Introdução Aos Circuitos Seletivos em Frequência - Sala de Aula _ Estacio - 03-10-22 (LEAOUT DO SITE)

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DESCRIÇÃO
Conceitos básicos de circuitos ressonantes e filtros, formulação de filtros passa-baixa, filtros passa-alta, filtros de banda de passagem e filtros de banda de rejeição, identificação dos
diagramas de Bode.
PROPÓSITO
Compreender os aspectos gerais de circuitos ressonantes dos diferentes tipos de filtros e os diagramas de Bode, ferramentas de suma importância para construção de equipamentos
eletrônicos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica. Além disso, sugerimos que pesquise a tabela de transformada de Laplace na internet ou em
qualquer livro de cálculo diferencial, de equações diferenciais ordinárias e parciais. Por fim, pesquise e baixe a versão demo gratuita do simulador de circuitos LTspice.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar os aspectos gerais dos filtros passa-baixa e passa-alta de primeira ordem e seus respectivos diagramas de Bode
MÓDULO 2
Identificar os aspectos gerais de circuitos ressonantes e filtros de segunda ordem
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 Identificar os aspectos gerais dos filtros passa-baixa e passa-alta de primeira ordem e seus respectivos diagramas de Bode
Aspectos gerais dos filtros passa-baixa e filtros passa-alta
Os circuitos eletrônicos estão presentes em nosso dia a dia, e o uso de aparelhos eletrônicos tem crescido cada vez mais devido ao conforto que nos propiciam. Todavia, circuitos
eletrônicos podem ser complexos do ponto de vista teórico; assim, para conseguir compreendê-los, faremos uso de duas poderosas ferramentas: a transformada de Laplace e o
conceito da função de transferência.
 
Fonte: Oasishifi/Shutterstock
Ao aplicar um sinal senoidal de amplitude constante na entrada de um circuito, este terá um sinal resultante em sua saída. Se a frequência deste sinal de entrada for alterada, as
características da sua resposta (sinal de saída) também serão alteradas.
Para entender melhor, é importante recordar que a variável s na transformada de Laplace consiste na frequência complexa:
s = σ + jω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual o parâmetro σ corresponde ao coeficiente da exponencial e ω a frequência angular.
No estudo de circuitos de corrente alternada, utiliza-se o diagrama fasorial, onde um sinal a senoidal de amplitude constante é representado por meio de uma exponencial complexa,
cujo coeficiente corresponde a:
s = jω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reunindo os conhecimentos até aqui explorados, sem a intenção de se aprofundar matematicamente, o comportamento do circuito em função da frequência é definido por:
H ( jω )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que |H(jω)| corresponde ao ganho em amplitude e ∠H(jω) à variação de fase que o circuito causa no sinal senoidal de entrada.
Desse modo, é importante projetar um circuito de forma que a sua função de transferência seja capaz de fornecer uma resposta com um comportamento adequado em função das
frequências desejadas e indesejadas para um circuito.
O filtro ideal (Figura 1), apesar de ser irrealizável (pode-se mostrar matematicamente que este filtro fere o princípio da causalidade), nos mostra o conceito básico de um filtro.
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1 (a)
a) Filtro passa-baixa
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1 (b)
b) Filtro passa-alta
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1 (c)
c) Filtro de banda de passagem
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1 (d)
d) Filtro de banda de rejeição
No filtro passa-baixa (Figura 1a), por exemplo, todo o sinal com frequência inferior a ωc é replicado na saída do filtro com mesma amplitude do sinal de entrada, enquanto sinais com
frequência superior a ωc são anulados.
Além da resposta da amplitude, a resposta da fase é fundamental. Um filtro ideal possui a fase variando de forma linear no tempo, pois isso resulta em um atraso temporal constante,
impedindo a distorção de atraso. Isto fica evidente ao olhar a resposta senoidal:
x ( t ) = Xmcos ωt + ϕx → y ( t ) = Ymcos ωt + ϕy
Em que Ym = | H ( jω ) | Xm e ϕy =∠H jω + ϕx
Se ∠H ( jω ) = - a . ω, sendo a∈ℝ, então
y ( t ) = Ymcos ω ( t - a ) + ϕx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso em mente, neste módulo apresentaremos os filtros de primeira ordem e uma técnica para esboçar a amplitude da função de transferência em função da frequência
(diagramas de bode).
DEMONSTRAÇÃO
A função de transferência de um circuito formado apenas pelos elementos básicos de circuito é composta pela razão de dois polinômios:
H (S ) =
B (S )
A (S ) =
BMSM+BM - 1SM - 1 + … +B1S+B0
ANSN+AN - 1SN - 1 + … +A1S+A0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que pode ser reduzido a:
H (S ) =K
S -Z1 S -Z2 … S -ZM
S -P1 S -P2 … S -PN
Em que K =
bm
an
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O comportamento em frequência é encontrado ao substituir s = jω, resultando em:
H (JΩ ) =K
JΩ -Z1 JΩ -Z2 … JΩ -ZM
JΩ -P1 JΩ -P2 … JΩ -PN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A amplitude em função da frequência é dada pelo módulo da função de transferência:
|H (JΩ ) | = K
JΩ -Z1 JΩ -Z2 … JΩ -ZM
JΩ -P1 JΩ -P2 … JΩ -PN = K
JΩ -Z1 JΩ -Z2 … JΩ -ZM
JΩ -P1 JΩ -P2 … JΩ -PN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a fase é dada pelo seu argumento:
∠H ( jω ) =∠K + ∠ jω - z1 +∠ jω - z2 + … +∠ jω - zm - ∠ jω - p1
+∠ jω - p2 + … +∠ jω - pn
∠H ( jω ) =∠K + arctg
ω
- z1
+ arctg
ω
- z2
+ … + arctg
ω
- zm
- arctg
ω
- p1 + arctg
ω
- p2 + … + arctg
ω
- pn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante ressaltar que a amplitude convencionalmente é indicada em decibéis (dB), ou seja:
| H ( jω ) | dB = 20 · log10 | H ( jω ) |
| H ( jω ) | dB = 20 · log10 | K |
+ 20 · log10 jω - z1 + 20 · log10 jω - z2 + … + 20 · log10 jω - zm
- 20 · log10 jω - p1 + 20 · log10 jω - p2 + … + 20 · log10 jω - pn
( ) ( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
|
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) | | |
| | | | | |
| | | | | |
[ ( ) ( ) ( ) ] [ ( )
( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ( ) ]
[ | | | | | | ]
[ | | | | | | ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, podemos ver os polos (denominador) como um ponto de inflexão da curva de amplitude para baixo e os zeros (numerado) como um ponto de inflexão para cima.
Para melhor ilustrar, vejamos o filtro passa-baixa de primeira ordem.
O filtro passa-baixa consiste em um circuito cuja função de transferência é capaz de deixar passar sinais com frequências menores para a saída e anular os sinais com frequências
mais altas. O filtro passa-baixa de primeira ordem é o mais simples e possui a seguinte função de transferência:
H ( s ) =
ωc
s + ωc
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que ωc corresponde à frequência na qual a amplitude do sinal é reduzida por um fator de √2, sendo denominada de frequência de corte. Ou seja, considera-se que esse filtro
deixa passar qualquer frequência abaixo de ωc, ω < ωc, e anula sinais com frequências maiores que ωc, ω > ωc.
A amplitude, em decibéis, em função da frequência é dada por:
| H ( jω ) | dB = 20 · log10ωc - 20 · log10 jω + ωc = 20 · log10ωc - 20 · log10 ω2 + ω
2
c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a fase é dada pelo seu argumento:
∠H ( jω ) = - arctg
ω
ωc
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse filtro pode ser construído de forma simples pelos circuitos da Figura 2.
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 2 (a)
A função de transferência da Figura 2(a) corresponde a:
H ( s ) =
1
RC
s +
1
RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 2 (b)
A função de transferênciada Figura 2(b) corresponde a:
H ( s ) =
R
L
s +
R
L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os diagramas de Bode do filtro passa-baixa de primeira ordem, ou seja, as curvas que ilustram a variação de amplitude e fase da função de transferência em função da frequência
compõem a Figura 3.
 
