Lei de Gauss

Prévia do material em texto

Lei de Gauss e principais aplicações
Arthur Augusto Cruz e Silva – Engenharia Aeroespacial
23/04/2022
· A lei de Gauss 
Nesse trabalho será abordado a Lei de Gauss. Ela é uma forma mais sofisticada de expressar a Lei de Coulomb, mas muito mais poderosa. Essencial para problemas de alta simetria, facilitando muito os cálculos de campos elétricos em distribuições esféricas cilíndricas e planares, além de condutores.
A lei de Gauss foi descoberta pelo físico Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Ele propôs interpretar os campos gerados por uma distribuição de cargas, como uma superfície fechada que envolvesse todas essas cargas. A essa superfície foi dado o nome de superfície gaussiana. Todo o raciocínio de Gauss se torna mais fácil e, com contas melhores, ao considerar superfícies simétricas, apesar de que se pode ter qualquer forma.
Para começarmos a entender a lei de Gauss, é importante ter alguns conceitos bem estabelecidos. 
· Fluxo
A origem do nome fluxo vem do estudo do escoamento de fluidos. É uma propriedade relativa a qualquer campo vetorial, fluindo ou não. E é definido como o produto do campo pela área perpendicular ao campo de uma superfície fechada, é claro.
Supondo uma superfície de Area = exposta a vetores com velocidade , a Vazão ou Fluxo, é definido por:
 
 
Assim, definimos um vetor Área cuja direção é perpendicular à superfície e cujo módulo é a área da superfície. Assim, expressamos o fluxo por: 
Para nossa matéria, usaremos essa noção para os campos elétricos. E usaremos a seguinte equação
O fluxo do campo elétrico é proporcional ao numero de linhas de campo que atravessam a superfície gaussiana. 
Assim podemos definir melhor a Lei de Gauss por: , onde o fluxo deve ser calculado sobre uma superfície fechada e q é a carga no seu interior.
Explicitamente: 
Pontos importantes:
· A lei de Gauss vale para qualquer superfície
· A Carga q é a carga total no interior da superfície gaussiana
· Se o fluxo é negativo, a carga total no interior a superfície gaussiana é negativa
· A contribuição de uma carga externa à superfície gaussiana é nula (o número de linhas que entram é igual ao que saem)
Exemplo: Dipolo Elétrico 
· Lei de Gauss x Lei de Coulomb
A lei de Gauss nos diz que o fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície fechada qualquer, só depende da carga total dentro da superfície e do meio envolvidos.
Ela diz ainda que o campo varia com que é divergente se a carga for positiva e convergente se negativa. Ela é uma consequência da lei de coulomb e sua base experimental (provar uma, prova a outra)
Ambas leis, na eletrostática, são válidas e seu uso varia com qual método resulta em menos cálculos. Gauss tem abrangência maior de campos que os representados pelo campo eletrostático. Se o campo depende do tempo, a lei de Gauss por exemplo continua válida, enquanto a de coulomb não. 
Consideramos uma esfera gaussiana, com centro em uma carga q. a simetria nos permite dizer que o campo é constante e perpendicular a superfície.
(Que é a equação da lei de coulomb)
Casos Relevantes a serem estudados:
· Condutor Carregado
Em um condutor carregado com uma carga q, em um tempo muito curto esta carga ficará localizada na superfície do condutor, assim como na figura abaixo.
	 Para qualquer superfície gaussiana dentro do condutor, E=0 se não haverá correntes, ou seja, elétrons sofreriam ação do campo elétrico. Isso significa que
Para todas superfícies gaussianas, não há cargas no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático.
Se houvesse uma cavidade interna, as cargas ficam na parede externa do condutor
· Simetria plana – campo na superfície de um condutor 
O campo na superfície de um condutor é perpendicular à superfície, senão haveria corrente elétrica na superfície. E usando a lei de Gauss, podemos achar esse campo.
só a parte superior da superfície que importa, o resto não é considerado.
Para uma placa fina e infinita não condutora, com densidade de cargas σ temos: 
· Simetria cilíndrica - fio infinito uniformemente carregado
O campo é radial, perpendicular ao fio, diferente se o fio fosse finito
 com q sendo a carga no interior do cilindro de comprimento L 
· Duas placas condutoras
As cargas que estavam inicialmente distribuídas em ambas superfícies, após o EQ (equilíbrio eletrostático), vão pra superfícies internas. A carga total em cada placa é 
· Simetria esférica: esfera condutora descarregada
No interior, não há cargas. Com uma superfície gaussiana esférica concluímos que E = 0 no interior a casca. Fora da casca, a lei de Gauss permite obter o campo elétrico, calculando a carga no interior da superfície.
Simetria esférica: esfera condutora carregada (ou casca esférica carregada)
E= 
e E=0, se r<R