Mecânica dos Fluidos Computacional

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Mecânica dos Fluidos Computacional
Aula 5
Leandro Franco de Souza
Leandro Franco de Souza – lefraso@icmc.usp.br – p. 1/15
Equações Diferenciais Parciais – EDP
⇒ A mecânica dos fluidos computacional trata da obtenção
numérica para EDP;
⇒ As EDP’s que descrevem fenômenos de interesse em
mecânica dos fluidos podem ser classificadas em três
categorias:
• Elípticas
• Parabólicas
• Hiperbólicas
⇒ Cada classe de equações está associada a uma categoria
de fenômeno físico;
⇒ o método numérico que funciona para uma classe pode não
funcionar para outra.
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
⇒ Representam problemas de equilíbrio, ou seja, as
propriedades de interesse não se alteram com o passar do
tempo;
⇒ A equação modelo é a equação de Laplace:
∇2φ = 0
onde φ é a variável dependente e ∇2 é o operador
laplaciano, que em coordenadas cartesianas
bi-dimensionais, é dado por:
∇2 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Como exemplo, considere-se uma chapa de metal, isolada
termicamente nas faces, podendo trocar calor pelas bordas
laterais, que são mantidas às temperaturas T1, T2, T3 e T4.
T1
T2T4
T3
Chapa plana com bordas à diferentes temperaturas
Quando uma placa está em equilíbrio térmico, a temperatura
em cada ponto interno satisfaz:
∇2T = ∂
2T
∂x2
+
∂2T
∂y2
= 0
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Resultados com a chapa com bordas mantidas a T1=T2=T3=10
e T4=5:
x
y
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Chapa plana com bordas à diferentes temperaturas
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Resultados com a chapa com bordas mantidas a T1=T2=10 e
T3=T4=5:
x
y
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Chapa plana com bordas à diferentes temperaturas
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
⇒ Um característica dos problemas regidos por Eq. Elípticas é
que toda a região estudada é imediatamente afetada por
qualquer mudança no valor da variável dependente em um
ponto do domínio no interior desta região;
⇒ As soluções numéricas variam suavemente no domínio
estudado;
⇒ Este tipo de equação precisa de condições de contorno,
que podem ser de dois tipos:
• condições de contorno com valor fixo: Dirichlet;
• condições de contorno com derivada fixa: Neumann;
⇒ Exemplo físico: aquecimento de uma panela;
⇒ A equação de Poisson é também uma equação elíptica:
∇2φ = f(x, y) → ∂
2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
= f(x, y)
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Métodos iterativos para solução da Equação de Poisson:
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
= f(x, y).
Utilizando aproximações de 2a ordem de precisão temos:
φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j
(∆x)2
+
φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1
(∆y)2
= f(x, y),
multiplicando a equação por (∆x)2, e adotando β = ∆x/∆y,
obtemos:
φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j + β2(φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1) = (∆x)2f(x, y)
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Método de GAUSS-SEIDEL por ponto
Isolando-se o termo φi,j , temos:
φi,j =
1
2(1 + β2)
[φi+1,j+φi−1,j+β
2φi,j+1+β
2φi,j−1−(∆x)2f(x, y)].
⇒ Exemplo malha 5x5 com temperatura diferentes;
⇒ Condição de contorno do tipo Dirichlet;
⇒ Esta equação deve ser resolvida para cada ponto interno
da malha, já que inicialmente só são conhecidos os valores
da função nos contornos.
Resolvendo a equação nos pontos, observa-se que com este
método:
φ
(k+1)
i,j =
1
2(1 + β2)
[φ
(k)
i+1,j+φ
(k+1)
i−1,j +β
2φ
(k)
i,j+1+β
2φ
(k+1)
i,j−1 −(∆x)
2f(x, y)].
