (50 
a 80 m) ; silicato 
de cálcio 
hidratado (CHS).
Silicato de cálcio 
hidratado (CHS): 
nanoestrutura 
aleatória de 
poros. Dimensão 
da imagem = 
300nm
5
Homogeneização
Concreto
pasta + ag. miúdo + ag. 
graúdo
concreto
6
Homogeneização
Concreto Asfáltico
7
Homogeneização
alvenaria
p
Bloco
Bloco
Argamassa
bloco + argamassa
p
Alvenaria estrutural
8
Homogeneização
 A Mecânica do Contínuo permite estudar os 
sólidos sem considerar os detalhes da 
microestrutura.
 A microestrutura determina as propriedades 
mecânicas dos materiais.
 Estas propriedades são obtidas a partir de 
ensaios de laboratório utilizando amostras 
adequadas:
 Elemento de Volume Representativo (EVR).
 Exemplos: corpo de prova de concreto e prisma de 
alvenaria estrutural.
9
Forças Externas
 Quanto à origem:
 Forças de campo / de corpo ou de volume [FL-3]
 Forças de contato / ou de superfície [FL-2] 
 Quanto à natureza:
 Ativas
 Reativas
Fonte: Hibbeler – Resistência dos Materais
Forças Internas
 Corpo sólido em equilíbrio:
 Forças internas: forças de interação entre partículas 
do corpo.
 Corpo dividido imaginariamente em duas partes:
 Forças que mantêm as duas partes unidas.
 Forças que asseguram o equilíbrio de cada parte 
isoladamente.
 Na Mecânica: esforços resultantes.
 Elasticidade: vetor tensão.
Sólido em equilíbrio Forças internas
10
Forças Internas
 Meio contínuo:
 Forças internas: representadas por forças de 
superfície distribuídas na seção S.
 Vetor tensão média ( ) atuante em S:
 Vetor F: resultante das forças internas.
 A: área da seção transversal S.
 n: o vetor tensão depende da seção S, definida por seu vetor 
normal n.
Sólido em equilíbrio Forças internas
An
F
t 
nt
11
Forças Internas
 Vetor tensão em um ponto de S:
 É uma força de superfície.
 Força no elemento de área dA:
Sólido em equilíbrio Vetor tensão
dA
d
AAn
FF
t 



 0
lim
dAd ntF 
12
Forças Internas
 Decomposição do vetor tensão:
 Componente normal:
 Componente tangencial (cisalhamento):
nn
nnnnn τ τσt 
13
Forças Internas
 Estado de tensões em um ponto:
 Vetores tensão em 3 planos mutuamente 
perpendiculares:
 Tensor tensão:
14
Forças Internas
 Estado plano de tensões (EPT):
 Caso particular que depende do carregamento, da 
geometria da estrutura e das condições de apoio.
 Existem componentes de tensões em apenas um 
plano.
 Por exemplo, para o EPT em relação ao plano x-y:













yyx
xyx
yyyx
xyxx




 ou
15
Simetria do tensor tensão
 Equilíbrio de momentos em um elemento 
diferencial sob EPT:
 Em relação ao plano x-y, 
com espessura dz.
 Em relação aos planos x-z e y-z:
  0zM
xzzx   yzzy  
xyyxyxxy
dydzdxdxdzdy   )()(
16
Notações do tensor Tensão
 Notação Tensorial:
 Notação vetorial (Voigt):
 EPT:











zyzxz
yzyxy
xzxyx



σ





















yz
xz
xy
z
y
x






σ







yxy
xyx














xy
y
x




17
Tensões em um plano qualquer
y 
x 
z 
dAx 
dAy 
dAz 
yx
yz
y
zx
zy
z
 xy
 xz
x
tn n 
18
Tensões em um plano qualquer
 Equilíbrio do tetraedro diferencial:
 Relação entre o vetor normal e as áreas do tetraedro:
0
0
0






z
y
x
F
F
F
0
0
0



zzzyyzxxzz
zzyyyyxxyy
zzxyyxxxxx
dAdAdAdAt
dAdAdAdAt
dAdAdAdAt



zyxi
dA
dA
ndAndA iiii ,,onde, 
y 
x 
z 
dAx 
dAy 
dAz 
yx
yz
y
zx
zy
z
 xy
 xz
x
tn n 
19
Tensões em um plano qualquer
 Teorema de Cauchy na forma matricial:
 Da simetria do tensor tensão:
nt t
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
n
n
n
t
t
t



































