Resumão Álgebra Linear

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Gustavo Meira - EQ • UEM Álgebra Linear
Álgebra Linear
Sistemas Lineares
Introdução a Sistemas de Equações Lineares
● Equação linear➜ equação com n variáveis xn que podem
ser expressas na forma:
𝑎
1
𝑥
1
+ 𝑎
2
𝑥
2
+ ... + 𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
= 𝑏
Elas não envolvem produtos ou raízes de variáveis e não
aparecem argumentos de função logarítmica, trigonométrica
ou exponenciais.
● Equação linear homogênea➜ casos em que b = 0
● As retas podem ser:
○ Paralelas e distintas➜ não há solução
(inconsistente)
○ Concorrentes➜ há somente uma solução
(consistente)
○ Coincidentes➜ há infinitas soluções (consistente)
● Matriz aumentada➜ todo sistema de equações lineares
pode ser escrito como uma matriz aumentada:
𝑎
11
𝑥
1 + 𝑎12𝑥2 + ... + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎
21
𝑥
1 + 𝑎22𝑥2 + ... + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2𝑛 𝑏2
⋮ + ⋮ + + ⋮ = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎
𝑚1
𝑥
1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ... + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ... 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
Eliminação Gaussiana
● Forma escalonada reduzida por linhas:
○ Se uma linha não consistir inteiramente em zeros, o
primeiro número não nulo da linha deve ser 1
(chamado de pivô)
○ Linhas inteiramente de zeros devem ser agrupadas na
parte inferior da matriz
○ O pivô da linha inferior corre mais a direita que o pivô
da linha superior
○ Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas
demais entradas
Exemplo: considerando ✱ como um número real qualquer
temos uma matriz escalonada não reduzida por linhas e outra
escalonada reduzida por linhas, respectivamente:
1 ✱ ✱ ✱ 0 1 ✱ 0 0 0 ✱ ✱ 0 ✱
0 1 ✱ ✱ 0 0 0 1 0 0 ✱ ✱ 0 ✱
0 0 0 0 & 0 0 0 0 1 0 ✱ ✱ 0 ✱
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ✱ ✱ 0 ✱
● Variáveis líderes➜ são as variáveis que correspondem
aos pivôs da matriz (as outras são as variáveis livres)
● Eliminação Gaussiana:
○ Permutamos a linha com a coluna mais à esquerda
que não seja constituída inteiramente de zeros e a
deixamos no topo
○ Multiplicamos a linha por 1/a para obtermos um pivô
○ Somamos múltiplos convenientes da primeira linha às
linhas abaixo para obtermos zero na coluna do pivô
○ Agora aplicamos o passo 1 à submatriz resultante
○ Após toda a matriz estar em forma escalonada,
começando com a última linha não nula e trabalhando
para cima, somamos múltiplos convenientes de cada
linha as linhas superiores para introduzir zero acima
dos líderes
Matrizes
Matrizes e Operações Matriciais Principais
Matriz é um agrupamento retangular de números.
Dizemos que os números nesse argumento são as entradas
das matrizes.
● Tamanho➜ é descrito em termos do número de linhas ( i
) e de colunas ( j ), sendo ela denotada por i × j
● Matriz quadrada➜ matriz com tamanho n × n
● Soma e subtração➜ aplica-se em termo por termo
(matrizes de tamanhos distintos não podem realizar essas
operações) ➜ 𝑎
𝑖𝑗
− 𝑏
𝑖𝑗
● Produto escalar➜ o produto da matriz A com um escalar
c é obtida multiplicando cada termo de A por c➜
(𝑐𝐴)
𝑖𝑗
= 𝑐𝑎
𝑖𝑗
● Multiplicação matricial➜ só pode ser multiplicada𝐴
𝑚×𝑟
por uma matriz para gerar uma matriz .𝐵
𝑟×𝑛
𝐶
𝑚×𝑛
Multiplicamos as entradas correspondentes da linha e da
coluna e então somamos os produtos resultantes ➜
. Nessa operação, a(𝐴𝐵)
𝑖𝑗
= 𝑎
𝑖1
𝑏
1𝑗
+ 𝑎
𝑖2
𝑏
2𝑗
+... + 𝑎
𝑖𝑟
𝑏
𝑟𝑗
ordem importa, ou seja, AB ≠ BA, tal que se AB = BA,
dizemos que A e B comutam
● Combinação linear de uma matriz A com coeficientes c
➜ 𝑐
1
𝐴
1
+ 𝑐
2
𝐴
2
+... + 𝑐
𝑟
𝐴
𝑟
● Transposta➜ a transposta de uma matriz é a matriz𝐴
𝑚×𝑛
representada por ➜𝐴
𝑛×𝑚
𝐴𝑇 (𝐴𝑇)
𝑖𝑗
= (𝐴)
𝑖𝑗
● Traço de uma matriz➜ considerando uma matriz
quadrada, seu traço, representado por tr(A), é a soma das
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entradas da diagonal principal ➜
𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎
11
+ 𝑎
22
+... + 𝑎
𝑛𝑛
Inversas e Propriedades Algébricas
● Matriz identidade ➜ matriz(𝐼
𝑛
)
quadrada com entradas 1 na diagonal
principal e as demais entradas iguais a
zero. Corresponde ao número 1 na
álgebra convencional ➜
𝐴𝐼
𝑛
= 𝐴 & 𝐼
𝑚
𝐴 = 𝐴
● Inversa ➜ se A for uma matriz quadrada e se for(𝐴−1)
possível obter uma matriz B tal que AB = BA = I, então B
é a matriz inversa de A, sendo ela única
● Inversa de 2×2➜ uma matriz A é inversível somente se
seu determinante for diferente de zero, tal que sua
inversa é:
𝐴−1 = 1𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑 − 𝑏
− 𝑐 𝑎
Sendo ad - bc = determinante.
