RESUMO - CALCULO 2

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AULA 1.1 – DERIVADAS SUPERIORES 
 
 
1. Quando se deriva uma função f, encontra-se a derivada primeira f'. Se f' for 
derivável, então sua derivada é denotada por f'′, denominada derivada 
segunda de f. Nesse contexto, encontre a derivada de segunda ordem da 
função f(x) = 3x2 + 8x + 1 e assinale a alternativa correta: 
 
E. f''(x) = 6. 
 
 
 
 
2. Enquanto houver diferenciabilidade em uma função, é possível continuar o 
processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e até 
derivadas superiores de f. Essas derivadas também são chamadas 
de derivadas sucessivas. Assim, encontre a derivada de sexta ordem da 
função f(x) = 3x5 + 8x2 e assinale a alternativa correta: 
 
A. f 6(x) = 0. 
 
 
 
 
 
3 .As derivadas sucessivas são chamadas de derivada primeira, derivada segunda, e 
assim por diante, conforme segue-se com o processo de derivação. O número de 
vezes que f for diferenciável é chamado de ordem da derivada. Nesse contexto, 
encontre a derivada de segunda ordem da função a seguir e assinale a alternativa 
correta: f(x) = x+1 / x-1 
 
 
 
A derivada de segunda ordem de uma função representa a derivada da derivada 
dessa função e pode ser representada por y'' ou . Assim, calcule a derivada de 
segunda ordem da função y = x2(3x + 1) e assinale a alternativa correta: 
]y'' = 18x + 2 
 
 
 
 
 
 
A derivada de ordem superior pode ser entendida como “a derivada da função 
derivada”, ou seja, para encontrar, por exemplo, a derivada segunda, basta derivar a 
função da primeira derivada novamente, e assim por diante. Nesse contexto, calcule 
a derivada de terceira ordem da função f(x) = (2x + 1) (3x − 2) e assinale a alternativa 
correta: 
B. f′′′(x) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 1.2 REGRA DO PRODUTO E QUOCIENTE 
 
Encontre a derivada 
 
se y = (4x2 − 1)(7x3 + x) e assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre a derivada do quociente 
 
e assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a derivada da função P(x) = (x − 1)(3x − 2) e assinale a alternativa 
correta. 
 
 
 
 
 
 
 
4. Encontre a derivada de f(x) = (3x − 2x2)(5 + 4x) e assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre a derivada de 
 
e assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2.1 REGRA DA CADEIA 
 
As funções nem sempre são simples. Muitas vezes, as variáveis independentes de 
uma delas, na verdade, são dependentes de outra variável. 
Suponha as seguintes funções: y =x2 e x = 2t+1 . Encontre: Dy / Dt 
 
 
 
 
 
 
 
Nas funções compostas, as variáveis independentes são substituídas por alguma 
função. Encontre a derivada da seguinte função: y = tg (x3+20): 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra 
da cadeia. Dada a função y = (1+x cos(x))-5, encontre: Dy / Dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que a aceleração de um objeto seja dada por em m/s2, onde v é a velocidade, 
a qual é dada por v = 50+2t2 m/s. 
Qual a taxa de variação da aceleração pelo tempoem m/s3, conhecida como arranque? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As funções trigonométricas também são utilizadas nas funções compostas. 
Encontre a derivada da seguinte função: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2.2 DERIVADAS PARCIAIS 
 
Determine no ponto (1, -1) sabendo que f (x, y)=2x2-3y-4. 
 
 
 
 
 
2 -Encontre fx e fy considerando . 
 
 
 
 
 
 
 
3.Encontre fx, fy e fzonde f (x, y,z) = 1+xy2-2z2. R: D. f x= y 2 , f y= 2xy e f z=- 4z 
 
 
 
 
 
 
4. 
Determinefxy e fyxonde f(x,y)= x+y+xy. R: A. f xy = f yx = 1 
 
 
Encontre Dz / Dx se a equação xy+z3x-2yz=0 define z como função de duas 
variáveis independentes x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3.1 DERIVADAS DIRECIONAIS 
 
Considere um ponto sobre a superfície de equação f (x, y)= 2xy - y3 no ponto P(5, 
5). Ao deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar que ele se 
move em taxas de valores diferentes, dependendo da direção do deslocamento. 
Determine a taxa na qual o ponto se desloca na direção do versor. 
R: C.58. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou seja, 
indica a taxa de variação da função. Determine a taxa variação da função 
 f (x, y, z ) = xy + yz + zx no ponto P(1, -1, 2) e na direção do vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado um ponto no espaço definido por uma função, existem infinitas direções nas 
quais é possível deslocar e determinar a taxa cuja função varia naquela direção. Mas 
existe, em um dado ponto, uma única direção na qual a função cresce mais 
rapidamente. Encontre a direção na qual a função 
f(x, y) = x2+ xy + y2 
aumenta mais rapidamente no ponto (-1, 1). Encontre a derivada direcional de f
nessa direção. 
 
 
 
 
 
Dada uma função, podemos determinar a direção na qual a função apresenta a menor 
variação possível. Tal direção é unicamente determinada, juntamente com a taxa 
mínima de variação. Encontre a direção na qual a função 
 
diminui mais rapidamente no ponto (4, 1, 1). Encontre a derivada direcional de f
nessa direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a 
função T(x, y) = x3- y3+ xy. Determine a direção na qual a temperatura aumenta 
mais rapidamente no ponto (2,1). 
 
 
 
 
 
 
AULA 3.2 POLINOMIOS DE TAYLOR 
 
1. Calcule os polinômios de Taylor T3 (x) centrados em x=1 da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Encontre T3(x) centrado em x=0 da função f(x)=(1+x)-1, ou seja, os polinômios 
de Maclaurin. 
 
 
 
 
 
 
3. Considere a função f(x) = ex. Encontre Tn(x) em x=1 para um valor arbitrário de n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Use a estimativa de erro para obter uma cota para o erro |T3 ( – e2 | sendo T3(2) 
centrado em a=1. Use K= e2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Calcule os polinômios de Maclaurin T3 (x) da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4.1 MINIMIZAÇÃO E MAXIMIZAÇÃO 
As funções são muitas vezes utilizadas para modelar fenômenos. Assim, saber seus 
comportamentos, como máximos e mínimos absolutos, é essencial para entender o 
fenômeno que está por trás. Considere a seguinte função: 
 
Encontre os valores de x onde ocorrem os máximos e mínimos absolutos da função.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado um certo intervalo do domínio de uma função, esta pode ou não apresentar 
pontos de máximo e mínimo absolutos. Dada a função 
F(X) = 4X^5 + 5X^4 
determine se ela tem extremos absolutos e, se tiver, onde ocorrem. 
R: A. Não tem extremos absolutos. 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar pontos críticos e pontos de máximo e mínimo absolutos de funções, 
as derivadas são essenciais. Suponha a seguinte função: 
 
Determine se f(x) tem extremos absolutos e, caso tenha, onde ocorrem. 
R: B. Tem máximo absoluto em x= 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na hora de investigar os pontos extremos absolutos de uma função, o intervalo de 
interesse é importante. 
Suponha a função f ( x ) contínua no intervalo aberto ( a , b ). Se e 
O que podemos afirmar sobre seus pontos extremos absolutos? 
R: A. A função f(x)tem um mínimo absoluto em (a, b). 
 
 
 
 
 
 
5. Você está construindo uma caixa com base quadrada e sem tampa superior para 
guardar objetos. Você precisa que ela tenha volume de 32.000 cm3. Qual deve ser a 
altura da caixa para que o material usado em sua construção seja minimizado? 
 
B. 20 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4.2 REGRA DE L’HOPITAL 
Quando x→0, a função tem uma indeterminação do tipo 0/0. 
 
Qual é o limite dessa função quandox→ 0? 
 
 
 
 
 
 
 
Ao calcular o limite de funções quocientes, algumas delas podem apresentar 
indeterminações do tipo 0/0 ou . Assim, é necessário fazer uso da regra de 
L’Hôpital. Suponha a função . Encontre . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao calcular limite, indeterminações do tipo INFIN / INFIN podem acontecer. Esse é o 
caso da função, quando . x TENDE A INFINITO. 
 
Sabendo dessa indeterminação, encontre o . 
 
 
 
 
 
Ao encontrar indeterminações do tipo , 0 . INFIN também é possível usar a regra de 
L’Hôpital. 
Dada a função , determine . 
 
 
 
 
 
 
 
 
A regra de L’Hôpital pode ser adaptada para indeterminações no limite de 
multiplicação de funções. 
Determine 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 5.1 APROXIMAÇÃO LINEAR 
1. A aproximação linear é muito útil em problemas aplicados, quando lidamos com 
funções mais complexas. Utilizando a aproximação linear da função f(x)=x3-
1 em x0=2, qual o valor da aproximação para x=2,1? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Utilizando a aproximação linear da função 
 
 
em x0=2, determine o valor da aproximação para x=1,8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Ao utilizar a aproximação linear de uma função, ocorrerá um erro que, em 
situações práticas, deseja-se que seja controlado. 
Utilizando a aproximação linear da função f(x)=x2+2x em x0=1, qual o valor do erro da 
aproximação para x=1,2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medindo um triângulo a fim de encontrar a sua área, você obtém que sua base b e 
sua altura h são iguais. 
Suponha que b=10,0cm e o erro na medida seja de ±0,03cm. Qual o valor do erro 
propagado na área do triângulo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma indústria está produzindo cubos de plástico para compor um brinquedo. As 
laterais medidas tiveram valor de 25cm e erro de 0,08cm. Qual o erro percentual de 
seu volume? 
 
 
 
 
5.2 DIFERENCIABILIDADE, APROXIMAÇÃO LINEAR E PLANOS 
TANGENTESFERRAMENTA EXTERNA 
 
1 - Considerando os conhecimentos adquiridos em relação aos planos tangentes, 
observe a figura a seguir e assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Em relação às derivadas parciais de funções de várias variáveis, é correto afirmar 
que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule fy (2,3,1) em que f(x,y,z) = xyz e assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
Sabendo que o volume do cone circular reto de raio r e altura h é dado por , calcule 
as derivadas parciais e assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = x3+y2-6x2+y-1 e assinale a alterativa 
correta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1 DERIVAÇÃO COMPLEXAFERRAMENTA EXTERNA 
 
1. A derivada de uma função complexa é, de diversas formas, diferente da derivada 
de uma função real, desde sua interpretação até as suas condições de existência e 
diferenciabilidade. A fim de calcular a derivada de uma função de variável complexa 
dada, é necessário primeiro garantir que a função seja contínua e, em seguida, 
garantir as condições necessárias (condições de Cauchy-Riemann) e as condições 
suficientes (continuidade das partes real e imaginária) para, então, finalmente 
aplicar as regras de derivação. Aplicando conceitos referentes ao processo de 
derivação, obtenha a derivada da função complexa f(z)=3z+4. 
 
2. Apesar das semelhanças entre as regras básicas de derivação entre funções de 
variável complexa e variável real, existem diferenças significativas no processo de 
derivação para que se garantam a existência da derivada, bem como a 
diferenciabilidade da função em si. Previamente ao uso das regras de derivação, é 
necessário garantir que a função seja contínua e, em seguida, garantir as condições 
necessárias (condições de Cauchy-Riemann) e as condições suficientes 
(continuidade das partes real e imaginária). 
Aplicando conceitos referentes ao processo de derivação, obtenha a derivada da 
função complexa f(z)=3z2-2z+4. 
 
3. Derivadas de funções complexas e de funções reais têm regras de derivação 
similares. Porém, para que se obtenha uma derivada válida para uma função de 
variável complexa, existem condições necessárias e suficientes que devem ser 
atendidas. É preciso garantir que a função seja contínua e, depois, garantir as 
condições necessárias (condições de Cauchy-Riemann) e as condições suficientes 
(continuidade das partes real e imaginária). 
Aplicando conceitos referentes ao processo de derivação, obtenha a derivada da 
função complexa f(z)=(1-4z2)3. 
 
4. Para que uma função de variável complexa seja derivável (ou diferenciável), isto é, 
sua derivada exista e seja válida, é necessário que uma série de condições sejam 
atendidas, dada a natureza de múltiplas variáveis da função, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), visto 
que z=x+iy. Essas condições são dadas com respeito à função f(z) e também sobre 
suas partes u(x,y) e v(x,y). 
Dos casos a seguir, em qual deles a função atende a todas as condições que garantem 
a existência e a validade da derivada de uma função complexa? 
 
 
 
 
 
5. As condições de Cauchy-Riemann definem um critério necessário para que a 
derivada de uma função complexa exista. Esse critério surge da definição da 
derivada de uma função complexa, que é de muitas formas similar à definição da 
derivada de uma função de variável real. A diferença nasce do fato de que uma 
função complexa define múltiplas direções em um plano, e, para que essa derivada 
exista, é necessário que o limite, que a define, exista em todas as infinitas direções e 
ainda seja exatamente igual em todas elas. 
Para isso, utiliza-se uma condição especial sobre as derivadas direcionais de primeira 
ordem da função. Essa condição é adequadamente expressa em qual das alternativas 
a seguir? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2 FUNÇÕES ANALÍTICASFERRAMENTA EXTERNA 
 
1. No que diz respeito à definição de função analítica, é CORRETO afirmar que: 
 
A. Uma função f de uma variável complexa z é analítica em um conjunto aberto S se f tiver 
uma derivada em cada ponto desse conjunto. 
 
2. Para uma função ser analítica é necessário: 
E. a validade das equações de Cauchy-Riemann embora não suficiente. 
 
3.No que diz respeito às funções analítica real e analítica complexa, é correto afirmar 
que: 
C. A função complexa definida por f (0)=0 e se z ≠0 é analítica em todo o plano complexo. 
 
4 -Considerando a função exponencial ex (com x real). As propriedades básicas são: 
Se desejarmos uma função exponencial complexa ez com as mesmas propriedades, 
escrevemos z=x+iy então é correto afirmar que: 
 
 
 
 
 
As funções analíticas podem ser representadas por séries. Brown e Churchill (2015) 
explicam que uma sequência infinita z1, z2, ... , zn,... de números complexos tem um 
limite z se, dado qualquer número positivo 
 
E. Uma sequência tem, no máximo, um limite.