nt 































z
y
x
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
z
y
x
n
n
n
t
t
t



y 
x 
z 
dAx 
dAy 
dAz 
yx
yz
y
zx
zy
z
 xy
 xz
x
tn n 
20
Relação entre tensões e forças de superfície
 Ponto na superfície: 
fs = força externa na superfície
Condição que o tensor tensão deve satisfazer na 
região do contorno onde fs é prescrita, incluindo o 
caso de força de superfície nula (superfície livre de 
tensões).
s
ft
y 
x 
z 
dAx 
dAy 
dAz 
yx
yz
y
zx
zy
z
 xy
 xz
x
tn n 
21
Determinar as tensões nos pontos A, B, C e D da chapa abaixo 
(Estado Plano de Tensões) de espessura t (m) submetida à 
carga q (N/m).
A
B
C D qx
y
Exercício
22
Exercício
Solução:
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
= 
Ponto A:
𝑥𝑦
𝑦 
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
= 
Ponto B:
𝑥𝑦
𝑦 = 0
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
= 
Ponto C:
𝑥 
𝑥𝑦
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
= 
Ponto D:
𝑥
𝑥𝑦
A
B
C D qx
y
23
24
Equações Diferenciais de Equilíbrio (EDE)
 Campo de tensões no interior do corpo é 
função de x-y-z.
 Estado plano de tensão:
 Condições de equilíbrio impõem restrições ao 
campo de tensões.
),(
),(
),(
yx
yx
yx
xyxy
yy
xx






25
EDE: Estado Plano de Tensões (EPT)
 Sólido em equilíbrio sob EPT - um elemento 
diferencial também está em equilíbrio:
bx
by
26
EDE: Estado Plano de Tensões (EPT)
 Equilíbrio em x:
bx
by
0),(),(),(),(  dzdydxbdzdxyxdzdxdyyxdzdyyxdzdyydxx xxyxyxx 
0
),(),(),(),(




x
xyxyxx b
dy
yxdyyx
dx
yxydxx 
0





x
xyx b
yx

27
EDE: Estado Plano de Tensões (EPT)
 Equilíbrio em y:
0),(),(),(),(  dzdydxbdzdyyxdzdyydxxdzdxyxdzdxdyyx yxyxyyy 
0
),(),(),(),(




y
yyxyxy b
dy
yxdyyx
dx
yxydxx 
0





y
yxy b
yx

bx
by
28
Equações diferenciais de equilíbrio
 Estado plano de tensões:
 Caso geral (3D):



















0
0
y
yxy
x
xyx
b
yx
b
yx






































0
0
0
z
zyzxz
y
yzyxy
x
xzxyx
b
zyx
b
zyx
b
zyx



Forças de
corpo
29
Cinemática
 Definição.
 Corpos deformáveis:
 Deslocamentos.
 Deformações.
 Configurações inicial e final:
xxu 








zzw
yyv
xxu








),,(
),,(
),,(
zyxww
zyxvv
zyxuux
X’
 Deformaçãonormal:
 Deformação de cisalhamento:
30
Cinemática
A
B
ds
B’ds'
s
ds ds
ds



 1 sds ds  
B
A
O
B’
O’
dt dt’q
q
g
st
 q q
ds ds'
31
Relações Deformação-Deslocamento
 Elemento infinitesimal na 
posição inicial.
 Após a deformação...
32
Relações Deformação-Deslocamento
a
b
33
Relações Deformação-Deslocamento
dx
x
u
u 








a cos)1( dxx
a
34
Relações Deformação-Deslocamento
dx
x
u
udxdxu
x 

 a cos)1(
dx
x
u
u 








a cos)1( dxx
x
u
x 

 a 1cos
35
Relações Deformação-Deslocamento
dy
y
v
v 








b cos)1( dyy
b
36
Relações Deformação-Deslocamento
dy
y
v
vdydyv
y 

 b cos)1(
dy
y
v
v 








b cos)1( dyy
y
v
y 

 b 1cos
37
Relações Deformação-Deslocamento
dx
x
v
v 








dy
y
u
u 








dx
x
v








dy
y
u








b
a
38
Relações Deformação-Deslocamento
y
u
sen
dy
y
u
sendy
y






bbb
b )1(
x
v
sen
dx
x
v
sendx
x






aaa
a )1(
x
v
y
u
xy 




 bag
dx
x
v








dy
y
u








1
2 2
xy
xy
u v
y x
g

  
     
a
b
39
Deformações em 2D
x 
u
x
y 
v
y
g xy 
v
x
 u
y
Tensor Vetor






















xy
y
x
xy
y
x
g





2
ε
𝑥𝑥 𝑥𝑦
𝑦𝑥 𝑦𝑦
40
Deformações em 3D











zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx



ε
z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
yz
xz
xy
z
y
x



























g
g
g













































yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
g
g
g









2
2
2
ε
Tensor
Vetor
41
Equações de Compatibilidade
2x
y2
 
3u
xy2
2y
x2
 
3v
x2y
2g xy
xy
 
3u
xy2
 
3v
x2y
• Dado u: é obtida por derivação direta.
• Dado : a solução é única?
 Mais equações do que incógnitas.
 Assegurada pelas equações de compatibilidade:
2x
y2

