Análise de Circuitos Senoidais - Sala de Aula _ Estacio - 03-10-22 (LEAOUT DO SITE)

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DESCRIÇÃO
Análise de circuitos senoidais no domínio da frequência. Emprego das Leis de Kirchhoff, Teorema Norton e de Thevenin no domínio da frequência para a resolução de circuitos
monofásicos e trifásicos.
PROPÓSITO
Resolver circuitos monofásicos e trifásicos no domínio da frequência, empregando as Leis de Kirchhoff, Teorema de Norton e de Thevenin, como também apresentar os conceitos de
potência média e valores eficazes.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica, a calculadora de seu smartphone/computador ou um software matemático de sua escolha.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar as Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin para a resolução de circuitos no domínio da frequência
MÓDULO 2
Demonstrar os conceitos de potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos
ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS
MÓDULO 1
 Aplicar as Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin para a resolução de circuitos no domínio da frequência
LEIS DE KIRCHHOFF, TEOREMAS DE NORTON E DE THEVENIN PARA A
RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
INTRODUÇÃO
Neste tema estudaremos a resposta em regime permanente dos circuitos que são alimentados por fontes senoidais.
Da análise clássica de circuitos, sabe-se que a resposta de um circuito tem a mesma característica da função forçante, ou seja, se a entrada de um circuito é senoidal, a sua reposta
em regime permanente também será senoidal. Contudo, para que seja possível resolver os circuitos no domínio da frequência, devemos primeiro compreender o conceito de
transformada fasorial.
TRANSFORMADA FASORIAL
Uma fonte de alimentação senoidal de um circuito é representada no domínio do tempo por uma função trigonométrica, cuja forma é:
Para que possamos representar a função trigonométrica anterior na forma fasorial, devemos partir da identidade de Euler, que é dada por:
EJΘ = COS(Θ) + JSEN(Θ)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, as funções cosseno e seno podem ser definidas como a parte real e imaginária de
ejθ
, ou seja:
COS(Θ) = REAL EJΘ
E
COS(Θ) = IMAGINARIA EJΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{ }
{ }
E a função trigonométrica
v(t) = Vmaxcos(ωt + ϕ)
poderá ser representada pela parte real de
ejθ
, isto é:
V(T) = VMAXCOS(ΩT + Φ) = REAL(VMAX E
J (ΩT+Φ ) )
V(T) = REAL VMAXEJΩTEJΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a representação da função senoidal por meio da transformada fasorial dá-se pela sua amplitude e fase, representados pela parcela
Vmaxe
jϕ
e pela frequência angular da função trigonométrica, representada pela
parcela ejωt
. A representação do fasor girante no tempo é mostrada pela Figura 1.
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1: Movimento do fasor ao longo do tempo.
Normalmente, utilizam-se apenas as informações de amplitude e fase para se representar um fasor, e essa representação dá-se pela forma complexa polar ou retangular, usando-se
a seguinte notação:
O diagrama fasorial correspondente a esse fasor é apresentado a seguir:
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 2: Diagrama fasorial correspondente.
EXEMPLO
Considere um circuito que possui uma fonte de tensão
v(t) = 4 cos 2t + 45o V
pela qual circula uma corrente
i(t) = 2 cos 2t + 30o A
{ }
{ }
( )
( )
. Faça a transformação fasorial dessas grandezas e represente-as em um diagrama fasorial.
RESOLUÇÃO
A tensão
v(t) = 4 cos 2t + 45o V
é representada na forma fasorial por
→
V = 4∠45oV
, enquanto a corrente
i(t) = 2 cos 2t + 30o
é representada na forma fasorial por
→
I = 2∠30oA
.
A representação dessas grandezas no diagrama fasorial é:
 
Fonte: EnsineMe.
ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
De modo a realizarmos a análise dos circuitos senoidais no domínio da frequência, além de sermos capazes de representar as tensões e correntes dos circuitos da forma como vimos
na seção anterior, devemos estar aptos a representar os elementos passivos existentes nos circuitos, que são:
Resistores
Indutores
Capacitores
Em um circuito senoidal, a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente é denominada impedância, sendo dada por:
Z =
→
V
→
I
=
VMAX∠Φ
IMAX∠Δ
=
VMAXE
J (ΩT+Φ )
IMAXE
J (ΩT+Δ ) Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESISTORES
Em um resistor, a corrente está em fase com a tensão. Logo, a tensão no resistor é dada por:
VR(T) = R I(T)
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
VMAXE
J (ΩT ) = RIMAXEJ (ΩT )
Assim, a impedância do resistor,
 ZR
, é dada por:
( )
( )
ZR =
→
V
→
I
= R =
VMAXE
J (ΩT )
IMAXE
J (ΩT )
Podemos concluir que a impedância do resistor corresponde ao próprio valor de sua resistência
R Ω
e que o seu valor independe da frequência angular do sistema.
INDUTORES
No indutor, sabemos que a corrente é defasada de 90° em relação à tensão e que a tensão no indutor é dada por:
VL(T) = L
D
DT
I(T)
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
VMAXE
J (ΩT ) = L
D
DT IMAXE
J ΩT− 90O
VMAXE
J (ΩT ) = LIMAXEJ ΩT− 90
O
JΩ
ZL =
→
V
→
I
= JΩL =
VMAXE
J (ΩT )
IMAXE
J ΩT− 90O
Concluímos que a impedância do indutor, também conhecida como reatância indutiva, é dada por
ZL = jωL Ω
e que o seu valor depende da frequência angular do sistema.
CAPACITORES
No capacitor, sabemos que a corrente é adiantada de 90°? em relação à tensão e que a tensão no capacitor é dada por:
VC(T) =
1
C ∫ IC(T)DT
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
VMAXE
J (ΩT ) =
1
C ∫ IMAXE
J ΩT+ 90O DT
VMAXE
J (ΩT ) =
1
C
IMAXE
J ΩT+ 90O 1
JΩ
ZC =
→
V
→
I
=
1
JΩC
=
VMAXE
J (ΩT )
IMAXE
J ΩT+ 90O
Concluímos que a impedância do capacitor, também conhecida como reatância capacitiva, é dada por
ZC =
1
jωC
 Ω
e que o seu valor depende da frequência angular do sistema.
Agora, a partir da transformação fasorial e dos cálculos das impedâncias, podemos transformar um circuito para o domínio da frequência e realizar as mesmas operações realizadas
em circuitos resistivos.
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS
A associação de impedâncias no circuito pode ser em série ou paralelo. A impedância equivalente de uma associação série de impedâncias é:
( ( ) )
( )
( )
( ( ) )
( )
( )
ZEQ = Z1 + Z2 + ⋯ + ZN,
Enquanto a impedância equivalente de uma associação paralelo de impedância é:
ZEQ =
1
1
Z1
+ 
1
Z2
+ ⋯ + 
1
ZN
DIVISOR DE CORRENTE
 
Fonte: EnsineMe.
No circuito indicado na figura anterior, a corrente
I1
será igual a:
I1 =
Z2
Z1 + Z2
ITOTAL
DIVISOR DE TENSÃO
 
Fonte: EnsineMe.
No circuito indicado na figura anterior, a tensão
V1
será igual a:
V1 =
Z1
Z1 + Z2
VTOTAL
LEIS DE KIRCHHOFF
Da mesma forma que são aplicadas em circuitos resistivos, as Leis de Kirchhoff podem ser aplicadas em circuitos no domínio da frequência.
LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES
"A SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES QUE SAEM DE UM NÓ É ZERO."
A fim de encontrar o número de equações para se resolver o circuito, devemos identificar a quantidade de nós do circuito, e o número de equações nodais deverá ser:
NÚMEROEQUAÇÕES = N − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
N
é o número de nós do circuito (considerando o nó de referência).
Considere o circuito no exemplo a seguir:
 
Fonte: EnsineMe.
Em que:
v(t) = 10cos(2t)
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
R3 = 1 Ω
C1 = 1/2F
L1 = 1 H
EXEMPLO
Determine, a tensão do nó B pelo método de Kirchhoff para as correntes.
Solução:
Inicialmente, identificamos a frequência angular do sistema:
Ω = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, vamos fazer as transformadas fasoriais da tensão e dos elementos passivos do circuito.
V = 10∠0V
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
R3 = 1 Ω
Xc1 =
1
jωC1
= − j Ω
XL1 = jωL1 = 2 Ω
A figura a seguir mostra o circuito a ser analisado no domínio da frequência.
 
Fonte: EnsineMe.
Como no circuito anterior temos 3 nós,a saber: nós A, B e o de referência, o número de equação nodais é:
NÚMEROEQUAÇÕES = N − 1 = 3 − 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff para as correntes, teremos:
Somatório das correntes que saem do nó A igual a zero:
VA − 10∠0
2 +
VA − VB
2 +
VA − VB
J2 +
VA
−J = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somatório das correntes que saem do nó B igual a zero:
VB − VA
J2 +
VB − VA
2 +
VB
1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação anterior, montamos o sistema a seguir:
1
2 +
1
2 +
1
J2 −
1
J −
1
2 −
1
J2
−
1
2 −
1
J2
1
J2 +
1
2 + 1
VA
VB
=
5∠0
0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que resultará nos seguintes valores das tensões de nó:
VA
VB
=
4, 15∠ − 41, 63
1, 85∠ − 68, 20
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a tensão do nó B,
VB = 1, 85∠ − 68, 20V
Passando para o domínio do tempo, temos:
VB(T) = 1, 85COS(2T − 68, 20°) V
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEI DE KIRCHHOFF PARA AS TENSÕES
"A SOMA ALGÉBRICA DAS TENSÕES AO LONGO DE UMA MALHA É ZERO."
Para se determinar o número de equações necessárias para se resolver o circuito, devemos identificar primeiro o número de ramos do circuito e seu número de nós. A partir daí, o
número de equações será dado pela expressão a seguir:
EXEMPLO
Para o mesmo circuito do exemplo anterior, determine a tensão do nó B usando a Lei de Kirchhoff para as tensões.
Solução:
Primeiro, devemos definir quantos ramos possui o nosso circuito.
Lembrando que o ramo é o caminho entre dois nós, a partir da análise do grafo do circuito, podemos concluir que ele possui 5 ramos, identificados na figura a seguir:
 
Fonte: EnsineMe.
Sabendo que o circuito possui 3 nós, o número de equações necessárias para resolver o circuito é:
NÚMEROEQUAÇÕES = R − N + 1 = 5 − 3 + 1 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se determinar as equações, primeiro temos que definir a árvore do grafo. Uma possível árvore para o grafo do circuito é:
 
Fonte: EnsineMe.
Agora, um conjunto possível de correntes de malha é obtido fechando-se três caminhos, que podem ser:
 
Fonte: EnsineMe.
Então, fazendo o somatório das tensões das malhas iguais a zero, temos as seguintes equações:
10∠0 = 2 IA + IC − JIA
0 = 2IB + J2IB − J2IC
10∠0 = 2 IA + IC + J2IC − J2IB + IC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação anterior montamos o sistema a seguir:
2 − J 0 2
0 2 + J2 −J2
2 −J2 2 + J2 + 1
IA
IB
IC
=
10
0
10∠0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que resultará nas seguintes correntes de malha:
IA
IB
IC
=
4, 15∠48, 4
1, 31∠ − 23, 2
1, 86∠ − 68, 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tensão do nó B será:
VB = 1IC = 1, 86∠−68, 2°V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Passando para o domínio do tempo, temos:
VB(T) = 1, 85COS(2T − 68, 20°) V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como era de se esperar, chegamos ao mesmo resultado obtido no exemplo anterior.
TEOREMA DE THEVENIN
Resolver circuitos no domínio da frequência também é possível usando o Teorema de Thevenin. Para encontrar o equivalente Thevenin entre os pontos A e B de um circuito,
devemos:
01
Encontrar a impedância equivalente de Thevenin entre os pontos A e B. Para isso, devemos colocar em repouso todas as fontes independentes (curto circuitar as fontes de tensão e
deixar em aberto das fontes de corrente).
02
Encontrar a tensão de Thevenin, que vem a ser a tensão de circuito aberto entre os pontos A e B.
03
Fazer a associação série entre a fonte de tensão de Thevenin, a impedância de Thevenin e o ramo retirado inicialmente entre os pontos A e B.
EXEMPLO
Para o circuito do problema anterior, encontre o valor
( )
( )
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
vb(t)
usando o teorema de Thevenin.
Solução:
Primeiro, vamos encontrar a impedância equivalente entre o ponto B e a referência, conforme mostrado na figura adiante:
 
Fonte: EnsineMe.
A impedância equivalente de Thevenin para o circuito anterior será:
ZTH =
2J × 2
J2 + 2 +
2 × ( − J)
2 − J = 1, 41∠8, 13 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se determinar a tensão de Thevenin, devemos encontrar a tensão de circuito aberto entre B e a referência. Porém, pela configuração do circuito, percebemos que a corrente
I
indicada na figura é zero e, portanto, a tensão de Thevenin,
VTH
, será igual à tensão do nó A, que será:
VA = VTH = −
J
2 − J10 = 4, 47∠ − 63, 45°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: EnsineMe.
Encontradas a tensão e a impedância de Thevenin, para que possamos determinar a tensão do nó B, devemos montar o circuito composto pela associação série da tensão de
Thevenin, impedância de Thevenin e o ramo retirado do circuito.
O circuito final é apresentado na figura a seguir:
 
Fonte: EnsineMe.
O valor da tensão do nó B pode ser dado por divisor de tensão e será igual a:
VB =
1
1 + ZTH
VTH = 1, 86∠ − 68, 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Passando para o domínio do tempo, temos:
VB(T) = 1, 86COS(2T − 68, 20°) V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mais uma vez, chegamos ao mesmo valor de tensão no circuito, porém, nesse caso, utilizando o Teorema de Thevenin.
TEOREMA DE NORTON
Para encontrar o equivalente Norton entre os pontos A e B de um circuito, devemos:
01
Encontrar a impedância equivalente de Norton entre os pontos A e B. Para isso, devemos colocar em repouso todas as fontes independentes (curto-circuitar as fontes de tensão e
deixar em aberto as fontes de corrente. Esse procedimento é idêntico para encontrar a impedância equivalente de Thevenin.
02
Encontrar a corrente de Norton, que vem a ser a corrente de curto-circuito entre os pontos A e B do circuito.
03
Fazer a associação paralelo entre a corrente de Norton, a impedância de Norton e o ramo retirado inicialmente entre os pontos A e B.
EXEMPLO
Para o circuito do problema anterior, encontre o valor
vb(t)
utilizando o teorema de Thevenin.
Solução:
O valor da impedância de Norton é igual ao valor da impedância de Thevenin, portanto:
ZN = ZTH =
2J × 2
J2 + 2 +
2 × ( − J)
2 − J = 1, 41∠8, 13° 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fim de determinarmos o valor da corrente de Norton, devemos calcular a corrente que fluirá pelo curto-circuito entre o nó B e a referência, conforme indicado na figura a seguir:
 
Fonte: EnsineMe.
Para encontrarmos a corrente de Norton, podemos achar a tensão do nó A, e depois calcular a corrente de Norton, sabendo que:
IN = I1 + I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a lei dos nós, a tensão do nó A pode ser obtida por meio da seguinte equação:
VA − 10
2 +
VA
−J +
VA
2 +
VA
J2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação anterior para
VA
, temos:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
VA = 4, 472∠ − 26, 56°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente de Norton será:
IN =
VA
2 +
VA
J2 = 3, 16∠ − 71, 56°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conhecidos os valores da impedância de Norton e da corrente de Norton, podemos montar o circuito com associação paralela da fonte de corrente, da impedância de Norton e o ramo
retiradodo circuito original, conforme mostra a figura a seguir:
 
Fonte: EnsineMe.
Para determinarmos o valor da tensão do nó B, basta encontramos a corrente
I1
e depois multiplicá-la pela resistência.
Para determinarmos o valor de
I1
, usarmos o divisor de corrente, conforme mostrado a seguir:
I1 =
ZN
1 + ZN
IN = 1, 86∠ − 68, 20°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente:
VB = 1I1 = 1, 86∠ − 68, 20° 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Passando para o domínio do tempo, temos:
VB(T) = 1, 86COS(2T − 68, 20°) V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mais uma vez, chegamos ao mesmo valor de tensão no circuito, porém, nesse caso, utilizando o Teorema de Norton.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONSIDERE O CIRCUITO A SEGUIR PARA EXECUTAR AS DUAS ATIVIDADES:
EM QUE:
I(T) = COS(5T − 30°)A
V(T) = 2COS(5T)V
C =
1
10F
L = 1H
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
1. PARA O CIRCUITO APRESENTADO NA FIGURA ANTERIOR O VALOR DA TENSÃO DO NÓ A, EM V, É APROXIMADAMENTE:
A)
0, 41cos(5t − 116, 13°)
B)
0, 31cos(5t + 82, 43°)
C)
1, 3cos(5t + 62, 73°)
D)
1, 5cos(5t + 32, 22°)
E)
0, 72cos(5t − 92, 43°)
2. O VALOR DA CORRENTE
I1(T)
, NO CIRCUITO, EM A, É APROXIMADAMENTE:
A)
0, 95cos(5t − 162, 7°)
B)
1, 21cos(5t − 29, 33°)
C)
0, 65cos(5t − 56, 13°)
D)
0, 75cos(5t − 16, 13°)
E)
0, 42cos(5t − 11, 50°)
GABARITO
Considere o circuito a seguir para executar as duas atividades:
Em que:
i(t) = cos(5t − 30°)A
v(t) = 2cos(5t)V
C =
1
10F
L = 1H
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
1. Para o circuito apresentado na figura anterior o valor da tensão do nó A, em V, é aproximadamente:
A alternativa "A " está correta.
 
Para resolver este problema, primeiro devemos passar todas as grandezas para o domínio da frequência. Sabendo que
ω = 5
rad/s, a transformação fasorial das grandezas do circuito resultará nos valores mostrados a seguir:
V = 2∠0V
I = 1∠ − 30
R1 = 2 Ω
R2 = 2 Ω
XC =
1
jωC = − 2j Ω
XL = jωL = j5 Ω
O que resultará no seguinte circuito:
A melhor forma de resolver esse circuito é adotar como nó de referência o nó anterior da fonte de corrente, o que resultará no circuito mostrado a seguir:
Assim, para resolver o circuito, podemos aplicar a Lei de Kirchhoff para as correntes nos nós A e B, o que resultará no seguinte conjunto de equações:
VA − 2∠0
J5 +
VA
−J2 +
VA − VB
2 = 0
1∠ − 30 +
VB − VA
2 +
VB − 2
2 = 0
Resolvendo esse sistema, encontraremos
VA = 0, 421∠ − 116, 13
e
VB = 0, 314∠82, 432
Passando para a função senoidal, temos:
VA(T) = 0, 421COS(5T − 116, 13°)V
Portanto, a opção correta é a letra A.
2. O valor da corrente
i1(t)
, no circuito, em A, é aproximadamente:
A alternativa "B " está correta.
 
Conhecidos os valores das tensões nos nós A e B, a partir da solução da atividade anterior, podemos aplicar a Lei de Kirchhoff dos nós no nó X, conforme indicado na figura a seguir,
de modo a determinarmos o valor da corrente que circula pela fonte de luz.
I1 = I2 + I3
Porém:
I2 =
2 − VA
j5
e
I3 =
2 − VB
2
Da atividade anterior vimos que:
VA = 0, 421∠ − 116, 13
e
VB = 0, 314∠82, 432
Portanto:
I1 =
2 − 0, 421∠ − 116, 13 
J5 +
2 − 0, 314∠82, 432
2 = 1, 21∠ − 29, 32
Passando para a função senoidal, temos:
VA(T) = 1, 21COS(5T − 29, 32°)A
Sendo assim, a opção correta é a Letra B.
MÓDULO 2
 Demonstrar os conceitos de potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos
OS CONCEITOS DE POTÊNCIA MÉDIA, VALORES EFICAZES E OS CIRCUITOS
TRIFÁSICOS
INTRODUÇÃO
Neste módulo, estão presentes os conceitos de potência média e valores eficazes necessários à análise de circuitos senoidais, bem como o circuito trifásico, suas configurações e
métodos para a sua resolução.
POTÊNCIA MÉDIA
A potência instantânea
p(t)
aplicada em um elemento é dada pela expressão:
Uma vez que estamos trabalhando grandezas no regime permanente senoidal, podemons considerar que a tensão e a corrente aplicadas ao elemento podem ser dadas por:
V(T) = VMAXCOS ΩT + ΦV
E
I(T) = IMAXCOS ΩT + ΦI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência fornecida ao elemento será:
P(T) = V(T)I(T) = VMAXCOS ΩT + ΦV IMAXCOS ΩT + ΦI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Contudo, a expressão anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
P(T) = V(T)I(T) = VMAXIMAXCOS ΩT + ΦV COS ΩT + ΦI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
P(T) =
1
2 VMAXIMAX COS ΦV − ΦI + COS 2ΩT + ΦV + ΦI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência média
P
será dada por:
P =
1
T ∫
T
0
1
2 VMAXIMAX COS ΦV − ΦI + COS 2ΩT + ΦV + ΦI DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cujo valor será:
P =
1
2 VMAXIMAXCOS ΦV − ΦI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
( )
Considere uma carga hipotética que possui as seguintes formas de tensão e corrente aplicadas a seus terminais:
v(t) = 120cos(3t + 30°)V
i(t) = 50cos(3t + 60°)A
Qual a potência média, em W, aplicada na carga?
Solução:
A potência média é dada por:
P =
1
2 120 × 50COS(30 − 60) = 2598 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência média aplicada à carga é 2,60 kW.
VALORES EFICAZES
O valor eficaz de uma corrente senoidal é igual ao valor de corrente contínua que circularia por uma carga e produziria a mesma potência média.
Considerando a definição anterior, vamos passar ao cálculo da corrente eficaz.
A potência média dissipada em uma resistência R, percorrida por uma corrente senoidal é:
P =
1
T ∫
T
0I(T)
2RDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
T
é período da função senoidal.
Agora, a potência fornecida pela corrente contínua é:
P = IEF2R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando as duas potências, temos:
1
T ∫
T
0I(T)
2RDT = IEF
2R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a expressão anterior para o valor eficaz da corrente, teremos:
IEF =
1
T ∫
T
0I(T)
2DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabendo que a corrente aplicada ao sistema é uma função senoidal:
IEF =
1
T ∫
T
0 IMCOS(ΩT)
2DT =
IM
√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, analisando-se a expressão a seguir, que nos dá o valor da potência média:
√
√ [ ]
P =
1
2 VMAXIMAXCOS ΦV − ΦI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ela pode ser reescrita em termos de valores eficazes de tensão e corrente:
P =
1
2 VMAXIMAXCOS ΦV − ΦI =
VMAX
√2
IMAX
√2
COS ΦV − ΦI
P = VEFIEFCOS ΦV − ΦI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 RESUMINDO
A expressão da potência média fornecida a uma carga pode ser obtida pelo produto da tensão e da corrente eficazes, aplicadas aos terminais de um elemento e cosseno da diferença
entre as fases da tensão e da corrente.
EXEMPLO
Um resistor de
10Ω
e percorrido por uma corrente cuja função senoidal é dada pela equação a seguir:
i(t) = 50cos(3t + 60°)A
Diante do exposto, determine a potência média dissipada no resistor.
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
Primeiro, vamos encontrar o valor eficaz da corrente.
Ief =
Imax
√2
=
50
√2
A potência média dissipada no resistor será:
P = RI 2ef = 10 ×
50
√2
2
= 12500
Logo, a potência média dissipada no resistor é 12,5 kW.
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
A transmissão de grandes blocos de energia é feita de maneira mais eficiente empregando-se circuitos trifásicos.
 DICA
Circuitos trifásicos são obtidos a partir de geradores trifásicos, que produzem 3 tensões de mesmaamplitude, mesma frequência e defasadas entre si de 120°.
SEQUÊNCIA DIRETA OU POSITIVA
Quando as tensões induzidas no gerador são:
ea(t) = Emaxcos(ωt)
eb(t) = Emaxcos(ωt − 120°)
ec(t) = Emaxcos(ωt − 240°)
Essas tensões são ditas de sequência direta ou positiva.
( )
( ) ( )
( )
( )
javascript:void(0)

SEQUÊNCIA INVERSA OU NEGATIVA
Quando as tensões induzidas apresentam-se da seguinte forma:
ea(t) = Emaxcos(ωt)
ec(t) = Emaxcos(ωt − 120°)
eb(t) = Emaxcos(ωt − 240°)
As tensões são ditas de sequência inversa ou negativa.
A figura a seguir mostra o diagrama fasorial das tensões.
 
EnsineMe.
Sequência positiva (direta)

 
EnsineMe.
Sequência negativa (reversa)
TENSÕES DE FASE
As tensões induzidas são denominadas “tensões de fase”.

TENSÕES TERMINAIS
As tensões terminais do gerador são denominadas “tensões de linha”.
A relação entre as tensões de fase e de linha dependem da forma como o gerador está ligado.
Quando o gerador está conectado na configuração Y, com neutro acessível ou não, o gerador apresenta a seguinte configuração:
 
Fonte: EnsineMe.
Nesse tipo de ligação, temos:
Tensão induzidas de fase :
Ea
,
Eb
e
Ec
Tensões terminais:
VA
,
VB
e
VC
Tensões de linha:
VAB
,
VBC
e
VCA
Correntes de armadura (ou de fase):
Ia
,
Ib
e
Ic
Correntes de linha:
IA
,
IB
e
IC
As relações entre os módulos das tensões de linha
VL
e tensões de fase
Eϕ
são mostradas a seguir:
VL = √3 EΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
| | | |
As relações entre os módulos das correntes de linha
IL
e correntes de fase
Iϕ
são mostradas adiante:
IL = IΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diagrama fasorial do gerador conectado em Y é indicado a seguir:
 
EnsineMe.
Diagrama fasorial das tensões no gerador ligado em Y

 
EnsineMe.
Diagrama fasorial das correntes no gerador ligado em Y
Quando conectado em
△
, o gerador apresenta a seguinte configuração:
 
Fonte: EnsineMe.
As relações entre os módulos das tensões de linha
VL
e tensões de fase
Eϕ
são mostradas a seguir:
VL = EΦ| | | |
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As relações entre os módulos das correntes de linha
IL
e correntes de fase
Iϕ
são mostradas a seguir:
IL = √3 IΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diagrama fasorial do gerador
△
é indicado a seguir:
 
EnsineMe.
Diagrama fasorial das tensões no gerador ligado em
△

 
EnsineMe.
Diagrama fasorial das correntes no gerador ligado em
△
As cargas em um circuito trifásico são ligadas em Y ou
△
.
CARGA EQUILIBRADA
Se as impedâncias em cada uma das fases forem iguais, a carga é dita equilibrada.

CARGA DESEQUILIBRADA
Se as impedâncias forem diferentes, a carga é dita desiquilibrada.
Considere um circuito com cargas desiquilibradas:
 
Fonte: EnsineMe.
Em que:
ZA = 5 Ω
ZA = 3 − J4 Ω
ZA = 3 + J4 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que as tensões de linha sejam iguais a:
VAB = 100∠00
VBC = 100∠−120°
VCA = 100∠−240°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As correntes de fase serão:
IA =
100
5 = 20
IB =
100∠−120°
3 − J4 = 20∠ − 66, 87°
IB =
100∠−120°
6 + J8 = 10∠66, 87°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As correntes de linha serão:
IA = IA − IC = 18, 52∠−29, 78°
IB = IB − IA = 22, 04∠−123, 44°
IC = IC − IB = 27, 87∠98, 10°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência real do sistema será:
PA = 5 IA
2 = 2000
PB = 3 IB 2 = 1200
| |
| |
PC = 3 IC 2 = 600
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência ativa total será:
PTOTAL = PA + PB + PC = 3800W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência reativa será:
QA = 0 IA 2 = 0
QB = − 4 IB
2 = − 1600
QC = 8 IC 2 = 800
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a potência reativa total será:
QTOTAL = QA + QB + QC = − 800VAR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência aparente total da carga será:
S 2TOTAL = P
2
TOTAL + Q
2
TOTAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a potência ativa total será:
STOTAL = P
²
TOTAL + Q
2
TOTAL = 3883 VA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Percebemos que as correntes de fase e de linha são desequilibradas, conforme mostra o diagrama fasorial a seguir, no qual as tensões de linha estão representadas pelos fasores
em preto, a corrente de fase pelos fasores em azul, e as correntes de linhas pelos fasores em vermelho.
 
Fonte: EnsineMe.
Considere a carga equilibrada ligada em Y, alimentada por um gerador trifásica ligado em Y, conforme a figura a seguir:
| |
| |
| |
| |
√
 
Fonte: EnsineMe.
Em que:
Z = 3 + J4 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Suponha que essa tensão de linha é obtida a partir das seguintes tensões de fase:
EA = 200∠00
EB = 200∠−120°
EC = 200∠−240°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o sistema é equilibrado, não há circulação de corrente no neutro, então a mesma tensão do gerador será aplicada à carga.
As correntes de linha serão:
IA =
EA
Z
= 20∠−53, 13°
IB =
EB
Z
= 20∠−173, 13°
IC =
EC
Z
= 20∠66, 87°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que as cargas sejam indutivas, as correntes de fase estarão defasadas de suas tensões de fase de um ângulo
θ
, conforme a figura a seguir, onde os fasores das tensões estão representados em preto e as correntes de linha estão representadas em vermelho.
Como o sistema é equilibrado, a defasagem entre as tensões é 120° e a defasagem entre as correntes de linha é 120°.
 
Fonte: EnsineMe.
 ATENÇÃO
Observe atentamente o diagrama fasorial anterior. Quando o circuito trifásico é equilibrado, não precisamos calcular todas as correntes de linha ou de fase. Basta calcular a corrente
em uma das fases e aplicar o defasamento de 120° nas demais fases.
EXEMPLO
Considere o circuito do problema anterior.
Sabendo-se que as tensões de fase são:
EA = 200∠0
0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente da fase a será:
IA =
200
3 + J4 = 20∠−53, 13°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando-se a defasagem de 120° para as demais correntes, chegamos aos valores das demais correntes de fase, que serão:
IB = 20∠( − 53, 13° − 120°) = 20∠−173, 13°
IC = 20∠( − 53, 13° − 240°) = 20∠66, 87°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para circuitos trifásicos, a potência real de cada uma das fases é dada por:
PI = EIIICOS(ΦI)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
Pi
é a potência da i-ésima fase.
Ei
é a tensão eficaz da i-ésima fase.
ϕi
é a defasagem angular entre a tensão é a corrente de cada fase.
Quando tratamos de circuitos trifásicos equilibrados, como as correntes e tensões na carga têm o mesmo módulo e a defasagem entre elas é a mesma, a potência real do circuito
trifásico é dada por:
P3Φ = 3 EΦIΦCOS(Θ)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
P3ϕ
é a potência trifásica.
Eϕ
é a tensão de fase.
Iϕ
é a corrente de fase.
Porém, se o sistema for ligado em Y, temos:
EFASE =
ELINHA
√3
IFASE = ILINHA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a equação da potência trifásica pode ser reescrita como:
P3Φ = 3 
ELINHA
√3
ILINHACOS(Θ) = √3ELINHAILINHACOS(Θ)
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
 RESUMINDO
A potência real trifásica, fornecida a um sistema ligado em Y, pode ser determinada usando-se valores de linha, conforme mostra a equação anterior.
Se o sistema for ligado em
△
, temos:
EFASE = ELINHA
IFASE =
ILINHA
√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a equação da potência trifásica pode ser reescrita como:
P3Φ = 3 ELINHA
ILINHA
√3
COS(Θ) = √3ELINHAILINHACOS(Θ)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando-se as expressões de potência do sistema trifásico, tanto para o sistema ligado em Y quanto para o sistema ligado em
△
, a expressão que fornece a potência trifásica pode ser obtida usando-se os valores de linha da instalação.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA A SEGUIR PARA A RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES 1 E 2.
EM QUE:
EA = 220∠0
0
EB = 220∠−120°
EC = 220∠−240°
ZY = 3 − J4 Ω
ZΔ = 12 + J9 Ω
OBSERVAÇÃO: OS VALORES DAS TENSÕES SÃO DADOS EM VALORES EFICAZES. 
 
1. O VALOR EFICAZ DA CORRENTE DE LINHA
IA
, EM A, É APROXIMADAMENTE:
A) 32
B) 42
C) 52
D) 62
E) 72
2. A POTÊNCIA TRIFÁSICA DO SISTEMA, EM KW, É APROXIMADAMENTE:
A) 5,8
B) 10,6
C) 13,5
D) 27,0
E) 40,6
GABARITO
Considere o circuito da figura a seguir para a resolução das atividades 1 e 2.
Em que:
Ea = 220∠0
0
Eb = 220∠−120°
Ec = 220∠−240°
ZY = 3 − j4 Ω
ZΔ = 12 + j9 Ω
Observação: Os valores das tensões são dados em valores eficazes. 
 
1. O valor eficaz da corrente de linha
IA
, em A, é aproximadamente:
A alternativa "D " está correta.
 
Para resolver este problema, precisamos fazer a conversar
△
para Y da carga ligada em
△
.
ZY =
ZΔ
3 =
12 + J9
3 = 4 + J3
A figura anterior mostra o equivalente monofásico do circuito:
Agora, a corrente de linha
IA
será dada por:
IA =
EA
ZEQ
=
220
( 4 +J3 ) ( 3 −J4 )
( 4 +J3 ) + ( 3 −J4 )
= 62, 2∠8, 13°
Como as tensões trifásicas foram dadas em valores eficazes, a corrente encontrada também está em valor eficaz.
Portanto, a opção correta é a letra D.
2. A potência trifásica do sistema, em kW, é aproximadamente:
A alternativa "E " está correta.
 
A potência trifásica é:
P3Φ = 3EAIACOS(ΦV − ΦI) = 3 × 220 × 62, 2COS(0 − 8, 13) = 40, 64KW
Portanto, a opção correta é a letra E.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo destes módulos, estudamos a análise dos circuitos senoidais, iniciando pela transformação fasorial. Observamos que, após essa transformação, as mesmas leis e teoremas
vistos em circuitos resistivos podem ser empregadas na resolução de circuitos.
No Módulo 2, vimos os conceitos de potência média e valores eficazes, além de conhecermos os circuitos trifásicos, com as configurações
△
e Y. Analisamos os circuitos trifásicos com cargas equilibradas e desiquilibradas e o cálculo da potência nesses circuitos.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
CLOSE, C. M. Circuitos Lineares. Rio de Janeiro: LTC, 1966.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos Elétricos. 5 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014 (Coleção Schaum).
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, resolva os exercícios dos livros constantes nas referências.
CONTEUDISTA
Sandro Santos de Lima
 CURRÍCULO LATTES
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