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Método de GAUSS-SEIDEL por linha
φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j + β2(φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1) = (∆x)2f(x, y)
⇒ Neste caso queremos encontrar os valores da função ao
longo de uma linha j = constante;
⇒ Para isto devemos isolar os termos que possuem j à
esquerda na equação;
⇒ O sistema a ser resolvido, neste caso, é tri-diagonal.
A equação pode ser escrita como:
φi+1,j−2(1+β2)φi,j +φi−1,j = −β2φi,j+1−β2φi,j−1+(∆x)2f(x, y)
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Método de GAUSS-SEIDEL por linha
φi+1,j−2(1+β2)φi,j +φi−1,j = −β2φi,j+1−β2φi,j−1+(∆x)2f(x, y)
⇒ O custo computacional é mais alto por iteração, pois há a
necessidade de se resolver um problema tri-diagonal para
cada linha do domínio;
⇒ A taxa de convergência é melhor do que a do Gauss-Seidel
por ponto, justificando o seu uso;
⇒ Esta melhor taxa de convergência se deve a propagação
mais rápida das informações.
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por ponto
⇒ Conforme progridem as iterações do método de
Gauss-Seidel, as diferenças entre sucessivas
aproximações diminuem e faz com que o método necessite
de muitas iterações para obter uma boa solução;
⇒ Pode-se reduzir o número de iterações extrapolando
(sobre-relaxando) o valor de φk+1 de tal forma que ele se
aproxime mais rapidamente da solução numérica.
Partindo da equação obtida para o método de Gauss-Seidel por
ponto:
φ
(k+1)
i,j =
1
2(1 + β2)
[φ
(k)
i+1,j+φ
(k+1)
i−1,j +β
2φ
(k)
i,j+1+β
2φ
(k+1)
i,j−1 −(∆x)
2f(x, y)]
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por ponto ou PSOR
Pode-se adicionar e subtrair o valor de φ(k)i,j do lado direito da
equação temos:
φ
(k+1)
i,j = φ
(k)
i,j +
1
2(1 + β2)
[φ
(k)
i+1,j + φ
(k+1)
i−1,j +
+β2φ
(k)
i,j+1 + β
2φ
(k+1)
i,j−1 − (∆x)
2f(x, y) − 2(1 + β2)φ(k)i,j ].
Adotando um fator de sobre-relaxação, que é ótimo entre
1 ≤ rf < 2, obtemos:
φ
(k+1)
i,j = φ
(k)
i,j +
rf
2(1 + β2)
[φ
(k)
i+1,j + φ
(k+1)
i−1,j +
+β2φ
(k)
i,j+1 + β
2φ
(k+1)
i,j−1 − (∆x)
2f(x, y) − 2(1 + β2)φ(k)i,j ].
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por linha ou LSOR
⇒ Da mesma forma que o método Gauss-Seidel o SOR
também pode ser escrito na versão linha (LSOR);
⇒ Pode ser implementado de duas formas diferentes:
1) Sobre-relaxação aplicada após os cálculos com o método de
Gauss-Seidel por linha:
φ
(k+1)
SOR = φ
(k+1)
GS + rf
(
φ
(k+1)
GS − φ
(k)
GS
)
;
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Equações Diferenciais Parciais Elı́pticas
Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por linha ou LSOR
2) Inserção do fator de sobre-relaxação diretamente na equação
do método de Gauss-Seidel por linha:
rfφ
(k+1)
i+1,j − 2(1 + β
2)φ
(k+1)
i,j + rfφ
(k+1)
i−1,j =
= −(1 − rf)[2(1 + β2)]φ
(k)
i,j − rfβ
2
“
φ
(k)
i,j+1 + φ
(k+1)
i,j−1 − (∆x)
2f(x, y)
”
.
⇒ A taxa de convergência do LSOR é
√
2 vezes melhor do
que o PSOR;
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	Equações Diferenciais Parciais -- EDP
	Equações Diferenciais Parciais Elípticas
	Equações Diferenciais Parciais Elípticas
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