Aula 2 - Sistema de Equações Lineares - Métodos Exatos - Parte I

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SISTEMA DE EQUAÇÕES 
LINEARES: MÉTODOS EXATOS 
– PARTE I 
MSc Cinthia Sousa – cinthia.sousa@usp.com 
Definição 
 Uma equação é linear se cada termo contém não 
mais do que uma variável e cada variável aparece 
na primeira potência. 
 Por exemplo: 
 3x + 4y − 10z = −3 é linear, 
 xy − 3z = −3 não é, pois o primeiro termo contém 
duas variáveis. 
 x³ + y − z = 0 não é linear, pois o primeiro termo 
contém uma variável elevada ao cubo. 
Sistemas Lineares de Ordem n 
 De um modo geral um sistema de n equações 
lineares é escrito como: 
Sistemas Lineares de Ordem n 
 Ou é representado na forma matricial por: 
 
 
 
 
 Ou simplesmente: 
 
 
 Onde A é chamada de matriz dos coeficientes, b é o 
vetor do termo independente e x é o vetor solução. 
 
Sistemas Lineares de Ordem n 
 Por exemplo, o sistema de três equações lineares: 
 
 
 
 Escrito na forma matricial, fica: 
 
 
 
 
 Tem a solução x = 1, y = 1 e z = −1. 
 
Classificação de um Sistema Linear 
 A classificação de um sistema linear é feita em 
função do número de soluções que ele admite, da 
seguinte maneira: 
1. Sistema Possível ou Consistente: é todo sistema que 
possui pelo menos uma solução. Um sistema linear 
possível é: 
a. Determinado: se admite uma única solução, e, 
b. Indeterminado: se admite mais de uma solução. 
2. Sistema Impossível ou Inconsistente: é todo sistema 
que não admite solução. 
Classificação de um Sistema Linear 
 Nosso objetivo aqui será o de desenvolver métodos 
numéricos para resolver sistemas lineares de ordem 
n, que tenham solução única. 
 Observe que tais sistemas são aqueles onde a 
matriz dos coeficientes é não singular, isto é: 
det⁡(𝐴) ≠ 0 
Solução de Sistemas Lineares 
 Métodos numéricos para solução de sistemas de 
equações lineares são divididos principalmente em 
dois grupos: 
 Métodos Exatos (Diretos): são aqueles que forneceriam 
a solução exata do sistema linear, não fossem os erros 
de arredondamento, com um número finito de 
operações aritméticas. 
 Métodos Iterativos: são aqueles que permitem obter a 
solução de um sistema com uma dada precisão através 
de um processo infinito convergente. 
Solução de Sistemas Lineares 
 Métodos Exatos (Diretos): 
 Decomposição (fatoração) LU; 
 Método de Eliminação de Gauss; 
 Método de Pivotamento; 
 Solução: Em geral, nos métodos exatos, 
transformamos o sistema original num sistema 
equivalente, cuja solução é obtida resolvendo-
se sistemas triangulares. 
 Admitindo que: Dois sistemas lineares são 
equivalentes quando admitem a mesma solução. 
Solução de Sistemas Triangulares 
 Um sistema linear de ordem n é triangular inferior se 
tiver a forma: 
 
 
 
 Onde a solução é obtida por substituição direta, isto é, 
determinamos o valor de 𝑥1, depois 𝑥2 até 𝑥𝑛. 
 
Solução de Sistemas Triangulares 
 Um sistema linear de ordem n é triangular superior se 
tiver a forma: 
 
 
 
 Onde a solução é obtida por retro substituição , isto é, 
determinamos primeiro o valor de 𝑥𝑛, depois 𝑥𝑛−1 até 
𝑥1. 
 
 
Decomposição LU 
Proposição 
 Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) uma matriz quadrada de ordem n; 
 Então existe uma única matriz triangular inferior 
L= (𝑙𝑖𝑗), com 𝑙11 = 𝑙22 = ⋯ = 𝑙𝑛𝑛 = 1 ; 
 e uma única matriz triangular superior U= 𝑢𝑖𝑗 . 
 Tal que: 
𝐿𝑈 = 𝐴 
 Além disso, 
det 𝐴 = 𝑢11𝑢22…𝑢𝑛𝑛 . 
LU 
 
Solução de Sistemas Lineares por LU 
 Seja o sistema 𝐴𝑥⁡ = ⁡𝑏⁡de ordem n determinado, 
onde A satisfaz as condições da decomposição LU. 
 Então o sistema 𝐴𝑥⁡ = ⁡𝑏⁡pode ser escrito como: 
𝐿𝑈𝑥⁡ = ⁡𝑏⁡ 
 A solução dos sistemas lineares pode ser obtida 
resolvendo os dois sistemas triangulares abaixo: 
𝐿𝑦⁡ = ⁡𝑏 
𝑈𝑥⁡ = ⁡𝑦 
Solução de Sistemas Lineares por LU 
 Utilizamos os seguinte algoritmo: 
 
 
 
 Iniciando sempre pela 1ª linha de U. 
Exemplo: 
 Considere o sistema linear: 
 
5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
3𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = −7
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = −5
 
a) Verificar se A satisfaz as condições da decomposição 
LU. 
b) Decompor A em LU. 
c) Através da decomposição LU, calcular o determinante 
de A. 
d) Resolver o sistema Ax = b, usando a decomposição 
LU. 
Método de Eliminação de Gauss 
Definição 
 O Método de Eliminação de Gauss consiste em 
transformar o sistema linear original num sistema 
linear equivalente com matriz dos coeficientes 
triangular superior, pois estes são de resolução 
imediata. 
 Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes 
quando possuem a mesma solução. 
Solução de Sistemas Lineares 
 Obtém-se a matriz triangular superior equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde a solução é obtida por retro substituição , isto 
é, determinamos primeiro o valor de 𝑥𝑛, depois 𝑥𝑛−1 
até 𝑥1. 
 
Solução de Sistemas Lineares 
 Para encontrar o sistema anterior pode-se aplicar 
uma sequência de operações elementares 
escolhidas entre: 
 multiplicação de um linha por uma constante não nula; 
 substituição de uma linha por ela mesma somada a um 
múltiplo de outra linha; 
 permutação de duas linhas. 
Exemplo: 
 Resolva o sistema linear: 
 
3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 1
𝑥1 +⁡⁡𝑥2+⁡2𝑥3 = 2
4𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 3