Filtros P1

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Filtros
Parte 1: Análise
SEL 369 Micro-ondas/SEL5900 Circuitos de Alta 
Frequência
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é planejado 
para servir de apoio às aulas de 
SEL-369 Micro-ondas, oferecida 
aos alunos regularmente 
matriculados no curso de 
engenharia elétrica/eletrônica e 
SEL-5900 Circuitos de Alta 
Frequência, oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de pós-graduação em 
engenharia elétrica.
� Não são permitidas a reprodução 
e/ou comercialização do material.
� solicitar autorização ao docente 
para qualquer tipo de uso distinto 
daquele para o qual foi 
planejado.
2SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL02/04/2015
Resposta em frequências de filtros ideiais
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 3
amplitude
freqüência
ωc
amplitude
freqüência
ωc
amplitude
freqüência
ωc1 ωc2
amplitude
ωc1 ωc2 
Passa-baixas Passa-altas
Passa-faixa Rejeita-faixa
freqüência
Aproximações para a função ideal
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 4
( )
( )
2
2
1
1
n
t j
A
ω
ω
=
+
1 para 0 1
1 para 1
n c
n c
A
A
ω ω
ω ω
 << ≤ <

 >> >
( )
2
t j ω
Como não é possível realizar a função ideal, aproximações podem ser feitas
onde
deve ser uma função par de ω
e An uma função de ω
2
amplitude
freqüência
ωc
Filtro de Butterworth
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 5
2n
n
A ω=
Na faixa passante a resposta é tanto mais plana quanto maior for o valor de n.
2
2
1
( )
1 n
t jω
ω
=
+
Nesta realização de função ideal, e
Filtro de Butterworth
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 6
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
Freqüência normalizada, ω/ωc
2
( )t jω
n = 1
n = 2
n = 3
n = 5
n = 10
2
2
1
( )
1 n
t jω
ω
=
+
Filtro de Tschebysheff
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 7
( )
( )
( )
1
1
cos cos 0 1
cosh cosh 1
n
n para
T
n para
ω ω
ω
ω ω
−
−
   ≤ ≤    =    >   
A função ideal é realizada por meio dos polinômios de Tchebyshev
( )
2
n n
A Tε=
2
2
1
( )
1 ( )
n
t j
T
ω
ε ω
=
 +   
( )210 log 1 dBε+ é a ondulação em dB
Filtro de Tschebyscheff
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 8
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
Freqüência normalizada, ω/ωc
2
( )t jω
2
2
1
( )
1 ( )
n
t j
T
ω
ε ω
=
 +   
ε = 0,5088
(1 dB)
2
2
0,206
1
ε
ε
=
+
n = 1
n = 2
n = 3
par ímpar
1( ) cos cos ( )
n
T nω ω− =   
0,794
1
Filtro de Tschebyscheff
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 9
0 0.5 1 1.5 2
0
0.25
0.5
0.75
1
Freqüência normalizada, ω/ωc
2
( )t jω
2
2
1
( )
1 ( )
n
t j
T
ω
ε ω
=
 +   
ε = 0,5088
(1 dB)
1( ) cos cos ( )
n
T nω ω− =   
1( ) cosh cosh ( )
n
T nω ω− =   
n = 1
n = 2
n = 5
0 1ω≤ ≤
1ω ≥
Butterworth vs. Tschebyscheff -1
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 10
1 1.2 1.4 1.6 1.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Freqüência normalizada, ω/ωc
2
( )t jω 2
2
1
( )
1 n
t jω
ω
=
+
Tschebyscheff
Butterworth
n = 4
2
2
1
( )
1 ( )
n
t j
T
ω
ε ω
=
 +   
ε = 0,5088
(1 dB)
1( ) cosh cosh ( )
n
T nω ω− =   
Butterworth
Tschebysheff
Faixa bloqueada
Butterworth vs. Tschebyscheff -2
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 11
0 0.5 1 1.5 2
0
0.25
0.5
0.75
1
Freqüência normalizada, ω/ωc
2
( )t jω 2
2
1
( )
1 n
t jω
ω
=
+
Tschebyscheff
Butterworth
n = 4
2
2
1
( )
1 ( )
n
t j
T
ω
ε ω
=
 +   
ε = 0,5088
