227474949-Apostila-de-Resistencia-Dos-Materiais

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a
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Carlos Fernando M. Pamplona 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Texto para a Disciplina Resistência dos Materiais. 
Ênfase para os cursos de Engenharia Mecânica, Civil e Naval. 
Universidade Federal Fluminense 
Niterói, Rio de Janeiro. 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
300mm 
200mm 
160mm 
2mm 
D=100mm 
F 
B 
A 
C 
D 
p 
 b
Sumário 
 A – RES MAT X 
1.0 – Introdução 
1.1 – Objetivos e métodos da Resistência dos Materiais.......................................................1 
1.2 - Hipóteses simplificadoras.............................................................................................2 
1.3 - Esforços externos e internos. Esforços seccionais. Diagramas.....................................7 
1.4 - Conceito de Tensão. Tensão normal. Tensão tangencial. Esmagamento....................13 
1.5 -Tensões sob carregamento centrado.............................................................................18 
1.6 - Deformações. Deformações específicas longitudinal, superficial e volumétrica. 
Distorção.........................................................................................................................21 
1.7 - Elasticidade. Lei de Hooke. Constantes elásticas........................................................25 
1.8 - Energia de deformação. Resiliência. Tenacidade........................................................28 
1.9 - Propriedades mecânicas dos materiais. Materiais dúteis e frágeis. Tensões limites.. 29 
1.10 – Tensões admissíveis. Coeficiente de segurança.....................................................30 
 
2.0 – Tração / Compressão pura. 
2.1 – Força normal.................................................................................................................32 
2.2 - Tensão normal. Estruturas articuladas. Treliças. Aparelhos de Carga. 
 Influência do peso próprio. Pilar de igual resistência.................................................33 
2.3 - Deformação longitudinal. Módulo de Elasticidade......................................................37 
2.4 - Problemas estaticamente indeterminados.....................................................................38 
2.5 - Influência da temperatura. Tensões térmicas e de montagem......................................41 
2.6 - Material elasto-plástico. Tensões residuais..................................................................43 
2.7 - Reservatórios de parede fina sob pressão.....................................................................45 
 Questões de Testes e Provas (Tração/Compressão Pura). 
 
 
3.0 – Corte puro. 
3.1 – Tensão tangencial e distorção. Módulo de Rigidez......................................................50 
3.2 - Uniões rebitadas e parafusadas. Chavetas....................................................................51 
3.3 - Uniões soldadas............................................................................................................55 
 Questões de Testes e Provas (Corte Puro). 
 
 
4.0 – Torção pura. 
4.1 – Momento de torção. Torque. Transmissão de potência nas máquinas.........................58 
4.2 - Eixos circulares no regime elástico. Tensões e deformações.......................................59 
4.3 - Problemas estaticamente indeterminados.....................................................................63 
4.4 - Material elasto-plástico. Tensões residuais..................................................................64 
4.5 - Molas helicoidais de pequeno passo............................................................................68 
4.6 - Barras de seção retangular. Outras formas de seção. Analogia da membrana..............70 
4.7 - Dutos de parede fina.....................................................................................................73 
 Questões de Testes e Provas (Torção Pura) 
 
5.0 – Flexão pura. 
5.1 – Introdução......................................................................................................................77 
5.2 - Momento fletor.............................................................................................................77 
5.3 - Flexão reta (simétrica) e elástica. Tensões normais. Linha neutra...............................78 
5.4 - Várias formas de seção. Módulo de resistência............................................................79 
5.5 - Vigas de dois materiais. Método da seção transformada..............................................83 
5.6 - Flexão oblíqua (assimétrica). Tensões normais. Linha neutra......................................87 
5.7 - Deformações na flexão pura simétrica..........................................................................91 
 Questões de Testes e Provas (Flexão Pura) 
 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
 c
 
6.0 – Flexão Simples. 
6.1 - Tensões normais.....................................................................................................94 
6.2 - Tensões tangenciais................................................................................................94 
6.3 - Várias formas de seção...........................................................................................96 
6.4 - Perfis compostos.....................................................................................................98 
6.5 - Análise crítica.........................................................................................................99 
6.6 - Vigas de igual resistência.......................................................................................100 
6.7 - Perfis Delgados......................................................................................................101 
6.8 – Centro de Torção....................................................................................................103 
 Questões de Testes e Provas (Flexão Simples) 
 
7.0 – Flexão Composta. 
7.1 – Flexão composta com força normal. Introdução.....................................................105 
7.2 - Flexão simétrica. Carga axial excêntrica.................................................................105 
7.3 - Caso geral de carregamento axial excêntrico em barras espessas..........................107 
7.4 - Núcleo de ataque em pilares curtos........................................................................109 
7.5 - Solicitações combinadas. Flexão composta com outros esforços seccionais.........110 
 Questões de Testes e Provas (Flexão Composta) 
 
 B – RES MAT XI 
8.0 - Variação da tensão com a orientação do plano da seção. 
8.1 – Estado duplo de tensões...........................................................................................114 
8.2 - Tensões extremas. Tensões principais.....................................................................115 
8.3 - Círculo de Mohr para as tensões no estado duplo...................................................117 
8.4 - Estado triplo de tensões...........................................................................................120 
8.5 - Tensões principais...................................................................................................121 
8.6 - Círculos de Mohr para as tensões no estado triplo..................................................123 
8.7 - Deformações. Círculo de Mohr para as deformações. Extensômetros. Roseta.......124 
 Exercícios Resolvidos ..........................................................................................130 
 
9.0 – Dimensionamento de eixos e vigas. 
9.1 – Critériosde resistência.............................................................................................136 
9.2 - Teorias das máximas tensões...................................................................................136 
9.3 - Teorias das máximas energias de deformação.........................................................138 
9.4 - Outras teorias...........................................................................................................141 
9.5 - Cargas variáveis. Fadiga..........................................................................................144 
9.6 - Concentração de tensões..........................................................................................145 
9.7 - Cargas pulsantes......................................................................................................147 
 Questões de Testes e Provas (Dimensionamento de eixos e vigas) 
 
 
10.0- Deformações na flexão. 
 10.1 – Deflexões por curvatura das vigas...........................................................................149 
 10.2 - Linha elástica por integração....................................................................................150 
 10.3 – Funções singulares...................................................................................................152 
 10.4 – Analogia de Mohr....................................................................................................153 
 10.5 - Método de energia....................................................................................................155 
 10.6 - Método da superposição...........................................................................................157 
 10.7 – Problemas estaticamente indeterminados. Vigas hiperestáticas..............................158 
 10.8 – Tabela de flechas e deflexões angulares para vigas isostáticas ..............................162 
 10.9 – Tabela de Reações Vinculares e flechas para algumas vigas hiperestáticas............163 
 10.9 – Métodos computacionais (programa Ftool).............................................................163 
 (Questões de testes e provas) (deformações na flexão) 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
 d
 
11.0 - Instabilidade elástica. 
11.1 – Introdução...............................................................................................................165 
11.2 – Flexão composta com força normal em vigas esbeltas...........................................165 
11.3 – Flambagem de colunas comprimidas......................................................................166 
11.4 – Índice de esbeltez....................................................................................................169 
11.5 - Carregamento excêntrico. Fórmula da secante.......................................................170 
11.6 – Instabilidade por vibrações.....................................................................................173 
11.7 – Pulsação (freqüência) natural nas vibrações livres, sem amortecimento...............174 
11.8 – Amortecimento viscoso..........................................................................................178 
11.9 – Vibrações forçadas. Ressonância............................................................................179 
11.10 – Forças transmitidas às bases ................................................................................183 
11.11 - Absorvedores de vibrações....................................................................................185 
 
 
12.0 – Apêndice. Tabelas. 
 12.1 – Geometria das Áreas. 
 12.2 – Propriedades geométricas dos perfis. 
12.3 - Propriedades mecânicas dos materiais. 
 12.4 – Tabelas de flechas. 
 12.5 – Respostas das Questões propostas nos Testes e Provas. 
 
 
 
 
 
 
Parte 1 
Parte 2 
Parte 3 
A - Introdução 
1
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1.0 - INTRODUÇÃO
 
1.1 – OBJETIVOS E MÉTODOS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que 
se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as pro-
porções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capa-
citá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade, durabilidade e em 
condições econômicas. 
A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína é 
chamada de resistência do elemento e constitui o problema principal para a análise 
nesta disciplina. 
A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para atender a 
requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser confundidas com 
falta de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes ou ferramentas). A ca-
pacidade de um elemento reagir às deformações é chamada de rigidez do elemento. 
Muitas vezes, apesar de os elementos estruturais satisfazerem aos requisitos de 
resistência e de rigidez sob a ação das cargas, a estrutura, como um todo, não é capaz 
de manter o estado de equilíbrio, por instabilidade. A estabilidade das estruturas é 
outro problema a ser analisado. 
Estados perigosos provocados por descontinuidades na geometria dos elemen-
tos (concentração de tensões), por cargas alternativas (ressonância e fadiga do ma-
terial) e por cargas dinâmicas (choque mecânico) serão também estudados. 
A escolha dos materiais, das proporções e das dimensões dos elementos de 
construção deve ser feita baseada em critérios de otimização, visando, invariavelmen-
te, a custos mínimos, menores pesos (fundamental na indústria aeronáutica), facilida-
de de fabricação, de montagem, manutenção e reparo. 
Na solução de seus problemas básicos, a Resistência dos Materiais estabelece 
modelos matemáticos simplificados (esquemas de cálculo) para descrever a complexa 
realidade física, permitindo uma fácil resolução dos problemas, obtendo-se resultados 
aproximados que, posteriormente, são corrigidos através de coeficientes que levam 
em conta as simplificações feitas. Esses coeficientes de correção (coeficientes de se-
gurança) são estabelecidos experimentalmente e muitas vezes arbitrados por Normas 
Técnicas ou em função da habilidade e experiência do projetista. 
A solução de problemas mais complexos, para os quais os esquemas simplifi-
cados da Resistência dos Materiais não se enquadram, é em geral tratada pela Teoria 
da Elasticidade (outro ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe a 
solucionar os mesmos problemas da Resistência dos Materiais, porém através da uti-
lização de métodos matemáticos mais complexos, mas de maior abrangência). 
A - Introdução 
2
 
