Introdução aos circuitos seletivos em frequência

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DESCRIÇÃO
Conceitos básicos de circuitos ressonantes e filtros, formulação de filtros passa-baixa, filtros passa-alta,
filtros de banda de passagem e filtros de banda de rejeição, identificação dos diagramas de Bode.
PROPÓSITO
Compreender os aspectos gerais de circuitos ressonantes dos diferentes tipos de filtros e os diagramas
de Bode, ferramentas de suma importância para construção de equipamentos eletrônicos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica. Além disso,
sugerimos que pesquise a tabela de transformada de Laplace na internet ou em qualquer livro de cálculo
diferencial, de equações diferenciais ordinárias e parciais. Por fim, pesquise e baixe a versão demo
gratuita do simulador de circuitos LTspice.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar os aspectos gerais dos filtros passa-baixa e passa-alta de primeira ordem e seus respectivos
diagramas de Bode
MÓDULO 2
Identificar os aspectos gerais de circuitos ressonantes e filtros de segunda ordem
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 Identificar os aspectos gerais dos filtros passa-baixa e passa-alta de primeira ordem e seus
respectivos diagramas de Bode
Aspectos gerais dos filtros passa-baixa e filtros passa-alta
Os circuitos eletrônicos estão presentes em nosso dia a dia, e o uso de aparelhos eletrônicos tem
crescido cada vez mais devido ao conforto que nos propiciam. Todavia, circuitos eletrônicos podem ser
complexos do ponto de vista teórico; assim, para conseguir compreendê-los, faremos uso de duas
poderosas ferramentas: a transformada de Laplace e o conceito da função de transferência.
 
Fonte: Oasishifi/Shutterstock
Ao aplicar um sinal senoidal de amplitude constante na entrada de um circuito, este terá um sinal
resultante em sua saída. Se a frequência deste sinal de entrada for alterada, as características da sua
resposta (sinal de saída) também serão alteradas.
Para entender melhor, é importante recordar que a variável s na transformada de Laplace consiste na
frequência complexa:
s = σ + jω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual o parâmetro σ corresponde ao coeficiente da exponencial e ω a frequência angular.
No estudo de circuitos de corrente alternada, utiliza-se o diagrama fasorial, onde um sinal a senoidal de
amplitude constante é representado por meio de uma exponencial complexa, cujo coeficiente
corresponde a:
s = jω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reunindo os conhecimentos até aqui explorados, sem a intenção de se aprofundar matematicamente, o
comportamento do circuito em função da frequência é definido por:
H(jω)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que |H(jω)| corresponde ao ganho em amplitude e ∠H(jω) à variação de fase que o circuito causa no
sinal senoidal de entrada.
Desse modo, é importante projetar um circuito de forma que a sua função de transferência seja capaz de
fornecer uma resposta com um comportamento adequado em função das frequências desejadas e
indesejadas para um circuito.
O filtro ideal (Figura 1), apesar de ser irrealizável (pode-se mostrar matematicamente que este filtro fere o
princípio da causalidade), nos mostra o conceito básico de um filtro.
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1 (a)
a) Filtro passa-baixa
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1 (b)
b) Filtro passa-alta
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1 (c)
c) Filtro de banda de passagem
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 1 (d)
d) Filtro de banda de rejeição
No filtro passa-baixa (Figura 1a), por exemplo, todo o sinal com frequência inferior a ωc é replicado na
saída do filtro com mesma amplitude do sinal de entrada, enquanto sinais com frequência superior a ωc
são anulados.
Além da resposta da amplitude, a resposta da fase é fundamental. Um filtro ideal possui a fase variando
de forma linear no tempo, pois isso resulta em um atraso temporal constante, impedindo a distorção de
atraso. Isto fica evidente ao olhar a resposta senoidal:
x(t)= Xm cos(ωt + ϕx)→ y(t)= Ymcos(ωt + ϕy)
Em que Ym =|H(jω)|Xm e ϕy = ∠H(jω) + ϕx
Se ∠H(jω) = −a.ω, sendo a ∈ R, então
y(t)= Ymcos[ω(t − a)+ϕx]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso em mente, neste módulo apresentaremos os filtros de primeira ordem e uma técnica para
esboçar a amplitude da função de transferência em função da frequência (diagramas de bode).
DEMONSTRAÇÃO
A função de transferência de um circuito formado apenas pelos elementos básicos de circuito é composta
pela razão de dois polinômios:
H(s)= =
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que pode ser reduzido a:
H(s)= K
Em que K =
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O comportamento em frequência é encontrado ao substituir s = jω, resultando em:
H(jω)= K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A amplitude em função da frequência é dada pelo módulo da função de transferência:
|H(jω)|=∣∣K
∣
∣=
∣
∣K
∣
∣
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a fase é dada pelo seu argumento:
∠H(jω)= ∠K +[∠(jω − z1)+∠(jω − z2)+ … + ∠(jω − zm)]−[∠(jω − p1)
+∠(jω − p2)+ … + ∠(jω − pn)]
B ( s )
A ( s )
bms
m+bm−1sm−1+…+b1s+b0
ansn+an−1sn−1+…+a1s+a0
( s−z1 ) ( s−z2 ) …(s−zm)
( s−p1 ) ( s−p2 ) …(s−pn)
bm
an
( jω−z1 ) ( jω−z2 ) …(jω−zm)
( jω−p1 ) ( jω−p2 ) …(jω−pn)
( jω−z1 ) ( jω−z2 ) …(jω−zm)
( jω−p1 ) ( jω−p2 ) …(jω−pn)
| jω−z1 | | jω−z2 | … | jω−zm |
| jω−p1 | | jω−p2 | … | jω−pn |
∠H(jω)= ∠K +[arctg( )+arctg( )+ … + arctg( )]
−[arctg( )+arctg( )+ … + arctg( )]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante ressaltar que a amplitude convencionalmente é indicada em decibéis (dB), ou seja:
|H(jω)|dB = 20 ⋅ log10|H(jω)|
|H(jω)|dB = 20 ⋅ log10 |K|
+[20 ⋅ log10|jω − z1|+20 ⋅ log10|jω − z2|+ … + 20 ⋅ log10|jω − zm|]
−[20 ⋅ log10|jω − p1|+20 ⋅ log10|jω − p2|+ … + 20 ⋅ log10|jω − pn|]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, podemos ver os polos (denominador) como um ponto de inflexão da curva de amplitude
para baixo e os zeros (numerado) como um ponto de inflexão para cima.
Para melhor ilustrar, vejamos o filtro passa-baixa de primeira ordem.
O filtro passa-baixa consiste em um circuito cuja função de transferência é capaz de deixar passar sinais
com frequências menores para a saída e anular os sinais com frequências mais altas. O filtro passa-baixa
de primeira ordem é o mais simples e possui a seguinte função de transferência:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que ωc corresponde à frequência na qual a amplitude do sinal é reduzida por um fator de √2, sendo
denominada de frequência de corte. Ou seja, considera-se que esse filtro deixa passar qualquer
frequência abaixo de ωc, ω < ωc, e anula sinais com frequências maiores que ωc, ω > ωc.
A amplitude, em decibéis, em função da frequência é dada por:
|H(jω)|dB = 20 ⋅ log10 ωc − 20 ⋅ log10|jω + ωc|= 20 ⋅ log10 ωc − 20 ⋅ log10 √ω2 + ω
2
c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a fase é dada pelo seu argumento:
∠H(jω)= −arctg( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse filtro pode ser construído de forma simples pelos circuitos da Figura 2.
ω
−z1
ω
−z2
ω
−zm
ω
−p1
ω
−p2
ω
−pn
ωc
s+ωc
ω
ωc
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 2 (a)
A função de transferência da Figura 2(a) corresponde a:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 2 (b)
A função de transferência da Figura 2(b) corresponde a:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os diagramas de Bode do filtro passa-baixa de primeira ordem, ou seja, as curvas que ilustram a variaçãode amplitude e fase da função de transferência em função da frequência compõem a Figura 3.
1
RC
s+
1
RC
R
L
s+
R
L
 
Fonte: EnsineMe.
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 3.
A amplitude na frequência de corte, ωc, pode ser calculada da seguinte forma:
|H(jωc)|dB = 20 log( )= 20 log( )= −3,0103 ≈ −3 dB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma análoga, pode-se calcular o valor da metade e do dobro da frequência de corte.
∣∣H(j )∣∣dB = 20 log = 20 log = −0,9691 ≈ −1 dB
|H(j2ωc)|dB = 20 log = 20 log = −6,9897 ≈ −7 dB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinar as assíntotas considera-se:
|H(jω)|=
⎧⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪⎩
[ ]
ω≪ωc
  = = 1,   ω < ωc
[ ]
  ω≫ωc
= = ,   ω > ωc
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
|ωc |
√ωc2+ωc2 
1
√2
ωc
2
|ωc |
√( )
2
+ωc2 
ωc
2
2
√5
|ωc |
√ ( 2ωc ) 2+ωc2 
1
√5
|ωc |
| jω+ωc |
|ωc |
|ωc |
|ωc |
| jω+ωc |
|ωc |
| jω |
|ωc |
|ω |
Em decibéis:
|H(jω)|dB =
⎧
⎨⎩
   20 ⋅ log(1)= 0 dB,                                                  ω < ωc
20 ⋅ log( )= 20 ⋅ log|ωc|−20 ⋅ log|ω|  dB,     ω > ωc
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fica evidente uma inclinação para baixo a partir de ωc com decaimento de -20 dB/década.
Se calcularmos também o valor das assíntotas para a metade e o dobro da frequência de corte
obteremos:
∣∣H(j )∣∣dB = 20 log 1 = 0 dB,   ω < ωc
|H(j2ωc)|dB = 20 log = 20 log = −6,02 ≈ −6 dB,   ω > ωc
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na frequência de corte, ωc, a curva encontra-se aproximadamente -3 dB abaixo das assíntotas, e tanto a
metade quanto o dobro de ωc estão a -1 dB das assíntotas.
Essas assíntotas ajudam na confecção do esboço da curva de amplitude em decibéis, sendo bastante útil
quando existem múltiplos polos e zeros pertencentes aos Reais e suficientemente espaçados entre si.
Concluído a análise do filtro passa-baixa de primeira ordem, que corresponde ao gráfico de um polo
isolado, cabe ressaltar o seu dual. Um circuito que fosse formado somente por um zero em ωc teria
características semelhantes, mas se comportando de forma espelhada em relação ao eixo horizontal
(espelho), isto é, a curva de amplitude iniciaria em zero e cresceria a partir de ωc. Da mesma forma, a
curva da fase iniciaria em 0° e cresceria até 90°.
Pode-se montar o diagrama de Bode da amplitude de uma função de transferência como composição das
curvas referente a cada polo ou zero. A Figura 4 apresenta um exemplo de representação do diagrama
de Bode de amplitude de determinada função de transferência.
EXEMPLO
Exemplo da construção do diagrama de bode de amplitude de
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
|ωc |
|ω |
ωc
2
|ωc |
√ ( 2ωc ) 2 
1
2
10(s+2)
s(s+40)
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 4
Como resultado prático dessa composição de curvas de polos e zeros, tem-se o filtro passa-alta, que
consiste em um circuito cuja função de transferência é capaz de deixar passar sinais com frequências
maiores para a saída e anular os sinais com frequências menores. O filtro passa-alta de primeira ordem é
o mais simples e possui a seguinte função de transferência:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que ωc corresponde à frequência na qual a amplitude do sinal é reduzida por um fator de √2, sendo
denominada de frequência de corte. Ou seja, considera-se que esse filtro deixa passar qualquer
frequência acima de ωc, ω > ωc, e anula sinais com frequências menores que 
ωc, ω < ωc.
A amplitude, em decibéis, em função da frequência é dada por:
|H(jω)|dB = 20. log10 ω − 20 ⋅ log10|jω + ωc|= 20 ⋅ log10 ω − 20 ⋅ log10 √ω2 + ω
2
c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a fase é dada pelo seu argumento:
∠H(jω)= 90o − arctg( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse filtro pode ser construído de forma simples pelos circuitos das Figura 5.
s
s+ωc
ω
ωc
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 5a
A função de transferência da Figura 5a corresponde a:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura 5b
A função de transferência da Figura 5b corresponde a:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os diagramas de Bode do filtro passa-baixa de primeira ordem, ou seja, as curvas que exibem a variação
de amplitude e fase da função de transferência em função da frequência compõem a Figura 6.
s
s+
1
RC
s
s+ R
L
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (6a)
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (6b)
Com a Figura 6a, percebe-se que a presença do zero da função transferência em zero (na origem)
consiste em uma ascendente de 20 dB/década, que ao ser somada (o produto em valores absolutos se
transforma em soma em decibéis devido ao efeito do logaritmo) com a porção constante em 0 dB, torna a
curva ascendente nesta porção, e ao ser somada com a porção maior que ωc, anula o efeito descendente
de valor -20 dB/década. Este mesmo zero, provoca o acréscimo de 90° na fase, uma vez que o
numerador é composto apenas por um imaginário puro, s = jω.
 ATENÇÃO
Toda a análise deste módulo foi realizada em função da frequência angular, ω. Porém não devemos
esquecer que existe uma relação da frequência angular (unidade em rad/s) com a frequência real, f
(unidade em Hz):
ω = 2πf
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A FREQUÊNCIA DE CORTE DO FILTRO DA FIGURA E.1, EM QUE R
= 1 KΩ E C = 1 ΜF? 
 
 
FONTE: ENSINEME.
 FIGURA E.1
A) ωc = 1000 rad/s
B) ωc = 1 rad/s
C) ωc =0,001 rad/s
D) ωc = 100 rad/s
E) ωc = 0,1 rad/s
2. DETERMINE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA QUE CORRESPONDE AO
DIAGRAMA DAS ASSÍNTOTAS DA CURVA DE AMPLITUDE DA FIGURA E.2. 
 
 
FONTE: ENSINEME.
 FIGURA E.2
A) H(s)=
B) H(s)=
C) H(s)=
D) H(s)=
E) H(s)=
3. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA AMPLITUDE REAL NA FREQUÊNCIA
ANGULAR 20 RAD/S PARA A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA CUJO DIAGRAMA
DAS ASSÍNTOTAS DA CURVA DE AMPLITUDE ESTÁ REPRESENTADO NA
FIGURA E.2. 
 
 
FONTE: ENSINEME.
 FIGURA E.2
A) |H(j20)|dB = −20 dB
B) |H(j20)|dB = −23 dB
1
(s+1)(s+20)
20
(s+1)(s+20)
s
(s+1)(s+20)
20s
(s+1)(s+20)
20s2
(s+1)(s+20)
C) |H(j20)|dB = −26 dB
D) |H(j20)|dB = −29 dB
E) |H(j20)|dB = −30 dB
4. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA FASE NA FREQUÊNCIA ANGULAR 20
RAD/S PARA A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA CUJO DIAGRAMA DAS
ASSÍNTOTAS DA CURVA DE AMPLITUDE ESTÁ REPRESENTADO NA FIGURA E.2. 
 
 
FONTE: ENSINEME.
 FIGURA E.2
A) ∠H(j20) ≅0o
B) ∠H(j20)≅−45o
C) ∠H(j20)≅−90o
D) ∠H(j20)≅−135o
E) ∠H(j20)≅−180o
5. DETERMINE O VALOR DOS ELEMENTOS PASSIVOS NO CIRCUITO DA FIGURA
E.3 ABAIXO, CONSIDERANDO A CURVA DAS ASSÍNTOTAS DA AMPLITUDE
CORRESPONDER A FIGURA E.2 DEMONSTRADA NA QUESTÃO ANTERIOR,
SABENDO QUE 
 
L = 1 H 
 
 
FONTE: ENSINEME.
 FIGURA E.3
A) R = 21 Ω,   C =  F
B) R = 21 Ω,   C = 20 F
C) R = 20 Ω,   C =  F
D) R = 20 Ω,  C = 20 F
E) R = 20 Ω,  C = 21 F
6. SOBRE O COMPORTAMENTO DA FASE EM FUNÇÃO DA FREQUÊNCIA DO
FILTRO PASSA-ALTA DE PRIMEIRA ORDEM É CORRETO AFIRMAR QUE?
A) Na frequência de corte a fase é -45°.
B) A fase possui um comportamento crescente com a frequência.
C) A fase 26,6° corresponde à metade da frequência de corte.
D) A fase tende a 0° para frequência cujo valor seja muito maior que a frequência de corte.
E) Na frequência de corte a fase é 0° .
GABARITO
1. Determine a frequência de corte do filtro da Figura E.1, em que R = 1 kΩ e C = 1 μF? 
 
1
20
1
20
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura E.1
A alternativa "A " está correta.
Solução:
H(s)=
ωc = = = 1000 rad/s → resposta   letra  A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a funçãode transferência que corresponde ao diagrama das assíntotas da curva de
amplitude da Figura E.2. 
 
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura E.2
A alternativa "B " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
s
s+
1
RC
1
RC
1
1000.10−6
3. Determine o valor aproximado da amplitude real na frequência angular 20 rad/s para a função de
transferência cujo diagrama das assíntotas da curva de amplitude está representado na Figura
E.2. 
 
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura E.2
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Inicialmente, vamos calcular o valor do ponto de quebra em 20 rad/s.
|H(j20)|dBassintota = |H(j1)|dBassintota − 20 ⋅ log(20)= 0 − 20 ⋅ log(20)
|H(j20)|dBassintota = −20 ⋅ log(20)= −20 − 20 ⋅ log(2)= −20 − 20 ⋅ 0,3 = −26 dB
Entretanto, a curva real fica 3 dB abaixo do ponto de quebra das assíntotas, logo:
|H(j20)|dB = −26 − 3 = −29 dB → resposta   letra  D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor aproximado da fase na frequência angular 20 rad/s para a função de
transferência cujo diagrama das assíntotas da curva de amplitude está representado na Figura
E.2. 
 
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura E.2
A alternativa "D " está correta.
Solução:
A função de transferência correspondente é:
H(s)= → H(jω)= → H(j20)≅
∠H(j20)≅∠[ ]= ∠(20)−∠(j20)−∠(j20 + 20)= 0o − 90o − 45o
∠H(j20)≅−135o → resposta   letra  D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor dos elementos passivos no circuito da Figura E.3 abaixo, considerando a
curva das assíntotas da amplitude corresponder a Figura E.2 demonstrada na questão anterior,
sabendo que 
 
L = 1 H 
 
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura E.3
A alternativa "A " está correta.
Solução:
A função de transferência da Figura E.2 corresponde a:
20
(s+1)(s+20)
20
(jω+1)(jω+20)
20
j20 ( j20+20 )
20
j20 ( j20+20 )
H(s)=
A função de transferência da Figura E.3 corresponde a:
H(s)= →{
= 20 → C =  F
= 21 → R = 21 Ω
Resposta letra A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Sobre o comportamento da fase em função da frequência do filtro passa-alta de primeira ordem
é correto afirmar que?
A alternativa "D " está correta.
Solução:
H(s)= → H(jω)= → ∠H(jω)= ∠( )= ∠(jω)−∠(jω + ωc)
∠H(jω)= 90o − arctg( )→ ω ≫ ωc → arctg( )≅90o
∠H(jω ≫ jωc)≅0
o → resposta   letra  D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O ouvido humano é capaz de ouvir sons nas faixas de frequência que variam de 20 Hz a 20 kHz.
Entretanto, precisa-se apenas da faixa de 300 Hz a 3,4 kHz para que seja capaz de reconhecer as
palavras emitidas por um interlocutor. O sistema de comutação de telefonia fixa faz uso dessa limitação
em frequência. O sinal analógico da fala é amostrado a uma taxa de amostragem de 8 kHz (o Teorema de
Nyquist, da Teoria da Amostragem, diz que a frequência de amostragem deve ser pelo menos o dobro da
frequência máxima do sinal a ser amostrado para que se evite o fenômeno do aliasing) e quantizado em 8
bits (256 níveis), resultando numa taxa de transmissão de 64 kbps.
20
(s+1)(s+20)
1
LC
s2+ s+R
L
1
LC
1
LC
1
20
R
L
s
s+ωc
jω
jω+ωc
jω
jω+ωc
ω
ωc
ω
ωc
 
Fonte: ioat/Shutterstock
Suponha que você ficou responsável por projetar um filtro passa-baixa de primeira ordem com elementos
passivos que antecede a amostragem do sinal de voz. Sabendo que o amostrador é representado por
uma resistência de 50 Ω, determine o valor do elemento reativo conectado em série que compõe o filtro.
RESOLUÇÃO
A topologia adequada para este caso é
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
Cuja função de transferência é dada por:
H(s)=                R = 50 Ω              = 2π3400
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
L = ≅0,00234 H = 2,34 mH
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
R
L
s+ R
L
R
L
50
2π3400
Valor do elemento reativo conectado em série
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA AMPLITUDE REAL NA FREQUÊNCIA 5
RAD/S DO FILTRO PASSA-BAIXA CUJO DIAGRAMA DAS ASSÍNTOTAS DA CURVA
DE AMPLITUDE ESTÁ REPRESENTADO NA FIGURA E.4, CONSIDERANDO TODOS
OS POLOS E ZEROS PERTENCENTES AO EIXO REAL. 
 
 
FONTE: ENSINEME
 FIGURA E.4
A) |H(j5)|dB = 0 dB
B) |H(j5)|dB = −1 dB
C) |H(j5)|dB = −3 dB
D) |H(j5)|dB = −6 dB
E) |H(j5)|dB = −7 dB
2. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA FASE NA FREQUÊNCIA 10 RAD/S DO
FILTRO PASSA-BAIXA CUJO DIAGRAMA DAS ASSÍNTOTAS DA CURVA DE
AMPLITUDE ESTÁ REPRESENTADO NA FIGURA E.4, CONSIDERANDO TODOS OS
POLOS E ZEROS PERTENCENTES AO EIXO REAL.
A) ∠H(j10)= −26,6o
B) ∠H(j10)= −45o
C) ∠H(j10)= −53,2o
D) ∠H(j10)= −63,4o
E) ∠H(j10)= −126,8o
GABARITO
1. Determine o valor aproximado da amplitude real na frequência 5 rad/s do filtro passa-baixa cujo
diagrama das assíntotas da curva de amplitude está representado na Figura E.4, considerando
todos os polos e zeros pertencentes ao eixo real. 
 
 
Fonte: EnsineMe
 Figura E.4
A alternativa "D " está correta.
 
Solução:
Um polo causa um ponto de quebra nas assíntotas com uma queda de -20 dB/dec. Como só existe um
ponto de quebra e a queda é de -40 dB/dec (o dobro de 1 polo), concluímos que se trata de um polo
duplo em -5.
H(s)= =( )( )25
( s+5 )
2
5
s+5
5
s+5
Essa função de transferência corresponde à composição de dois filtros passa-baixa de primeira ordem.
Um filtro passa-baixa de primeira ordem apresenta a curva real a -3 dB do ponto de quebra, então:
|H(j5)|dB = −3 − 3 = −6 dB → resposta   letra  D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor aproximado da fase na frequência 10 rad/s do filtro passa-baixa cujo
diagrama das assíntotas da curva de amplitude está representado na Figura E.4, considerando
todos os polos e zeros pertencentes ao eixo real.
A alternativa "E " está correta.
 
Solução:
H(s)= =( )( )
Essa função de transferência corresponde à composição de dois filtros passa-baixa de primeira ordem. É
solicitado a fase na frequência que corresponde ao dobro da frequência de corte, obtendo-se assim:
∠H(j10)= −63,4o − 63,4o = −126,8o → resposta   letra  E
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Identificar os aspectos gerais de circuitos ressonantes e filtros de segunda ordem
Aspectos gerais ressonantes e filtros de segunda ordem
No módulo anterior, introduzimos o conceito de filtro, mostrando como a função de transferência de um
circuito afeta a amplitude e a fase de um sinal em função da frequência. Ao explorar a razão desse efeito,
vimos que esse fenômeno ocorre devido à ação dos polos e zeros da função de transferência. Isso se
25
( s+5 ) 2
5
s+5
5
s+5
deu por meio do cálculo do filtro passa-baixa de primeira ordem, que serviu como referência para o
entendimento do efeito de um polo.
A partir do filtro passa-baixa, esclarecemos como funcionam os efeitos de polos e zeros pertencentes aos
Reais, sendo exemplificado por meio da apresentação do filtro passa-alta de primeira ordem. Toda essa
explanação foi ilustrada por meio dos diagramas de Bode.
Neste módulo continuaremos o estudo de filtros, apresentando o comportamento de filtros de segunda
ordem, com par de polos complexos conjugados, por meio de circuitos ressonantes.
DEMONSTRAÇÃO
Vamos analisar um circuito ressonante que forma um filtro passa-baixa de segunda ordem. Tal filtro tem a
função de transferência dada por:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um circuito capaz de fornecer função de transferência com este formato é apresentado na Figura 7:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 7
Cuja função de transferência é dada por:
H(s)=
ω2o
s2+2.α.s+ω2o
1
LC
s2+ .s+RL
1
LC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
ωo = √   e  α =
 Atenção! Paravisualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os polos desse circuito são determinados pelas raízes do polinômio do denominador da função de
transferência da seguinte forma:
s2 + 2.α. s + ω2o = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resultando em:
s1,2 = −α ± j ⋅ ωd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
ωd = √(ω20 − α2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é denominada frequência natural amortecida e ωo corresponde à frequência natural não amortecida.
Para 0 < α < ωo, existirá um valor de ωd real e os polos serão pares complexos conjugados conforme a
Figura 8.
A Figura 8a ilustra um exemplo de par de polos conjugados, com a relação visual entre α, ωo e ωd. E a
Figura 8b ilustra o comportamento dos polos em função da variação de α:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 8(a) esquerda e Figura 8(b) direita.
a) Se α = 0: par de polos no eixo imaginário e ωd = ωo, ou seja, s1,2 = j.ωo
b) Se 0 < α < ωo: par de polos complexos conjugados
(s1,2 = −α ± j.ωd)  e  ωd = √ω20 − α2
1
LC
R
2L
c) Se α = ωo: polo duplo no eixo real
(s1,2 = −ωo)  e  ωd = 0
d) Se α < ωo: polos distintos no eixo real
(s1 = −α − √α2 − ω20  e  s2 = −√α + α2 − ω20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os polos se alteram em função de α, a resposta do circuito é classificada quanto a sua variação:
RESPOSTA 
SUPERAMORTECIDA
α > ωo(ξ > 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESPOSTA CRITICAMENTE 
AMORTECIDA
α = ωo(ξ = 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESPOSTA 
SUBAMORTECIDA
0 ≤ α < ωo(0 ≤ ξ < 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
ξ =
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é denominado taxa de amortecimento.
A existência dos dois elementos reativos, indutância e capacitância, gera os pares de polos complexos
conjugados que torna este circuito ressonante, pois, a depender dos valores de α, haverá uma faixa de
frequência em que a amplitude será acentuadamente maior.
O parâmetro que mede a agudeza da ressonância é o fator de qualidade e é definido como:
α
ωo
Q =
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 9 exibe a resposta em amplitude e em fase em função da frequência para diferentes valores de
Q.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (9a).
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (9b).
Diante do comportamento ressonante, é importante identificar alguns pontos para se ter domínio sobre a
resposta do circuito.
Primeiramente, calculamos o valor da amplitude de H(s) em ω = ω0:
ωo
2α
|H(jω0)|=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=∣∣
∣
∣= = Q
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em decibéis:
|H(jω0)|dB = 20 log(Q)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, o cálculo do valor de Q se torna fundamental, porque ele define o ganho de amplitude na
frequência natural não amortecida. Entretanto, ao olhar atentamente, verificamos, por exemplo, que a
amplitude máxima quando Q = 10 é 20,0104 dB e não simplesmente 20 dB. Isso ocorre, pois, apesar de
bastante próxima, a frequência de ressonância é diferente da frequência natural não amortecida e pode
ser encontrada da seguinte forma:
∣
∣
∣
∣
∣
∣máximo
= ∣∣(jω)
2 + 2α(jω)+ω20
∣∣mínimo
→ ωn = ω0√1 − 2( )
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que pode ser reescrita em função da taxa de amortecimento e do fator de qualidade como segue:
ωn = ω0√1 − 2ξ2
ωn = ω0√1 −
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fica evidente que a frequência de ressonância é menor que a frequência natural não amortecida.
Entretanto, para valores suficientemente grandes do fator de qualidade, podemos dizer que: ωn ≅ ω0
O valor real do pico de ressonância é dado por:
|H(jωn)|dB =
∣
∣
∣
∣
∣
∣dB
= 20 log
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
|H(jωn)|dB =
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
20 log( )
20 log
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como na ressonância a curva sobe além da linha de 0 dB, convém saber em que frequência ela corta
essa linha para retomar o seu decréscimo. Para isso, basta fazer:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 1 → ωr = ω0√2(1 − 2( )
2
) →
⎧
⎨⎩
ωr = ω0√2(1 − 2ξ2)
ωr = ω0√2 −
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ω20
( jω0 )
2
+2α ( jω0 ) +ω
2
0
ωo
2αj
ωo
2α
ω20
( jω )
2
+2α ( jω ) +ω20
α
ωo
1
2Q2
ω20
( jωn )
2+2α ( jωn ) +ω20
ωo
2α√1−( )
2
α
ωo
1
2ξ√1−ξ2
Q
√1− 1
4Q2
ω20
( jω )
2
+2α ( jω ) +ω20
α
ωo 1
Q2
Outro dado importante é determinar até que variação de α evita-se a ressonância. Para isso:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ 1 → α ≥ → α ≥ →
⎧
⎨⎩
ξ ≥                    
Q ≤ ≅0,7071
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 9a ilustra o resultado calculado, no qual só existe ressonância quando o fator de qualidade é
superior ao inverso da raiz quadrada de dois (0,7071 aproximadamente). Havendo ressonância, quanto
maior o valor do fator de qualidade, maior o valor do pico de amplitude. Dessa forma, esse filtro deixou de
ser um passa-baixa, e pode-se dizer que ele se comporta como um filtro seletivo (passa-faixa de banda
estreita) com ganho. Assim, é importante determinar os valores de frequência que apresentam uma
queda de 3 dB a partir do pico.
|H(jω−3dB)|dB =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
ω−3dB = ω0√1 − ± √1 − →
⎧⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪⎩
ω−3dB = ω0√1 − ± √1 −
ω−3dB = ω0√1 − 2ξ2 ± 2ξ√1 − ξ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando o circuito é seletivo, ou seja, Q elevado (ξ≪1), o valor das frequências de corte pode ser
aproximado, e as raízes extraídas pelos primeiros termos da expansão da série de Taylor, obtendo:
ω−3dB ≅ω0 ± α
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já demonstrado, para um circuito seletivo, podemos aproximar a frequência de ressonância à
frequência natural não amortecida (ωn ≅ ω0) e a banda de passagem, ou largura de faixa (diferença entre
as frequências de corte) a Δω ≅ 2α. Desse modo, para circuitos ressonantes seletivos, temos:
Q =
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, verificamos o decaimento da amplitude por meio da assíntota, na proporção de -40 dB/década,
independente do valor de Q, a partir de ωo.
Toda a análise realizada no filtro passa-baixa pode ser aplicada aos demais filtros com circuito
ressonante.
O filtro passa-alta de segunda ordem tem função de transferência dada por:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ω20
( jω ) 2+2α ( jω ) +ω20
ωo
√2
ωo√2
2
√2
2
√2
2
ω20
( jω−3dB )
2+2α ( jω−3dB ) +ω
2
0
ωo
2α√2√1−( )
2
α
ωo
2α2
ω2o
2α
ωo
α2
ω2o
1
2Q2
1
Q
1
4Q2
frequência de ressonância
largura de faixa
s2
s2+2⋅α⋅s+ω2o
Um circuito capaz de fornecer função de transferência com este formato é indicado a seguir:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 10.
Cuja função de transferência é dada por:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 11 apresenta a resposta em amplitude e em fase em função da frequência para diferentes
valores de Q.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (11a).
s2
s2+ ⋅s+R
L
1
LC
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (11b).
O filtro de banda de passagem (ou passa-faixa) de segunda ordem tem função de transferência dada por:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um circuito capaz de fornecer função de transferência com este formato é ilustrado na Figura 12:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 12.
Cuja função de transferência é dada por:H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 13 exibe a resposta em amplitude e em fase em função da frequência para diferentes valores de
Q.
2⋅α⋅s
s2+2⋅α⋅s+ω2o
sR
L
s2+ s+R
L
1
LC
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (13a).
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (13b).
O filtro de banda de rejeição de segunda ordem tem função de transferência dada por:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um circuito capaz de fornecer função de transferência com este formato é apresentado na Figura 14.
s2+ω2o
s2+2⋅α⋅s+ω2o
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 14.
Cuja função de transferência é dada por:
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 15 exibe a resposta em amplitude e em fase em função da frequência para diferentes valores de
Q.
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (15a).
s2+
1
LC
s2+ s+R
L
1
LC
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura (15b).
MÃO NA MASSA
1. QUAL DAS OPÇÕES ABAIXO REPRESENTA A CONDIÇÃO PARA UMA
RESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA?
A) Q =
B) Q =
C) Q = 1
D) Q = √2
E) Q = 2
2. QUAL DAS OPÇÕES ABAIXO REPRESENTA A CONDIÇÃO PARA QUE OCORRA
O FENÔMENO DA RESSONÂNCIA EM UM FILTRO DE SEGUNDA ORDEM?
A) Q >
B) Q >
1
2
√2
2
1
2
√2
2
C) Q > 1
D) Q > √2
E) Q > 2
3. CONSIDERANDO Q = 0,1, O CIRCUITO DA FIGURA E.5 CORRESPONDE A QUE
FILTRO? 
 
 
FONTE: ENSINEME.
 FIGURA E.5
A) Filtro passa-baixa
B) Filtro passa-alta
C) Filtro passa-faixa
D) Filtro rejeita-faixa
E) Filtro passa-tudo
4. DETERMINE O FATOR DE QUALIDADE DO FILTRO PASSA-BAIXA (DE
SEGUNDA ORDEM) RLC SÉRIE.
A) Q = √
B) Q = R√
C) Q = √
D) Q = R√
E) Q =
1
R
L
C
C
L
1
R
C
L
L
C
1
RC
5. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DO GANHO DO CIRCUITO CUJA FUNÇÃO
DE TRANSFERÊNCIA É DADA POR: 
 
H(s)=
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) |H(jωn)|dB ≅23dB
B) |H(jωn)|dB ≅20dB
C) |H(jωn)|dB ≅0dB
D) |H(jωn)|dB ≅  − 20 dB
E) |H(jωn)|dB ≅−23 dB
6. DETERMINE O VALOR APROXIMADO DA FREQUÊNCIA ANGULAR DE
RESSONÂNCIA E A LARGURA DE FAIXA, PARA O CIRCUITO CUJA FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA É DADA POR: 
 
H(s)=
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) ωn ≅1000000 rad/s e Δω ≅10 rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ωn ≅1000000rad/seΔω ≅20rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
1000
s2+20s+1000000
1000000
s2+20s+1000000
C) ωn ≅1000 rad/s e Δω ≅10 rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) ωn ≅1000 rad/s e Δω ≅20 rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)
E) ωn ≅1000 rad/s e Δω ≅40 rad/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
GABARITO
1. Qual das opções abaixo representa a condição para uma resposta criticamente amortecida?
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Resposta criticamente amortecida:
α = ωo(ξ = 1)
Q = → Q = → resposta   letra  A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Qual das opções abaixo representa a condição para que ocorra o fenômeno da ressonância em
um filtro de segunda ordem?
A alternativa "B " está correta.
Solução:
Para evitar a ressonância temos que: ξ ≥ , o que remete a um Q ≤ .
Então para que haja ressonância, Q deve ser maior do que
(Q > )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Considerando Q = 0,1, o circuito da Figura E.5 corresponde a que filtro? 
 
ωo
2α
1
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura E.5
A alternativa "D " está correta.
Solução:
A função de transferência do filtro é:
H(s)= → H(s)= → Filtro rejeita faixa → letra  D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o fator de qualidade do filtro passa-baixa (de segunda ordem) RLC série.
A alternativa "A " está correta.
Solução:
Filtro passa-baixa RLC série
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
Cuja função de transferência é dada por:
H(s)=
Q = → Q = → Q = √ → resposta   letra  A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
s2+
1
LC
s2+ s+
1
RC
1
LC
s2+ω2o
s2+2.α.s+ω2o
1
LC
s2+ .s+R
L
1
LC
ωo
2α
√ 1
LC
R
L
1
R
L
C
5. Determine o valor aproximado do ganho do circuito cuja função de transferência é dada por: 
 
H(s)=
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Solução:
H(s)= = ( )
Q = = = 50 → alta seletividade → ωn ≅ωo = 1000 rad/s
|H(j1000)|= Q = =
|H(j1000)|dB = −20 log(20)≅−23 dB → resposta   letra  E.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine o valor aproximado da frequência angular de ressonância e a largura de faixa, para o
circuito cuja função de transferência é dada por: 
 
H(s)=
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
1000
s2+20s+1000000
1000
s2+20s+1000000
1
1000
1000000
s2+20s+1000000
√1000000
20
1000
20
1
1000
50
1000
1
20
1000000
s2+20s+1000000
Os telefones fixos utilizam os tons de duas frequências (Dual-Tone Multi-Frequency, DTMF) na discagem,
conforme a Tabela E1. Ao teclar, por exemplo, o número 4, o aparelho envia para a central o batimento de
duas frequências, no caso 770 Hz e 1209 Hz. Ao chegar na central, o sinal passa por um banco de filtros
onde é analisado e identificada a tecla discada.
 
Fonte: Por ojovago /Shutterstock
Determine os valores dos elementos passivos de um circuito RLC série que corresponde a um filtro
passa-faixa de segunda ordem com banda passante de 50 Hz, capaz de identificar que alguma tecla da
coluna do 0 foi discada. Considere L = 1 H
Frequência [Hz] 1209 1336 1477
697 1 2 3
770 4 5 6
852 7 8 9
941 * 0 #
Tabela E.1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Solução:
O filtro passa-faixa apresenta a seguinte função de transferência
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para circuitos seletivos, a frequência de ressonância é dada por ωo e a banda passante por 2.α
H(s)=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o circuito do filtro passa-faixa:
 
Fonte: Fonte: EnsineMe.
H(s)= →{
= 2.π. 50 → R = 314 Ω
= 2.π. 1336 → C = 14 nF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elementos passivos de um circuito RLC
VERIFICANDO O APRENDIZADO
2⋅α⋅s
s2+2⋅α⋅s+ω2o
2⋅π⋅50⋅s
s2+2⋅π⋅50⋅s+ ( 2⋅π⋅1336 ) 2
s
R
L
s2+ s+R
L
1
LC
R
L
1
LC
1. O CIRCUITO DA FIGURA E.6 ABAIXO CORRESPONDE A QUE FILTRO? 
 
 
FONTE: ENSINEME.
 FIGURA E.6
A) Filtro passa-baixa
B) Filtro passa-alta
C) Filtro passa-faixa
D) Filtro rejeita-faixa
E) Filtro passa-tudo
2. DETERMINE OS VALORES DA RESISTÊNCIA E DA INDUTÂNCIA DE UM FILTRO
QUE TEM COMO FAIXA DE PASSAGEM, 950 HZ E 1050 HZ, CUJA FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA É DADA POR:
H(s)=
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
 
 
CONSIDERE C = 1 ΜF
A) R = 10 kΩ e L = 1 H
B) R = 5 kΩ e L = 1 H 
C) R = 1,6 kΩ  e  L = 25 mH
D) R = 800 Ω  e  L = 25 mH
s
1
RC
s2+ s+1
RC
1
LC
E) R = 3,2 kΩ  e  L = 25 mH
GABARITO
1. O circuito da Figura E.6 abaixo corresponde a que filtro? 
 
 
Fonte: EnsineMe.
 Figura E.6
A alternativa "C " está correta.
 
Solução:
A função de transferência do filtro é:
H(s)= → H(s)= → Filtro passa faixa → letra C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine os valores da resistência e da indutância de um filtro que tem como faixa de
passagem, 950 Hz e 1050Hz, cuja função de transferência é dada por:
H(s)=
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
Considere C = 1 µF
A alternativa "C " está correta.
 
Solução:
Q = = = = 10
s
1
RC
s2+ s+
1
RC
1
LC
2.α.s
s2+2.α.s+ω2o
s
1
RC
s2+ s+
1
RC
1
LC
ωn
Δω
1050+950
2
1050−950
1000
100
→{
ωo ≅ωn = 2.π. 1000 → = 6283
2 = 39478417 → L = 25 mH
2α ≅ Δω = 2.π. 100 → = 628 → R = 1591 = 1,6 kΩ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos módulos aprendemos os princípios básicos acerca da resposta de um circuito em função da
frequência.
Iniciamos nosso estudo com uma introdução sobre filtros e, em seguida, apresentamos o comportamento
de amplitude e fase dos filtros passa-baixa e passa-alta de primeira ordem, juntamente à análise da
influência dos polos e zeros da função de transferência nas curvas resultantes, denominadas diagramas
de Bode.
Por fim, estudamos o comportamento dos circuitos ressonantes apresentando as variações dos
diagramas de Bode para os filtros passa-baixa, passa-alta, de banda passante e rejeita-faixa em função
do parâmetro denominado fator de qualidade.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
rad
s
1
LC
rad
s
1
RC
CLOSE, Charles M. Circuitos lineares. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
SVOBODA, J.; DORF, R. Introdução aos Circuitos Elétricos. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia o artigo:
CARLIN, N. et al. Estudo de filtros RC para baixas e altas frequências por meio de um circuito para
superposição de sinais. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, v. 32, n. 1, jan./mar.
2010.
CONTEUDISTA
Rafael Rocha Heymann
 CURRÍCULO LATTES
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