Questões - Geometria analítica e álgebra linear

Prévia do material em texto

Pontos descritos no plano devem seguir uma notação dada por P (xP, yP). Quais são as coordenadas dos 
pontos que definem o vetor a seguir? 
Pontos descritos no plano podem definir vetores. Qual é a forma correta do vetor AB? 
Grandezas vetoriais podem apresentar operações de adição e subtração, como no caso das escalares. 
Indique o valor da soma dos vetores u (0, 3) e v (5, 0). 
Vetor é dito unitário quando seu módulo é igual ao valor de 1. Calcule o vetor unitário do vetor u (4, 2, 
6). 
Os vetores podem ser associados em combinações lineares, ou seja, ao realizar operações de 
soma/subtração em conjunto de multiplicação por escalares. Sabendo dos vetores u (2, -3) e v (-1, 4), 
quanto é 3.u + 2.v? 
Dados os vetores u (3,2,1) e v (-1,-4,-1), calcule (u + v).(2u - v) e assinale a alternativa que apresenta o 
resultado correto. 
Qual o ângulo entre os vetores u (1,1,4) e v (-1,2,2)? 
Qual o produto vetorial entre u (5,4,3) e v (1,0,1)? 
Os vetores u (1,-1,1) e v (2,-3,4) representam as arestas de um paralelogramo. 
De quanto é a sua área? 
Os vetores u (4,-2,2), v (,1-3,2), w (5,-1,-2) representam as arestas de um tetraedro. 
De quanto é o seu volume? 
A partir do vetor, pode-se encontrar a equação do plano. Qual é a equação reduzida do plano formado 
pelo vetor normal n (1, 2, -5) e que passa pela origem do sistema cartesiano? 
Com 3 pontos, pode-se determinar a equação geral e reduzida de um plano. Qual é a equação reduzida 
do plano que passa pelos pontos A (2, 0, -1), B (-2, 6, 3) e C (0, 3, 4)? 
Retas dispostas no espaço podem ser coplanares, ou seja, pertencer ao mesmo plano. Qual é a equação 
reduzida do plano π que apresenta as retas r e s a seguir? 
r: x = 1 + 2t, y = - 2 + 3t, z = 3 - t 
s: x = 1 - 2t, y = - 2 - t, z = 3 + 2t 
Planos no espaço R³ podem ter paralelismo com o sistema referencial quando variados os seus 
coeficientes. A equação do plano a seguir tem paralelismo com: 
π: 4y + 3z - 12 = 0 
Analisando os coeficientes de equações reduzidas de planos, é possível notar paralelismo com o sistema 
referencial. Qual das equações do plano a seguir tem paralelismo em relação ao plano YZ? 
Qual é a equação da reta que passa pela origem do plano cartesiano e pelo ponto A (2,8)? 
Se uma reta é descrita por y = -10x + 10, qual ponto pertence à reta? 
Qual é o ângulo que uma reta forma com o eixo x, se ela tem coeficiente angular igual a 1 e coeficiente 
linear igual a -2? 
Qual é o coeficiente angular e o ângulo de inclinação da reta que tem pontos A (0,0) e B (4,-4)? 
Qual das retas a seguir tem paralelismo em relação ao eixo x? 
É possível calcular a equação paramétrica a partir da equação vetorial. 
Dada a equação vetorial (x,y,z) = (-1,2,3) + t.(2,-3,0), qual é a sua equação paramétrica? 
A partir da equação simétrica, é possível conhecer os pontos de uma reta. 
Qual é o ponto pertence à reta (x-3)/(-1) = (y+1)/2 = (z-2)/-2? 
Transformando a equação simétrica do exercício anterior em um sistema de equações paramétricas, 
qual seria o valor de t para que o ponto encontrado estivesse na reta? 
No espaço, para a construção da equação vetorial, precisamos de um ponto e do vetor diretor. Dados os 
pontos A (0,0,1), B (-2,-2,3) e C (3,3,-2), qual é a equação vetorial de reta que passa pelo ponto A e tem 
vetor diretor BC? 
Qual é o sistema de equações reduzidas, com variável y, a partir da equação obtida no exercício 
anterior? 
Para determinar o ângulo entre duas retas, é necessário extrair o vetor diretor. Qual é o ângulo entre as 
retas r e s? 
r: x = -2 -t, y = t, z = 3 -2t 
s: x/2 = (y + 6)/1 = (z - 1)/1 
Para obter interseção entre retas e planos, devemos utilizar a igualdade das suas equações. Assim, qual 
é o ponto de interseção entre a reta r e o plano π a seguir? 
r: x = 3t, y = 1 - 2t , z = -t 
π: 2x + 3y - 2z - 7 = 0 
Quando planos realizam interseção, é obtida uma reta resultante. Qual é a equação simétrica de r que 
representa a interseção entre os planos a seguir? 
π1: 3x - y + 2z - 1 - 0 
π2: x + 2y - 3z - 4 = 0 
O ângulo entre planos é obtido a partir da análise de seus vetores normais. 
Qual é o valor de m para que os planos a seguir sejam ortogonais? 
π1: mx + y - 3z - 1 = 0 
π2: 2x - 3my + 4z + 1 = 0 
O ângulo entre planos é obtido pelo cálculo do cosseno do ângulo entre os vetores normais. Qual é o 
ângulo entre os planos a seguir? 
π1: x - 2y + z - 6 = 0 
π2: 2x - y - z + 3 = 0 
Dois pontos definem um vetor e com ele é possível obter seu comprimento, que é chamado de módulo. 
Qual a distância entre os pontos A (-2,0,1) e (1,-3,2)? 
A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a 
distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t , y=-2t , z=1-2t? 
A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição dos valores no plano e o 
módulo do seu vetor normal. Qual é a distância entre o ponto P (2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z+3=0? 
Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as retas reversas a 
seguir? 
r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t 
s: x=t , y=-1-3t , z=2t 
A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula de distância entre ponto e plano. Qual é a 
distância entre os planos paralelos π1: x-z=0 e π2: -2x+2z+8=0? 
Determine a equação reduzida da circunferência, a qual passa pela origem e tem centro C(-1, - 4). 
Determine a posição do ponto P (1,7 ) em relação à circunferência da equação (x +3)2 + (y -4)2 = 52. 
Determine a equação reduzida da circunferência de centro (1,-2 ) e raio 3, e assinale a alternativa 
correta. 
Determine o centro e o raio da circunferência (x - 3)2 + (y + 2)2 = 5, e assinale a alternativa correta. 
Determine a equação reduzida da circunferência de centro no ponto C(2,1) que passa pelo ponto A(1,1), 
e assinale a alternativa correta. 
Dadas as matrizes 
calcule o produto matricial ABC. 
Considere a matriz linha A e a matriz coluna B dadas abaixo: 
O produto matricial AB é igual a: 
Dadas as matrizes: 
determine os elementos da matriz C, de modo que a equação matricial C + 2A – B = 0 seja satisfeita. 
Dadas as matrizes 
quais os valores das incógnitas x, y, z e t que satisfazem a equação matricial 2A = B + C? 
Sabendo-se que as matrizes A, X e B são definidas como: 
encontre os valores das variáveis x e y, de modo que a equação matricial A X = B seja satisfeita. 
O sistema a seguir tem infinitas soluções. Marque a alternativa que contém uma de suas soluções. 
Transforme a matriz a seguir em sua forma escalonada reduzida. 
A matriz completa associada ao sistema a seguir é: 
Encontre a solução do sistema homogêneo associado à matriz a seguir. 
Suponha que um sistema homogêneo tenha quatro equações e seis incógnitas e que A seja sua matriz 
completa. Marque a alternativa correta. 
Alguns problemas exigem mais do que um simples cálculo. Utilize uma equação adequada para 
determinar o valor de a que faz o determinante a seguir ser igual a zero. 
Você aprendeu que o determinante de uma matriz tem importantes propriedades. Utilize-as para 
calcular 
, sabendo que a matriz A3X3é tal que det(A) = 1. 
O polinômio característico de uma matriz é essencial para a descoberta de seus autovalores e, por 
consequência, de seus autovetores. Se uma matriz tem como polinômio característico p (λ)= (3 + λ) (1 - 
λ) (4 + λ), indique a dimensão dessa matriz. 
Os elementos nulos de uma matriz são muito uteis no cálculo de determinantes, assim como a análise 
das linhas de uma matriz. Com isso em mente, utilize as propriedades dos determinantes para calcular o 
determinante da matriz. 
Como você aprendeu, os determinantes são importantes no processo do cálculo da matriz inversa. 
Existe também uma relação entre o determinante de uma matriz e o determinante de sua inversa. 
Explore essa relação para calcular o valor de det(A-1), sabendo que det(A) = 14. 
Transformações matriciais atuam sobreespaços vetoriais. A transformação F(x, y) = (2x, –y), por 
exemplo, atua no espaço R2. 
Por essa transformação, qual é a imagem do ponto P = (2, 1)? 
Transformações lineares do espaço R2 sobre si têm representação matricial dada por 2 x 2. 
Na base canônica de R2, qual é a representação matricial da transformação G(x, y) = (–y, x)? 
Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas. 
Determine a imagem do ponto P = (1,–1) pela reflexão em torno da reta diagonal do plano. 
Uma classe de transformações lineares com muitas aplicações em Física e outras áreas são as rotações 
no plano. 
Qual é a matriz da rotação de 45º em torno da origem em R2? 
Compor transformações lineares é equivalente a multiplicar suas respectivas matrizes de representação. 
Sendo assim, indique qual é a matriz na base canônica de R2 que representa a composição G°F das 
seguintes operações: 
G(x, y ) = (–x, –y) e H(x, y) = (2x, 2y). 
Em álgebra linear, é essencial conhecer as propriedades dos objetos estudados. Com isso em mente, 
determine qual das afirmativas a seguir é verdadeira. 
Os subespaços aNul(A) e Im(A) são importantes subespaços associados a uma transformação matricial. 
Determine esses espaços para a matriz I4×4. 
Uma das conexões abordadas durante o capítulo foi a conexão entre espaços geradores e retas. Com 
base nisso, descreva um conjunto gerador para a reta r diagonal do plano euclidiano R2. 
Você testou que matrizes invertíveis têm Mas nem toda matriz é invertível. 
Determine o espaço anulado da matriz 
Conjuntos geradores têm papel importante em álgebra linear. Sobre os assuntos estudados nesse 
tópico, determine qual afirmação a seguir é correta. 
A relação entre matrizes invertíveis e independência linear de suas colunas é de grande importância, 
pois nos auxilia a compreender melhor aspectos geométricos das transformações matriciais. Qual das 
matrizes a seguir tem um conjunto de vetores linearmente nas colunas? 
Os conceitos de dependência e independência linear estão relacionados à geometria de espaços 
gerados, como na relação de paralelismo. Determine qual dos pares de vetores a seguir é um par de 
vetores paralelos. 
A exploração da relação entre a inversão de matriz, determinantes e dependência linear permite obter 
informações importantes sobre muitos objetos. Use seus conhecimentos sobre o assunto para 
completar as lacunas na frase a seguir: “Se A for uma matriz nx__, as ______ de A serão linearmente 
_________ se e somente se det(A) ≠ 0”. 
Combinações lineares de vetores têm diversas aplicações em álgebra linear. Utilize seus conhecimentos 
sobre independência e dependência linear para determinar qual das triplas de vetores a seguir forma 
um conjunto linearmente independente. 
A relação de dependência e independência linear tem ligação não apenas com a inversão de matrizes, 
mas também com os sistemas lineares que as matrizes dão origem. Determine qual das matrizes a 
seguir dá origem a um sistema que apresenta apenas a solução trivial. 
Escreva o vetor v = ( 1, - 4) na base B = ｛(2,5),(- 1,2)｝. 
Determine se o vetor v = ( - 1, 1, - 8) está no subespaço gerado pela base B = ｛( - 4, 1,1), (1,0, - 3)｝. Em 
caso afirmativo, escreva o vetor v na base B. 
Se F é o subespaço vetorial de R3 formado pelos vetores v = (x,y,z) que satisfazem x - 2y +3z = 0 e 5x + 
2y + z = 0,dê uma base de F e a dimensão desse subespaço. 
Se G é o subespaço vetorial de R4 formado pelos vetores v = (x,y,z, w), que satisfazem 2x - 3y - z + 4w= 0 
e 3x + y + 2w = 0, dê uma base de G e a dimensão desse subespaço. 
Em R5, considere o conjunto de vetores C = ｛(1,-3,0,4,1), (-3,-4,1,2,1), (4,1,-1,2,0), (0,5,1,0,2), (3,-
1,2,0,4)｝ e determine a dimensão e uma base para o gerado de C. 
Dado o conjunto de vetores B = ｛(2, 1, x),-(4, x + 2, 1), (1, 1, -1)｝, calcule o valor de x para que B seja 
um conjunto ortogonal. 
Escreva v = (0, 3, - 5) na base ortogonal B = ｛(-1, 4, 1), (1, 1, -3), (13, 2, 5)｝, usando a decomposição 
ortogonal. 
Dada a base C = ｛(2, 0, 3, 0, 1 ), (-1, 2, -2, 1, 4), (1, 1, -1, 2, -1)｝ de um subespaço E ∈ R5, determine 
uma base para o complemento ortogonal de E. 
Dada a base C = ｛(1, 0, -3, 4 ), (0, -5, -14, 22), (2, 13, -2, 11)｝, faça a ortogonalização de C pelo método 
de Gram-Schmidt. 
Para a base do exercício anterior, C = ｛(1, 0, -3, 4), (0, -5, -14, 22), (2, 13, -2, 11)｝, calcule a 
decomposição QR da matriz A formada pelos vetores coluna de C. Em particular, calcule o elemento na 
posição (2, 3) da matriz R.