1.2 – HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
 
Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito complicadas quanto às 
características dos materiais, a forma e geometria dos elementos estruturais, tipos de 
carregamento, vinculação etc. e, a menos que sejam estabelecidos esquemas de cálcu-
lo e hipóteses simplificadoras, a análise dos problemas seria impraticável. A validade 
de tais hipóteses é constatada experimentalmente. 
a) Quanto aos materiais: 
Os materiais serão supostos contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc) homo-
gêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e isótropos (iguais proprieda-
des em todas as direções). Essas hipóteses nos permitem aplicar as técnicas elementa-
res do cálculo infinitesimal para a solução matemática dos problemas. Deve-se ter 
cautela, entretanto, quanto à sua aplicação para certos materiais de construção (como 
o concreto ou a madeira), ou materiais de estrutura cristalina (como o granito) cujas 
características heterogêneas e anisotrópicas nos levariam a resultados apenas aproxi-
mados. Outra suposição freqüentemente utilizada é de que os materiais são perfeita-
mente elásticos (sofrendo deformações cujaextensão é proporcional aos esforços a 
que estão submetidos, retornando às dimensões originais quando cessam esses esfor-
ços). 
b) Quando à geometria dos elementos estruturais: 
Os elementos estruturais serão reduzidos aos seguintes modelos simplificados 
(Fig. 1.2.1): 
BLOCOS – corpos cujas três dimensões principais são da mesma ordem de 
grandeza (a ~b ~c); 
FOLHAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada espessura) muito 
menor (*) que as outras duas (e << a ~b); 
BARRAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada comprimento) 
muito maior (*) que as outras duas (c >> a ~b). 
(*) da ordem de 10 vezes ou mais. 
A Resistência dos Materiais Elementar propõe métodos para resolução de pro-
blemas envolvendo elementos estruturais do tipo de barras. Estudos mais avançados 
dão conta da solução de alguns problemas relativos às folhas. O estudo dos blocos
 
não é tratado pela Resistência dos Materiais, devendo-se recorrer aos métodos da Te-
oria da Elasticidade. 
A - Introdução 
3
 
 
BLOCOS a 
 
c 
 e 
CASCAS 
 b a 
FOLHAS CHAPAS 
 
PLACAS PLACAS 
 ARCOS 
 BARRAS 
BARRAS BARRAS RETAS 
 
 VIGAS 
 PERFIS L 
 DELGADOS 
Fig. 1.2.1 – Classificação dos elementos estruturais quanto a sua geometria. 
c) Quanto ao carregamento:
 
Os esforços que atuam nas estruturas serão representados através dos seguintes mode-
los simplificados (Fig. 1.2.2): 
Forças distribuídas – em volumes (como a ação gravitacional, como as forças 
de inércia nos corpos acelerados), em superfícies (como a ação de esforços sobre pla-
cas, a ação da pressão de fluidos, p = dF/dA) e em linha (como a ação ao longo de 
vigas, q = dF/dx); 
Forças Concentradas – ações localizadas em áreas de pequena extensão 
quando comparadas com as dimensões do corpo. É fácil perceber que tal conceito 
 b 
A - Introdução 
4
 
(uma força concentrada em um ponto) é uma abstração já que, para uma área de con-
tato praticamente nula, uma força finita provocaria uma pressão ilimitada, o que ne-
nhum material seria capaz de suportar sem se romper. 
Fig. 1.2.2 – Tipos de Carregamento: forças distribuídas (a) em volumes, (b) em superfícies, 
(c) em linha; (d) forças concentradas. 
d) Quanto aos vínculos
 
Os vínculos são dispositivos mecânicos que impedem certos movimentos da estru-
tura ou máquina, através de esforços reativos cujos tipos são estudados nos cursos de 
Mecânica dos Corpos Rígidos. 
Para o caso particular e muito comum de esforços coplanares, os vínculos são 
classificados em três categorias (Fig. 1.2.3) 
Apoio móvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa 
direção pré-determinada; 
Apoio fixo – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo 
em todas as direções; 
(a) 
(b)
 
(c) 
 (d) 
W 
P 
q(x) 
F 
A - Introdução 
5
 
Engastamento – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do 
corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto. 
Fig. 1.2.3 – Tipos de vínculos e reações de apoio 
e) Inexistência de esforços iniciais – 
Nos processos de conformação e tratamento térmico dos materiais (fundição, usina-
gem, laminação, forjamento, embutimento, têmpera, etc) surgem esforços localizados 
cuja presença não será considerada em nossos estudos. Suporemos que não existem 
esforços iniciais no corpo antes de seu carregamento. Quando existirem fortes razões 
para que tais esforços precisem ser considerados, eles serão determinados experimen-
talmente. 
f) Princípio de Saint’Venant – 
Uma hipótese simplificadora que é sustentada pela observação experimental é a estabelecida por 
Saint’Venant, indicando que em pontos suficientemente afastados das regiões de aplicação dos es-
forços, os efeitos internos se manifestam independentemente da forma de distribuição daqueles es-
forços. Este princípio permite o cálculo dos esforços no interior dos corpos utilizando a resultante 
APOIO 
MOVEL 
 SÍMBOLO 
 
APOIO 
FIXO 
SÍMBOLO 
SÍMBOLO 
 
E 
N 
G 
A 
S 
T 
A 
M 
E 
N 
T 
O 
 Pino deslizante 
rodete 
Biela ou 
conectora 
rótula 
R 
Ry 
Rx 
Ry 
Rx 
Mz 
A - Introdução 
6
 
dos esforços atuantes, como uma força concentrada equivalente, hipótese válida apenas para pontos 
afastados em relação ao local onde os esforços são distribuídos, de uma distância d
 
superior a 1,5 a 
2,0 vezes a maior dimensão b da distribuição da carga. 
Fig. 1.2.4 – Princípio de Saint’Venant. 
g) Princípio da Superposição dos Efeitos 
Os efeitos de um sistema de várias forças agindo em um corpo (ações internas ou de-
formações) será igual à soma dos efeitos parciais produzidos nesse corpo quando ca-
da esforço é aplicado isoladamente, independentemente da ordem de aplicação. Este 
princípio, largamente utilizado na Mecânica dos Corpos Rígidos, pode ser estendido 
aos corpos deformáveis desde que: 
1º) os deslocamentos dos pontos de aplicação das forças sejam pequenos quando compara-
dos com as dimensões da estrutura (manutenção da geometria inicial); 
2º) os deslocamentos devidos às deformações da estrutura variem linearmente com os esfor-
ços (proporcionalidade esforço-deformação). 
Na Fig. 1.2.5 são apresentados dois exemplos sendo um (a) onde o princípio da 
superposição pode ser aplicado e outro (b), onde não pode ser aplicado. 
 (a) (b) 
 P1 P 1 
 F1 
 
 P2 P 2 
 F2 
 P3 = P1 + P2 P3=P1+P2 
 
 
 F3 = F1 + F2 F3 F1 + F2
Fig. 1.2.5 – Princípio da Superposição dos Efeitos 
d 
b 
 
d + b/2 
 
q 
q.b esforços 
internos 
A - Introdução 
7
 
1.3 - ESFORÇOS
 
Os esforços que atuam sobre um sistema material ou parte de uma estrutura 
podem ser classificados segundo o quadro: 
 Permanentes 
 ATIVOS 
 EXTERNOS Acidentais 
 REATIVOS 
 Força Normal 
 ESFORÇOS Força Cortante 
 SECCIONAIS 
 Momento Fletor 
 INTERNOS Momento Torçor (Torque)Tensão Normal 
 LOCAIS 
 Tensão Tangencial 
a) Esforços Externos – são os que atuam no sistema material em análise (por 
contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação 
do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos). Os esforços ativos 
serão classificados de permanentes quando atuam constantemente sobre a estrutura 
(como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de forma transitória (o efeito do 
vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.). Esses esforços são em 
geral conhecidos a priori (através das Normas Técnicas, requisitos para o projeto, 
etc). No projeto de novas estruturas o peso próprio é inicialmente desconhecido já 
que as dimensões das partes não estão ainda estabelecidas. O peso próprio é levado 
em conta nesses casos a partir de um peso estimado e utilizando-se um método de 
cálculo iterativo, rapidamente convergente. Os esforços produzidos pelos vínculos, 
também externos, são denominados de esforços reativos, ou reações dos apoios, sen-
do determinados pelas equações da Estática que regem o equilíbrio das forças sobre 
um corpo em repouso que, no caso de carregamentos coplanares, se reduzem a: 
F x = 0 F y = 0 M z = 0 
Quando o número de reações vinculares desconhecidas iguala o número de e-
quações da Estática utilizáveis, a estrutura é dita isostática
 
