Introdução à análise numérica

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Análise Numérica – Introdução à Análise Numérica
Prof. Matheus Nohra Haddad
matheus.haddad@ufop.edu.br
Sala A302
Departamento de Computação e Sistemas
Universidade Federal de Ouro Preto
mailto:matheus.haddad@ufop.edu.br
TIPOS DE ERROS
 Erro de truncamento
 É o erro devido a aproximação de uma fórmula por outra.
 Erro absoluto
 𝑒𝑎𝑏𝑠 = valor 𝑟𝑒𝑎𝑙 − valor aproximado
 Erro relativo
 𝑒𝑟𝑒𝑎𝑙 =
valor real − valor absoluto
valor real
TIPOS DE ERROS
 Erro grosseiro
 São erros devidos a entradas de dados incorretos pelos usuários ou 
programadores
 Erro de arredondamento
 São erros que ocorrem devido à problemas de arredondamento
TIPOS DE MATRIZES
 Coluna ou Linha
 Formadas por uma coluna ou linha.
 Nula
 Todos os elementos iguais a zero
 Diagonal
 Todos os elementos da externos à diagonal principal são nulos.
 Identidade
 É uma matriz diagonal cujos termos da diagonal principal são todos 
iguais a um.
TIPOS DE MATRIZES
 Triangular
 Triangular superior
𝑎𝑖 𝑗 ≠ 0 ∀ 𝑖 ≤ 𝑗 e 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖 > 𝑗
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22 𝑎23
0 0 𝑎33
TIPOS DE MATRIZES
 Triangular
 Triangular inferior
𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖 < 𝑗 e 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0 ∀ 𝑖 ≥ 𝑗
𝑎11
𝑎21
𝑎31
0 0
𝑎22 0
𝑎32 𝑎33
TIPOS DE MATRIZES
 Densa
 Possui um grande número de termos diferentes de zero.
 Esparsa
 Possui um grande número de termos iguais a zero.
 Simétrica
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ∀ 𝑖, 𝑗
5 −1 3
−1 8 −2
3 −2 4
OPERAÇÕES SOBRE MATRIZES
 Transposta
 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖
 Produto matrizes linha ou colunas (vetores)
 Produto interno (Produto escalar)
 Produto externo (Produto vetorial)
 Determinante
 det(A)
OPERAÇÕES SOBRE MATRIZES
 Posto
 É definido como o número máximo de vetores linha ou coluna de A que 
são linearmente independentes.
 Posto(A) ≤ min(m,n)
 Traço
 É definido como a soma de todos os termos da diagonal principal.
 Traço(A) = σ𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖𝑗
PROPRIEDADES DE MATRIZES TRANSPOSTA E INVERSA
 𝐴𝑇 𝑇 = 𝐴


𝐴−1 −1 = 𝐴
𝐴−1 𝑇 = 𝐴𝑇 −1 = 𝐴−𝑇
 Se 𝐴 = 𝐴1𝐴2 = 𝐴𝑘 então
 𝐴𝑇 = 𝐴𝑇 ∴ 𝐴𝑇𝐴𝑇 e
𝑘 2 1
 𝐴
−1 = 𝐴−1 ∴ 𝐴−1𝐴−1
𝑘 2 1
PROPRIEDADES DE MATRIZES TRANSPOSTA E INVERSA
 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 +𝐵𝑇
 𝐴 +𝐵 −1 ≠ 𝐴−1 +𝐵−1
AUTOVALORES E AUTOVETORES
 Seja a matriz
𝐴 =
10 −4
12 −4
 Seja a propriedade da matriz acima
10 −4 1
12 −4 2
= 2 1
2
10 −4 2 = 4 2
12 −4 3 3
 A função eig no Octave é capaz de calcular os autovalores de A e os 
autovetores de A.
DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES
 Para determinar os autovalores e autovetores temos:
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣
𝐴𝑣 − 𝜆𝑣 = 0
𝐴 − 𝜆𝐼 𝑣 = 0 
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
𝑛𝐷 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 =
𝑎11 −𝜆
𝑎21
⋮
𝑎𝑛1
𝑎12
𝑎22 − 𝜆
⋮
𝑎𝑛2
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆
DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES
 Polinômio característico
𝐷𝑛 = 𝑑𝑛𝜆𝑛 + 𝑑𝑛−1𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑑1𝜆 + 𝑑0
 As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A e 
cada autovalor tem associado um autovetor.
EXEMPLO
𝐴 =
−1 4 4
6 8 3
10 5 −8
 Determinação do polinômio característico
det 𝐴 − 𝜆𝐼 =
−1 4 4
6 8 3
10 5 −8
− 𝜆 0
1 0 0
1 0
0 0 1
−1 − 𝜆 4 4
6 8 − 𝜆 3
10 5 −8 − 𝜆
EXEMPLO
𝐷𝑛 = −𝜆3 − 𝜆2 + 143𝜆 + 191
 Que tem as raízes
𝜆1 = 12,11
𝜆2 = −11,77
𝜆3 = −1,34
 Que são os autovalores da matriz A.
EXEMPLO
 Para calcular os autovetores basta resolver os sistemas lineares
−1 4 4
6 8 3
10 5 −8
𝑣1
𝑣2
𝑣3
= 𝜆𝑖
𝑣1
𝑣2
𝑣3
−1 4 4
6 8 3
10 5 −8
− 𝜆𝑖
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑣1
𝑣2
𝑣3
= 0
EXEMPLO
 Para calcular os autovetores basta resolver os sistemas lineares
 𝑣3 = −0,94 e 𝜆1 = 12,11
−13,11
6
10
4
−4,11
5
4
3
−20,11
𝑣1
𝑣2
−0.94
𝑣 =
0,33
0,04
−0,94
FORMA QUADRÁTICA
 A forma quadrática de uma matriz A é dada por:
𝑞 = 𝑣𝑇𝐴𝑣 para todo 𝑣 ≠ 0
 Podemos então dar nomes à matriz de acordo com o valor da sua 
forma quadrática
Forma quadrática Nome de A Autovalores de A
𝑣𝑇𝐴𝑣 > 0 Definida positiva 𝜆𝑖 > 0
FORMA QUADRÁTICA
 A forma quadrática de uma matriz A é dada por:
𝑞 = 𝑣𝑇𝐴𝑣 para todo 𝑣 ≠ 0
 Podemos então dar nomes à matriz de acordo com o valor da sua 
forma quadrática
Forma quadrática Nome de A Autovalores de A
𝑣𝑇𝐴𝑣 > 0 Definida positiva 𝜆𝑖 > 0
𝑣𝑇𝐴𝑣 ≥ 0 Semi-definida positiva 𝜆𝑖 ≥ 0
FORMA QUADRÁTICA
 A forma quadrática de uma matriz A é dada por:
𝑞 = 𝑣𝑇𝐴𝑣 para todo 𝑣 ≠ 0
 Podemos então dar nomes à matriz de acordo com o valor da sua 
forma quadrática
Forma quadrática Nome de A Autovalores de A
𝑣𝑇𝐴𝑣 > 0 Definida positiva 𝜆𝑖 > 0
𝑣𝑇𝐴𝑣 ≥ 0 Semi-definida positiva 𝜆𝑖 ≥ 0
𝑣𝑇𝐴𝑣 < 0 Definida negativa 𝜆𝑖 < 0
FORMA QUADRÁTICA
 A forma quadrática de uma matriz A é dada por:
𝑞 = 𝑣𝑇𝐴𝑣 para todo 𝑣 ≠ 0
 Podemos então dar nomes à matriz de acordo com o valor da sua 
forma quadrática
 Uma matriz com autovalores complexos é chamada de indefinida.
Forma quadrática Nome de A Autovalores de A
𝑣𝑇𝐴𝑣 > 0 Definida positiva 𝜆𝑖 > 0
𝑣𝑇𝐴𝑣 ≥ 0 Semi-definida positiva 𝜆𝑖 ≥ 0
𝑣𝑇𝐴𝑣 < 0 Definida negativa 𝜆𝑖 < 0
𝑣𝑇𝐴𝑣 ≤ 0 Semi-definida negativa 𝜆𝑖 ≤ 0
NORMAS VETORIAIS
 Norma-p
 Norma de soma de magnitudes
 Norma Euclidiana
NORMAS VETORIAIS
 Norma de máxima magnitude
NORMAS MATRICIAIS
 Norma de máxima coluna
 Norma de máxima linha
 Norma de Frobenius
NORMAS MATRICIAIS
 Norma espectral
𝐴 2 = 𝜎1
 Onde
1≤𝑖≤𝑚
𝜎1 = max 𝜆 𝐴𝐴𝑇
• Se A for simétrica
1≤𝑖≤𝑚
𝜎1 = max 𝜆 𝐴 , para 𝐴 = 𝐴𝑇