(1 dB)
1( ) cosh cosh ( )
n
T nω ω− =   
Butterworth
Tschebysheff
faixa
Passante
3 dB
Filtro protótipo
Projeto 
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 13
�O filtro protótipo é projetado a partir de um 
conjunto de dados
– Relação entre as impedâncias de entrada e saída
– Atenuação desejada em uma frequência na faixa 
bloqueada
– Freqüência de corte do filtro
�O projeto é realizado por meio de programas 
de computador ou de tabelas
�O número de seções é determinado pelo 
conjunto de dados
Configurações de filtros passa-baixas-1
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 14
Forma geral de filtro passa-baixas com fonte de corrente
na entrada e n ímpar
Fonte: L. Weinberg, `Additional tables for design of optimum ladder networks`, 
J.F.I., pp. 7-23, julho de 1957
Rn Cn Cn-2 C3 C1 R1=1
Ln-1 Ln-3 L2I1 E2
1
n
R
r
R
= Relação entre resistências de entrada e saída
Configurações de filtros passa-baixas-2
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 15
R´n C´n C´2 R´1=1
L´n-1 L´3 L´1I1 E2
Forma geral de filtro passa-baixas com fonte de corrente
na entrada e n par
Fonte: L. Weinberg, `Additional tables for design of optimum ladder networks`, 
J.F.I., pp. 7-23, julho de 1957
´
´
1
n
G
r
G
= Relação entre condutâncias de entrada e saída
Configurações de filtros passa-baixas-3
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 16
Forma geral de filtro passa-baixas com fonte de tensão
na entrada e n ímpar
Fonte: L. Weinberg, `Additional tables for design of optimum ladder networks`, 
J.F.I., pp. 7-23, julho de 1957
R´n
C´n-1 C´2 R´1=1
L´n-2 L´3 L´1
I2
E1
L´n
Relação entre condutâncias de entrada e saída
´
´
1
n
G
r
G
=
Configurações de filtros passa-baixas-4
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 17
Forma geral de filtro passa-baixas com fonte de tensão
na entrada e n par
Fonte: L. Weinberg, `Additional tables for design of optimum ladder networks`, 
J.F.I., pp. 7-23, julho de 1957
Rn
Cn-1 C3 R1=1
Ln-2 L2
I2
E1
Ln
C1
1
n
R
r
R
= Relação entre resistências de entrada e saída
Normalização das quantidades
02/04/2015 SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 18
Seções resistivas (RG ou RL)
( )
G L i
R R RR=
Seções indutivas
i
i
c
g R
L
ω
=
Seções capacitivas
i
i
c
g
C
Rω
=
Ri , gi : obtidos nas tabelas
RG, RL, Li, Ci : valores com
a normalização removida
R : resistência de normalização
ωc : freqüência de corte, rad/s
Dualidade 
SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 19
� A impedância de um ramo série pode ser substituída pela 
adimitância de um ramo paralelo e vice-versa
– Capacitância de C farads pode ser substituída pelo elemento dual, 
que é uma indutância de C henrys
– Indutância de L henrys pode ser substituída por capacitância de L
farads
– Resistência de R ohms pode ser substituída por condutância de R
siemens
1 2 10
4 3
I2
E1 1 2 10
4 3
I2
E1 4 3
21I’1
E’2
1/104 3
21I’1
E’2
1/10
Valores em ohms, farads e henrys
02/04/2015
Reciprocidade 
SEL 369/SEL5900 Filtro com Microfita USP EESC SEL 20
� A função de transferência permanece inalterada 
se a porta de entrada é trocada com a de saída.
– Situação utilizada para acomodar uma configuração 
desejada a partir de um circuito padrão obtido.
– Exemplo, uma capacitância em paralelo na saída e uma 
resistência na entrada.
C4 C2
L1L3
I1
E2RC4 C2
L1L3
I1
E2R C4C2
L3L1
I1
E2R C4C2
L3L1
I1
E2R
Valores em ohms, farads e henrys
02/04/2015