Fonte: EnsineMe.
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 3.
| |
√
( )
A amplitude na frequência de corte, ωc, pode ser calculada da seguinte forma:
H jωc dB = 20log
ωc
ωc2 + ωc2 
= 20log
1
√2
= - 3,0103 ≈ - 3 dB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma análoga, pode-se calcular o valor da metade e do dobro da frequência de corte.
H j
ωc
2
dB = 20log
ωc
ωc
2 2 + ωc2 
= 20log
2
√5
= - 0,9691 ≈ - 1 dB
H j2ωc dB = 20log
ωc
2ωc 2 + ωc2 
= 20log
1
√5
= - 6,9897 ≈ - 7 dB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinar as assíntotas considera-se:
| H ( jω ) | =
ωc
jω + ωc ω≪ωc =
ωc
ωc = 1 , ω < ωc
ωc
jω + ωc ω≫ωc =
ωc
| jω | =
ωc
| ω | , ω > ωc
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em decibéis:
| H ( jω ) | dB = { 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fica evidente uma inclinação para baixo a partir de ωc com decaimento de -20 dB/década.
Se calcularmos também o valor das assíntotas para a metade e o dobro da frequência de corte obteremos:
H j ω c 2 d B = 20 log 1 = 0 d B , ω < ω c
H j 2 ω c d B = 20 log ω c 2 ω c 2 = 20 log 1 2 = - 6,02 ≈ - 6 d B , ω > ω c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na frequência de corte, ωc, a curva encontra-se aproximadamente -3 dB abaixo das assíntotas, e tanto a metade quanto o dobro de ωc estão a -1 dB das assíntotas.
Essas assíntotas ajudam na confecção do esboço da curva de amplitude em decibéis, sendo bastante útil quando existem múltiplos polos e zeros pertencentes aos Reais e
suficientemente espaçados entre si.
Concluído a análise do filtro passa-baixa de primeira ordem, que corresponde ao gráfico de um polo isolado, cabe ressaltar o seu dual. Um circuito que fosse formado somente por um
zero em ωc teria características semelhantes, mas se comportando de forma espelhada em relação ao eixo horizontal (espelho), isto é, a curva de amplitude iniciaria em zero e
cresceria a partir de ωc. Da mesma forma, a curva da fase iniciaria em 0° e cresceria até 90°.
Pode-se montar o diagrama de Bode da amplitude de uma função de transferência como composição das curvas referente a cada polo ou zero. A Figura 4 apresenta um exemplo de
representação do diagrama de Bode de amplitude de determinada função de transferência.
EXEMPLO
Exemplo da construção do diagrama de bode de amplitude de
Hs=10(s+2)s(s+40)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 4
Como resultado prático dessa composição de curvas de polos e zeros, tem-se o filtro passa-alta, que consiste em um circuito cuja função de transferência é capaz de deixar passar
sinais com frequências maiores para a saída e anular os sinais com frequências menores. O filtro passa-alta de primeira ordem é o mais simples e possui a seguinte função de
transferência:
H s = s s + ω c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que ωc corresponde à frequência na qual a amplitude do sinal é reduzida por um fator de 2 , sendo denominada de frequência de corte. Ou seja, considera-se que esse filtro deixa
passar qualquer frequência acima de ωc, ω > ωc, e anula sinais com frequências menores que 
ωc, ω < ωc.
A amplitude, em decibéis, em função da frequência é dada por:
H j ω d B = 20 . log 10 ω - 20 · log 10 j ω + ω c = 20 · log 10 ω - 20 · log 10 ω 2 + ω c 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a fase é dada pelo seu argumento:
∠ H j ω = 90 o - a r c t g ω ω c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
| ( ) | (
| |
√ ) ( )
| ( ) |
| |
√
( )
| ( ) |
| |
√ ( )
{
[
| |
| | ]
| |
| |
[
| |
| | ]
| | | |
Esse filtro pode ser construído de forma simples pelos circuitos das Figura 5.
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 5a
A função de transferência da Figura 5a corresponde a:
H s = s s + 1 R C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 5b
A função de transferência da Figura 5b corresponde a:
H s = s s + R L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os diagramas de Bode do filtro passa-baixa de primeira ordem, ou seja, as curvas que exibem a variação de amplitude e fase da função de transferência em função da frequência
compõem a Figura 6.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (6a)
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (6b)
Com a Figura 6a, percebe-se que a presença do zero da função transferência em zero (na origem) consiste em uma ascendente de 20 dB/década, que ao ser somada (o produto em
valores absolutos se transforma em soma em decibéis devido ao efeito do logaritmo) com a porção constante em 0 dB, torna a curva ascendente nesta porção, e ao ser somada com
a porção maior que ωc, anula o efeito descendente de valor -20 dB/década. Este mesmo zero, provoca o acréscimo de 90° na fase, uma vez que o numerador é composto apenas por
um imaginário puro, s = jω.
 ATENÇÃO
Toda a análise deste módulo foi realizada em função da frequência angular, ω. Porém não devemos esquecer que existe uma relação da frequência angular (unidade em rad/s) com a
frequência real, f (unidade em Hz):
ω = 2 π f
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A FREQUÊNCIA DE CORTE DO FILTRO DA FIGURA E.1, EM QUE R = 1 KΩ E C = 1 ΜF? 
 
 FIGURA E.1
A) ωc = 1000 rad/s
B) ωc = 1 rad/s
C) ωc =0,001 rad/s
D) ωc = 100 rad/s
E) ωc = 0,1 rad/s
2. DETERMINE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA QUE CORRESPONDE AO DIAGRAMA DAS ASSÍNTOTAS DA CURVA DE AMPLITUDE DA
FIGURA E.2. 
 
 FIGURA E.2
A) Hs=1(s+1)(s+20)
B) Hs=20(s+1)(s+20)
C) Hs=s(s+1)(s+20)
D) Hs=20s(s+1)(s+20)
E) Hs=20s2(s+1)(s+20)
3. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA AMPLITUDE REAL NA FREQUÊNCIA ANGULAR 20 RAD/S PARA A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
CUJO DIAGRAMA DAS ASSÍNTOTAS DA CURVA DE AMPLITUDE ESTÁ REPRESENTADO NA FIGURA E.2. 
 
 FIGURA E.2
A) |H(j20)|dB=-20 dB
B) |H(j20)|dB=-23 dB
C) |H(j20)|dB=-26 dB
D) |H(j20)|dB=-29 dB
E) |H(j20)|dB=-30 dB
4. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA FASE NA FREQUÊNCIA ANGULAR 20 RAD/S PARA A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA CUJO
DIAGRAMA DAS ASSÍNTOTAS DA CURVA DE AMPLITUDE ESTÁ REPRESENTADO NA FIGURA E.2. 
 
 FIGURA E.2
A) ∠H(j20)≅0o
B) ∠Hj20≅-45o
C) ∠Hj20≅-90o
D) ∠Hj20≅-135o
E) ∠Hj20≅-180o
5. DETERMINE O VALOR DOS ELEMENTOS PASSIVOS NO CIRCUITO DA FIGURA E.3 ABAIXO, CONSIDERANDO A CURVA DAS ASSÍNTOTAS
DA AMPLITUDE CORRESPONDER A FIGURA E.2 DEMONSTRADA NA QUESTÃO ANTERIOR, SABENDO QUE
 
L = 1 H 
 
 FIGURA E.3
A) R=21 Ω, C=120 F
B) R=21 Ω, C=20 F
C) R=20 Ω, C=120 F
D) R=20 Ω, C=20 F
E) R=20 Ω, C=21 F
6. SOBRE O COMPORTAMENTO DA FASE EM FUNÇÃO DA FREQUÊNCIA DO FILTRO PASSA-ALTA DE PRIMEIRA ORDEM É CORRETO
AFIRMAR QUE?
A) Na frequência de corte a fase é -45°.
B) A fase possui um comportamento crescente com a frequência.
C) A fase 26,6° corresponde à metade da frequência de corte.
D) A fase tende a 0° para frequência cujo valor seja muito maior que a frequência de corte.
E) Na frequência de corte a fase é 0° .
GABARITO
1. Determine a frequência de corte do filtro da Figura E.1, em que R = 1 kΩ e C = 1 μF? 
 
 Figura E.1
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Hs=ss+1RC
ωc=1RC=11000.10-6=1000 rad/s→resposta letra A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a função de transferência que corresponde ao diagrama das assíntotas da curva de amplitude da FiguraE.2. 
 
 Figura E.2
A alternativa "B " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
3. Determine o valor aproximado da amplitude real na frequência angular 20 rad/s para a função de transferência cujo diagrama das assíntotas da curva de amplitude está
representado na Figura E.2. 
 
 Figura E.2
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Inicialmente, vamos calcular o valor do ponto de quebra em 20 rad/s.
Hj20dBassintota=Hj1dBassintota-20·log20=0-20·log20
Hj20dBassintota=-20·log20=-20-20·log2=-20-20·0,3=-26 dB
Entretanto, a curva real fica 3 dB abaixo do ponto de quebra das assíntotas, logo:
Hj20dB=-26-3=-29 dB→resposta letra D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor aproximado da fase na frequência angular 20 rad/s para a função de transferência cujo diagrama das assíntotas da curva de amplitude está
representado na Figura E.2. 
 
 Figura E.2
A alternativa "D " está correta.
Solução:
A função de transferência correspondente é:
Hs=20(s+1)(s+20)→Hjω=20(jω+1)(jω+20)→Hj20≅20j20j20+20
∠Hj20≅∠20j20j20+20=∠20-∠j20-∠j20+20=0o-90o-45o
∠Hj20≅-135o→resposta letra D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor dos elementos passivos no circuito da Figura E.3 abaixo, considerando a curva das assíntotas da amplitude corresponder a Figura E.2 demonstrada
na questão anterior, sabendo que 
 
L = 1 H 
 
 Figura E.3
A alternativa "A " está correta.
Solução:
A função de transferência da Figura E.2 corresponde a:
Hs=20(s+1)(s+20)
A função de transferência da Figura E.3 corresponde a:
Hs=1LCs2+RLs+1LC→1LC=20→C=120 FRL=21→R=21 Ω
Resposta letra A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Sobre o comportamento da fase em função da frequência do filtro passa-alta de primeira ordem é correto afirmar que?
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Hs=ss+ωc→Hjω=jωjω+ωc→∠Hjω=∠jωjω+ωc=∠jω-∠jω+ωc
∠Hjω=90o-arctgωωc→ω≫ωc→arctgωωc≅90o
∠Hjω≫jωc≅0o→resposta letra D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O ouvido humano é capaz de ouvir sons nas faixas de frequência que variam de 20 Hz a 20 kHz. Entretanto, precisa-se apenas da faixa de 300 Hz a 3,4 kHz para que seja capaz de
reconhecer as palavras emitidas por um interlocutor. O sistema de comutação de telefonia fixa faz uso dessa limitação em frequência. O sinal analógico da fala é amostrado a uma
taxa de amostragem de 8 kHz (o Teorema de Nyquist, da Teoria da Amostragem, diz que a frequência de amostragem deve ser pelo menos o dobro da frequência máxima do sinal a
ser amostrado para que se evite o fenômeno do aliasing) e quantizado em 8 bits (256 níveis), resultando numa taxa de transmissão de 64 kbps.
 
Fonte: ioat/Shutterstock
Suponha que você ficou responsável por projetar um filtro passa-baixa de primeira ordem com elementos passivos que antecede a amostragem do sinal de voz. Sabendo que o
amostrador é representado por uma resistência de 50 Ω, determine o valor do elemento reativo conectado em série que compõe o filtro.
RESOLUÇÃO
A topologia adequada para este caso é
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
Cuja função de transferência é dada por:
H s = R L s + R L R = 50 Ω R L = 2 π 3400
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
L = 50 2 π 3400 ≅ 0,00234 H = 2,34 m H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Valor do elemento reativo conectado em série
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA AMPLITUDE REAL NA FREQUÊNCIA 5 RAD/S DO FILTRO PASSA-BAIXA CUJO DIAGRAMA DAS
ASSÍNTOTAS DA CURVA DE AMPLITUDE ESTÁ REPRESENTADO NA FIGURA E.4, CONSIDERANDO TODOS OS POLOS E ZEROS
PERTENCENTES AO EIXO REAL. 
 
 FIGURA E.4
A) |H(j5)|dB=0 dB
B) |H(j5)|dB=-1 dB
C) |H(j5)|dB=-3 dB
D) |H(j5)|dB=-6 dB
E) |H(j5)|dB=-7 dB
2. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA FASE NA FREQUÊNCIA 10 RAD/S DO FILTRO PASSA-BAIXA CUJO DIAGRAMA DAS ASSÍNTOTAS
DA CURVA DE AMPLITUDE ESTÁ REPRESENTADO NA FIGURA E.4, CONSIDERANDO TODOS OS POLOS E ZEROS PERTENCENTES AO EIXO
REAL.
A) ∠Hj10=-26,6o
B) ∠Hj10=-45o
C) ∠Hj10=-53,2o
D) ∠Hj10=-63,4o
E) ∠Hj10=-126,8o
GABARITO
1. Determine o valor aproximado da amplitude real na frequência 5 rad/s do filtro passa-baixa cujo diagrama das assíntotas da curva de amplitude está representado na
Figura E.4, considerando todos os polos e zeros pertencentes ao eixo real. 
 
 Figura E.4
A alternativa "D " está correta.
 
Solução:
Um polo causa um ponto de quebra nas assíntotas com uma queda de -20 dB/dec. Como só existe um ponto de quebra e a queda é de -40 dB/dec (o dobro de 1 polo), concluímos
que se trata de um polo duplo em -5.
Hs=25s+52=5s+55s+5
Essa função de transferência corresponde à composição de dois filtros passa-baixa de primeira ordem. Um filtro passa-baixa de primeira ordem apresenta a curva real a -3 dB do
ponto de quebra, então:
Hj5dB=-3-3=-6 dB→resposta letra D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor aproximado da fase na frequência 10 rad/s do filtro passa-baixa cujo diagrama das assíntotas da curva de amplitude está representado na Figura E.4,
considerando todos os polos e zeros pertencentes ao eixo real.
A alternativa "E " está correta.
 
Solução:
Hs=25s+52=5s+55s+5
Essa função de transferência corresponde à composição de dois filtros passa-baixa de primeira ordem. É solicitado a fase na frequência que corresponde ao dobro da frequência de
corte, obtendo-se assim:
∠Hj10=-63,4o-63,4o=-126,8o→resposta letra E
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Identificar os aspectos gerais de circuitos ressonantes e filtros de segunda ordem
Aspectos gerais ressonantes e filtros de segunda ordem
No módulo anterior, introduzimos o conceito de filtro, mostrando como a função de transferência de um circuito afeta a amplitude e a fase de um sinal em função da frequência. Ao
explorar a razão desse efeito, vimos que esse fenômeno ocorre devido à ação dos polos e zeros da função de transferência. Isso se deu por meio do cálculo do filtro passa-baixa de
primeira ordem, que serviu como referência para o entendimento do efeito de um polo.
A partir do filtro passa-baixa, esclarecemos como funcionam os efeitos de polos e zeros pertencentes aos Reais, sendo exemplificado por meio da apresentação do filtro passa-alta de
primeira ordem. Toda essa explanação foi ilustrada por meio dos diagramas de Bode.
Neste módulo continuaremos o estudo de filtros, apresentando o comportamento de filtros de segunda ordem, com par de polos complexos conjugados, por meio de circuitos
ressonantes.
DEMONSTRAÇÃO
Vamos analisar um circuito ressonante que forma um filtro passa-baixa de segunda ordem. Tal filtro tem a função de transferência dada por:
H S = Ω O 2 S 2 + 2 . Α . S + Ω O 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um circuito capaz de fornecer função de transferência com este formato é apresentado na Figura 7:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 7
Cuja função de transferência é dada por:
H S = 1 LC S 2 + R L . S + 1 LC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
ω o = 1 L C e α = R 2 L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os polos desse circuito são determinados pelas raízes do polinômio do denominador da função de transferência da seguinte forma:
s 2 + 2 . α . s + ω o 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resultando em:
s 1,2 = - α ± j · ω d
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
ω d = ( ω 0 2 - α 2 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é denominadafrequência natural amortecida e ωo corresponde à frequência natural não amortecida.
Para 0 < α < ωo, existirá um valor de ωd real e os polos serão pares complexos conjugados conforme a Figura 8.
A Figura 8a ilustra um exemplo de par de polos conjugados, com a relação visual entre α, ωo e ωd. E a Figura 8b ilustra o comportamento dos polos em função da variação de α:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 8(a) esquerda e Figura 8(b) direita.
a) Se α = 0: par de polos no eixo imaginário e ωd = ωo, ou seja, s1,2 = j.ωo
b) Se 0 < α < ωo: par de polos complexos conjugados
s 1 , 2 = - α ± j . ω d e ω d = ω 0 2 - α 2
c) Se α = ωo: polo duplo no eixo real
( s 1 , 2 = - ω o ) e ω d = 0
d) Se α < ωo: polos distintos no eixo real
( s 1 = - α - α 2 - ω 0 2 e s 2 = - α + α 2 - ω 0 2 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os polos se alteram em função de α, a resposta do circuito é classificada quanto a sua variação:
RESPOSTA 
SUPERAMORTECIDA
α > ω o ( ξ > 1 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESPOSTA CRITICAMENTE 
AMORTECIDA
α = ω o ( ξ = 1 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESPOSTA 
SUBAMORTECIDA
0 ≤ α < ω o ( 0 ≤ ξ < 1 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
Ξ = Α Ω O
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é denominado taxa de amortecimento.
A existência dos dois elementos reativos, indutância e capacitância, gera os pares de polos complexos conjugados que torna este circuito ressonante, pois, a depender dos valores de
α, haverá uma faixa de frequência em que a amplitude será acentuadamente maior.
O parâmetro que mede a agudeza da ressonância é o fator de qualidade e é definido como:
Q = Ω O 2 Α
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 9 exibe a resposta em amplitude e em fase em função da frequência para diferentes valores de Q.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (9a).
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (9b).
Diante do comportamento ressonante, é importante identificar alguns pontos para se ter domínio sobre a resposta do circuito.
Primeiramente, calculamos o valor da amplitude de H(s) em ω = ω0:
H j ω 0 = ω 0 2 j ω 0 2 + 2 α j ω 0 + ω 0 2 = ω o 2 α j = ω o 2 α = Q
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em decibéis:
H j ω 0 d B = 20 log Q
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, o cálculo do valor de Q se torna fundamental, porque ele define o ganho de amplitude na frequência natural não amortecida. Entretanto, ao olhar atentamente, verificamos,
por exemplo, que a amplitude máxima quando Q = 10 é 20,0104 dB e não simplesmente 20 dB. Isso ocorre, pois, apesar de bastante próxima, a frequência de ressonância é diferente
da frequência natural não amortecida e pode ser encontrada da seguinte forma:
ω 0 2 j ω 2 + 2 α j ω + ω 0 2 m á x i m o = j ω 2 + 2 α j ω + ω 0 2 m í n i m o → ω n = ω 0 1 - 2 α ω o 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que pode ser reescrita em função da taxa de amortecimento e do fator de qualidade como segue:
ω n = ω 0 1 - 2 ξ 2
ω n = ω 0 1 - 1 2 Q 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fica evidente que a frequência de ressonância é menor que a frequência natural não amortecida. Entretanto, para valores suficientemente grandes do fator de qualidade, podemos
dizer que: ω n ≅ ω 0
O valor real do pico de ressonância é dado por:
H j ω n d B = ω 0 2 j ω n 2 + 2 α j ω n + ω 0 2 d B = 20 log ω o 2 α 1 - α ω o 2
HjωndB=20log12ξ1-ξ220logQ1-14Q2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como na ressonância a curva sobe além da linha de 0 dB, convém saber em que frequência ela corta essa linha para retomar o seu decréscimo. Para isso, basta fazer:
ω 0 2 j ω 2 + 2 α j ω + ω 0 2 = 1 → ω r = ω 0 2 1 - 2 α ω o 2 → ω r = ω 0 2 ( 1 - 2 ξ 2 ) ω r = ω 0 2 - 1 Q 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outro dado importante é determinar até que variação de α evita-se a ressonância. Para isso:
ω 0 2 j ω 2 + 2 α j ω + ω 0 2 ≤ 1 → α ≥ ω o 2 → α ≥ ω o 2 2 → ξ ≥ 2 2 Q ≤ 2 2 ≅ 0,7071
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 9a ilustra o resultado calculado, no qual só existe ressonância quando o fator de qualidade é superior ao inverso da raiz quadrada de dois (0,7071 aproximadamente).
Havendo ressonância, quanto maior o valor do fator de qualidade, maior o valor do pico de amplitude. Dessa forma, esse filtro deixou de ser um passa-baixa, e pode-se dizer que ele
se comporta como um filtro seletivo (passa-faixa de banda estreita) com ganho. Assim, é importante determinar os valores de frequência que apresentam uma queda de 3 dB a partir
do pico.
H j ω - 3 d B d B = ω 0 2 j ω - 3 d B 2 + 2 α j ω - 3 d B + ω 0 2 = ω o 2 α 2 1 - α ω o 2
ω - 3 d B = ω 0 1 - 2 α 2 ω o 2 ± 2 α ω o 1 - α 2 ω o 2 → ω - 3 d B = ω 0 1 - 1 2 Q 2 ± 1 Q 1 - 1 4 Q 2 ω - 3 d B = ω 0 1 - 2 ξ 2 ± 2 ξ 1 - ξ 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando o circuito é seletivo, ou seja, Q elevado (ξ≪1), o valor das frequências de corte pode ser aproximado, e as raízes extraídas pelos primeiros termos da expansão da série de
Taylor, obtendo:
ω - 3 d B ≅ ω 0 ± α
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já demonstrado, para um circuito seletivo, podemos aproximar a frequência de ressonância à frequência natural não amortecida (ωn ≅ ω0) e a banda de passagem, ou largura
de faixa (diferença entre as frequências de corte) a Δω ≅ 2α. Desse modo, para circuitos ressonantes seletivos, temos:
Q = f r e q u ê n c i a d e r e s s o n â n c i a l a r g u r a d e f a i x a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, verificamos o decaimento da amplitude por meio da assíntota, na proporção de -40 dB/década, independente do valor de Q, a partir de ωo.
Toda a análise realizada no filtro passa-baixa pode ser aplicada aos demais filtros com circuito ressonante.
O filtro passa-alta de segunda ordem tem função de transferência dada por:
H s = s 2 s 2 + 2 · α · s + ω o 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um circuito capaz de fornecer função de transferência com este formato é indicado a seguir:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 10.
Cuja função de transferência é dada por:
H s = s 2 s 2 + R L · s + 1 L C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 11 apresenta a resposta em amplitude e em fase em função da frequência para diferentes valores de Q.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (11a).
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (11b).
O filtro de banda de passagem (ou passa-faixa) de segunda ordem tem função de transferência dada por:
H s = 2 · α · s s 2 + 2 · α · s + ω o 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um circuito capaz de fornecer função de transferência com este formato é ilustrado na Figura 12:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 12.
Cuja função de transferência é dada por:
H s = R L s s 2 + R L s + 1 L C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 13 exibe a resposta em amplitude e em fase em função da frequência para diferentes valores de Q.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (13a).
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (13b).
O filtro de banda de rejeição de segunda ordem tem função de transferência dada por:
H s = s 2 + ω o 2 s 2 + 2 · α · s + ω o 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um circuito capaz de fornecer funçãode transferência com este formato é apresentado na Figura 14.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 14.
Cuja função de transferência é dada por:
H s = s 2 + 1 L C s 2 + R L s + 1 L C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 15 exibe a resposta em amplitude e em fase em função da frequência para diferentes valores de Q.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (15a).
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (15b).
MÃO NA MASSA
1. QUAL DAS OPÇÕES ABAIXO REPRESENTA A CONDIÇÃO PARA UMA RESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA?
A) Q=12
B) Q=22
C) Q=1
D) Q=2
E) Q=2
2. QUAL DAS OPÇÕES ABAIXO REPRESENTA A CONDIÇÃO PARA QUE OCORRA O FENÔMENO DA RESSONÂNCIA EM UM FILTRO DE
SEGUNDA ORDEM?
A) Q>12
B) Q>22
C) Q>1
D) Q>2
E) Q>2
3. CONSIDERANDO Q = 0,1, O CIRCUITO DA FIGURA E.5 CORRESPONDE A QUE FILTRO? 
 
 FIGURA E.5
A) Filtro passa-baixa
B) Filtro passa-alta
C) Filtro passa-faixa
D) Filtro rejeita-faixa
E) Filtro passa-tudo
4. DETERMINE O FATOR DE QUALIDADE DO FILTRO PASSA-BAIXA (DE SEGUNDA ORDEM) RLC SÉRIE.
A) Q=1RLC
B) Q=RCL
C) Q=1RCL
D) Q=RLC
E) Q=1RC
5. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DO GANHO DO CIRCUITO CUJA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA É DADA POR: 
 
HS=1000S2+20S+1000000
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) |H(jωn)|dB≅23dB
B) |H(jωn)|dB≅20dB
C) |H(jωn)|dB≅0dB
D) HjωndB≅ -20 dB
E) HjωndB≅-23 dB
6. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA FREQUÊNCIA ANGULAR DE RESSONÂNCIA E A LARGURA DE FAIXA, PARA O CIRCUITO CUJA
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA É DADA POR: 
 
HS=1000000S2+20S+1000000
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) ωn≅1000000 rad/s e Δω≅10 rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ωn≅1000000rad/seΔω≅20rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) ωn≅1000 rad/s e Δω≅10 rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) ωn≅1000 rad/s e Δω≅20 rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)
E) ωn≅1000 rad/s e Δω≅40 rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
GABARITO
1. Qual das opções abaixo representa a condição para uma resposta criticamente amortecida?
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Resposta criticamente amortecida:
α=ωo(ξ=1)
Q=ωo2α→Q=12→resposta letra A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Qual das opções abaixo representa a condição para que ocorra o fenômeno da ressonância em um filtro de segunda ordem?
A alternativa "B " está correta.
Solução:
Para evitar a ressonância temos que: ξ≥22, o que remete a um Q≤22.
Então para que haja ressonância, Q deve ser maior do que
22Q>22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Considerando Q = 0,1, o circuito da Figura E.5 corresponde a que filtro? 
 
 Figura E.5
A alternativa "D " está correta.
Solução:
A função de transferência do filtro é:
Hs=s2+1LCs2+1RCs+1LC→Hs=s2+ωo2s2+2.α.s+ωo2→Filtro rejeita faixa→letra D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o fator de qualidade do filtro passa-baixa (de segunda ordem) RLC série.
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Filtro passa-baixa RLC série
Cuja função de transferência é dada por:
Hs=1LCs2+RL.s+1LC
Q=ωo2α→Q=1LCRL→Q=1RLC→resposta letra A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor aproximado do ganho do circuito cuja função de transferência é dada por: 
 
Hs=1000s2+20s+1000000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Solução:
Hs=1000s2+20s+1000000=110001000000s2+20s+1000000
Q=100000020=100020=50→alta seletividade→ωn≅ωo=1000 rad/s
Hj1000=11000Q=501000=120
Hj1000dB=-20log20≅-23 dB→resposta letra E.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine o valor aproximado da frequência angular de ressonância e a largura de faixa, para o circuito cuja função de transferência é dada por: 
 
Hs=1000000s2+20s+1000000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Os telefones fixos utilizam os tons de duas frequências (Dual-Tone Multi-Frequency, DTMF) na discagem, conforme a Tabela E1. Ao teclar, por exemplo, o número 4, o aparelho envia
para a central o batimento de duas frequências, no caso 770 Hz e 1209 Hz. Ao chegar na central, o sinal passa por um banco de filtros onde é analisado e identificada a tecla discada.
 
Fonte: Por ojovago /Shutterstock
Determine os valores dos elementos passivos de um circuito RLC série que corresponde a um filtro passa-faixa de segunda ordem com banda passante de 50 Hz, capaz de identificar
que alguma tecla da coluna do 0 foi discada. Considere L = 1 H
Frequência [Hz] 1209 1336 1477
697 1 2 3
770 4 5 6
852 7 8 9
941 * 0 #
Tabela E.1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Solução:
O filtro passa-faixa apresenta a seguinte função de transferência
H s = 2 · α · s s 2 + 2 · α · s + ω o 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para circuitos seletivos, a frequência de ressonância é dada por ωo e a banda passante por 2.α
H s = 2 · π · 50 · s s 2 + 2 · π · 50 · s + 2 · π · 1336 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o circuito do filtro passa-faixa:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
Hs=RLss2+RLs+1LC→RL=2.π.50→R=314 Ω1LC=2.π.1336→C=14 nF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elementos passivos de um circuito RLC
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O CIRCUITO DA FIGURA E.6 ABAIXO CORRESPONDE A QUE FILTRO? 
 
 FIGURA E.6
A) Filtro passa-baixa
B) Filtro passa-alta
C) Filtro passa-faixa
D) Filtro rejeita-faixa
E) Filtro passa-tudo
2. DETERMINE OS VALORES DA RESISTÊNCIA E DA INDUTÂNCIA DE UM FILTRO QUE TEM COMO FAIXA DE PASSAGEM, 950 HZ E 1050 HZ,
CUJA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA É DADA POR:
HS=1RCSS2+1RCS+1LC
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
 
 
CONSIDERE C = 1 ΜF
A) R=10 kΩ e L=1 H
B) R=5 kΩ e L=1 H 
C) R=1,6 kΩ e L=25 mH
D) R=800 Ω e L=25 mH
E) R=3,2 kΩ e L=25 mH
GABARITO
1. O circuito da Figura E.6 abaixo corresponde a que filtro? 
 
 Figura E.6
A alternativa "C " está correta.
 
Solução:
A função de transferência do filtro é:
Hs=1RCss2+1RCs+1LC→Hs=2.α.ss2+2.α.s+ωo2→Filtro passa faixa→letra C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine os valores da resistência e da indutância de um filtro que tem como faixa de passagem, 950 Hz e 1050 Hz, cuja função de transferência é dada por:
Hs=1RCss2+1RCs+1LC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
Considere C = 1 µF
A alternativa "C " está correta.
 
Solução:
Q=ωnΔω=1050+95021050-950=1000100=10
→ωo≅ωn=2.π.1000rads→1LC=62832=39478417→L=25 mH2α≅ Δω=2.π.100rads→1RC=628→R=1591=1,6 kΩ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos módulos aprendemos os princípios básicos acerca da resposta de um circuito em função da frequência.
Iniciamos nosso estudo com uma introdução sobre filtros e, em seguida, apresentamos o comportamento de amplitude e fase dos filtros passa-baixa e passa-alta de primeira ordem,
juntamente à análise da influência dos polos e zeros da função de transferência nas curvas resultantes, denominadas diagramas de Bode.
Por fim, estudamos o comportamento dos circuitos ressonantes apresentando as variações dos diagramas de Bode para os filtros passa-baixa, passa-alta,de banda passante e
rejeita-faixa em função do parâmetro denominado fator de qualidade.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
CLOSE, Charles M. Circuitos lineares. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
SVOBODA, J.; DORF, R. Introdução aos Circuitos Elétricos. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia o artigo:
CARLIN, N. et al. Estudo de filtros RC para baixas e altas frequências por meio de um circuito para superposição de sinais. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo,
v. 32, n. 1, jan./mar. 2010.
CONTEUDISTA
Rafael Rocha Heymann
 CURRÍCULO LATTES
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