2y
x2

2g xy
xy
42
Equações de Compatibilidade
zyyz
zxxz
yxxy
yzzy
xzzx
xyyx
























g
g
g
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
• Em 2D - 1 equação.
• Em 3D – 6 equações:
2
2222
2
2222
2
2222
2
2
2
zzxzyyx
yyxzyzx
xyxzxzy
xyyzxzz
xzyzxyy
yzxzxyx

































ggg
ggg
ggg
43
Equações Constitutivas
• Influência do material.
• Relações tensão-deformação (experimentais):
• Teoria linear da elasticidade (lei de Hooke).
• Caso uniaxial:
),,,(ou),,,(  TtgTtf εσσε 
E
E xxxx
 
44
Equações Constitutivas
• Caso geral (3D):
• Efeito de Poisson ( ).
• Material isotrópico.
• Superposição de efeitos:
)(
1
)(
1
)(
1
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E






yzyz
xzxz
xyxy
E
E
E
g
g
g
)1(2
)1(2
)1(2








x

x

xy xy

xy

xy
45
Lei de Hooke Generalizada



































































yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
E












g
g
g



)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
1
46
Lei de Hooke Generalizada








































































yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
E
g
g
g
















2
)21(
00000
0
2
)21(
0000
00
2
)21(
000
000)1(
000)1(
000)1(
)21)(1(
47
Estado Plano de Tensão
• Componentes de deformação:
• Tornam-se:
.0)( 

zyzxyxz
xy
xyx
y
yy
x
x
E
GEEEE
gg

g


)(
1
)(
1
)(
1
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E






yzyz
xzxz
xyxy
E
E
E
g
g
g
)1(2
)1(2
)1(2






0
0
0 0
0
• Estado Plano de Tensão: 
48
Lei de Hooke Generalizada


































xy
y
x
xy
y
x
E






g


)1(200
01
01
1


































xy
y
x
xy
y
x
E
g









2
1
00
01
01
1 2
Exercício
Solução:
Equações diferenciais de equilíbrio:
49
Determine se o seguinte campo de tensões bidimensional: x = 3ax2y, y = ay3,
xy = -3axy2, onde a é uma constante, é solução de um problema de elasticidade.
Considere que e que as forças de corpo são nulas e que o material é linear
elástico com módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson .
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
Ok!
Ok!
Exercício
50
𝑦 𝑦 𝑥 𝑦
𝑥𝑦𝑥𝑦 𝑥𝑦
Compatibilidade:
𝑥 𝑦 𝑥𝑦
Como a equação de compatibilidade não é satisfeita, o campo de tensões 
dado não é solução de um problema de elasticidade!
Deformações:
𝑥 𝑥 𝑦 𝑥
51
Solução – Problema da TLE
• Problema:
• Determinar deslocamentos, deformações e tensões.
• Satisfazendo equilíbrio, compatibilidade e relações 
constitutivas em V e condições de contorno em S :
V 
Su 
Su 
Sf 
Sf 
S fS 
b 





fs
u
S
S
em,
em,
fn
uu
 

uf
uf
SS
SSS


52
Solução – Problema da TLE
 Equações:
 3 equações de equilíbrio.
 6 relações deformação-deslocamento.
 6 relações constitutivas.
 Incógnitas:
 Deslocamentos (u, v, w).
 Dependentes das coordenadas (x, y, z).
53
Solução – Problema da TLE
 Sistema de equações diferenciais parciais (EDPs) lineares:
 Deformações em função dos deslocamentos.
 Tensões em função das deformações.
 Equações de equilíbrio em função dos deslocamentos.
 Sistema com 3 EDPs com 3 incógnitas.
 Estado Plano de Tensões: 2 EDPs com 2 incógnitas.
 Existência e Unicidade:
 O sistema de EDPs tem sempre solução.
 Esta solução é única.
54
Solução – Problema da TLE
 A solução analítica exata das equações da 
elasticidade é difícil:
 Geometrias, apoios e condições de contorno simples.
 Problemas de interesse prático.
 Soluções aproximadas uso do Princípio de Saint-Venant.
 Problemas complexos:
 Análise experimental de tensões.
 Soluções aproximadas obtidas usando métodos 
computacionais.
55
Princípio de Saint-Venant
Os campos de deslocamentos, deformações e tensões em um sólido
causados por diferentes sistemas de forças estaticamente
equivalentes são aproximadamente iguais em regiões distantes dos
pontos de carregamento.
P/2P P/2 P/3 P/3P/3 P/A
D
B
D
D
B
D
D
B
D
B
D
D = Descontinuidade
B = Bernoulli
Chapa sob o próprio peso
56
Considere uma chapa de seção retangular (b x h) engastada na sua base e
submetida apenas ao seu próprio peso (g = g). Obtenha o campo de
deslocamentos, deformações e tensões usando as equações da elasticidade.
L
h/2h/2
x
y
Solução (Estado Plano de Tensão):
E D
S
I
Hipótese:
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
= 
Faces E/D:
Ok!
Equações diferenciais de equilíbrio:
𝑥 𝑥𝑦 Ok!
Chapa sob o próprio peso
Face S (y = L):
57
𝑥𝑦 𝑦 𝑦
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
= 
Este campo de tensões satisfaz as equações diferenciais de 
equilíbrio e as condições de contorno em Sf. 
Chapa sob o próprio peso
58
𝑦 𝑦 𝑥 𝑦
𝑥𝑦𝑥𝑦 𝑥𝑦
Compatibilidade:
𝑥 𝑦 𝑥𝑦
Como a equação de compatibilidade é satisfeita, o campo de tensões é 
solução de um problema de elasticidade.
Deformações:
𝑥 𝑥 𝑦 𝑥
Ok!
Chapa sob o próprio peso
59
𝑦
𝑥𝑦𝑥𝑦
Deslocamentos:
𝑥
Função de xFunção de y
Chapa sob o próprio peso
60
+ 
x
y
Condições de contorno:
Chapa sob o próprio peso
61
x
y
Constantes de integração:
Deslocamentos:
D
B
Princípio de Saint-Venant
Viga em balanço com cargatransversal
62
Considere a viga abaixo de seção retangular (b x h) submetida a uma carga
transversal P na sua face esquerda. Obtenha o campo de deslocamentos,
deformações e tensões usando as equações da elasticidade.
L
x h/2
h/2
y
P
Solução (Estado Plano de Tensão):
Esforços internos (estática):
Esforços internos:
Viga em balanço com carga transversal
63
L
x
h/2
h/2
y
P
Hipótese (ResMat):
Equações diferenciais de equilíbrio:
Faces S/I (y = h/2):
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
= 
Viga em balanço com carga transversal
64
𝑥𝑦 𝑦 𝑦
𝑦
Faces S/I (y = h/2):
𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
= 𝑦
Viga em balanço com carga transversal
65
Campo de tensões:
L
x h/2
h/2
y
3P
2A
Face E (x = ):
= 𝑥 𝑥𝑦
𝑥𝑦 𝑦
Este campo de tensões satisfaz as equações diferenciais de equilíbrio e as 
condições de contorno em Sf , desde que a carga transversal seja aplicada 
da forma mostrada na figura.
Viga em balanço com carga transversal
66
Equilíbrio global:
Assim, mesmo que caso a carga seja aplicada de forma diferente, o campo 
de tensões obtido é válido a uma certa distância da Face E.
/
/
Ok!
Ok!
Ok!
Viga em balanço com carga transversal
67
𝑦 𝑦 𝑥 𝑦
𝑥𝑦𝑥𝑦 𝑥𝑦
Compatibilidade:
𝑥 𝑦 𝑥𝑦
Como a equação de compatibilidade é satisfeita, o campo de tensões é 
solução de um problema de elasticidade.
Deformações:
𝑥 𝑥 𝑦 𝑥
Ok!
Viga em balanço com carga transversal
68
𝑦
𝑥𝑦
Deslocamentos:
𝑥
Função de x Função de y
Viga em balanço com carga transversal
69
Viga em balanço com carga transversal
70
Campo de deslocamentos:
Condições de contorno:
L
x h/2
h/2
y
3P
2A
Viga em balanço com carga transversal
71
Campo de deslocamentos final:
L
x h/2
h/2
y
3P
2A
Os deslocamentos u e v não são nulos 
em Su (Face D), mas pelo Princípio de 
Saint Venant, a solução obtida é válida 
para regiões distantes desta face.
Viga em balanço com carga transversal
72
Linha elástica:
Solução da Teoria 
Clássica de Vigas
Efeito do cisalhamento: importante 
para vigas pouco esbeltas!
73
FIM