(ou estaticamente deter-
minada). Caso o número de reações seja superior ao número de equações disponíveis, 
estaremos diante de uma estrutura hiperestática. A determinação dos esforços reati-
vos nessas estruturas estaticamente indeterminadas será feito utilizando-se equações 
suplementares que caracterizem a compatibilidade de deformações e que serão estu-
dadas no presente curso. 
Como exemplo, a Fig. 1.3.1 apresenta um esquema da estrutura isostática de 
um guindaste onde se pode reconhecer que o peso de 20 toneladas como um esforço 
externo ativo permanente, a carga de 10 tf como um esforço externo ativo transitório. 
A ponte móvel se apóia no mancal superior B
 
(apoio fixo) e encosta-se em A
 
(apoio 
móvel) na pista circular fixa à torre. A determinação das reações nesses apoios, feita 
através das equações da Estática, nos permite obter: 
 A = 10,0 tf ( ); B x = 10,0 tf ( ); B y = 30,0 tf ( ); B = 31,6 tf (71,6º ) 
A - Introdução 
8
 
 
Pista circular 
rodetes 
8m
 
6m 
20 tf 
10 tf 
A
 
B x 
B y 
B 
A 
10tf 
20tf 
2m 
Fig. 1.3.1 – Estrutura isostática da Ponte Móvel de um Guindaste (AMRJ). 
A - Introdução 
9
 
b) Esforços Internos 
Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou ele-
mento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. No exemplo da fig. 1.3.1 
podemos reconhecer que a força exercida no rodete A, embora seja um esforço exter-
no para a ponte giratória, será um esforço interno para o guindaste como um todo. 
Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado 
pela Resistência dos Materiais) podemos analisar os esforços internos atuantes em 
uma seção transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ação de 
uma parte da barra sobre a outra pode ser reduzida a uma força F
 
e a um conjugado 
de momento G. Ao decompormos estes dois esforços na direção do eixo da barra (di-
reção normal) e no plano da seção (direção tangente), obtemos os chamados esforços 
seccionais (ou solicitantes) a saber (fig. 1.3.2): 
 
 
 N Q M T 
Fig. 1.3.2 – Esforços Seccionais (ou Solicitantes) 
A determinação dos esforços seccionais é feita, da mesma forma que os esfor-
ços reativos, através das equações da Estática, analisando o equilíbrio dos esforços 
que atuam na parte da estrutura que foi hipoteticamente secionada. 
A seguir são apresentados alguns exemplos de determinação de esforços solici-
tantes. 
 N – Força Normal 
 F 
 Q – Força Cortante 
 
 M – Momento Fletor 
 G 
 T – Momento Torque 
F 
G 
Q 
N 
F 
G 
M 
T 
A 
A - Introdução 
10
 
 z 
 y 
3 kN 
 600mm 
 x 
 300d 
 350 
 250 
 4kN 
 
 
 
1 - Na seção flangeada do engaste: 
 F x = N = 4 kN (tração) 
 F y = Q y = 0 
 F z = Q z = 3 kN 
 M x = T = 3 x 0,750 = 2,25 kN.m 
 M y = 3 x 0,600 = 1,80 kN.m 
 M z = 4 x 0,500 = 2,00 kN.m 
 M = (22 + 1,82) ½ = 2,69 kN.m 
 
0,80 kN/m 3,2kN 
 
B 
5m 
4m 
2 - Traçar os diagramas de es-
forços solicitantes N, Q e M 
para o pórtico esquematizado: 
 
2,4 
kN 
2,4
 
4,0
 
3,2 
C 
C 
A 
1 2 
Ay 
Ax 
A - Introdução 
11
 
Ay 
Solução 
1) Cálculo das Reações: 
Pelo MA = 0 pode-se escrever: 
4x5,5 + 3,2x2 – 2,4 x 4 = Cx8; 
C = 2,35 kN ( )
 
Pelo Fx = 0 e Fy = 0, obtem-se: 
Ax = 2,40 kN ( ) e Ay = 4,85 kN ( ) 
Força Normal (N) 
O trecho AB estará comprimido (N=4,85kN), 
como também o trecho BC (N= 2,40kN). Re-
lembra-se a convenção de sinais para a força 
N: 
[+] tração ; Compressão [-]
 
Força Cortante (Q) 
Relembra-se a convenção de sinais para a for-
ça cortante Q: 
[+] ; [-]
A seção onde se anula o valor de Q é impor-
tante (corresponde a um valor extremo de M, 
já que Q = dM/dx): 
No trecho CB, tal ocorre em x = 2,9375m. 
Note que no “joelho” B, a força cortante se 
converte em normal e vice-versa. 
Momento Fletor (M) 
Relembra-se a convenção de sinais para M: 
Na seção crítica, onde a força Q é nula: 
 M* = 2,35 x 2,9375 – 0,80 x (2,9375)2/2 
M* = 3,45 kN.m 
+ -
 
C 
2,4 
4 
3,2 
B 
AX 
N 
(kN) 
-2,4 
-4,85 
+2,35 
x 
-1,65 
 -4,85 
+2,4 
Q 
(kN) 
B 
x 
3,45 
9,60 
M 
KN.m 
5 1 2 
2 
4 
A - Introdução 
12
1.4 – Conceito de Tensão. 
Os esforços locais, em pontos de uma dada seção, serão analisados através de 
seus valores específicos (por unidade de área) por meio do conceito de tensão. 
A tensão ( S ) presente em um ponto de uma dada seção de uma barra carrega-
da é o limite da relação entre a força elementar F e a área A no entorno desse pon-
to, quando A tende a zero: 
 S = Lim ( F / A) = dF / dA ............................. ( 1.4.1 ) 
 A 0 
É uma grandeza que tem a mesma dimensão de pressão
 
(como veremos, o es-
tado de tensão denominado “pressão” é uma situação particular do caso geral da ten-
são), medida em N/m2 (Pascal – Pa), em kgf/cm2, lbf/in2 (psi), dyn/cm2 (bar), etc. 
Ao decompormos o vetor força elementar dF na direção normal (perpendicular 
ao plano da seção – dFn) e na direção do plano da seção (dFt), obtemos as duas com-
ponentes da tensão: 
tensão normal .........................dFn / dA ..............................( 1.4.2) 
(sigma), que pode ser de tração ou compressão (esmagamento), e 
tensão tangencial..................... dFt
 
/ dA ............................(1.4.3) 
(táu), também chamada de tensão de cisalhamento ou cisalhante. 
Fig. 1.4.1 – Tensão. Tensão Normal. Tensão Tangencial. 
Um fato que, desde o início, deve ser reconhecido é que a tensão que atua em 
um certo ponto de um certo plano de um corpo carregado depende
 
da orientação do 
plano selecionado. Num mesmo ponto, porém em um plano diferente, a tensão, em 
dFn 
dF 
dA dFt
 
S 
A - Introdução 
13
geral, será diferente. Não são apenas as componentes que se modificam com a orien-
tação do plano, mas é o vetor tensão que se altera. 
Assim é que, por exemplo, no caso simples de uma barra prismática (Fig. 
1.4.2), de pequena seção transversal de área A0 e submetida a uma força de tração F
 
pelos topos, fácil será concluir que, em um certo ponto P do plano da seção transver-
sal, atuará uma tensão normal de tração cujo valor será, em média, F/A0, sendo 
0. 
Fig. 1.4.2 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção. 
Para uma outra seção, inclinada de um ângulo 
 
em relação à seção transversal 
(a direção normal a esta seção formará também um ângulo 
 
em relação ao eixo da 
barra), a sua área será maior, valendo A
 
= A0 / cos , e como a força total é a mesma 
(F), a tensão será, em média, S = F / A0 cos , e suas componentes valerão: 
S cos F cos e S sen F sen cos
 
Os casos limites em que e , nos levam aos valores 0
 
F/A0 e 
0, bem como, e
Observe o fato relevante de que, apesar de estar a barra simplesmente traciona-
da, nas seções em que º (planos de clivagem), haverá uma tensão tangencial de 
valor ½ (F/A0) (valor máximo dessa tensão tangencial - metade do valor máximo da 
tensão normal, ocorrente no plano da seção transversal). Note também que nos planos 
longitudinais da barra ( ), tanto a tensão normal como a tangencial são nulas. 
Para identificar o estado de tensão em um ponto de um corpo carregado neces-
sário se torna o conhecimento das tensões ocorrentes em três planos ortogonais que se 
interceptam no ponto considerado, e que são três vetores, totalizando nove compo-
nentes escalares. Uma grandeza deste tipo é designada como um tensor
 
de 2ª ordem 
F 
A0 
F 
S0 = F/A0 
F 
S = F / (A0/cos 
 
F 
(A) (B) 
 
A - Introdução 
14
(a ordem [O] de um tensor é o expoente n
 
da relação [O] = 3n que fornece o número 
de componentes escalares da grandeza – uma grandeza escalar, como a temperatura, é 
um tensor de ordem zero, enquanto uma grandeza vetorial, como a força, é um tensor 
de 1ª ordem). 
A figura 1.4.3 apresenta um estado de tensão genérico num ponto P de um cor-
po carregado, definido pelas tensões que atuam em três planos ortogonais que se in-
terceptam no ponto P. 
Fig. 1.4.3 – Estado de tensão em um ponto P de um corpo carregado (coloque os índices das 
duas tensões assinaladas com *, seguindo a convenção exposta no texto a seguir). 
Utilizou-se uma notação
 
de dupla indexação, na qual o 1º índice informa o 
plano onde a tensão atua (definido pelo eixo que lhe é perpendicular) e o 2º indica a 
direção da tensão propriamente dita (por exemplo, yz é a tensão, tangencial, que atua 
em um plano perpendicular ao eixo y e é orientada na direção do eixo z). As tensões 
normais terão sempre índices iguais, por tal convenção, sendo designadas pela letra 
. 
Quanto aos sinais dessas tensões, adotaremos a seguinte convenção: 
- para uma tensão atuante em uma “face positiva” (aquela cuja normal exterior 
está orientada no sentido positivo do eixo que lhe é perpendicular), será esta tensão 
positiva se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e negativa se orien-
tada no sentido oposto; 
xy 
xx 
yy 
 yx 
 
* 
zz 
 
 
* 
 
zy 
xz 
x 
z 
y 
P 
dz 
dx 
dy 
A - Introdução 
15
- para uma tensão atuante em uma “face negativa” (aquela cuja normal exterior 
está orientada no sentido negativo do eixo que lhe é perpendicular), será ela 
negativa se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e positiva se 
orientada no sentido oposto. A Figura 1.4.4 a seguir mostra exemplos onde a 
nomenclatura e os sinais das tensões são indicados. 
 