● Produtos➜ 𝐴0 = 𝐼 & 𝐴𝑛 = 𝐴𝐴... 𝐴 & 𝐴−𝑛 = (𝐴−1)𝑛
Matrizes Elementares e Como Encontrar A-1
● Equivalência por linhas➜ matrizes são equivalentes por
linhas se uma delas (logo ambas) pode ser obtida a
partir da outra por uma sequência de operações
elementares com linhas
● Matriz elementar➜ matriz n × n que pode ser obtida da
matriz identidade de tamanho n × n efetuando uma
única operação elementar sobre a linha
Se a matriz elementar E é o resultado de efetuar uma certa
operação com as linhas da matriz identidade, então o produto
EA é a matriz que resulta quando essa mesma operação é
realizada sobre a matriz A. ex:
1 0 2 3 1 0 0 1 0 2 3
A= 2 -1 3 6 E= 0 1 0 EA
=
2 -1 3 6
1 4 4 0 3 0 1 4 4 10 9
● Encontrar a inversa➜ para encontrar a inversa de uma
matriz A, encontre um sequência de operações
elementares com linha que reduza A até uma matriz
identidade e depois aplique essa mesma sequência na
matriz identidade
[𝐴 | 𝐼] → [𝐼 | 𝐴−1]
Matrizes Diagonais, Triangulares e Simétricas
● Diagonal➜ matriz quadrada em que todas
as entradas, tirando a diagonal principal, são
iguais a zero
● Triangular➜ matrizes em que todos os termos acima
(superior) ou abaixo (inferior) da diagonal principal são
iguais a zero
● Simétrica➜ matriz em que 𝐴 = 𝐴𝑇
○ O produto entre duas matrizes simétricas
é simétrico somente se as matrizes se
comutam
Determinantes
Expansão em Cofatores
Se A for uma matriz quadrada, então o menor da entrada
aij é denominado por Mij e definido como o determinante da
submatriz que sobra quando suprimos a i-ésima linha e a
j-ésima coluna de A. O número (-1)i+j Mij é denotado por Cij e
é chamado de cofator da entrada aij.
● Expansão de cofatores de de det(A)
○ Ao longo da coluna j
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎
1𝑗
𝐶
1𝑗
+ 𝑎
2𝑗
𝐶
2𝑗
+... + 𝑎
𝑛𝑗
𝐶
𝑛𝑗
○ Ao longo da linha i
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎
𝑖1
𝐶
𝑖1
+ 𝑎
𝑖2
𝐶
𝑖2
+... + 𝑎
𝑖𝑛
𝐶
𝑖𝑛
● Determinante de uma matriz triangular inferior➜
𝑎
11
𝑎
22
... 𝑎
𝑛𝑛
Redução por Linhas
● Se A é uma matriz quadrada com uma linha ou uma
coluna de zeros, então det(A) = 0
● det(A) = det(AT)
● Se A tiver duas linhas ou colunas proporcionais, então
det(A) = 0
Regra de Cramer
● Determinante de inversas➜ 𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) = 1𝑑𝑒𝑡(𝐴)
● Matriz adjunta➜ é a matriz adj(A) composta
pela matriz transposta da matriz de cofatores de
A
● Inversa por matriz adjunta➜
𝐴−1 = 1𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑎𝑑𝑗(𝐴)
● Regra de Cramer➜ se Ax = b for um sistema de n
equações lineares em n incógnitas tal que det(A) ≠ 0,
então o sistema tem uma única solução:
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, , … ,𝑥
1
=
𝑑𝑒𝑡(𝐴
1
)
𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑥2 =
𝑑𝑒𝑡(𝐴
2
)
𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑥𝑛 =
𝑑𝑒𝑡(𝐴
𝑛
)
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
Em que é a matriz obtida substituindo as entradas da𝐴
𝑗
j-ésima coluna de A pelas entradas da matriz b.
Espaços Vetoriais Arbitrários
Axiomas de Espaços Vetoriais
Considerando V um conjunto não vazio de qualquer objeto.
Se a adição e a multiplicação por escalares forem duas
operações satisfeitas, então V é um espaço vetorial.
○ u + v é um objeto em V
○ u + v = v + u
○ u + (v + w) = (u + v) + w
○ 0∈ V / u + 0 = u
○ u + (-u) = 0
○ λu∈ V
○ (λ + µ)u = λu + µu
○ λ(u + v) = λu + λv
○ λ(µu) = (µλ)u
○ 1u = u
● Rn➜ é um espaço vetorial pois é fechado em adição e
multiplicação por escalar
● Matriz m×n➜ é um espaço vetorial pois é fechado em
adição e multiplicação por escalar
● Funções reais➜ é um espaço vetorial pois é fechado em
adição e multiplicação por escalar
Subespaços Vetoriais
● Subespaço vetorial➜ um subconjunto W é um
subespaço vetorial de V se W está contido em V
○ 0∈ W
○ Se u e v forem vetores de W, então {u + v} ∈ W
○ Se u for um vetorde W e λ um escalar qualquer, então
λu∈ W
● Retas pela origem➜ são subespaços de R2 e R3 pois
contém o vetor nulo e são fechados na adição e
multiplicação por escalares. Assim como planos pela
origem também são subespaços vetoriais de R3
Transformações Lineares
Transformações Lineares Arbitrárias
As duas propriedades de linearidade são descritas por:
T(u + v) = T(u) + T(v) [aditividade]
T(λ⋅u) = λ⋅T(u) [homogeneidade]
Logo, se T: V → W for uma função de um espaço vetorial V
num espaço vetorial W, então T é denominado
transformação linear de V em W.
● Operador linear➜ caso em que V = W
● Transformações nula➜ caso em que T(v) = 0
● Operador identidade➜ I: V → V definida por I(v) = v
● Considerando uma transformação linear T: V → W, temos:
○ Núcleo➜ Nuc(T) ou Ker(T) é o conjunto de vetores em
V que T transforma em 0
○ Imagem➜ Im(T) conjunto de vetores em W que são
imagem por T
○ Posto de T➜ dimensão da imagem finita T
○ Nulidade de T➜ dimensão do núcleo finito de T
Isomorfismo
● Transformações injetoras➜ são aquela que
transformam valores distintos de V em valores distintos
de W
● Transformações Sobrejetoras➜ aquelas em que os
vetores de W seja a imagem de pelo menos um vetor de
V
Se T: V → W é uma transformação linear, então T é
injetora e Nuc(T) = {0}.
● Isomorfismo➜ ocorre quando uma transformação linear
é injetora e sobrejetora
Autovalores e Autovetores
Autovalores & Autovetores
Se A for alguma matriz n × n, então um vetor não nulo x em
Rn é denominado autovetor de A (ou operador matricial TA)
se Ax for um múltiplo escalar de x, isto é:
Ax = λx
com algum escalar λ. O escalar λ é denominado autovalor de
A e dizemos que x é um autovetor associado a λ.
● Equação característica de uma matriz A➜ considerando
λ, temos que esse λ é um autovalor de A somente se ele
satisfizer a equação característica de A:
𝑑𝑒𝑡(λ𝐼 − 𝐴) = 0
● Autovetores associados a um autovalor λ➜ esses
autovetores não nulos são definidos pela equação:
(λ𝐼 − 𝐴)𝑥 = 0
Diagonalização
● Semelhança➜ se A e B forem matrizes quadradas,
dizemos que B é semelhante a A se existir alguma matriz
invertível P tal que B = P-1 AP
Uma matriz quadrada A é diagonalizável se for semelhante
a alguma matriz diagonal, ou seja, se existir alguma matriz
invertível P tal que P-1 AP é diagonal.
Se uma matriz A de tamanho n × n tem n autovalores
distintos, então A é diagonalizável.
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