Lista de revisão para a Prova 1 ÁLGEBRA 1 UnB 2022

Prévia do material em texto

01/2022 Exerćıcios de Revisão - Prova 1 - Álgebra 1 Graduação
Universidade de Braśılia, Departamento de Matemática
Álgebra 1 - Graduação
Professor Alex Carrazedo Dantas
26 de julho de 2022
Questão 1. Resolva:
a) Se A é um conjunto finito com n elementos, então |P (A)| = 2n;
b) Se A e B são conjuntos, então |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|;
c) Se A e B são enumeráveis infinitos, então A ∪B e A×B são enumeráveis.
Questão 2. Prove as seguintes equivalências lógicas:
a) (p → q) ∧ (p → r) ⇔ p → q ∧ r;
b) (p → q) ∨ (p → r) ⇔ p → q ∨ r.
Questão 3. Prove que se n! > (n+ 1), então n > 2, onde n ∈ N.
Questão 4. Defina a função f : N → N recursivamente por f(0) = 1 e f(n+1) = (n+1).f(n),
para n ≥ 0. Use indução para mostrar que f(n) = n! para todo n ∈ N.
Questão 5. Mostre por indução que:
a) 1 + 3 + 5 + ...+ (2n− 1) = n2;
b) 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)/6;
c) 9 divide 10n+1 − 9n− 10 para todo n ≥ 1.
Questão 6. Determine todas as relações sobreA = {1, 2, 3, 4}. Quais dessas são de equivalência?
Questão 7. Mostre que composição de funções bijetoras é bijetora. Seja a função f : R → R
definida por f(x) = 3
√
2x− 4. Mostre que f é bijetora e calcule sua inversa.
Questão 8. A função f : N → N definida por f(n) = 3n+ 2, para todo n ∈ N, tem inversa de
qual lado? Caso exista algum lado em que f tem inversa, determine duas distintas.