Fig. 1.4.4 – Nomenclatura e sinais das tensões (os eixos x,y,z devem formar triedros dire-
tos). 
 A tensão 
 
é tangencial, atua numa face que tem o eixo x
 
como normal ex-
terna (face positiva), é paralela ao eixo y, em seu sentido negativo. Logo, a tensão 
será designada pelo símbolo xy e terá sinal negativo; 
A tensão 2 é tangencial, atua numa face que tem o eixo z como normal externa 
(face positiva), é paralela ao eixo x, em seu sentido positivo. Logo, a tensão será de-
signada pelo símbolo zx e terá sinal positivo; 
A tensão 3 é normal, atua numa face que tem o eixo y
 
como perpendicular, 
porém é uma face negativa; a tensão é paralela ao mesmo eixo y, e em seu sentido 
negativo. A tensão será nomeada como y, e terá sinal positivo. 
Observe que as tensões ij para as quais i=j são tensões normais 
 
sendo posi-
tivas, se de tração, e negativas, se de compressão, independentemente do sinal das 
faces, não necessitando ter seus índices repetidos (seria uma redundância). 
Fica como exercício mostrar que: zy (sinal +); yx (sinal -); x 
(sinal -). 
O tensor das tensões [S], com suas 9 componentes escalares, é representado por 
uma matriz quadrada (3 x 3), sendo a diagonal principal composta pelas tensões nor-
mais e os elementos secundários pelas tensões tangenciais. 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
A - Introdução 
16
 
 
 
 .............................................( 1.4.4 ) 
Convém realçar que, ao se modificar a orientação dos eixos coordenados, as 
componentes ij sofrerão alterações, porém o estado de tensão no ponto considerado 
(dependente do carregamento aplicado ao corpo) se mantém invariante. 
É também importante caracterizar desde logo que a matriz em (1.4.4) é simétri-
ca em relação à diagonal principal, ou seja: 
xy = yx 
yz = zy 
zx = xz 
A demonstração das equações (1.4.5) pode ser feita analisando-se o equilíbrio 
de momentos das forças atuantes sobre as faces do paralelepípeto elementar mostrado 
na Fig. 1.4.3, momentos esses tomados em relação a 3 eixos paralelos aos eixos coor-
denados, passando pelos pontos médios das faces (equilíbrio de momentos válido, 
inclusive, para o caso de o elemento estar acelerado, já que o momento de inércia da 
massa elementar em relação a um seu eixo é nulo – “M = I ”). 
Assim, para um eixo paralelo ao z, passante pelo ponto médio da face que lhe é 
perpendicular, de área dx.dy, as únicas forças atuantes nas demais faces e que provo-
cam momentos em relação a tal eixo (as que não o cruzam ou que não lhe são parale-
las) serão: 
xy (dy.dz) e yx (dx.dz), que, multiplicadas pelos respectivos braços para to-
mada de momentos nos permite escrever: 
xy (dy.dz). (dx/2) = yx (dx.dz). (dy/2), 
ficando demonstrado que xy = yx . O mesmo procedimento repetido para os outros 
dois eixos, na mesma condição, nos levará ao que consta nas equações (1.4.5). 
Uma conseqüência importante dessa propriedade do tensor das tensões é o fato 
de que a tensão tangencial no contorno livre de peças carregadas é sempre tangente 
ao contorno (como mostrado na Fig. 1.4.5) 
x 
xy 
xz 
yx 
y 
yz 
zx 
zy 
z 
 S = 
 
.......................................... (1.4.5) 
A - Introdução 
17
 
Fig. 1.4.5 – Tensões tangenciais nos contornos livres das peças. 
Outro fato que será analisado em detalhe mais adiante é que a simetria da ma-
triz(1.4.4) nos indica a possibilidade de, por uma conveniente mudança da orientação 
dos eixos coordenados (x, y, z), obter-se uma matriz equivalente diagonalizada ( ij = 
0), obtendo-se na diagonal principal as tensões chamadas principais que descrevem o 
estado de tensão no ponto considerado. 
Assim como o conceito de força, a idéia de tensão é puramente abstrata, não 
podendo essa grandeza ser medida diretamente. Como veremos, as tensões são avali-
adas indiretamente, através de seus efeitos, as deformações (caberia a pergunta: é a ten-
são que provoca a deformação ou o inverso – a deformação – fato físico mensurável, é que provoca 
a tensão – conceito abstrato) 
1.5 – Tensões em peças sob carregamento centrado. 
Como aplicações iniciais para o estudo do cálculo de tensões em casos mais 
simples, trataremos de peças que, por suas condições de simetria geométrica e de car-
regamento centrado, nos permitem admitir uma distribuição uniforme para as tensões 
ao longo da área em que atuam (em seções afastadas dos esforços localizados, segun-
do Saint’Venant). Tal valor, embora possa não representar a distribuição real das ten-
sões nos diversos pontos da área considerada, pelo menos, nos indica um valor médio 
para tais tensões, dando-nos idéia de sua ordem de grandeza. No caso de tra-
ção/compressão ou corte (cisalhamento) puros, calcularemos as tensões simplesmente 
fazendo: 
N/A e Q/A .................. (1.5.1) 
Q 
T 
Esta componente de não pode existir
 
A - Introdução 
18
 
Para exemplificar, veja-se a união de chapas mostrada na Fig. 1.5.1, transmi-
tindo uma força de tração de 72 kN, provocando tração nas chapas, corte no pino e 
compressão (esmagamento) no corpo do pino e nos furos das chapas. 
 Fig. 1.5.1 – Cálculo de tensões em peças simétricas sob carregamento centrado. 
As tensões críticas de tração nas chapas ocorrerão nas seções onde há os furos 
(menor área) e valerão: 
d = 25mm 
100 
150 75 
15 
15 
20 
TRAÇÃO NA CHAPA CORTE NA CHAPA 
CORTE DO PINO COMPRESSÃO (ESMAGAMENTO) 
do furo e do corpo lateral (efeito mancal) 
Área proje-
tada 
80 
A B 
36 kN 
36 kN 
72 kN 72 kN 
72 kN 
P 
A - Introdução 
19
A
T = (36 x 103 N) / [(100 – 25) x 15 x 10-6 m2] = 32 x 106 N/m2 = 32,0 MPa 
72 x 103 N) / [(150 – 25) x 20 x 10-6 m2] = 28,8 x 106 N/m2 = 28,8 MPa
 
As tensões críticas de cisalhamento nas chapas (nos planos em que seriam ras-
gadas tangencialmente) valerão: 
(36 x 103 N) / [(2) x 75 x 15 x 10-6 m2] = 16 x 106 N/m2 = 16,0 MPa 
 
(72 x 103 N) / [(2) x 80 x 20 x 10-6 m2] = 22,5 x 106 N/m2 = 22,5 MPa 
 
A tensão de compressão (esmagamento) nos furos das chapas será 
calculada dividindo-se o valor da força de compressão por uma área menor 
do que a área em que os esforços se distribuem, a saber, a área projetada 
num plano perpendicular à direção da força. O valor assim obtido, demons-
tra-se, é até ligeiramente superior ao valor máximo atingido pelo valor da 
tensão variável, ocorrente na aresta mediatriz da área solicitada (tensões de 
Hertz). Teremos então (a favor da segurança): 
A
C = (36 x 103 N) / [25 x 15 x 10-6 m2] = 96 x 106 N/m2 = 96,0 MPa (C) 
B
C = (72 x 103 N) / [25 x 20 x 10-6 m2] = 144 x 106 N/m2 = 144 MPa (C) 
Para o pino de união das chapas, teremos uma tensão tangencial cal-
culada por: 
P = (36 x 103 N) / [( /4) x [25]2 x 10-6 m2] = 73,34 x 106 N/m2 = 73,3 MPa 
 
As tensões de compressão (esmagamento) no corpo médio do pino 
(em contato com a chapa B) e em suas duas extremidades (em contato com 
as chapas A), valerão, respectivamente 144 e 96 MPa (conforme se pode 
presumir, calcado no princípio da Ação e Reação – já que as áreas de conta-
to se superpõem). 
OBSERVAÇÃO: os resultados numéricos devem ser apresentados com 3 (três) alga-
rismos significativos (compatível com a precisão dos dados em geral disponíveis na 
Engenharia – como por exemplo: g = 9,81 m/s2, aço = 7,83 tf/m
3, etc). 
A - Introdução 
20
 
