Essencial para o Exame - exercício 20 da página 85

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RESOLUÇÃO DO
EXERCÍCIO 20
Pág. 85
ESSENCIAL
PARA O EXAME
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20. Unindo os pontos médios das arestas consecutivas de um cubo, obtém-se o cuboctaedro da figura.
Sabe-se que o sólido é constituído por 14 faces (seis faces são quadrados e oito faces são triângulos) e duas das faces já estão numeradas com os números 1 e 2.
a) Pretende-se numerar as 12 faces, não numeradas ainda, do poliedro, com os números de 3 a 14 (um número diferente em cada face). De quantas maneiras o poderemos fazer de forma a que:
i) nas faces que são quadrados fiquem só números primos?
ii) a soma dos números colocados nas faces que são quadrados seja ímpar?
b) Pretende-se pintar as 14 faces do sólido, dispondo para tal de 15 cores diferentes, sendo uma delas o lilás. Cada face é colorida com uma só cor. Admite que o sólido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face. Determina a probabilidade de exatamente quatro faces ficarem coloridas de lilás e as restantes com cores todas distintas. Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado com cinco casas decimais.
Enunciado
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2
1
Clica nos números para visualizares as etapas de resolução do exercício.
Resolução
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Passo 1 Determinar o número de maneiras de se numerar as 6 faces quadradas.
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Resolução |
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De 3 a 14 existem cinco números primos: 3, 5, 7, 11e 13.
Como uma face quadrada já está numerada, resta-nos numerar cinco faces quadradas.
Alínea a) i) Nas faces que são quadrados fiquem só números primos?
Portanto, temos cinco faces quadradas para numerar e cinco números primos para o fazer. 
Logo, temos maneiras diferentes de numerar estas faces.
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Passo 2 Determinar o número de maneiras de se numerar as 7 faces triangulares.
Resolução |
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1
3
Sobram-nos 7 números para numerar as sete faces triangulares em falta.
Assim, temos maneiras diferentes de numerar estas faces.
Alínea a) i) Nas faces que são quadrados fiquem só números primos?
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Passo 3 Determinar o pedido.
Resolução |
1
3
2
Alínea a) i) Nas faces que são quadrados fiquem só números primos?
Utilizando, agora, o princípio geral da multiplicação, concluímos que o número de maneiras de se numerar as faces do cuboctaedro, de forma a que nas faces que são quadrados fiquem só números primos, é:
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Tendo em conta que, para que a soma seja ímpar, temos de ter um número ímpar de parcelas ímpares, temos de considerar os seguintes casos, para numerar as faces quadradas em falta:
Passo 1 Analisar o número de casos a considerar. 
Resolução |
1
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Alínea a) ii) A soma dos números colocados nas faces que são quadrados seja ímpar?
4
5
1.º Caso: apenas 1 face quadrada com um número ímpar.
Temos uma face quadrada já numerada com um número par, faltando-nos, por isso, numerar as restantes 5 faces.
2.º Caso: 3 faces quadradas com números ímpares.
3.º Caso: 5 faces quadradas com números ímpares. 
2
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Passo 2 Determinar o número de maneiras, considerando o 1.º caso – uma face quadrada com um número ímpar
1
Resolução |
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3
Alínea a) ii) A soma dos números colocados nas faces que são quadrados seja ímpar?
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Consideremos as 5 faces quadradas.
Temos 5 faces para colocar o número ímpar.
E temos 6 números ímpares à escolha: 3, 5, 7, 9,11 ou 13.
Depois de colocado o número ímpar, falta-nos ainda numerar 4 faces quadradas com 4 números pares.
Temos 6 números pares à escolha: 4, 6, 8, 10, 12 ou 14.
Precisamos de 4 números pares.
Interessa a posição, mas não há repetição de números.
Por fim, sobram 7 números para colocarmos nas faces triangulares.
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1
Resolução |
Passo 3 Determinar o número de maneiras, considerando o 2.º caso – 3 números ímpares.
3
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Alínea a) ii) A soma dos números colocados nas faces que são quadrados seja ímpar?
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5
Temos 5 faces para colocar 3 números ímpares.
E temos de escolher 3 números ímpares de entre 6 à escolha: 3, 5, 7, 9, 11 ou 13.
Depois de colocados os números ímpares, falta-nos ainda numerar 2 faces quadradas com 2 números pares, ou seja, temos de escolher 2 números pares de entre os 6 disponíveis: 4, 6, 8, 10, 12 ou 14.
