CALC LISTA 02

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20 Cálculo
exercícios 10.2
encontrando as n-ésimas somas parciais
Nos Exercícios 1-6, encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial 
de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
1. 2 + 2
3
+ 2
9
+ 2
27
+ Á + 2
3n-1
+ Á
2. 
9
100
+ 9
1002
+ 9
1003
+ Á + 9
100n
+ Á
3. 1 - 1
2
+ 1
4
- 1
8
+ Á + s -1dn- 1 1
2n- 1
+ Á
4. 1 - 2 + 4 - 8 + · · · + (-1)n-12n-1 + · · ·
5. 
1
2 # 3 +
1
3 # 4 +
1
4 # 5 + Á +
1
sn + 1dsn + 2d +
Á
6. 
5
1 # 2 +
5
2 # 3 +
5
3 # 4 + Á +
5
nsn + 1d +
Á
séries com termos geométricos
Nos Exercícios 7-14, escreva os primeiros termos de cada série para 
mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
7. a
q
n= 0
 
s -1dn
4n
8. a
q
n=2
 
1
4n
9. a
q
n= 1
 
7
4n
10. a
q
n= 0
s -1dn 5
4n
11. a
q
n= 0
 a 5
2n
+ 1
3n
b
12. a
q
n= 0
 a 5
2n
- 1
3n
b
13. a
q
n= 0
 a 1
2n
+
s -1dn
5n
b
14. a
q
n= 0
 a2
n+ 1
5n
b
Nos Exercícios 15-18, determine se a série geométrica converge ou 
diverge. Se a série converge, encontre sua soma.
15. 1 + a2
5
b + a2
5
b
2
+ a2
5
b
3
+ a2
5
b
4
+ Á
16. 1 + (-3) + (-3)2 + (-3)3 + (-3)4 + p
17. a1
8
b + a1
8
b
2
+ a1
8
b
3
+ a1
8
b
4
+ a1
8
b
5
+ Á
18. a-2
3
b
2
+ a-2
3
b
3
+ a-2
3
b
4
+ a-2
3
b
5
+ a-2
3
b
6
+ Á
Dízimas periódicas
Expresse cada um dos números nos Exercícios 19-26 como a razão 
de dois inteiros.
19. 0,23 = 0,23 23 23...
20. 0,234 = 0,234 234 234...
21. 0,7 = 0,7777...
22. 0,d = 0,dddd..., onde d é um dígito
23. 0,06 = 0,06666...
24. 1,414 = 1,414 414 414...
25. 1,24123 = 1,24 123 123 123...
26. 3,142857 = 3,142857 142857...
Utilizando o teste do n-ésimo termo
Nos Exercícios 27-34, use o teste do n-ésimo termo para divergên-
cia para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não 
é conclusivo.
27. a
q
n= 1
 
n
n + 10
28. a
q
n= 1
 
nsn + 1d
sn + 2dsn + 3d
29. a
q
n= 0
 
1
n + 4
30. a
q
n= 1
 
n
n2 + 3
31. a
q
n= 1
 cos 
1
n
32. a
q
n= 0
 
en
en + n
33. a
q
n= 1
 ln 
1
n
34. a
q
n=0
 cos np
séries telescópicas
Nos Exercícios 35-40, encontre uma fórmula para a n-ésima soma 
parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diver-
ge. Se a série converge, encontre a soma.
35. a
q
n= 1
 a1n -
1
n + 1 b
36. a
q
n= 1
 a 3
n2
- 3
sn + 1d2
b
37. a
q
n= 1
 A ln 2n + 1 - ln 2n B
38. a
q
n= 1
 (tg (n) - tg (n - 1)) 
39. a
q
n= 1
 acos-1 a 1
n + 1 b - cos
-1 a 1
n + 2 b b
40. a
q
n= 1
 A2n + 4 - 2n + 3 B
Encontre a soma de cada série nos Exercícios 41-48.
41. a
q
n= 1
 
4
s4n - 3ds4n + 1d
42. a
q
n= 1
 
6
s2n - 1ds2n + 1d
43. a
q
n= 1
 
40n
s2n - 1d2s2n + 1d2
44. a
q
n= 1
 
2n + 1
n2sn + 1d2
45. a
q
n= 1
 a 1
2n
- 1
2n + 1
b
46. a
q
n= 1
 a 1
21>n
- 1
21>sn+ 1d
b
47. a
q
n= 1
 a 1
ln sn + 2d -
1
ln sn + 1d b
48. a
q
n= 1
 (tg-1(n) - tg-1(n + 1)) 
Convergência ou divergência
Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? 
Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
49. a
q
n= 0
 a 1
22
b
n
50. a
q
n=0
A22 Bn
51. a
q
n= 1
s -1dn+ 1 3
2n
52. a
q
n=1
s -1dn+1n
53. a
n= 0
 cos np
q
54. a
q
n= 0
 
cos np
5n
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Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 21
55. a
q
n= 0
 e-2n
56. a
q
n= 1
 ln 
1
3n
57. a
q
n= 1
 
2
10n
58. a
q
n= 0
 
1
xn
, ƒ x ƒ 7 1
59. a
q
n= 0
 
2n - 1
3n
60. a
q
n= 1
 a1 - 1n b
n
61. a
q
n= 0
 
n!
1000n
62. a
q
n= 1
 
nn
n!
63. a
q
n= 1
 
2n + 3n
4n
64. a
q
n= 1
 
2n + 4n
3n + 4n
65. a
q
n= 1
 ln a n
n + 1 b
66. a
q
n= 1
 ln a n
2n + 1 b
67. a
q
n= 0
 a ep b
n
68. a
q
n= 0
 
enp
pne
séries geométricas com uma variável x
Em cada uma das séries geométricas nos Exercícios 69-72, escreva 
os primeiros termos das séries para encontrar a e r e calcule a soma 
das séries. A seguir, expresse a desigualdade ƒ r ƒ 6 1 em termos de x 
e encontre os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a 
série converge.
69. a
q
n=0
s -1dnxn
70. a
q
n=0
s -1dnx2n
71. a
q
n=0
3 ax - 1
2
b
n
72. a
q
n= 0
 
s -1dn
2
 a 1
3 + sen x b
n
Nos Exercícios 73-78, encontre os valores de x para os quais a série 
geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como 
uma função de x) para esses valores de x.
73. a
q
n=0
2nxn
74. a
q
n=0
s -1dnx-2n
75. a
q
n=0
s -1dnsx + 1dn
76. a
q
n= 0
 a- 1
2
b
n
sx - 3dn
77. a
q
n= 0
 senn x
78. a
q
n= 0
sln xdn
Teoria e exemplos
79. A série no Exercício 5 também pode ser escrita como
a
q
n= 1
 
1
sn + 1dsn + 2d e a
q
n= -1
 
1
sn + 3dsn + 4d .
Escreva-a como uma soma começando com (a) n = -2, (b) 
n = 0, (c) n = 5.
80. A série no Exercício 6 também pode ser escrita como 
a
q
n= 1
 
5
nsn + 1d e a
q
n= 0
 
5
sn + 1dsn + 2d .
Escreva-a como uma soma começando com (a) n = -1, (b) n = 3, 
(c) n = 20.
81. Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja 
soma seja
a. 1 b. -3 c. 0.
82. (Continuação do Exercício 81.) Você é capaz de fazer uma 
série infinita de termos diferentes de zero que convirja para 
qualquer número que quiser? Explique.
83. Mostre com um exemplo que ©(an/bn) pode divergir mesmo 
quando ©an e ©bn convergem e nenhum bn se iguala a 0.
84. Encontre séries geométricas A = ©an e B = ©bn que ilustrem 
o fato de que ©anbn pode convergir sem que seja igual a AB.
85. Mostre com um exemplo que ©(an/bn) pode convergir para 
algum número diferente de A/B mesmo quando A = ©an, 
B = ©bn Z 0 e nenhum bn se iguala a 0.
86. Se ©an converge e an 7 0 para todo n, pode-se dizer algo sobre 
©(1/an)? Justifique sua resposta.
87. O que acontece se você adicionar um número finito de termos 
a uma série divergente ou retirar um número finito de termos 
de uma série divergente? Justifique sua resposta.
88. Se ©an converge e ©bn diverge, pode-se dizer algo sobre sua 
soma termo a termo ©(an + bn)? Justifique sua resposta.
89. Crie uma série geométrica ©arn-1 que convirja ao número 5 se
a. a = 2
b. a = 13/2.
90. Encontre o valor de b para o qual
1 + eb + e2b + e3b + p = 9.
91. Para quais valores de r a série infinita
1 + 2r + r2 + 2r3 + r4 + 2r5 + r6 + p
converge? Encontre a soma da série quando ela converge.
92. Mostre que o erro (L - sn) obtido substituindo-se uma série 
geométrica convergente com uma das somas parciais sn é 
arn/(1 - r).
93. A figura abaixo mostra os primeiros cinco quadrados de uma 
sequência. O quadrado externo tem uma área de 4 m2. Cada 
um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios 
dos lados do quadrado anterior. Calcule a soma das áreas de 
todos os quadrados.
94. Curva do floco de neve de Helga von Koch A curva do 
floco de neve de Helga von Koch é uma curva de comprimento 
infinito que engloba uma região de área finita. Para entender 
a razão disso, imagine que a curva é gerada a partir de um 
triângulo equilátero cujos lados têm comprimento igual a 1.
a. Encontre o comprimento Ln da n-ésima curva Cn e mostre 
que limn S q Ln = q.
b. Encontre a área An da região circundada por Cn e mostre 
que limn S q An = (8/5) A1.
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