Relatório Lab Física I - 02 - Dimensões Inteiras e Fracionárias

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS DO SERTÃO
AXIS-TEC
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS
ALMIR CÉSAR DE ALCÂNTARA JÚNIOR
GABRIEL MACÊDO DUARTE
DELMIRO GOUVEIA
DEZEMBRO/ 2012
ALMIR CÉSAR DE ALCÂNTARA JÚNIOR
GABRIEL MACÊDO DUARTE
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 
 (
Relatório
 apresentado como requisito parcial para apr
o
vação na disciplina 
Laboratório de Física I
 da 
Univers
i
dade Federal de Alagoas – Campus do Sertão
.
Prof. 
Marcelo Felisberto de Lima.
)
DELMIRO GOUVEIA
DEZEMBRO/2012
SUMÁRIO
1	OBJETIVOS	3
2	MATERIAL UTILIZADO	3
3	INTRODUÇÃO	4
4	PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS	6
5	RESULTADOS	10
5.1	MEDIDA DA LARGURA	11
5.1.1	Medida da largura mais provável (<l>)	11
5.1.2	Incerteza estimada da largura (<Δl>)	11
5.2	MEDIDA DO COMPRIMENTO	12
5.2.1	Medida do comprimento mais provável (<c>)	12
5.2.2	Incerteza estimada do comprimento (<Δc>)	13
5.3	MEDIDA DA ÁREA	14
5.3.1	Medida da área mais provável (A)	14
5.3.2	Incerteza estimada da área (ΔA)	14
6	CONCLUSÃO	16
7	REFERÊNCIAS	17
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS
OBJETIVO
Este relatório tem o objetivo de expor os resultados obtidos após o uso atencioso do método de determinação da dimensão de corpos com formas geométricas irregulares, tentando realizar a correta interpretação e representação dos dados experimentais obtidos após medições diretas.
Para a realização do método, é feito um cuidadoso uso dos dados experimentais aplicando o procedimento para determinação de incertezas, decorridas de flutuações nos resultados das medidas.
MATERIAL UTILIZADO
• Duas réguas graduadas com escala milimétrica;
• Duas folhas de cartolina;
• Uma tesoura.
INTRODUÇÃO
A geometria euclidiana, na qual estamos acostumados a estudar aborda objetos em duas e três dimensões. Em nosso espaço euclidiano tridimensional habitual estamos cercados de objetos de forma plana de duas dimensões (bidimensional) e pirâmides, cubos de três dimensões (tridimensionais). No entanto, com o surgimento de objetos de forma geométrica complexa e detalhada, sendo assim imperfeitas e irregulares, houve a necessidade do surgimento da geometria fractal para medir estes objetos, visto que as definições tradicionais da geometria euclidiana não englobam o estudo de fractais. 
“Os fractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando auto semelhança e complexidade infinita.” (Rodrigo Siqueira, 2005)1. Como a quantidade de detalhes é infinita, nunca conseguiremos representar um fractal completamente. A auto semelhança diz que um fractal pode ser dividido em partes, e cada parte menor é semelhante ao objeto original, ou seja, “um pequeno pedaço é similar ao todo.” (Rodrigo Siqueira, 2005)2. A geometria fractal admite dimensão fracionária, denominada de dimensão fractal.
Os fractais podem ser encontrados em todo o universo natural, na ciência, arte, matemática. As árvores, samambaias, nuvens, relâmpagos, montanhas e diversas formas imperfeitas e irregulares podem ser descritas pela geometria fractal.
Esses elementos são como formas complexas que não podem ser medidas apenas por dimensão topológica. A dimensão fractal surge então como uma alternativa de medição já que pode assumir valores fracionários, obtendo assim o grau de complexidade de uma forma. Segundo Maysa Macedo, “pode-se afirmar que a dimensão fractal de um conjunto é um valor que diz o quão densamente um conjunto ocupa o espaço métrico em que ele existe”3.
No experimento a ser realizado, será verificada a aplicação da geometria fractal ao amassar uma folha de cartolina, um objeto bidimensional, transformando-a numa espécie de esfera, um objeto tridimensional. O ato de amassar a cartolina implica na fragmentação de uma área em áreas menores. Para tal, será observada a relação de dependência entre a sua grandeza linear – o diâmetro das esferas – com a sua massa.
Durante o experimento foram realizadas sete sucessivas medições diretas de cada fractal, realizando a correta interpretação dos dados obtidos. Para isso alguns cálculos são necessários. Tal procedimento será apresentado no guia “Procedimentos Experimentais” deste trabalho.
As tomadas das medidas foram registradas, de forma direta, durante a prática, com cuidado, assim evitando qualquer erro sistemático que porventura venha a ocorrer. É de suma importância, além do cuidado, ter um bom conhecimento do método empregado e de todo o processo envolvido.
Todo o procedimento será mais bem explicado no decorrer do presente trabalho.
14
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
Com as duas folhas de cartolina em mãos, sete bolas de papel amassado foram formadas para a confecção dos fractais, cada uma com massa equivalente a 2n, no qual n é a enésima fração de tamanho referente à folha de cartolina, como esquematizado abaixo.
Figura 1 - Procedimento de divisão da folha de cartolina.
Uma cartolina inteira foi totalmente amassada formando a primeira bola de papel, essa com massa equivalente a 64 u.m. (unidades de massa), como mostrado na figura 1. A outra cartolina foi amassada formando divisões de 2, em que uma parte foi separada para construção da bola, e a outra dividida ao meio, formando assim papéis com massas equivalentes a 32 u.m. a 1 u.m., como mostrado na figura 1.
Após ter concluído o passo acima, uma única pessoa da dupla amassou as folhas divididas formadas em formato de bola, tal medida foi tomada para que houvesse uma maior uniformidade em relação ao formato.
Com cuidado, tomando controle de qualquer erro sistemático, cada aluno mediu de três a quatro vezes o diâmetro de cada bola, realizando assim um conjunto de sete medições da grandeza linear.
Esse conjunto de medidas, anotados na escala de centímetros, foi constituído com um total de três a quatro algarismos significativos, sendo os primeiros os algarismos corretos, isentos de dúvidas, até a escala milimétrica, e o último deles o algarismo duvidoso, a décima parte da menor divisão da escala do instrumento, no caso, a décima parte do milímetro, tomado a olho nu.
Depois de ter o material pronto, o objetivo é definir a constante d, a dimensão dos objetos, que pode assumir valores inteiros e/ou fracionários.
Em formas geométricas elementares, d assume um valor inteiro e é interpretado como a dimensão do objeto. Assim, trabalhando com esferas maciças de densidade uniforme, tem-se
				(1)
no qual M é a massa, a densidade volumétrica de massa, V o volume e D o diâmetro.
É percebido que a massa M é diretamente proporcional à densidade volumétrica da massa do objeto multiplicada por seu volume.
A equação (1) pode ser reescrita da seguinte forma:
 				 (2-a)
no qual,
Para complementação, a versão bidimensional da equação (2-a) será:
 	 		 (2-b)
no qual,
Já na forma unidimensional, tem-se:
 	 		 (2-c)
no qual,
Para esse caso, é esperado um d situado da seguinte forma: 2 < d ≤ 3, ou seja, um d que está entre uma dimensão de ordem 2, uma dimensão topológica, e uma dimensão de ordem 3, dimensão do espaço Euclidiano. Um valor fracionário representa uma “dimensão fractal”, enquanto os objetos possuindo d fracionário são chamados de “fractais”.
A representação gráfica é de suma importância quanto a ilustrar e sintetizar as relações entre as variáveis de grandezas representativas de um dado fenômeno. As medições diretas através de instrumentos de medição e as medições derivadas de medições diretas, mediante operações matemáticas, são responsáveis por originar as variáveis a serem plotadas em papel gráfico.
As variáveis, no que se diz respeito, vêm afetadas de incertezas. Essas são representadas por uma barra de incerteza, que é um segmento de reta que abrange o intervalo no qual o valor verdadeiro está contido.
No processo de criação do gráfico, haverá um momento ao qual o coeficiente angular da reta estimada comum à função precisará ser determinado. Para isso algumas instruções devem ser tomadas.
a) Traçar duas retas paralelasque contenham a maioria das barras de incertezas e, a partir disso, formar uma figura retangular.
b) Traçar duas retas que corresponderão às diagonais da figura retangular, formando os pontos A, B, C e D.
Depois de completados os procedimentos, determinar os seus coeficientes angulares. A figura abaixo demonstra o procedimento aplicado.
Figura 2 - Representação da incerteza angular.
A partir da figura 2 temos:
Reta BC = Kmax
Calculada através da seguinte equação:
				(3-a)
Reta AD = Kmin
Calculada por meio da seguinte equação:
				(3-b)
O coeficiente angular da reta média será dado por:
					(4)
e sua incerteza por:
					(5)
assim:
 unid. arbt.
Para a obtenção do valor da dimensão d, foi utilizada a equação (2-a) para o processo. Aplicando logaritmo nela, tem-se:
; ; e 				(6)
Pôde-se perceber que a equação obtida assemelha-se à equação do primeiro grau, ou seja, a de uma reta:
 					(7)
Observando a equação (7), observa-se que:
						(8)
portanto:
 e 
Logo pode-se escrever a dimensão da seguinte maneira:
RESULTADOS
Após uma cuidadosa medição das bolas de papel, o conjunto de medidas dos diâmetros está representado na tabela abaixo.
Tabela 1: Representação do conjunto das medidas dos diâmetros dos fractais, em cm.
	 M
D
	1
	2
	4
	8
	16
	32
	64
	D1
	1,7
	2,39
	3,15
	3,6
	4,17
	6,75
	9,31
	D2
	1,65
	2,34
	2,89
	3,91
	5,11
	6,2
	10,01
	D3
	1,85
	2,1
	2,88
	3,75
	4,86
	6,7
	10,2
	D4
	1,6
	2,15
	2,94
	3,73
	4,92
	6,81
	10,47
	D5
	1,67
	2,32
	3,12
	4,2
	5,43
	7,01
	9,73
	D6
	1,62
	2,37
	2,88
	3,96
	4,84
	7,15
	10,9
	D7
	1,53
	2,33
	3,04
	3,63
	5,3
	7,2
	9,88
	<D>
	1,66
	2,29
	2,99
	3,83
	4,95
	6,83
	10,07
	ΔD
	0,07
	0,09
	0,10
	0,17
	0,29
	0,25
	0,39
Com as medidas em mãos, são determinadas as medidas mais prováveis das bolas de papel e de suas respectivas incertezas, como mostrado acima.
É importante ressaltar que qualquer arredondamento desses resultados, por mais que haja uma perda de informação quanto à quantificação dos dados, ela será insignificante no resultado final do processo.
O gráfico, depois de obtidas as devidas medidas, pode ser criado.
Gráfico 1: Representação do gráfico Diâmetro x Massa.
Depois de criado no programa “Origin” (versão do Windows), o gráfico foi linearizado como mostrado no gráfico 1 acima. Os dados foram convertidos para a forma logarítmica na base 10 e os eixos foram deixados na base linear.
Na figura seguinte, é mostrada a obtenção das medidas para medir o coeficiente angular de Kmáx e Kmin, criando as retas BC (Kmáx) e AD (Kmin), além das linhas guias para indicar os seus respectivos valores em cada eixo para assim obter as suas devidas inclinações.
Gráfico 2: Representação do gráfico Diâmetro x Massa com indicações de suas respectivas medidas.
Para a reta BC = Kmax foi obtido o coeficiente angular igual a 0,42 e para a reta AD = Kmin, foi obtido o valor de 0,36. A partir dos dados adquiridos pôde-se calcular o coeficiente angular da reta média através da equação (4), assim o resultado alcançado é de 0,39.
A sua incerteza, por sua vez, foi adquirida através da equação (5), assim tendo , a incerteza da inclinação, igual a 0,03.
Assim K pode ser representado como:
 x 10-2
A constante d é obtida através da equação (8), por conseguinte alcançando o valor igual a:
d = (256 3) x 10-2
Logo, o valor mais provável da dimensão é de 2,56, apresentando uma incerteza de 0,03 para mais ou para menos, podendo ser representada, de forma numérica, como: (256 ± 3) x 10-2.
5 QUESTIONÁRIO
a)Para uma esfera tridimensional de densidade uniforme o valor de d corresponde a três. Para uma esfera bidimensional, como uma moeda de densidade uniforme, seu valor corresponde a dois. Já para uma esfera unidimensional d corresponderia a um.
b)Para uma esfera tridimensional, K é expresso como: . Um objeto bidimensional, como uma moeda circular, tem K representado de acordo com a seguinte equação: . Para um objeto unidimensional K é expresso da seguinte forma: .
c)De acordo com os resultados obtidos no item (a) e sendo d igual a 2,56 e igual a 0,03. Conclui-se que d está representado no intervalo dT<d≤dE, onde dT é a dimensão da folha de papel, ou seja, dimensão topológica (bidimensional) e dE a dimensão do espaço o qual habituamos (tridimensional). Portanto, d é uma dimensão fractal.
 
6 CONCLUSÃO
Após a execução dos procedimentos necessários, a dimensão encontrada das bolas de papel foi de 2,56, possuindo uma incerteza de 0,03 para mais ou para menos. Nota-se que este resultado corresponde com o esperado, pois a dimensão d tem que ser maior que dois, já que a matéria prima utilizada para construção das bolas foi folha de papel que possui dimensão dois (bidimensional), sendo assim a dimensão topológica. Como também menor que três, pois é o nosso espaço euclidiano tridimensional habitual, o qual não é possível embeber um objeto maior que três dimensões neste respectivo espaço. Portanto, a dimensão d está representada no intervalo dT<d≤dE, sendo dT a dimensão topológica (bidimensional) e dE a dimensão do espaço euclidiano habitual (tridimensional).
7 REFERÊNCIAS
[1] [2] SIQUEIRA, R. Introdução aos Fractais. Disponível em: <http://www.insite.com.br/fractarte/artigos.php>. Acesso em: 28 nov. 2012.
[3] MACEDO, M. LPDSI - Cálculo da Dimensao Fractal por meio de Processamento Digital de Sinais e Imagens. Disponível em: < www.cbpf.br/cat/pdsi/boxcounting/index.html>. Acesso em: 02 dez. 2012.