Por fim, sobram 7 números para colocarmos nas faces triangulares.
Consideremos as 5 faces quadradas.
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1
Resolução |
Passo 4 Determinar o número de maneiras, considerando o 3.º caso – 5 números ímpares.
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Alínea a) ii) A soma dos números colocados nas faces que são quadrados seja ímpar?
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3
4
Temos 5 faces para colocar 5 números ímpares, de entre 6 à escolha: 3, 5, 7, 9, 11 ou 13.
Por fim, sobram 7 números para colocarmos nas faces triangulares.
Consideremos as 5 faces quadradas.
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1
Resolução |
Passo 5 Calcular o pedido.
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Alínea a) ii) A soma dos números colocados nas faces que são quadrados seja ímpar?
3
5
4
Tendo em conta os três casos analisados nos passos anteriores, o número de maneiras de se numerar as faces do sólido, de modo a que a soma dos números colocados nas faces que são quadrados seja ímpar, é:
1.º Caso
2.º Caso
3.º Caso
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Passo 1 Analisar a regra a usar.
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Resolução |
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Alínea b) Determina a probabilidade de exatamente 4 faces ficarem coloridas de lilás e as restantes com cores todas distintas.
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Regra de Laplace
A probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis, quando estes são todos equiprováveis.
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Passo 2 Determinar o número de casos favoráveis.
Resolução |
2
1
3
Alínea b) Determina a probabilidade de exatamente 4 faces ficarem coloridas de lilás e as restantes com cores todas distintas.
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Queremos que exatamente 4 faces fiquem coloridas de lilás e as restantes com cores todas distintas.
Primeiro, vamos escolher as 4 faces a pintar de lilás, de entre as 14 faces do poliedro.
De seguida, vamos escolher as cores para as restantes faces.
Assim, o número de casos favoráveis é igual a .
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Logo, o número de casos possíveis é igual a .
Passo 3 Determinar o número de casos possíveis.
Resolução |
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Alínea b) Determina a probabilidade de exatamente 4 faces ficarem coloridas de lilás e as restantes com cores todas distintas.
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Temos 15 cores disponíveis para pintar as 14 faces do sólido. Assim, existem maneiras de pintar as faces.
Arranjos completos de 15 cores 14 a 14.
Interessa a ordem e existe repetição de cores.
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Resolução |
Passo 4 Calcular a probabilidade pedida.
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3
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Alínea b) Determina a probabilidade de exatamente 4 faces ficarem coloridas de lilás e as restantes com cores todas distintas.
Número de casos favoráveis: .
Número de casos possíveis: .
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PROBABILIDADES
Definição de probabilidade 
 PRB12_3.1	+Resolver problemas envolvendo cálculo combinatório e a determinação de probabilidades em situações de equiprobabilidade de acontecimentos elementares.
METAS CURRICULARES
Enunciado
20. Unindo os pontos médios das arestas consecutivas de um cubo, obtém-se o cuboctaedro da figura.
Sabe-se que o sólido é constituído por 14 faces (seis faces são quadrados e oito faces são triângulos) e duas das faces já estão numeradas com os números 1 e 2.
a) Pretende-se numerar as 12 faces, não numeradas ainda, do poliedro, com os números de 3 a 14 (um número diferente em cada face). De quantas maneiras o poderemos fazer de forma a que:
i) nas faces que são quadrados fiquem só números primos?
ii) a soma dos números colocados nas faces que são quadrados seja ímpar?
b) Pretende-se pintar as 14 faces do sólido, dispondo para tal de 15 cores diferentes, sendo uma delas o lilás. Cada face é colorida com uma só cor. Admite que o sólido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face. Determina a probabilidade de exatamente quatro faces ficarem coloridas de lilás e as restantes com cores todas distintas. Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado com cinco casas decimais.
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Combinações ou Arranjos…Primeiro, vamos escolher as 4 faces a pintar de lilás, de entre as 14 faces do poliedro.
De seguida, vamos escolher as cores para as restantes faces.
Não interessa a ordem pela qual escolhemos as faces, porque vão ser todas coloridas com a mesma cor, o lilás.
Interessa a ordem pela qual escolhemos as cores. Por exemplo, colorir a face 1 de verde e a face 2 de amarelo é diferente de colorir a face 1 de amarelo e a face 2 de verde.
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