Triedro de Frenet e Teorema de Green

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16/09/2022 
 
 
 
 
 
Triedro de Frenet e 
teorema de Green 
Explicação da teoria, exercícios resolvidos e algumas dicas 
 
 
 
 
 
Pedro Augusto Vieira Zago e Bienvenido Esono 
Mengue Ebang 
Cálculo 3 – funções vetoriais 
Pedro Augusto Vieira Zago e Bienvenido Esono Mengue Ebang 
1  
 
Triedro de Frenet e teorema de 
Green 
Explicação da teoria, exercícios resolvidos e algumas dicas 
Triedro de Frenet 
Dada uma função vetorial: 
𝑟 ⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) =< 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧), ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) > onde se aplicam todas as 
operações de vetores, esta função gera uma curva no espaço por exemplo: 
𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = < 𝑥2, 𝑦2, 4 > para t= [0;15] gera a curva: 
 
Para facilitar os cálculos podemos parametrizar a função 𝑟 em função de uma variável 
t, ou seja: 
𝑟 (𝑡) =< 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡) > 
É muito comum utilizar coordenadas polares para parametrizar a função vetorial 
onde: 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑒 𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝑡) e 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 
Parametrizando a função do exemplo anterior: 
𝑟 (𝑡) =< 2 cos(𝑡) , 2𝑠𝑒𝑛(𝑡), 4 > 
Agora, podemos derivar a função 𝑟 (𝑡) =< 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡) > obtemos um vetor que é 
tangente à curva, normalizando este vetor obtemos o vetor tangente unitário. 
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2  
 
Então o vetor tangente unitário pode ser escrito por: �⃗� (𝑡) =
𝑟 ′
||𝑟 ′||
 , este é sempre 
tangente à curva criada por 𝑟 . 
Podemos derivar o vetor tangente unitário e normalizá-lo, assim obtemos o vetor 
normal, escrito por: 
�⃗⃗� (𝑡) =
�⃗� ′
||�⃗� ′||
 
O vetor tangente está direcionado sempre para o centro da curva. 
É importante saber que o vetor normal e o vetor tangente são perpendiculares entre 
si, ou seja, o produto escalar entre eles é igual a zero. 
Podemos também calcular um novo vetor, o vetor binormal unitário, que é 
perpendicular ao vetor tangente e normal: 
�⃗� (𝑡) = �⃗� (𝑡) × �⃗⃗� (𝑡) 
Em um gráfico os vetores aparecem da forma: 
 
Aplicações 
Se assumirmos que a função 𝑟 é um vetor trajetória ou posição, a derivada deste seria 
a velocidade vetorial: 
𝑟 ′(𝑡) = 𝑣 (𝑡) 
Para sabermos o valor da velocidade escalar basta encontrarmos a norma de 𝑣 (𝑡), 
então: 
𝑣(𝑡) = ||𝑣 (𝑡)|| 
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3  
 
Também podemos encontrar a aceleração da curva: 
𝑎 (𝑡) = 𝑣 ′(𝑡) = 𝑟 ′′(𝑡) 
E a aceleração escalar é: 
𝑎(𝑡) = ||𝑎 (𝑡)|| 
Também podemos escrever a velocidade e a aceleração em função de �⃗� 𝑒�⃗⃗� : 
𝑣 (𝑡) = 𝑣 ∗ �⃗� (𝑡) 
𝑎 (𝑡) = 𝑎𝑡 ∗ �⃗� + 𝑎𝑛 ∗ �⃗⃗� 
Exercício de fixação 
Dada a função vetorial 𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =< 𝑥2, 𝑦2, 𝑥𝑦 >, encontre os valores de �⃗� , �⃗⃗� 𝑒 �⃗� para 
qualquer ponto e quando t=1: 
Primeiro para resolver este problema, necessitamos parametrizar a função: 
{
𝑥 = 1 ∗ cos (𝑡)
𝑦 = 1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑥𝑦 = cos(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
Então 𝑟 =< cos(𝑡) , 𝑠𝑒𝑛(𝑡), cos(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑡) > 
Agora derivamos 𝑟 : 
𝑟 ′(𝑡) =< −𝑠𝑒𝑛(𝑡), cos(𝑡) , 1 > 
E obtemos a norma de 𝑟 ′: 
||𝑟 ′(𝑡)|| = √−𝑠𝑒𝑛2(𝑡) + cos(𝑡)2 + 1= √2 
Utilizando a fórmula do vetor tangente unitário obtemos que: 
�⃗� (𝑡) =<
−𝑠𝑒𝑛(𝑡)
√2
,
cos (𝑡)
√2
,
1
√2
> 
Aplicando t=1 
�⃗� (1) =<
−𝑠𝑒𝑛(1)
√2
,
cos (1)
√2
,
1
√2
> 
Obtemos 
�⃗� (1) =< −0,012 ; 0,706 ; 0,707 > 
Agora para �⃗⃗� derivamos �⃗� e normalizamos a derivada: 
�⃗� ′(𝑡) =<
−𝑐𝑜𝑠(𝑡)
√2
,
−sen(𝑡)
√2
, 0 > 
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4  
 
||�⃗� ′(𝑡)|| = √
𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)
2
=
√2
2
 
Então: 
�⃗⃗� (𝑡) =<
−𝑐𝑜𝑠(𝑡)
√2
÷
√2
2
,
−sen(𝑡)
√2
÷
√2
2
, 0 > 
Simplificando: 
�⃗⃗� (𝑡) =< −cos(𝑡) , −𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 > 
Aplicando t = 1 
�⃗⃗� (1) =< −cos(1) , −𝑠𝑒𝑛(1), 0 > 
Solução 
�⃗⃗� (1) =< 0,999 ; −0,017 ; 0 > 
Agora, diferente dos vetores tangente e normal, o vetor binormal é um produto 
vetorial entre �⃗� ′(𝑡) e �⃗⃗� (𝑡) que é um determinante da matriz a seguir: 
𝑖 𝑗 𝑘
−𝑠𝑒𝑛(𝑡)
√2
cos (𝑡)
√2
1
√2
−cos (𝑡) −𝑠𝑒𝑛(𝑡) 0
 
Então: 
�⃗� (𝑡) =<
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
√2
,
−cos (𝑡)
√2
,
1
√2
> 
Aplicando t=1: 
�⃗� (1) =<
𝑠𝑒𝑛(1)
√2
,
−cos (1)
√2
,
1
√2
> 
Obtendo: 
�⃗� (𝑡) =< 0,012 ; 0,706 ; 0,707 > 
 
 
 
 
 
 
 
Pedro Augusto Vieira Zago e Bienvenido Esono Mengue Ebang 
5  
 
O Teorema de Green 
 Para estudarmos sobre o teorema de Green, precisamos primeiramente 
relembrar como calcular uma integral de linha de um campo vetorial: 
Seja um campo vetorial 𝐹 =< 𝑃, 𝑄 > e uma função vetorial parametrizada 
𝑟 (𝑡) =< 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) > a integral de linha ao longo da curva C é dada por: 
∫ 𝐹 (𝑟 ) 𝑑𝑟
𝑐
= ∫𝐹 (𝑟 (𝑡)) ∙ 𝑟 ′(𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
Ou seja, é o produto escalar entre o campo vetorial aplicado na função parametrizada 
e a derivada da função. 
O teorema de Green demonstra que a integral de linha de um campo vetorial ao longo 
da linha é dada por: 
Seja C uma curva simples, fechada e derivável, D a região do plano delimitada por C, 
e P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa 
região D, então: 
∫ 𝐹 (𝑟 ) 𝑑𝑟
𝑐
= ∬(
𝛿𝑄
𝛿𝑥
−
𝛿𝑃
𝛿𝑦
) 𝑑𝐴
𝐷
 
Simples, não? 
Exercício de fixação 
Qual o valor da integral ∮𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦2 𝑑𝑦 em C que é o triângulo orientado 
positivamente com vértices (0,0), (1,0) e (1,2)? 
Primeiramente criamos o gráfico dessa curva C: 
 ∮𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦2 𝑑𝑦 = ∫ ∫ (
𝑥2𝑦2
𝜕𝑥
−
𝑥𝑦
𝜕𝑦
)𝑑𝑦𝑑𝑥
2𝑥
0
1
0
 
 
 
 
 
Aplicando o teorema de Green e fazendo as derivadas parciais: 
(1,2) 
(1,0) 
 
(0,0) 
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6  
 
∫∫ (2𝑥𝑦3 − 𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥
2𝑥
0
1
0
 
∫8𝑥5 − 2𝑥2 𝑑𝑥
1
0
=
2
3
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 
Algumas dicas 
É muito importante, antes de iniciar o conteúdo de derivadas parciais e integrais, dar 
uma revisada desse conteúdo de cálculo 1, na primeira prova é muito importante 
entender derivadas parciais e superfícies no espaço. 
Não deixe tudo acumular, depois de cada aula dê uma revisada ou refaça algum 
exercício, integrais duplas e triplas em regiões não retangulares confundem bastante 
na hora da segunda prova. 
Para a terceira prova é importante entender o funcionamento do triedro de Frenet, 
mas é mais fácil entendê-lo quando assimilamos às grandezas da física, trajetória, 
velocidade e aceleração. Sobre integrais de linha e de superfície, aprenda o 
funcionamento dos teoremas, são facilitadores na hora da prova. 
Boa sorte em C3. 
 
 
Referências 
VALLE, Marcos. «Teorema de Green - aula 18» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. 
Consultado em 15 de setembro de 2019. 
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. Página 
1039. 
Howard, Anton; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2007). Cálculo - Volume II. Porto Alegre: 
Bookman. ISBN 978-85-60031-63-4; 
 Tausk, Daniel. «Triedro de Frenet» (PDF). Instituto de Matemática e Estatística - Universidade de 
São Paulo. Consultado em 7 de fevereiro de 2018 
 
 
 
 
 
http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211Cursao/Aula18.pdf
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-85-60031-63-4
https://www.ime.usp.br/mat/2454-2003/frenet.pdf