Determinantes e Matriz Adjunta

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Álgebra Linear – 2018.1 – Flavio Viola – 02/04/2018 
 
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DETERMINANTES 
A Cada matriz quadrada de ordem n, A = (aij), está associada um escalar especial 
chamado de DETERMINANTE de A, denotado por det(A) ou |A|. 
OBSERVAÇÕES: 
i) A função determinante surgiu no estudo de sistemas lineares; 
ii) É uma ferramenta indispensável para obter propriedades de matrizes 
quadradas. 
 
DETERMINANTES em matrizes de ordem 1, 2 e 3 
- Ordem 1 
A=[a11], então det(A) = a11 
- Ordem 2 
 
 
 
 
- Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Ordem 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE SARRUS - Mais fácil visualização 
 
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EXEMPLO: 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: 
i) det(A) = det(AT) 
Determinante de A é igual ao determinante da sua Transposta (A
T
) 
ii) Se ja A uma matriz quadrada: 
 Se A tem uma linha ou coluna nula; det(A) = 0 
 Se A tem duas linhas ou colunas idênticas; det(A) = 0 
 Se A é triangular; det(A) = produto dos elementos da diagonal principal 
 
iii) Suponha B obtida de A através de uma operação elementar de linhas (ou colunas) 
 Permutando-se duas linhas ou colunas de A; det(B) = - det(A) 
 Multiplicando-se uma linha ou coluna de A por um escalar k; det(B) = k . det(A) 
 Somando-se a uma linha (coulna) um múltiplo de outra linha (coluna); det(B) = det(A) 
 
iv) Se ja A uma matriz quadrada 
 Se A é invertível, existe uma inversa A-1; o det(A) ≠ 0 
 
v) O determinante do produto de duas matrizes AB é o produto do det(A) pelo det(B); 
det(AB)=det(A) . det(B) 
 
 
 





3
5
1
1
0
2






 4
2
1
3
5
1
1
0
2
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DETERMINANTES DE ORDEM ARBITRÁRIA 
Determinantes no caso geral envolvem um número excessivamente elevado de cálculos 
e devem ser resolvidos numericamente (através de um programa de computador), mas 
algebricamente podemos resol vê-lo da seguinte forma: 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
PERMUTAÇÃO: Dados n números distintos a1, a2, ..., na, um a permutação desses números 
consiste em dispô-los em uma determinada ordem. Por exemplo, (1, 2, 3) é uma permutação 
dos números 1, 2 e 3. (2, 1, 3) é outra permutação. A quantidade de permutações de n números 
é dada pelo fatorial de n, n!. 
Dada um permutação dos números inteiros 1, 2, ..., n existe uma inversão quando um inteiro 
precede outro menor que ele. Vejamos, 
Número de inversões PAR sinal + ; IMPAR - 
PERMUTAÇÃO 
No. de 
INVERSÕES 
SINAL 
1 2 3 0 + 
1 3 2 1 - 
2 1 3 1 - 
2 3 1 2 + 
3 1 2 2 + 
3 2 1 3 - 
 
 
 
 
Em uma matriz quadrada de ordem 4: 
(1, 2, 3, 4) ; n=4 logo n! = 4! = 24 permutações. 
Então: (3 2 1 4) tem 3 inversões, logo o sinal é: 
 
Então: (4 3 2 1) tem 6 inversões, logo o sinal é: 
 
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MATRIZ ADJUNTA 
Se ja uma matriz quadrada A= (aij). A adjunta de A, denotada adj A, é a transposta da matriz 
de cofatores de A: 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os cofatores dos 9 elementos de A são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ DOS COFATORES DE A: 
 
 
 
 
 
Portanto a matriz adj A é: 
 
 
 
 
 
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OBTENDO A MATRIZ INVERSA USANDO A MATRIZ ADJUNTA 
Pelo teorema: para qualquer matriz quadrada A, 
 
Onde I é a matriz identidade. Assim se , então: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
O determinante de A = -46 
Portanto a inversa de A é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou ainda,