1.6 – Deformações. 
Os corpos são constituídos de pequenas partículas ou moléculas entre as quais 
existem forças de interação. Se forças externas são aplicadas ao corpo, as partículas 
se deslocam, umas em relação às outras, até que as forças interiores estabeleçam uma 
nova configuração de equilíbrio. A composição desses deslocamentos microscópicos 
produz modificações volumétricas e de forma que caracterizam as chamadas defor-
mações do corpo. 
A Fig. 1.6.1 apresenta como exemplo uma barra prismática onde foi marcada 
uma extensão de comprimento inicial l0 que, sob a ação de uma força de tração N, 
sofre uma elongação l. 
Fig. 1.6.1 – Deformação axial. Elongação ( l) 
A magnitude da deformação axial sofrida por uma barra será avaliada pela 
chamada deformação específica longitudinal (
 
grandeza adimensional (epsilon) 
definida como: 
 ............................ (1.6.1) 
(de valor muito pequeno, medida em % ou em micros - = 10-6 ), positiva, no caso 
de tração, e negativa, no caso de compressão. O comprimento final da fibra (tracio-
nada, ou comprimida) será expresso por: 
 l = l0 ( 1 + ) .......................................(1.6.2) 
 
l 
l0 
l = l0 + l 
N 
N 
l l l l l
 
A - Introdução 
21
 
Verifica-se também que, além da deformação longitudinal, ocorre simultanea-
mente uma modificação das dimensões transversais da barra, de sinal oposto, sendo a 
deformação específica transversal (ou lateral) dada por: 
 t = a / a0 .....................................................(1.6.3) 
Para peças em forma de chapas é relevante assinalar a variação de sua área, 
através da deformação específica superficial dada por: 
 s = S / S0 = (S – S0) / S0 
e, portanto: S = S0 ( 1 + s ) .......................................(1.6.4) 
Da mesma maneira, a variação volumétrica de uma peça será mensurada pela 
deformação específica volumétrica: 
 v = V / V0 = (V – V0) / V0 
e, portanto: V = V0 ( 1 + v ) ......................................(1.6.5) 
As modificações de forma associadas aos esforços tangenciais são medidas a-
través da denominada deformação específica de distorção, dada por: 
d = u / c0 = tg ...........................................(1.6.6) 
 Fig. 1.6.2– Deformações específicas. 
É fácil demonstrar, diante da pequena extensão dos valores atingidos pelas de-
formações dos corpos sólidos solicitados, que: 
s x y
v x y z 
Realmente: S = a x b = a0 (1 + x) b0 (1 + y) = a0 b0 ( 1+ x+ y+ x y) = S0 (1 + s ). 
l0 
l 
a0 
a 
a0
 
a 
b0 
b 
S0 
u 
c0 
Desprezível em 
presença de (1.6.7) ..................... 
A - Introdução 
22
 
A determinação experimental das deformações e seu relacionamento com as 
tensões são feitos através de ensaios, sendo os mais importantes os de tração e de 
compressão, realizados na máquina universal esquematizada na Fig. 1.6.3. 
A peça a ser ensaiada (corpo de prova) é padronizada e, dependendo das características do material, 
obtem-se um gráfico da força normal (N) em função da elongação ( l) conforme apresentado abaixo 
x
 
x 
1
 
7
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
1 – cilindro e êmbolo 
2 – bomba hidráulica (medidor de vazão) 
3 – mesa (chassi) móvel 
4 – corpo de prova para tração 
5 – corpo de prova para compressão 
6 – mesa (chassi) fixa 
7 – manômetro (medidor de pressão) 
8 – fluido hidráulico 
8
 
Fig. 1.6.3 – Máquina Universal de Ensaios de Tração e Compressão. O manôme-
tro mede a pressão permitindo avaliar a FORÇA aplicada ao corpo de prova. O medidor de vazão da 
bomba hidráulica mede o volume de fluido (incompressível) injetado nocilindro, permitindo avaliar o 
deslocamento do êmbolo, e portanto a DEFORMAÇÃO do corpo de prova. Os chassis (mesas) são 
suficientemente robustos a fim de que suas deformações sejam desprezíveis. 
 1 
 
 2 
 
 3 
 
 4 
 
 5 
 
 6 
 
 7 
 
elongação 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Força Normal 
 
Material Frágil 
Material Dútil 
Borracha 
Fig. 1.6.4 – Gráfico Força x elongação. 
l 
 
A - Introdução 
23
Quando os valores de N são divididos pela área inicial (A0) da seção reta e as elonga-
ções l pelo comprimento inicial l0 do corpo de prova, obtem-se um gráfico para as 
tensões normais ( ) em função da deformação específica longitudinal ( ) idêntico ao 
anterior (a menos de um fator de escala). 
Se, após ter sido atingido o ponto E2 (Fig. 1.6.5), por exemplo, o corpo de pro-
va for descarregado, o gráfico de carga segue a linha E2 T, apresentando o corpo de 
prova, ao final, uma deformação residual permanente. 
As tensões reais atuantes no corpo de prova diferem daquelas mostradas no 
gráfico, já que a deformação lateral, provocando a estricção, diminui o valor da área 
da seção transversal, fazendo com que a tensão verdadeira seja sempre crescente 
(como indicado na linha pontilhada até R*). É a favor da segurança adotar-se como 
valores das tensões limites aqueles calculados como se a área mantivesse sua exten-
são original A0 , obtendo-se valores para a tensão ligeiramente menores do que aque-
les que realmente estão presentes no material, quando do ensaio realizado. 
 1 
 
 2 
 
 3 
 
 4 
 
 5 
 
 6 
 
x
50 
100 
200 
250 
300 
350 
150 
 
A análise da curva da Fig. 18 (típica de 
um material dútil como o aço com baixo teor de 
Carbono) nos permite assinalar os seguintes 
pontos notáveis: 
(P) – limite de proporcionalidade (até onde a 
tensão é proporcional à deformação) 
(e) – limite de elasticidade (até este limite, 
quando descarregado, o corpo de prova re-
cupera suas dimensões iniciais); 
(E1-E2) – limite de escoamento (grandes 
deformações sem o correspondente aumento 
da tensão); 
(S) – limite de resistência – estricção – 
(brusca diminuição da área da seção); 
(R) - limite de ruptura (fase final do estira-
mento: o corpo de prova se rompe). 
 
P 
e 
E1 E2 
S 
R 
R*
 
T 
 
Os materiais para os quais o dia-
grama tensão-deformação não apresenta 
claramente todos os pontos citados 
(como os materiais frágeis), o limite de 
escoamento é adotado arbitrariamente 
como aquele que, quando atingido, pro-
voca uma deformação permanente pa-
dronizada (0,2%, no caso de metais e 
ligas metálicas em geral – Fig. 1.6.6). 
É importante reafirmar que o que 
se provoca diretamente no ensaio não 
são as tensões, mas sim as deformações, 
que são feitas crescentes de forma line-
ar. A relação entre as deformações 
promovidas e as tensões conseqüentes 
será estabelecida através da propriedade 
denominada elasticidade dos materiais.
 
0,2% 
Fig. 1.6.5 – Diagrama Tensão x Deformação 
Fig. 1.6.6 – Limite de “escoamento” (arbitrário) 
para materiais frágeis. 
 
(MPa) 
A - Introdução 
24
1.7 – ELASTICIDADE 
A análise dos gráficos que relacionam tensões e deformações nos leva a 
concluir que, até certo limite (o de proporcionalidade) a tensão varia linearmente 
com a deformação específica , nos permitindo escrever a relação: 
 ..........................(1.7.1) 
(Lei de Hooke da elasticidade) sendo a constante de proporcionalidade E denominada 
módulo de elasticidade longitudinal (ou módulo de Young) do material. Esta 
propriedade é uma grandeza com a mesma dimensão de tensão (para o aço, E = 210 x 
109 N/m2 = 210 GPa). 
A elongação l sofrida por uma barra reta de comprimento inicial l0 e área de 
seção reta A0, será obtida de 1. 6.7, levando em conta 1.5.1 e 1.6.1, como: 
 ................................... (1.7.2) 
No caso de materiais para os quais a equação 1.6.7 não se aplica (materiais 
frágeis, fig. -1.6.6) define-se um módulo de elasticidade inicial (E0 = d /d ]
 
Observa-se, também experimentalmente, que as deformações transversais 
( t são proporcionais às longitudinais ( ), ou seja: 
 ....................................... (1.7.3) 
relação que define outra propriedade elástica do material, o coeficiente de Poisson 
nî - sinal negativo caracteriza o fato de que as deformações lateral e longitudinal 
têm sempre sentidos opostos). O coeficiente de Poisson é uma grandeza adimensional 
(que para a maioria dos materiais varia entre 0,25 e 0,33, tendo o valor 0,30 para o 
aço). 
Supondo um elemento volumétrico submetido a tensões normais nas três 
direções ortogonais (Fig. 1.6.7) e, levando em conta o princípio da superposição dos 
efeitos, podemos escrever as equações que exprimem a Lei de Hooke na forma 
generalizada para materiais isótropos: 
 ....... (1.7.4) 
E
 
N l0
l =
 
t
z 
x 
x 
y 
y 
z 
x = (1/E) [ x - ( y + z )] 
y = (1/E) [ y - ( z + x )] 
z = (1/E) [ z - ( x + y )] 
Fig. 1.7.1– Lei de Hooke Generalizada 
A - Introdução 
25
 
A deformação volumétrica v pode ser obtida, utilizando as equações 1.6.7 e 
1.7.4, como: 
 v = [(1 – 2 )/E] [ x + y + z ]. 
Designando por m a tensão média, definida por (1/3) [ x + y + z ], obte-
mos: 
 v = [3(1 – 2 )/E] [ m ], o que nos permite escrever: 
m = K v onde K = E / 3(1 – 2 ) (K – módulo de elasticidade volumétrico) 
O fato de as propriedades elásticas citadas serem grandezas necessariamente 
positivas, indica que o coeficiente de Poisson 
 
é um número compreendido entre 0 e 
0,500 (0 para a cortiça – com vazios internos que se fecham, não provocando a de-
formação transversal e 0,5 para os líquidos – praticamente incompressíveis – volume 
constante). 
Observações experimentais através de ensaios por torção, também dão conta da 
constatação de que as tensões tangenciais ( ) são proporcionais às deformações por 
distorção ( ), até certos limites, ou seja: 
 .......................... (1.7.5) 
sendo G o chamado módulo de elasticidade transversal (ou módulo de rigidez) que, 
para o caso dos corpos fluidos, tem um valor nulo. 
A compatibilidade geométrica dos deslocamentos lineares e distorções de um 
elemento permite estabelecer uma relação entre as propriedades elásticas acima 
definidas (levando em conta o fato representado na Fig. 1.7.2), a saber: 
 ....................................(1.7.6) 
 
 
G
 
G = E / 2(1 + ) 
a 
a(1+ ) 
a 
a(1- 
90º - 
já que tg (45º - 
levando em conta 1.7.1 e 5, além de que 
e que são pequenas as deformações. 
Fig. 1.7.2 – Relação entre as deformações longi-
tudinal, lateral e a distorção. 
A - Introdução 
26
 
1.8 – Energia de deformação. 
Na fase elástica, o trabalho realizado pelas forças externas é armazenado no 
corpo deformado sob a forma de energia potencial elástica. 
No caso de uma barra prismática, de comprimento l0, de seção com área A0 , 
tracionada por uma força crescente, de zero até o valor final N
 
(Fig 1.7.1), o trabalho 
W de deformação será dado por: 
 l 
 W = N d( l).o 
que pode ser representado pela área abaixo do gráfico N x l. 
Desde que não seja ultrapassado o limite de proporcionalidade, pode-se es- 
crever: 
 W = (1/2) N ( l) = (1/2) (N2 l0 / E A0 ) = (1/2) A0 l0). 
Fig. 1.8.1 – Energia de deformação . Resiliência. Tenacidade. 
O trabalho realizado pela força normal será igual à energia potencial armaze-
nada pela peça (U), nos permitindo escrever que, a energia específica (por unidade 
de volume V = A0l0) será dada por: 
 u = U/V = (1/2) 
 
grandeza medida em Joules/m3 = N/m2 = Pa. 
A energia que um corpo armazena, por unidade de volume, quando, a partir do 
zero, se eleva o valor da tensão até o limite de proporcionalidade, é a chamada resili-
ência do material. A energia total despendida (por unidade de volume) até o limite de 
ruptura é a chamada tenacidade do material (representadas pelas áreas hachuradas na 
figura 1.7.1). 
Analogamente se mostra que a energia específica armazenada por distroção 
será dada por: ud = (1/2) G = (1/2) G 
1.9 - Propriedades mecânicas dos materiais 
Os materiais comumente utilizados na construção civil ou mecânica podem ser 
classificados, de maneira genérica, em dois grandes grupos: os materiais dúteis e os 
materiais frágeis. A propriedade de um material apresentar grandes deformações 
N 
( l) 
N 
( l) 
Resiliência 
Tenacidade
 
W = U
 
A - Introdução 
27
residuais sem se romper é a chamada dutilidade ou plasticidade. É uma propriedade 
primordial para as operações de conformação, como a laminação, embutimento, 
estrusão, usinagem, etc, normalmente presentes nos processos de fabricação de peças 
metálicas. Os materiais dúteis são flexíveis, macios, com grande capacidade de 
absorver energia por deformação (tenacidade). A característica oposta à dutilidade é a 
chamada fragilidade, típica de materiais quebradiços e duros, que sofrem ruptura 
sem passar por deformações residuais notáveis. 
A dureza é uma terceira propriedade importante, caracterizada pela capacidade 
de o material se opor à penetração mecânica de outros corpos. 
A seguir é apresentada uma Tabela que indica valores médios de certas 
propriedades mecânicas de alguns materiais utilizados na construção de estruturas e 
máquinas. Esses valores variam largamente em função da composição química (teor 
de elementos de liga), de tratamentos térmicos (aços), temperaturas elevadas (tubos 
de caldeiras), do tempo (concreto), etc., e devem ser tomados aqui apenas como 
indicativos de sua ordem de grandeza, para efeito de aplicações em problemas. 
Materiais 
Massa 
Específ.
 
(ton/m3)
 
Módulo 
Elast.Long.
 
(GPa) 
Módulo 
El.Transv.
 
(GPa)
 
(Tração)
 
(MPa) 
Compres
 
(MPa) 
Cisalh.
 
(MPa) 
(Tração)
 
(MPa) 
Compres
 
(MPa) 
Cisalh. 
(MPa) 
Elong. 
Percent
 
(%) 
Coef. 
Dil.Tér.
 
(10-6C-1 
Aço Estrutural 7,87 200 76 250 250 150 450 450 270 28 11,7 
Aço 1020 (temp) 7,87 210 80 230 230 138 620 620 370 22 11,7 
Aço 1040(lamn) 7,87 210 80 360 360 215 580 580 350 29 11,7 
AçoInox (recoz) 7,92 190 78 510 510 305 1300 1300 780 12 11,7 
Ferro Fundido 7,37 165 69 - - - 210 800 - 4 12,1 
Alumínio trab. 2,77 70 28 300 300 215 410 410 240 20 23,6 
Latão 8,75 105 39 100 100 60 270 270 130 50 17,6 
Bronze 8,86 100 45 140 140 85 340 340 200 50 16,9 
Concreto 2,41 24 - - - - - 25 - - 10 
Vidro 2,50 75 27 - - - 5 10 - - 950 
Madeira(Pinho) 0,55 13 - - - - - 51 7,6 - - 
Carvalho 0,69 12 - - - - - 48 13 - - 
Polietileno 0,91 3 - - - - 48 90 55 - - 
 
1.10 – Tensões Admissíveis. Coeficiente de Segurança. 
As tensões de trabalho nos elementos de uma estrutura ou máquina devem ser 
mantidos suficientemente afastados dos valores limites do material, a fim de se obter 
certa márgem de segurança para compensar as simplificações feitas nos esquemas de 
cálculo, na incerteza nos valores dos carregamentos admitidos e nas propriedades 
mecânicas dos materiais utilizados, e ainda visando à salvaguarda contra danos 
materiais e pessoais oriundos de uma ruína. É recomendável ainda que a construção 
não apresente sinais que lancem suspeita sobre sua segurança (deformações 
exageradas compromentem a confiabilidade) mas apresente sinais visíveis de 
advertência de estados perigosos, sem que qualquer desses sinais seja evidente sob a 
ação das cargas de projeto. 
As tensões que serão consideradas como limites são específicas para cada caso. 
Por exemplo: aço para molas (a tensão limite é a de proporcionalidade); aço estrutural 
(a tensão limite é a de escoamento); ferro fundido (a tensão limite é a de ruptura). 
Tensão Limite Escoamento Tensão Limite Ruptura G E 
Tabela I – Propriedades Mecânicas de alguns materiais comuns 
A - Introdução 
28
 
A tensão máxima de trabalho que se vai admitir estar presente num elemento 
carregado é a chamada tensão admissível, dada por: 
....................(1.10.1) 
onde S é a tensão (seja normal 
 
ou tangencial ) e C.S. é o chamado coeficiente de 
segurança, parâmetro adimensional que é introduzido no projeto, baseado na 
experiência do projetista e em normas técnicas reguladoras. 
A avaliação do valor do coeficiente de segurança C.S. pode ser norteada pela 
interação de três fatores cumulativos, através da expressão: 
C.S = k1 . k2 . k3 ............................................(1.10.2) 
O fator k1 está relacionado com o controle (confiabilidade) quando às 
propriedades dos materiais utilizados e quanto à eficácia (precisão) dos modelos de 
cálculo simplificado assumidos e dos critérios de resistência adotados (minoração da 
resistência dos materiais adotados). 
O fator k2 é selecionado em função da natureza e do controle do carregamento 
admitido (majoração das cargas previstas). 
O fator k3 é estimado em função da gravidade dos danos, pessoais e materiais, 
advindos de uma possível ruína (minoração de riscos). 
A Tabela II a seguir apresenta a ordem de grandeza de valores para os fatores 
k, algumas vezes utilizados no projeto de estruturas e máquinas. 
Na construção de elementos de máquinas (materiais metálicos) o coeficiente de segurança 
utilizado varia, em geral, entre 1,5 e 2,0 (na construção aeronáutica o C.S. chega a ser próximo de 
1,0, já que as peças são testadas, uma a uma, antes da montagem, enquanto que para um cabo de 
elevador residencial seu valor pode chegar a 7,0). Na construção mecânica, se verá mais adiante, o 
fenômeno da fadiga é de especial relevância. 
Estruturas de madeira ou em concreto, normalmente, são projetadas com coeficiente de 
segurança entre 2 e 4, enquanto para construção em pedra, esse coeficiente pode atingir valor entre 
4 e 6. 
As normas técnicas (NBR) estabelecem os critérios para o estabelecimento de tais 
coeficientes. 
 
