MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 512024 - RODRIGO BODEMULLER

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MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem 
 
Acadêmico: RODRIGO BODEMULLER R.A. 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Curso: 
 
Olá, estudante! 
 
Seja bem-vindo à atividade M.A.P.A. da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. 
A presente atividade encontra-se dividida em três partes, e você será desafiado a 
resolver um mesmo exercício de duas formas diferentes: a partir do cálculo da integral 
de linha para cada um dos caminhos; e a partir do uso do Teorema de Green. 
 
 
 
a) Obtenha a partir da determinação de para cada um 
dos caminhos. 
R: 
 
CAMINHO C1 
𝑅(𝑡) = (𝑡, 1) 
Derivada: 
𝑅’(𝑡) = (𝑡1−1, 0) = (1,0) 
 
Calculando o campo vetorial: 
 
𝐹 = (𝑦2, −𝑥𝑦) 
 
𝐹(𝑟(𝑡)) = (12, −𝑡 ∗ 1) = (1, −𝑡) 
 
Computando a integral de linha sobre o caminho (C1): 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐1
∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) ∗ (𝑟′(𝑡))𝑑𝑡
𝑐1
 
C1: 1 ≤ t ≤ 2 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐1
∫ (1, −𝑡) ∗ (1,0)𝑑𝑡
2
1
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐1
∫ 1 ∗ 1 + (−𝑡) ∗ 0 𝑑𝑡
2
1
 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐1
∫ 1 𝑑𝑡
2
1
 
 
Ao integrar, obtemos: 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐1
𝑡 ]1
2 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐1
(2) − (1) 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐1
1 
 
 
 
CAMINHO C2 
𝑅(𝑡) = (2, 𝑡) 
 
Ao derivar: 
𝑅’(𝑡) = (0, 𝑡1−1) = (0,1) 
 
Encontrando o campo vetorial: 
𝐹 = (𝑦2, −𝑥𝑦) 
 
𝐹(𝑟(𝑡)) = (𝑡2, −2 ∗ 𝑡) = (𝑡², −2𝑡) 
 
Computando a integral de linha sobre o caminho (C2): 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐2
∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) ∗ (𝑟′(𝑡))𝑑𝑡
𝑐2
 
C2: 1 ≤ t ≤ 5 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐2
∫ (𝑡², −2𝑡) ∗ (0,1)𝑑𝑡
5
1
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐2
∫ 𝑡2 ∗ 0 − 2𝑡 𝑑𝑡
5
1
 
 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐2
∫ −2𝑡 𝑑𝑡
5
1
 
 
Ao integrar, obtemos: 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐2
−
2𝑡2
2
 ]1
5 
 
Substituindo os intervalos, obtemos: 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐2
−52 − (−(1)2) 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐2
− 24 
 
 
CAMINHO C3 
𝑦 = 1 + 𝑥² 
𝑦 = 1 + 𝑡² 
 
Isolando x, obtemos: 
 
𝑥 = 𝑡 
 
 
𝑅(𝑡) = (𝑡 , 1 + 𝑡2) 
 
Ao derivar: 
Derivada de 1 + 𝑡² 
𝑑(1 + 𝑡2)
𝑑𝑡
= 0 + 2𝑡 = 2𝑡 
 
𝑅’(𝑡) = (1 ,2𝑡) 
 
Encontrando o campo vetorial: 
𝐹 = (𝑦2, −𝑥𝑦) 
 
𝑅(𝑡) = (𝑡 , 1 + 𝑡2) 
𝐹(𝑟(𝑡)) = ((1 + 𝑡²)2, −𝑡 ∗ (1 + 𝑡2)) = (𝑡4 + 2𝑡2 + 1, −𝑡3 − 𝑡) 
 
Computando a integral de linha sobre o caminho (C3): 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) ∗ (𝑟′(𝑡))𝑑𝑡
𝑐3
 
C3: 2 ≤ t ≤ 1 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
∫ (𝑡4 + 2𝑡2 + 1, −𝑡 − 𝑡³) ∗ (1 ,2𝑡)𝑑𝑡
1
2
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
∫ 𝑡4 + 2𝑡2 + 1 − 2𝑡2 − 2𝑡4 𝑑𝑡
1
2
 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
∫ −𝑡4 + 1 𝑑𝑡
1
2
 
 
 
Ao integrar: 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
−
𝑡5
5
+ 𝑡 ]2
1 
 
Substituindo os intervalos: 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
−
15
5
+ 1 − (−
25
5
+ 2) 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
−
1
5
+ 1 − (−6,4 + 2) 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
−
1
5
+ 1 + 6,4 − 2 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
5,2 
 
CAMINHO C4 
 
𝑅(𝑡) = (1, 𝑡) 
 
Ao derivar: 
𝑅’(𝑡) = (0, 𝑡1−1) = (0,1) 
 
 
Encontrando o campo vetorial: 
𝐹 = (𝑦2, −𝑥𝑦) 
 
𝐹(𝑟(𝑡)) = (𝑡2, −1 ∗ 𝑡) = (𝑡², −𝑡) 
 
Computando a integral de linha sobre o caminho (C4) 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐4
∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) ∗ (𝑟′(𝑡))𝑑𝑡
𝑐2
 
C4: 2 ≤ t ≤ 1 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐4
∫ (𝑡², −𝑡) ∗ (0,1)𝑑𝑡
1
2
 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐4
∫ 𝑡2 ∗ 0 − 𝑡 ∗ 1 𝑑𝑡
1
2
 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐4
∫ −𝑡 𝑑𝑡
1
2
 
Ao integrar, obtemos: 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐4
−
𝑡2
2
 ]2
1 
 
Substituindo os intervalos, obtemos: 
 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 = −
1²
2𝑐4
 − (−
2
2
2
) 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐4
 −
1
2
+ 2 
 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐4
 
3
2
 
 
Os resultados obtidos são os seguintes para as integrais de linha ao longo dos 
caminhos (C1), (C2), (C3) e (C4), após substituir os intervalos e realizar as devidas 
integrações. 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐1
1 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐2
− 24 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐3
5,2 
∫ 𝐹𝑑𝑟 =
𝑐4
3
2
 
 
 
 = ∫ 𝐹𝑑𝑟 + ∫ 𝐹𝑑𝑟
𝑐2𝑐1
+ ∫ 𝐹𝑑𝑟
𝑐3
+ ∫ 𝐹𝑑𝑟
𝑐4
 
 
 = 1 − 24 + 5,2 +
3
2
 
 
 = −16,3 
 
 
b) Calcule utilizando o Teorema de Green. 
 
Segue a resolução: 
O campo vetorial na integral é dado por F (x,y) = (y², -xy). Para usarmos o teorema de 
Green, precisamos, inicialmente, calcular (∇𝑥𝐹). 𝑘 que, neste caso, é dado por: 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕 − xy
𝜕𝑥
−
𝜕𝑦2
𝜕𝑦
 
 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 𝑦2(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) ∗ −1 ∗ 𝑥1−1 − 2 ∗ 𝑦2−1 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= −𝑦 − 2𝑦 
 
Como a integral de linha é sobre a fronteira do semicírculo, a região de integração é o 
semidisco (D), que neste caso é descrito por: 
 
 
Portanto, pelo teorema de Green, temos: 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∬
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝐴
𝐷𝑐
 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∬ −𝑦 − 2𝑦 𝑑𝐴
𝐷𝑐
 
 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ ∫ −𝑦 − 2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
1+𝑥2
1
2
1𝑐
 
 
Aplicando a integral sobre o semidisco: 
A regra da potência nos permite calcular :se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 , então ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 + C, onde C é a 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ −
𝑦2
2
−
2𝑦2
2
2
1𝑐
 ]1
1+𝑥² 𝑑𝑥 
 
Substituindo os intervalos de integração: 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ −
(1 + 𝑥2)2
2
−
2(1 + 𝑥2)2
2
− (−
13
3
−
2 ∗ 12
2
)
2
1𝑐
 𝑑𝑥 
 
Regra: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏³ 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ −
(1 + 𝑥2) ∗ (1 + 𝑥2)
2
−
2((1 + 𝑥2) ∗ (1 + 𝑥2))
2
2
1
− (−
13
2
−
2 ∗ 12
2
)
𝑐
 𝑑𝑥 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ −
(1 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥4)
2
−
2(1 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥4)
2
+ (
1
2
+ 1)
2
1𝑐
 𝑑𝑥 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ −
1 + 2𝑥2 + 𝑥4
2
− 1 − 2𝑥2 − 𝑥4
2
1
+ 1,5
𝑐
 𝑑𝑥 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ −
1
2
−
2𝑥2
2
−
𝑥4
2
− 1 − 2𝑥2 − 𝑥4 + 1,5
2
1𝑐
 𝑑𝑥 
 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ −3𝑥2 − 1,5𝑥4
2
1𝑐
 𝑑𝑥 
 
Ao integrar com relação a (x): 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 =
𝑐
−
3𝑥3
3
−
1,5𝑥5
5
 ]1
2 
 
Substituindo os limites de integração: 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 =
𝑐
−
3 ∗ 23
3
−
1,5 ∗ 25
5
− (−
3 ∗ 13
3
−
1,5 ∗ 15
5
) 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 =
𝑐
− 8 − 9,6 + 1 + 0,3 
 
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 =
𝑐
− 16,3 
 
c) O que se pode concluir a respeito dos cálculos efetuados nas questões anteriores? 
R: Uma observação significativa derivada dos cálculos é que o Teorema de Green oferece 
uma simplificação notável e aumenta a eficiência no cálculo de integrais de linha ao longo 
de caminhos. Isso se deve à facilidade com que a integral dupla presente no teorema pode 
ser calculada em comparação com a integral original. Essa vantagem se destaca 
especialmente quando a região delimitada pela curva é simples e pode ser subdividida em 
áreas onde o rotacional do campo vetorial é uniforme.