Relatório fractais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS (UFAL) 
INSTITUTO DE FÍSICA (IF) 
Cidade Universitária, Tabuleiro dos Martins, CEP: 57072-970, 
Maceió-AL 
 
 
Disciplina: Laboratório de física I 
Professora: Anielle Christine 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 
RELATÓRIO DE PRÁTICA 
 
LARA PEIXOTO ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MACEIÓ, 2021. 
1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
As dimensões do espaço estão relacionadas às possibilidades para medir objetos 
dentro de um espaço. Todavia, por dimensão deve-se entender o espaço possível para realizar 
uma medida de comprimento, largura e profundidade em figuras e sólidos geométricos. 
(BRAGA, 2020). 
Nessa prática, procuramos calcular e compreender a dimensão de objetos fractais. Os 
objetos geométricos fractais podem, infinitamente, ser divididos em partes, sendo que cada 
uma delas será semelhante à original. Normalmente são autos similares e não dependem de 
escalas. Estes fractais podem ser gerados por um padrão repetido. Como exemplo de um 
fractal, podemos pegar o floco de neve de Koch. (PETRIN, 2015). A dimensão dos fractais, 
ao contrário do que sucede na geometria euclidiana, não é necessariamente uma quantidade 
inteira. Com efeito, ela é uma quantidade fraccionária. A dimensão de um fractal representa 
o grau de ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade. 
 
 
 
2. OBJETIVOS 
a. Geral 
Medir a dimensão dos corpos com formas geométricas irregulares. 
 
b. Específicos 
Calcular e compreender a dimensão de objetos fractais. 
 
3. MATERIAIS 
Régua milimétrica 15 cm. (1) 
Folha de papel A4. (2) 
 
 
 
 
 
 
 
https://conhecimentocientifico.r7.com/padrao-de-comprimento/
https://conhecimentocientifico.r7.com/formas-geometricas/
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
Inicialmente, criou-se uma bolinha amassando uma folha de papel A4, 
sequencialmente, outra folha de papel foi dividida em 6 partes e criou-se outras 6 
bolinhas com cada uma delas, ao todo, obteve-se 7 bolinhas semelhantes com 
tamanhos diferentes e formas geométricas irregulares. 
 Figura 1: divisão de uma folha de papel para experimento de fractais. 
 
 (IF, 2016) 
 
 Após isso, mediu-se o diâmetro de cada uma das bolinhas 7 vezes. Os valores 
foram anotados para serem utilizados posteriormente. 
 
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 Os valores observados e os cálculos de média e desvio padrão foram colocados 
na tabela abaixo. 
 
Tabela 1: diâmetros, médias e desvios padrões. 
M 
1 2 4 8 16 32 64 D (cm) 
±0,05 
D1 0,5 0,9 1,2 1,7 2,1 2,6 3,8 
D2 0,6 0,9 1,1 1,8 2,4 2,2 3,2 
D3 0,6 0,7 1,1 1,5 2,2 2,9 3,5 
D4 0,7 0,9 1,4 1,7 1,9 2,3 3,3 
D5 0,4 1 1,3 1,9 2,5 2,6 2,9 
D6 0,5 0,8 1,4 1,7 2,3 2,5 3,7 
D7 0,6 0,6 1,1 1,6 2,1 3 3,7 
m 0,5 0,8 1,2 1,7 2,2 2,6 3,4 
∆D 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 0,3 
 
 Os valores de média e desvio padrão foram calculados para cada uma das bolinhas, 
através das fórmulas abaixo: 
 
Média(m): 
D1+D2+D3+D4+D5+D6+D7
7
 
 
Desvio padrão(∆D): 
(m−D1)+(m−D2)+(m−D3)+(m−D4)+(m−D5)+(m−D6)+(m−D7)
7
 
 
Onde, D é o diâmetro. 
 
 Para a linearização do gráfico, aplicou-se logaritmo dos dois lados da função 
D=KM1/d: 
 
 Gráfico 1: diâmetro versus massa. 
 
 (Autora, 2021) 
 
 
Log 𝐷 = log 𝐾 + (
1
𝑑
) log 𝑀. 
E, consideramos: Y = log D, Yo = log K, b = 1/d, X = log M, 
Y = (
1
𝑑
) x + log K 
Onde (
1
𝑑
) é o coeficiente angular da reta. 
 
 
Como log K = 0,2306 e (
1
𝑑
) = 0,4465, logo 
K = 100,2306 
K = 1,70 
E, d = 
1
0,4465
 ; d = 2,22. 
 
Após linearizar os dados, obter a equação da reta e realizar os cálculos, obteve-se um valor 
de constante K = 1,70 e a dimensão d = 2,22. 
 
 
Perguntas 
 
1. Que valor você esperaria de d para uma esfera tridimensional de densidade uniforme? E 
para uma “esfera” bidimensional – um objeto circular, como uma moeda, de densidade 
uniforme? E para uma esfera unidimensional? 
R = Para uma esfera tridimensional, 3, bidimensional 2, e unidimensional 1. 
 
2. Qual a expressão de K para os três tipos de objetos a que se refere à pergunta (a)? 
R = 1 – esfera bidimensional: K = (
6
𝜋𝜌
)1/d ; bidimensional: K = (
4
𝜋𝜎
)1/d; 
unidimensional: K = (
1
𝜋𝜆
)1/d. Onde 𝜌 corresponde a massa/volume, 𝜎 a massa/área e 𝜆 
massa/comprimento. 
3. Baseando-se nos valores de d e Δd encontrados e na resposta do item (a), como você 
interpreta o valor de d obtido? 
R = Em relação ao desvio padrão, foi possível observar que quanto menor o tamanho do 
objeto, menor o erro observado. As bolinhas de papel podem ser consideradas objetos 
fractais por causa de suas formas irregulares, saindo de uma dimensão 2 para 3, mas 
nunca em exatamente uma delas. 
 
 
 
 
 
6. CONCLUSÃO 
 
Com esse experimento, foi possível compreender a existência e a dimensão dos objetos 
fractais. Ao obter um valor de dimensão fracionário, pode-se comprovar a existência de 
objetos fractais, pois possuindo formas irregulares, o objeto não teve dimensão 2 ou 3 
exatamente, mas sim, entre esses dois valores. Apesar do objeto de medição utilizado ter 
sido a régua, isso não garante um valor exato dos diâmetros, pois o erro de medição dele é 
de aproximadamente 0,05 mm, mas, em todo caso, a aproximação garantiu um resultado 
satisfatório. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BRAGA, R. Dimensões do espaço, o que são? Primeira, segunda e terceira dimensão. 
Conhecimento científico. Disponível em: 
<https://conhecimentocientifico.r7.com/dimensoes-do-espaco/>Acesso em 21/03/2021. 
 
FUZO, R.A. et al. Fractais: algumas características e propriedades. Núcleo de pesquisa 
multidisciplinar (NUPEM). 2009. 
 
PETRIN, N. Geometria fractal. Estudo prático. Disponível em: 
<https://www.estudopratico.com.br/geometria-fractal-caracteristicas-categorias-e-
historia/> Acesso em 21/03/2021. 
 
 
 
 
 
 
https://conhecimentocientifico.r7.com/dimensoes-do-espaco/
https://www.estudopratico.com.br/geometria-fractal-caracteristicas-categorias-e-historia/
https://www.estudopratico.com.br/geometria-fractal-caracteristicas-categorias-e-historia/