Sadm = Slim / C.S. 
 
Controle Materiais 
K1
 
B R M 
B 1,0 
 
2,0
 
3,0
 
R 1,5
 
2,5
 
3,5
 
M 2,0
 
3,0
 
4,0
 
C 
á 
l 
c 
u 
l 
o 
s 
 
Cargas Controle 
K2 B R M 
Estática 1,0 
 
1,5
 
2,0
 
Cíclica 1,5
 
2,0
 
2,5
 
Dinâmica
 
(choque) 
 
2,0
 
2,5
 
3,0
 
 G.D. Materiais 
K3 PG G MG
 
PG 1,5 
 
1,8
 
2,0
 
G 2,0
 
2,5
 
3,0
 
MG
 
2,5
 
3,0
 
4,0
 
a 
p 
l 
i 
c 
a 
ç 
ã 
o 
p 
e 
s 
s 
o 
a 
i 
s 
Tabela II – Fatores contribuintes para a estimativa do Coeficiente de Segurança. 
B – Bom ; R – Regular; M – Mau; G.D. – Gravidade dos Danos; PG – Pouco Grave; 
 
G – Grave; MG – Muito Grave. 
B – Tração / Compressão Puras 
 1
 
2.0 – TRAÇÃO/COMPRESSÃO PURAS 
 Neste capítulo estudaremos o comportamento das peças prismáticas (barras retas) 
submetidas a um estado de tração (ou compressão) pura, onde o único esforço 
solicitante presente é a força normal N. 
 
2.1 – FORÇA NORMAL 
 A força normal N é a resultante dos esforços locais atuantes sobre a seção, na 
direção que lhe é perpendicular (Fig. 2.1.1-a). Segundo a convenção de sinaisadotada, a 
tensão será (+) no caso de tração, e (-) no caso de compressão. 
 A Fig. 2.1.1-c apresenta, para a peça esquematizada em b, o diagrama de esforços 
solicitantes que informa o valor da força normal em cada seção, em função de sua 
posição na peça (o efeito do preso próprio foi levado em consideração). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O caso comum de peças em equilíbrio, submetidas, única e exclusivamente, à 
ação de apenas 2 forças, implica necessariamente em que essas duas forças sejam 
diretamente opostas. Assim é que sistemas compostos de barras articuladas, com cargas 
externas aplicadas nas articulações (nós) são estruturas (treliças) nas quais seus 
elementos são submetidos, exclusivamente, à tração ou compressão. 
 Os métodos de determinação dos esforços nas barras de uma treliça são 
apresentados nos cursos de Mecânica Geral (Isostática – método das seções e método 
dos nós) 
N T1=30 kN 
 
 
 
P1 = 5 kN 
 
C1 = 20 kN 
 
 
 
P2 = 10 kN 
 
C2 = 20 kN 
 
 + 
_ 
N em kN 30 
25 
15 
25 
 (a) (b) (c) 
 
Fig. 2.1.1 – Tração (ou compressão). Força Normal. Diagrama de Força Normal. 
N 
B – Tração / Compressão Puras 
 2
 P 
 P P 
 P/2 P/2 
 
 
 
 
 2P 2P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O conhecimento do sentido do esforço (se de tração ou compressão) é 
fundamental levando-se em conta que, enquanto peças esbeltas de aço comprimidas 
pelos topos correm o risco de uma instabilidade elástica (flambagem), por outro lado, 
peças de concreto são pouco resistentes à tração (necessitando da presença de armadura 
de aço). 
 Muitos são os exemplos de elementos estruturais que trabalham sob tração ou 
compressão pura, como os pilares, os cabos flexíveis, parafusos, reservatórios sob 
pressão, etc. 
 
2.2 – TENSÃO NORMAL 
 Na determinação da distribuição das tensões normais ao longo dos pontos da 
seção transversal de uma barra reta submetida a esforço normal, faremos a hipótese 
simplificadora de que a seção reta permanece plana após a deformação (hipótese de 
Bernoulli). Isto implica em que as deformações específicas ε das fibras longitudinais da 
barra sejam uniformes e, levando em conta a proporcionalidade entre as tensões e 
deformações (Lei de Hooke) para o regime elástico, conclui-se que as tensões se 
distribuirão uniformemente ao longo dos diversos pontos da seção. 
 X 
 (a) (b) 
 
 Y 
 
 Z 
Fig. 2.1.2 – Treliça Simples. a) método das Seções; b) método dos nós. 
B – Tração / Compressão Puras 
 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da definição de Força Normal, podemos escrever: 
 
 N = σ dA, 
e como σ foi suposto constante, obtemos: 
 
 ................................ (2.2.1) 
 
sendo a resultante N,desses esforços uniformemente distribuídos, aplicada no centróide 
da área da seção, já que, sendo o momento fletor nulo nos casos de tração/compressão 
pura (tanto em relação ao eixo y como ao eixo z), será correto escrever: 
 σ dA . y = Mz = 0 e σ dA . z = My = 0, portanto, y dA = 0 e z dA = 0. 
 (os momentos estáticos serão nulos em relação a eixos que sejam baricêntricos) 
 A observação experimental confirma os resultados obtidos pela aplicação deste 
modelo simplificado para o cálculo das tensões em seções suficientemente afastadas dos 
pontos de aplicação das cargas externas (Princípio de Saint’Venant) ou em regiões onde 
não haja descontinuidades bruscas nas dimensões da seção transversal ao longo da barra 
(como furos, escalonamentos, etc), que provoquem concentração de tensões. 
 z 
 
 ε 
 
 N 
 
 x 
 
 
y 
 dA 
 
 
 σ 
N 
Fig. 2.2.1 – Tração ou Compressão. Tensão Normal no regime elástico. 
∫ 
∫ 
 
σ = N / A 
∫ ∫ ∫ 
B – Tração / Compressão Puras 
 4
 Como exemplo, analisaremos a estrutura esquematizada na Fig. 2.2.2 (aparelho 
de carga) composto de uma barra de madeira AB, articulada em A e estaiada em B por 
um tirante de aço BC, dimensionada para içar uma carga de 1,0 tonelada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,00m 
300
70 x 70 
mm2 
d = 15 mm 
1 ton 
B 
A 
C 
Fig. 2.2.2 – Pau de Carga. 
Na estrutura em análise (uma treliça simples), a 
barra AB estará comprimida enquanto o tirante de aço 
ficará tracionado. 
A carga ativa de 1,00 tonelada, aplicada em B, 
(correspondente a uma força de 9,81 kN), quando 
decomposta nas direções da barra e do tirante (atenção, 
não confundir o conceito de componente com o de 
projeção!) fornece os seguintes valores para os esforços 
nos dois elementos da estrutura (em kN): 
 
Nbarra = 2 x 9,81 = 19,62; Ntirante = 1,732 x 9,81 =16,99. 
 
Para as tensões obtemos: 
 
 σbarra = (19,62x103) / (70x70x10-6) = 4,00 MPa 
 σtirante = (16,99x103) / (π x 152 x 10-6 / 4) = 96,14 MPa 
16,99 kN 
9,81 kN 
19,62 kN 
30° 
 Se adotarmos como tensões limites os valores 230 MPa (tração) para o tirante de aço e 48 
MPa (compressão) para a barra de madeira (Tabela 1), avaliaríamos os coeficientes de segurança 
como sendo: (CS)aço = 230 / 96,14 = 2,39; (C/S)madeira = 48 / 4,00 = 12. Para a estrutura como um 
todo, o coeficiente de segurança teria o valor 2,39 (obviamente o menor). 
 Na realidade, a barra de madeira comprimida, por ser longa e esbelta, poderá estar sujeita, 
não só ao esmagamento do material (como calculado), mas também a uma instabilidade elástica 
(flambagem). Como veremos adiante, a carga crítica para flambagem de uma barra articulada nas 
extremidades, de seção quadrada de lado a, de comprimento l e módulo de elasticidade longitudinal 
E é dada pela fórmula de Euler: 
Pcrítico = π2 E a4 / 12 L2 
 No caso em análise Pcrítico = π2 x 13 x 109 x (0,070)4 / (12 x 22 ) = 64,18 kN 
O (CS)flambagem valeria 64,18 / 19,62 = 3,3 (e não o valor 12, calculado para o esmagamento). 
Forças sobre o nó B ( ) 
B – Tração / Compressão Puras 
 5
 O efeito do peso próprio no caso em análise (provocando flexão na barra) é 
desprezível já que, tendo 2,0 m de comprimento e seção 70 x 70 mm2, com um volume 
de 2 x 0,072 = 0,0098 m3, teria um peso de aproximadamente 6,8 kgf (66N) (adotando 
uma densidade 0,69 – Tabela 1). 
 No caso de colunas de grande altura, o efeito do peso próprio deve ser levado em 
conta. 
A variação, tanto da força normal, como da área da seção, provoca modificações 
no valor da tensão normal ao longo da coluna que são determinadas pela análise estática 
da peça. 
A Fig. 2.2.3 – “a” mostra o diagrama de tensões normais para uma coluna em 
forma de tronco de cone. No topo, a tensão vale P0 / A0. Na base a tensão será dada por: 
σ = [P0 + ½ (A0 + Ah)x h x γ] / Ah], sendo γ o peso específico do material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Fig. 2.2.3 – “b” indica o formato do chamado “pilar de igual resistência” (aquele no qual o 
valor da tensão é uniforme ao longo da extensão do pilar). 
O equilíbrio de forças agindo no elemento de espessura dx nos permite escrever: 
N + γ A dx = N + dN e portanto, (dN / dx) = γ A. Como, por hipótese, σ = N/A é uma constante 
(σ* ), dN = σ* dA e, portanto, (σ* dA / dx) = γ A. Separando as variáveis, teremos: 
(dA / A) = γ dx, que integrada fornece: A = A0 eγ x = (P0 / A0) eγ x 
 
 
P0 P0 A0 A0 
h h 
x 
dx 
Ah 
Fig. 2.2.3 – a) Pilar em forma de tronco de cone. b) Pilar de igual resistência ( σ = constante = P0/ A0 ) 
N 
 A 
 
N + dN 
(a) (b) 
B – Tração / Compressão Puras 
 6
 2.3 – DEFORMAÇÕES 
 A deformação elástica sofrida por uma barra reta tracionada ou comprimida pode 
ser calculada, levando em conta a equação 1.6.7 aplicada a um elemento infinitesimal, 
escrevendo-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No caso simples de barras de seção uniforme (A constante), submetida a uma 
força normal N constante e constituída de um mesmo material, a equação 2.3.1 se 
converte em δL = N Lo / E A = σ Lo / E. 
Como um primeiro exemplo de aplicação, calculemos o deslocamento sofrido pela 
extremidade B da barra do pau de carga da figura 2.2.2, sob a ação da carga de 1,0 tf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo efetuado poderia ser desenvolvido por considerações de energia. 
ε = δ(dx) / dx = σ / E = N / E A, 
 
que fornece a variação da dimensão 
dx representativa da distância entre 
duas seções contíguas. 
 Portanto, no cálculo da 
elongação total (cumulativa) de 
uma barra reta submetida à 
tração/compressão teremos: 
 Lo 
δL=∫ (N / E A) dx ..........(2.3.1) 
 0 
 O conhecimento de como 
variam N, A e E, em função da 
posição x de cada seção, permitirá a 
determinação da elongação total 
através da integração definida para 
os limites da extensão da barra.
x 
dx 
N 
A 
Lo 
Fig. 2.3.1 – Elongação de uma barra reta 
tracionada ou comprimida. 
0,793 
A barra AB diminuirá seu comprimento em: 
δLbarra = (19,62 x 103 x 2) / 13 x 109 x (70x70)x10-6 = 
0,0006160 m = 0,616 mm; 
O tirante CB aumentará seu comprimento em: 
 δLtirante = (16,99 x 103 x 1,732)/ 210x109 (πx152x10-6/4) = = 
0,0007929 m = 0,793 mm. 
Diante das pequenas deformações podemos supor a 
manutenção da geometria quanto aos ângulos (por exemplo, 
o de 30°) e escrever: 
δh = 0,793 / tg30° + 0,616 / sen30º = 2,605 mm. 
0,616 
30° 
δh 
B – Tração / Compressão Puras 
 7
Realmente: o trabalho realizado pela força-peso da carga, ao deslocar seu 
ponto de aplicação de uma distância δh, para baixo, ficará armazenado, sob a forma de 
energia potencial elástica, nas peças deformadas (a barra comprimida e o tirante 
tracionado). 
Assim, pode-se escrever: 
½ P x δh = ½ Nb2 Lb / Eb Ab + ½ Nt2 Lt / Et At 
(o fator ½ que aparece nas três parcelas representa o fato de que as forças são aplicadas 
estaticamente, crescendo linearmente, do valor zero até o seu valor final). 
 No caso: ½ 9,81 x 103 x δh = 
= ½ (-19,62 x 103)2 x 2,0 / 13 x 109 x (70x70x10-6) + ½ (16,99 x 103)2 x 1,732 / 210x109x(π152x10-3/4) 
e, δh = 2,605mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 – PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS. 
A possibilidade de se determinar as deformações sofridas pelas barras carregadas 
axialmente permitirá a solução de problemas que, por redundância de vinculação, se 
tornam hiperestáticos (ou seja, aqueles para os quais as equações da Estática são 
numericamente insuficientes para a determinação dos esforços vinculares). 
Assim é que, por exemplo, para a barra bi-engastada representada na Fig. 2.4.1, a 
equação da Estática disponível nos fornece, tão somente: 
 R1 + R2 = P ...................................................... (a), 
Deixa-se como exercício, demonstrar que, 
para uma barra prismática, suspensa por uma das 
extremidades e pendendo na vertical sob a ação de 
seu próprio peso, a tensão máxima, ocorrente na 
parte superior onde é fixada, independe das 
dimensões da seção, sendo diretamente 
proporcional a seu comprimento. Além disso, a 
elongação total sofrida equivale à metade daquela a 
que uma barra de mesmas dimensões sofreria se lhe 
fosse aplicada uma força igual a seu peso na 
extremidade livre. 
Fica também como exercício calcular, por 
integração, a elongação sofrida por uma barra em 
forma de um cone (admitindo-se que seja uma peça 
longa, de pequena conicidade, para a qual se 
pudesse supor uniforme a distribuição das tensões 
nos diversos pontos de cada seção). 
lo 
δL 
Fig. 2.3.2 – Ação do peso próprio (exemplos) 
B – Tração / Compressão Puras 
 8
podendo-se presumir que o trecho (1) estará comprimido, e o trecho (2) tracionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O levantamento da indeterminação pode ser feito das seguintes maneiras: 
A) pela compatibilidade dos deslocamentos (deformações): 
Como a manutenção da integridade da barra implica em que a diminuição do comprimento do 
trecho (1) deva ser exatamente igual ao aumento do comprimento do trecho (2), poderemos escrever: 
 R2 x L2 / E2 x A2 = R1 x L1 / E1 x A1 ...........................................(b), 
 
que, combinada com (a), forma um sistema que permite calcular os valores de R1 e R2. 
 
B) pela superposição dos efeitos: 
 Supondo que o apoio da direita fosse retirado, a barra (1) ficaria submetida a um esforço de 
compressão de valor P, diminuindo seu comprimento no valor P L1 / E1 A1. A barra (2) seria arrastada, 
deslocando-se por translação, em igual valor. A força R2 necessária para tracionar a barra (2), para que 
a sua extremidade da direita volte a tocar o apoio da direita (retornando ao status real), seria: 
 R2 x L1 / E1 x A1 + R2 x L2 / E2 x A2 = P L1 / E1 A1 ...........................(b’) 
Nas duas alternativas para solução obteremos: 
R1 = [E2 A2 L1 / (E2 A2 L1 + E1 A1 L2 )] P e R2 = [E1 A1 L2 / (E1 A1 L2 + E2 A2 L1 )] P 
que, para o caso especial em que E1 = E2, L1 = L2 e A1 = A2, (simetria completa) se converte em R1 = 
R2 = P/2. 
Observação: inicialmente, pode parecer que a segunda maneira de raciocinar seja mais 
complicada que a primeira. Isto realmente ocorre neste exemplo. Há casos, ao contrário, em que o uso 
da superposição dos efeitos se mostra mais apropriado que o da compatibilidade de deslocamentos. 
Como segundo exemplo de aplicação, seja determinar as tensões de tração nos 
cabos de sustentação da barra rígida ABC esquematizada na figura 2.4.2. 
 
 
A1 ; E1 A2 ; E2 
P/2 
P/2 
R1 R2 
Fig. 2.4.1 – Barra bi-engastada. Problema estaticamente indeterminado. 
- 
+ 
R1 
R2 
L2 L1 
B – Tração / Compressão Puras 
 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtem-se: C =2,56 B, o que, combinado com (a), nos permite calcular: B = 4,190 kN e C = 10,73 kN. 
Ax = (3/5) x 10,73 = 6,436 kN e Ay = - 0,774 kN e [A] = [(6,436)2 + (-0,774)2]1/2 = 6,48 kN (força no 
pino A). As tensões pedidas valerão: σB = 4,19x103/300x10-6 = 14,0 MPa e σC = 10,73x103/200x10-6 = 53,7 MPa. 
2.5 – INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA – Tensões térmicas e de montagem. 
 Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variação de 
temperatura. A propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade, observada 
experimentalmente, entre a variação da dimensão longitudinal de uma peça e a variação de 
temperatura correspondente é denominada coeficiente de dilatação térmica linear 
(α) , definido pela expressão: δLT = α Lo δT ..................... (2.5.1) sendo α medido em ºC-1. 
Ax B C 
 
 
 Ay 
 2,0m 1,0m 1,0m 
2,0m 
3,5m 
12 kN 
300mm2
70GPa 
200mm2
210GPa 
A B C 
1,2 kN 
3 
5 4 
δC δB 
Solução 
 As equações da Estática nos dão: 
 
ΣFx = 0 (3/5) C = Ax 
ΣFy = 0 Ay + B + (4/5) C = 12 (kN) 
ΣMA = 0 12 x 3 =B x 2 + (4/5)Cx4 
 
e, portanto, trata-se de um problema 
hiperestático (o nº de incógnitas é maior 
que o n° de equações da Estática 
disponíveis), podendo-se escrever: 
 
 B + 8C = 90 (kN) .................... (a) 
 
 A suposição de que a barra ABC 
permanece rígida enquanto os cabos de 
sustentação se alongam, nos permite 
escrever (pela compatibilidade dos 
pequenos deslocamentos ocorrentes): 
 
 δB/ 2 = δC / 4 e δC = 2 δB 
 
 Mas o deslocamento vertical do ponto B 
(δB) é a própria elongação do tirante B 
(δLB) enquanto que o deslocamento vertical 
da extremidade C da barra pode ser 
decomposto: