RESUMO - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - RESUMO - EXERCÍCIOS

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
 
AULA 1.1 - Estudo da Reta no Plano 
 
1. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-2,3) e B(1,9). 
R: y = 2x + 7 
 
2. O ângulo α formado pela reta e pelo eixo das abscissas no sentido positivo é 
chamado inclinação da reta, e o coeficiente angular da reta é a tangente deste 
ângulo. Encontre a equação geral da reta que tem inclinação de 45º e passa pelo 
ponto P(2,4). 
R: E. x – y + 2 = 0 
 
 
3. Identificar quando retas são paralelas pode ser muito útil em problemas de 
aplicação. Conhecendo as equações de duas retas, sabe-se que elas são paralelas 
se tiverem o mesmo coeficiente angular. Encontre a equação reduzida da reta que 
passa pelo ponto P(1,2) e é paralela à reta y = 3x - 4. 
R: D. y = 3x –1 
 
 
 
 
 
 
4. Duas retas no plano são ditas perpendiculares se o ângulo formado por elas for de 
90º. Conhecendo as equações de duas retas no plano, sabe-se que elas são 
perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a - 1. 
Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à 
reta y = 3x - 4. 
R: C. y= -1/3x+7/3 
 
Vamos considerar a1 o coeficiente angular da reta dada e a2 o coeficiente angular da reta 
que estamos procurando. Como elas são perpendiculares, temos: 
 
 
5. O cálculo da distância de um ponto a uma reta é importante, pois está relacionado 
com o traçado de segmentos perpendiculares. Determine a distância do ponto P(–
3,5) à reta r de equação y = 5x – 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Ângulos e interseções 
 
 
1. Para determinar o ângulo entre duas retas, é necessário extrair o vetor 
diretor. Qual é o ângulo entre as retas r e s? 
r: x = -2 -t, y = t, z = 3 -2t 
s: x/2 = (y + 6)/1 = (z - 1)/1 
 
 
 
2. Para obter interseção entre retas e planos, devemos utilizar a igualdade das suas 
equações. Assim, qual é o ponto de interseção entre a reta r e o plano π a seguir?r: 
x = 3t, y = 1 - 2t , z = -t 
π: 2x + 3y - 2z - 7 = 0 
 
 
3. Quando planos realizam interseção, é obtida uma reta resultante. Qual é a 
equação simétrica de r que representa a interseção entre os planos a seguir? 
π1: 3x - y + 2z - 1 - 0 
π2: x + 2y - 3z - 4 = 0 
 
4. O ângulo entre planos é obtido a partir da análise de seus vetores normais. Qual é 
o valor de m para que os planos a seguir sejam ortogonais? 
π1: mx + y - 3z - 1 = 0 
π2: 2x - 3my + 4z + 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. O ângulo entre planos é obtido pelo cálculo do cosseno do ângulo entre os 
vetores normais. Qual é o ângulo entre os planos a seguir? 
π1: x - 2y + z - 6 = 0 
π2: 2x - y - z + 3 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois 
planos 
 
1. Dois pontos definem um vetor e com ele é possível obter seu comprimento, que é 
chamado de módulo. Qual a distância entre os pontos A (-2,0,1) e (1,-3,2)? 
 
 
2. A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no 
espaço. Qual é a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t , y=-2t , z=1-2t? 
 
 
3. A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição dos 
valores no plano e o módulo do seu vetor normal. Qual é a distância entre o ponto P 
(2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z+3=0? 
 
 
4. Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as 
retas reversas a seguir? 
r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t 
s: x=t , y=-1-3t , z=2t 
 
 
 
 
5. A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula de distância entre 
ponto e plano. Qual é a distância entre os planos paralelos π1: x-z=0 e π2: -
2x+2z+8=0? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Equações do plano, Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados 
 
1.Sabendo-se que um plano pode ser determinado por 3 pontos não colineares, 
determine a equação do plano π que passa pelos pontos A(-2,1,0), B(-1,4,2) e C(0,-
2,2). 
 
2. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por duas retas paralelas, encontre 
a equação do plano determinado pelas retas. 
 
 
3. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes, 
encontre a equação do plano determinado pelas retas. 
 
 
4. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por uma reta e um ponto não 
pertencente a ela, encontre a equação do plano determinado pelo ponto A(3,-1,2), e a 
reta 
 
 
5. Marque a alternativa que contém a equação de um plano paralelo ao eixo x. 
 
 
3.1 Produto Escalar e Produto Vetorial entre vetores 
 
1. Dados os vetores u = (1,2), v = (4, -2) e w = (6,0) determine u.(7v+w). 
 
2. Dados os vetores u = (-7,1,3) e v = (5,0,1), marque a alternativa correta. 
 
3. Para representar formas tridimensionais por meio de figuras planas, por exemplo, 
na elaboração de plantas, é comum o uso de projeções ortogonais. Na figura a seguir, 
o vetor p é a projeção ortogonal do vetor u na direção do vetor v. 
 
 
 
4. Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
u = (-1,-1,-1) e v = (2,0,2). 
 
 
 
 
 
 
5. Uma aplicação do produto vetorial se dá no cálculo da área do paralelogramo 
definido pelos vetores u e v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Superfície cônica e superfície cilíndrica 
 
1. Calcule a área total e o volume de um cilindro de revolução que tem 2 metros de 
altura e cuja base circular tem raio igual a 0,2 metros. Considerando π = 3,1416, 
assinale a alternativa correta. 
 
 
2. Um cilindro de revolução tem área lateral igual a 0,62832m2. Sabendo que sua 
altura é igual a 0,5m, calcule o valor do raio da base, sendo π = 3,1416 
 
 
3. Encontre a área lateral de um cilindro de revolução que tem 3 metros de altura e 
cuja área da base mede 0,502656m2, sendo π = 3,1416. 
 
 
 
4 - Determine a equação da hipérbole em termos de formas quadráticas e lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Esboce o gráfico do hiperboloide de uma folha . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 Sistemas Lineares 
 
1. O sistema a seguir tem infinitas soluções. Marque a alternativa que contém uma 
de suas soluções. 
 
 
2. Transforme a matriz a seguir em sua forma escalonada reduzida. 
 
Resposta: 
 
3 - A matriz completa associada ao sistema a seguir é: 
 
 
4 - Encontre a solução do sistema homogêneo associado à matriz a seguir. 
 
 
5. Suponha que um sistema homogêneo tenha quatro equações e seis incógnitas e 
que A seja sua matriz completa. Marque a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Introdução ao Estudo de Matrizes 
 
1. Uma loja vende bicicletas de corrida e mountain bikes. O gerente tem as seguintes 
tabelas de dados disponíveis, a primeira dando o número de bicicletas vendidas de 
cada tipo para cada trimestre de 1998 e a segunda, para cada trimestre de 1999: 
 
 
 
2. Se A é uma matriz m x n, então m representa o número de ____________________ 
e n representa o número de ______________________ . Como requisito, para que se 
possa somar duas matrizes A e B é necessário que elas possuam 
______________________________. Marque a alternativa que preenche os espaços 
acima. 
 
 
 
3. Uma matriz A é igual a sua transposta quando: 
 
4. Encontre a matriz A, sabendo que: 
 
 
 
5. Sejam três matrizes: A, B e C de mesma ordem. Se A e B são matrizes diagonais e 
C é uma matriz simétrica não nula, marque a alternativa que NÃO contém matrizes 
diagonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 Introdução à Geometria Vetorial 
 
1. Considerando P(0,2,-3) e Q(4,-1,2), calcule 
 
 
 
 
2. Considerando 
 
 
 
3. Considerando 
 
 
 
4. Considerando 
 
 
5. Considerando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Espaços Vetoriais: Exemplos e PropriedadesBásicas 
 
1. Marque a afirmação correta sobre espaços vetoriais. 
 
 
 
2. Seja V o conjunto de todas as matrizes 1x3, com a adição usual, marque a 
alternativa correta. 
 
 
3. Marque a alternativa que contém um espaço vetorial. 
 
 
4. Marque a alternativa correta sobre subespaço vetorial. 
 
 
5. Marque a alternativa correta sobre geradores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1 Geometria Vetorial e Transformações Lineares 
 
 
1. Transformações matriciais atuam sobre espaços vetoriais. A transformação F(x, 
y) = (2x, –y), por exemplo, atua no espaço R2. 
Por essa transformação, qual é a imagem do ponto P = (2, 1)? 
 
 
 
2. Transformações lineares do espaço R2 sobre si têm representação matricial dada 
por 2 x 2. 
Na base canônica de R2, qual é a representação matricial da transformação G(x, y) = 
(–y, x)? 
 
 
 
3. Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou 
retas. 
Determine a imagem do ponto P = (1,–1) pela reflexão em torno da reta diagonal do 
plano. 
 
 
4. Uma classe de transformações lineares com muitas aplicações em Física e outras 
áreas são as rotações no plano. 
Qual é a matriz da rotação de 45º em torno da origem em R2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Compor transformações lineares é equivalente a multiplicar suas respectivas 
matrizes de representação. 
Sendo assim, indique qual é a matriz na base canônica de R2 que representa a 
composição G°F das seguintes operações: 
G(x, y ) = (–x, –y) e H(x, y) = (2x, 2y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2 Inversão de Matrizes 
 
1. Dadas as matrizes abaixo: encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, 
(AB)-1. 
 
 
 
2. Considerando a matriz 
, encontre sua inversa. 
 
 
 
3. Dado o sistema de equações lineares abaixo 
｛, 
a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, 
respectivamente: 
 
 
 
4. Determine a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do seguinte sistema 
de equações lineares: 
 
 
5. Para o sistema de equações lineares abaixo: 
｛ 
a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do sistema são, respectivamente: