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127 ESTATÍSTICA Unidade II A estatística descritiva trata fundamentalmente de situações que já ocorreram, ou seja, seu ambiente está no passado ou no presente. Entretanto, muitas vezes nossas decisões encontram-se no futuro, que apresenta valores incertos. A estatística descritiva consegue nos dizer, por exemplo, quanto nossa empresa vendeu mês a mês, mas não consegue dizer quanto iremos vender nos próximos seis meses. Essa informação é talvez mais importante que a dos meses passados, e pode ser prevista com alguma precisão, usando-se ferramentas da estatística indutiva. Mas existe uma diferença fundamental. Enquanto podemos dizer com certeza quanto vendemos nos seis meses anteriores, o que venderemos nos próximos meses é uma probabilidade, e não uma certeza. Probabilidade é algo intuitivo, mas quais são os seus conceitos básicos, como são calculados, qual seu grau de precisão e de certeza? Precisamos entender adequadamente tudo isso para podermos prever situações futuras e prováveis. Tudo aquilo que é provável é dotado de tolerância. Caso afirmemos que, baseados em estudos estatísticos, provavelmente o PIB mundial cairá em 3% não estamos dando um “chute aleatório”, mas também não podemos “morrer abraçados” a esse número. O mais correto seria dizer que o PIB mundial cairá entre 2,5% e 3,5%, introduzindo uma margem de erro. Trataremos dos aspectos fundamentais da Teoria Elementar das Probabilidades para depois evoluir para a utilização desses conceitos na área de negócios. Saiba mais A utilização prática dos conceitos probabilísticos aparece bem retratada no filme americano de 2008 Quebrando a Banca (título original: 21). Um aluno gênio do MIT orientado pelo seu professor de estatística monta uma equipe que se propõe a quebrar a banca de cassinos em Las Vegas. QUEBRANDO a banca. Direção: Robert Luketic. Estados Unidos: Relativity Media, 2008. 123 min. 128 Unidade II 5 TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES Probabilidades é formalmente um capítulo da matemática, e não da estatística, mas deve ser bem entendida para que possamos aplicar os conceitos no estudo de suas distribuições, de fundamental importância na estatística indutiva. 5.1 Conceitos iniciais de probabilidades e como são calculadas Caso você procure a definição de probabilidade em um dicionário, o Aurélio, por exemplo, encontrará algo como: “probabilidade: 1. Qualidade do provável. 2. Motivo ou indício que deixa presumir a verdade ou a possibilidade de um fato, verossimilhança” (FERREIRA, 1999, p. 1640). Como é fácil de notar, essa definição não acrescenta nada ao conceito intuitivo que temos de probabilidade; isso porque o conceito de probabilidade é circular, ou seja, define-se probabilidade utilizando-se seus próprios termos. Desse modo desenvolve-se atualmente uma abordagem axiomática na definição de probabilidade, mantendo-se seu conceito indefinido, algo semelhante ao que acontece em geometria com as definições de ponto e reta. Estatisticamente, no entanto, adotam-se três abordagens diferentes na definição de probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como frequência relativa e a abordagem subjetiva. Antes de seguirmos, no entanto, com a definição de probabilidade, é necessário definir alguns termos que serão utilizados: • Experimento aleatório: são aqueles que, apesar de serem repetidos exatamente da mesma maneira, não apresentam resultados obrigatoriamente iguais. Por exemplo, você pode jogar um dado exatamente da mesma maneira duas vezes e nada garantirá que obterá o mesmo resultado. Lembrete Frequentemente usamos em estatística, principalmente em probabilidades, o termo “escolhido”. Quando isso ocorre, normalmente imaginamos uma escolha aleatória, ou seja, um sorteio, nunca uma escolha dirigida. • Espaço amostral (ou conjunto universo ou espaço das probabilidades): é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, o espaço amostral de um jogo de um dado honesto é dado por: { }S 1 ;2;3;4;5;6 = Observe que o dado deve ser honesto, se não o for, o experimento não será aleatório. Podemos calcular as probabilidades de dados honestos ou viciados, mas com algumas diferenças no processo de cálculo. 129 ESTATÍSTICA • Evento: é um determinado subconjunto formado por um ou mais elementos do espaço amostral. Por exemplo, num jogo de dados o evento número primo é formado por: { }E 1 ;2;3;5= Fundamentalmente uma probabilidade é uma razão entre o tamanho do evento e o tamanho do espaço amostral de onde é retirado esse evento. Em outras palavras é a razão entre o que se quer que aconteça e o que pode acontecer. 5.2 Definição de probabilidade como razão entre valores esperados e possíveis Usando esses termos podemos definir estatisticamente o termo probabilidade: • Abordagem clássica: é a razão (divisão) entre o número de elementos (ou resultados) favoráveis a um determinado evento e o número total de elementos (ou resultados) do espaço amostral, ou seja: ( ) ( )( ) n A P A n S = Sendo: P(A): probabilidade de ocorrer o evento A n(A): número de elementos favoráveis ao evento A n(S): número total de elementos do espaço amostral Por exemplo: Qual é a probabilidade de, ao se jogar um dado honesto, se obter um número primo? { } ( )S 1;2;3;4;5;6 n S 6= → = { } ( )números primosE 1;2;3;5 n S 4= → = ( ) ( )( ) n A 4 2 P A 0,666 ou 66,6% n S 6 3 = = = = 130 Unidade II Observação Utilizam-se três maneiras de se apresentarem probabilidades: fração ordinária (2/3, por exemplo, que lemos 2 possiblidades em 3), fração decimal (0,666 no nosso exemplo) e percentual (66,6%). É indiferente a forma que se usa, mas deve-se notar que não devem ser feitas operações matemáticas com porcentagens e que o uso de frações decimais não é costumeiro na divulgação de probabilidades. • Abordagem como frequência relativa: é a razão entre o número de vezes que determinado resultado ocorre, quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezes. Por exemplo: jogamos uma moeda 1.000 vezes e em 512 dessas vezes saiu cara. Podemos dizer por essa definição que a probabilidade de sair cara nesta moeda é de 512/1.000, ou seja, 51,2%. Esse raciocínio seria simbolizado da seguinte forma: ( ) ( )AA T f 512 P A fr p A 0,512 ou 51,2% f 1.000 = = → = = Note que o resultado não é o mesmo que o calculado pela definição anterior (50%). Podemos atribuir isso ao fato de a moeda usada não ser honesta (portanto com resultados aleatórios) ou ao fato de o número de jogadas não ter sido suficientemente grande. Aumentando o número de jogadas, a probabilidade tenderá ao valor teórico de 50%, se a moeda for honesta. • Abordagem subjetiva: ao contrário das definições anteriores, nesta, a probabilidade não é um valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência. Evidentemente que essa probabilidade não é fruto de um “palpite, um chute”, mas algo embasado em dados objetivos, complementados por aspectos pessoais. É o caso, por exemplo, do meteorologista que prevê 80% de chances de chover num determinado período. Outro exemplo é o Índice de Confiança Empresarial (ICE) medido pela Fundação Getúlio Vargas (FGV). Esse capítulo da estatística é estudado em análise bayesiana de decisão. Durante nosso curso iremos utilizar as duas primeiras abordagens, de acordo com o campo de estudo em que estivermos. Deve-se notar que a primeira abordagem é eminentemente teórica e pressupõe experimentos aleatórios, em que os elementos são equiprováveis. Já na segunda abordagem podem ser introduzidos fatores diversos, característicos de determinadas situações não totalmente aleatórias. Apesar de basicamente o cálculo de probabilidades envolver uma das duas relações descritas anteriormente, existem axiomas, teoremas e propriedades que devem ser conhecidas para o correto uso da teoria. Antes, porém, de nos preocuparmos com a teoria envolvida, iremos nos ater à lógica que permeia o cálculo de probabilidades,a partir da utilização da abordagem clássica, no próximo item voltaremos à abordagem como frequência relativa. 131 ESTATÍSTICA Esse raciocínio lógico é mais bem entendido com uma sequência de exemplos progressivamente mais complexos que veremos a seguir. Exemplo 1 Uma moeda honesta é jogada uma única vez, qual é a probabilidade de que o resultado seja CARA? Pelo modo como o exercício é proposto nós devemos calcular a probabilidade como uma razão entre o número de elementos favoráveis ao evento CARA e o número todas de elementos possíveis. { } ( )Espaço amostral: cara; coroa n S 2→ = ( ) { } ( )Evento desejado cara : cara n A 1→ = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n A n cara 1 p A P cara 0,5 ou 50% n S n S 2 = = = = = Nem precisaríamos ter feito o cálculo. Qualquer um de nós sabe intuitivamente que a probabilidade de sair cara ao se jogar uma moeda é de 50%. Mas o exemplo é valido para ressaltar que isso só acontece se a moeda for honesta e para demonstrar o processo de cálculo das probabilidades. Exemplo 2 Duas moedas honestas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja CARA? Note que neste caso o espaço amostral se tornou ligeiramente mais complexo: ( )S { Cara Cara; Cara Coroa; Coroa Cara; Coroa Coroa) n S 4= → = E o evento pedido é: ( )E {Cara Cara; Cara Coroa; Coroa Cara), n E 3= → = Logo a probabilidade é: ( ) ( )( ) ( ) n A 3 P pelo menos uma cara P pelo menos uma cara 0,75 ou 75% n S 4 = → = = 132 Unidade II Observação Do ponto de vista do cálculo de probabilidade, jogar simultaneamente duas moedas é o mesmo que jogar uma, anotar o resultado e depois jogar outra. 5.2.1 Árvore de decisões Exemplo Quatro moedas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de que se obtenham pelo menos duas CARAS? Perceba que ficou muito mais complexo estabelecer o espaço amostral e o evento solicitado. O princípio é o mesmo dos exercícios anteriores, mas, como o número de moedas aumentou, as dificuldades envolvidas também aumentam. Para facilitar nosso raciocínio iremos introduzir duas ferramentas: a árvore de decisões e a análise combinatória. Saiba mais Neste texto veremos superficialmente o método da árvore de decisões, mas esse é um método muito utilizado sempre que o raciocínio lógico é necessário. O texto a seguir mostra um vídeo com um belo exemplo de aplicação dessa ferramenta: APRENDENDO GESTÃO. Árvores de decisão: exemplo completo. [s.d.]. Disponível em: https://aprendendogestao.com.br/2019/09/21/arvores-de- decisao-exemplo-completo/. Acesso em: 3 nov. 2021. A árvore de decisões consiste em representar graficamente todas as possibilidades de resultados dos experimentos aleatórios de modo a não se perder nenhum evento e ao mesmo tempo se compreender a mecânica do experimento. Joga-se uma moeda honesta. Os resultados podem ser: Cara Coroa Figura 38 133 ESTATÍSTICA A seguir está desenhada a árvore de decisões do experimento “jogar quatro moedas honestas simultaneamente”. Note que não esquecemos nenhum dos resultados possíveis. Cara Cara Cara Cara 4ª moeda jogada 3ª moeda jogada 2ª moeda jogada 1ª moeda jogadaResultados da: Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Caminho 1 Caminho 2 Caminho 5 Caminho 6 Caminho 9 Caminho 10 Caminho 13 Caminho 14 Caminho 3 Caminho 4 Caminho 7 Caminho 8 Caminho 11 Caminho 12 Caminho 15 Caminho 16 Joga-se uma moeda honesta sucessivamente 4 vezes Figura 39 De posse da árvore de decisões, conseguimos responder mais facilmente ao solicitado neste exemplo. Perceba que, após se jogar a moeda pela quarta vez, nós teremos um total de 16 soluções (caminhos) possíveis. Observe a sequência do caminho de número 1: Na primeira vez que se jogou a moeda saiu cara; na segunda jogada saiu cara de novo; assim como na terceira e na quarta jogadas, ou seja, o caminho 1 é formado pelos seguintes eventos sucessivos: cara – cara – cara - cara. O mesmo raciocínio nos conduz a outras 15 combinações possíveis das quais as de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13 apresentam a resposta que desejamos, ou seja, pelo menos duas caras, as demais apresentam uma ou nenhuma cara, portanto, não nos interessam. 134 Unidade II Dessa forma temos um total de 16 elementos no espaço amostral, sendo que 11 deles são favoráveis à nossa pergunta, portanto a probabilidade de que ocorra pelo menos uma cara é de 11 possibilidades em 16, ou seja: ( ) ( )( ) ( ) n A 11 P A P pelo menos uma cara 0,6875 ou 68,75% n S 16 = → = = Agora note que o número de possibilidades (ou seja, elementos) do espaço amostral cresce continuamente. Caso jogássemos uma quinta vez a moeda, teríamos 32 resultados diferentes. Uma maneira de trabalharmos com essa grande quantidade de números é o uso da análise combinatória. (atenção: aqui trabalharemos superficialmente esse assunto. Utilizaremos apenas as ferramentas que nos são importantes neste capítulo). 5.2.2 Análises combinatórias Perceba que o cálculo de probabilidade continuará a ser feito através da razão entre o número de elementos favoráveis ao evento que estamos estudando e o número total de elementos do espaço amostral; a análise combinatória nos servirá para calcular de maneira menos trabalhosa essas quantidades. Se você olhar a árvore de decisões do jogo de moedas, perceberá que o espaço amostral cresce em número de elementos da seguinte maneira: Tabela 63 Número de jogadas da moeda Número de resultados diferentes 1 2 2 4 3 8 4 16 É fácil notar que a relação matemática existente entre o número de jogadas e o número de resultados possíveis é de nx, em que n é o número de resultados possíveis de ocorrer numa única repetição do experimento (no caso n = 2 porque os resultados possíveis são cara ou coroa) e x é o número de repetições do experimento (no caso na tabela anterior temos n variando de 1 a 4). Desse modo, se quisermos saber o número de elementos do espaço amostral de seis jogadas de uma moeda bastaria fazermos o cálculo 26 = 64 resultados diferentes. Em análise combinatória, esse procedimento é conhecido como cálculo do número de arranjos com repetição. x n,xAr n= 135 ESTATÍSTICA Observação A fórmula xn,x n,x Ar n ; Ar = é lida da seguinte forma: “número de arranjos com repetições de n elementos repetidos x vezes”. Arranjos com repetição é um dos modos de se contarem elementos, campo da análise combinatória. Utiliza-se esse conceito quando a ordem dos elementos que forma o grupamento é importante e quando um elemento pode ser repetido. Existem também outros modos de se contar, como arranjos simples, permutações e combinações. Além do arranjo com repetição, somente essa última nos interessa neste texto. Por outro lado, observando a árvore de decisões, podemos contar o número provável de caras na quarta jogada montando a tabela a seguir: Tabela 64 Número de coroas que apareceu Número de caras que apareceu “Número do caminho” Quantidade de caminhos Quatro coroas Zero caras 16 1 Três coroas Uma cara 8;12;14;15 4 Duas coroas Duas caras 4;6;7;10;11;13 6 Uma coroa Três caras 2;3;5;9 4 Zero coroas Quatro caras 4 1 A quantidade de caminhos que atendem a cada uma das condições é calculada através do número de combinações simples. Usamos combinações simples quando nos grupamentos que estamos trabalhando a ordem dos elementos não é importante e cada elemento pode ser contato apenas uma vez. Por exemplo, suponha que cinco crianças querem usar o mesmo brinquedo no qual só cabem três. Quantos grupos diferentes poderiam usar o brinquedo? Suponha que as crianças sejam identificadas pelas letras A; B; C; D e E, poderíamos agrupá-las da seguinte forma: Quadro 6 ABC ABE ACE BCD BDE ABD ACD ADE BCE CDE 136 Unidade II Ou seja, poderíamos fazer dez grupos diferentes com três crianças em cada grupo. Perceba que o grupo ABCe o grupo CBA são idênticos, na verdade são o mesmo grupo, as mesmas crianças estariam usando o brinquedo. Claro que, se tivéssemos uma quantidade maior de crianças e de brinquedos, não conseguiríamos determinar a quantidade de grupos “na raça”, precisaríamos de ajuda da matemática. O número de combinações é obtido através da fórmula: ( )n,x n! C x! n x ! = − Onde: n = número total de repetições do experimento x = número de resultados desejados Observação A fórmula ( )n,x n! C x! n x ! = − deve ser lida da seguinte forma: “número de combinações de n elementos tomados x a x vezes”. Lembrete Fatorial de um número a, simbolizado por a!, é a multiplicação de todos os números inteiros e positivos desde a unidade até o valor a, ou seja: a! 1 2 3 4 ...... a= × × × × × Por exemplo: 6! é igual a 720 porque: 6! 1 2 3 4 5 6 720= × × × × × = Notar que, por definição, 0! é igual a 1. 137 ESTATÍSTICA No exemplo das crianças teríamos n = 5 crianças; x = 3 lugares: ( ) ( )n,x 5,3 n! 5! 5! 1 2 3 4 5 120 C C 10 possibildades x! n x ! 3! 5 3 ! 3! 2! 1 2 3 1 2 12 × × × ×= → = = = = = − − × × × × × Conforme tínhamos determinado na tabela elaborada. No caso do exemplo com quatro moedas sendo jogadas, seria usado um cálculo semelhante. A tabela a seguir mostra o cálculo das combinações do exemplo dado. Verifique que coincide com os números obtidos através da árvore de decisões. Tabela 65 Número de caras que queremos obter Fórmula do cálculo das combinações Número de combinações obtidas Zero caras ( )4,0 4! 4! 24 C 1 0! 4 0 ! 0!4! 1 24 = = = = − × 1 Uma cara ( )4,1 4! 4! 24 C 4 1! 4 1 ! 1!3! 1 6 = = = = − × 4 Duas caras ( )4,2 4! 4! 24 C 1 2! 4 2 ! 2!2! 2 2 = = = = − × 6 Três caras ( )4,3 4! 4! 24 C 4 3! 4 3 ! 3!1! 6 1 = = = = − × 4 Quatro caras ( )4,4 4! 4! 24 C 1 4! 4 4 ! 4!0! 24 1 = = = = − × 1 Perceba que temos agora todas as informações necessárias para o cálculo das probabilidades envolvidas no experimento de “quatro jogadas sucessivas de uma moeda honesta”. A tabela a seguir resume esses valores. 138 Unidade II Tabela 66 Eventos Número total de resultados do espaço amostral (número de “caminhos”) Calculado usando-se arranjos com repetições Número total de resultados favoráveis ao evento Calculado usando-se combinações Probabilidade de ocorrência Obter zero caras 16 1 1 0,0625 6,25% 16 = = Obter uma cara 16 4 4 0,2500 25,00% 16 = = Obter duas caras 16 6 6 0,3750 37,50% 16 = = Obter três caras 16 4 4 0,2500 25,00% 16 = = Obter quatro caras 16 1 1 0,0625 6,25% 16 = = Somatório 100% Esse quadro resume todos os possíveis resultados do experimento: “jogar quatro vezes uma moeda honesta”. Cada um desses resultados é um evento diferente e a probabilidade de cada evento ocorrer é obtida pela divisão do número de vezes que ele ocorre pelo número de resultados totais do experimento. O evento pedido na questão, pelo menos duas caras, é a soma dos eventos: duas ou três ou quatro caras. Conforme os valores obtidos na tabela anterior, resultaria em: 0,3750 0,2500 0,0625 0,6875 68,75%+ + = = Como já havíamos determinado anteriormente. Esses conceitos permitem calcular situações mais complexas como os exemplos a seguir, bem mais trabalhosos. Exemplo 1 Vinte moedas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de que se obtenham exatamente oito CARAS? Essa questão é muito semelhante à anterior, mas envolve uma quantidade de moedas e resultados que inviabilizam o uso da árvore de decisões. Sabemos, entretanto, calcular questões desse tipo usando os conceitos de análise combinatória: 139 ESTATÍSTICA • O número total de resultados possíveis é o número de arranjos com repetições de 20 moedas que podem apresentar dois resultados diferentes. x 20 n,xAr n 2 1.048.576= = = • O número total de resultados que nos interessam é o número de combinações de 20 moedas das quais oito sejam caras: ( ) ( )n,x 20,8 n! 20! 20! 2.432.902.008.176.640.000 C C 125.970 x! n x ! 8! 20 8 ! 8! 12! 40.320 479.001.600 = → = = = = − − × × • A probabilidade de ocorrerem oito caras é de: ( ) ( )( ) ( ) n A 125.970 p A P exatamente 8 caras 0,1201 12,01% n S 1.048.576 = → = = = Observação Os números envolvidos anteriormente são relativamente grandes, mas, com uma calculadora científica ou na planilha Excel, o trabalho é relativamente simples. Mesmo o cálculo do número de combinações pode ser facilitado se utilizarmos o conceito de simplificação, como mostrado a seguir: 20.8 20! 12! 13 14 15 16 17 18 19 20 C 125.970 8!x12! 1 2 3 4 5 6 7 8 12! × × × × × × × ×= = = × × × × × × × × Simplificando os valores possíveis no numerador e denominador, sobrará no numerador apenas a multiplicação 13 2 17 3 19 5 125.970× × × × × = Vamos utilizar esses conhecimentos adquiridos para fazer um cálculo, que talvez não deixe você satisfeito. Exemplo 2 Qual é a probabilidade de se ganhar o prêmio máximo na Mega-Sena fazendo-se um jogo com sete dezenas? Observe que na Mega-Sena é necessário acertar seis dezenas para se ganhar o prêmio máximo. Caso se joguem sete dezenas, temos sete chances de acertar as seis dezenas (n = 7 e x = 6). 140 Unidade II ( ) ( )n,x 7,6 n! 7! 7! 5.040 C C 7 x! n x ! 6! 7 6 ! 6! 1! 720 1 = → = = = = − − × × Quantos resultados diferentes podem ocorrer? Na Mega-Sena existem 60 números possíveis, dos quais você deve acertar seis, ou seja: ( ) ( )n,x 60,6 n! 60! 60! C C 50.063.860 x! n x ! 6! 60 6 ! 6! 54! = → = = = − − × Resumindo, você tem sete chances em 50.063.860 de acertar na Mega-Sena, o que dá uma probabilidade de: ( ) ( )( ) ( ) n A 7 P A P ganhar na Mega Sena com sete jogos n S 50.063.860 0,00000014 ou 0,000014% = → − = = = Melhor continuar estudando, não é? 6 DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE COMO FREQUÊNCIA RELATIVA Até aqui, sempre que nos referimos às moedas, frisamos que ela era honesta. Por que isso? Porque o sorteio de uma moeda honesta é um experimento absolutamente aleatório, ou seja, por mais que a joguemos, nunca iremos saber qual o próximo resultado. Além disso, a probabilidade de cair cara numa moeda honesta é de 50%, assim como de sair coroa. São resultados equipotentes. Nem sempre será assim. Podemos ter moedas viciadas e, em situações mais próximas da realidade do dia a dia, decerto os experimentos não serão absolutamente aleatórios, mas aproximadamente aleatórios, e as probabilidades de ocorrência serão dadas pelas frequências relativas observadas. Imagine que você tenha nas mãos uma moeda que não sabe se honesta ou viciada. Como poderia saber? Testando-a, ou seja, jogando-a repetidas vezes e anotando os resultados. Caso os resultados tendam para 50% de sair cara e 50% de sair coroa, a moeda será honesta, caso contrário, será viciada. Obviamente, quanto maior o número de vezes que a testar, mais segura será a resposta. A tabela a seguir mostra uma sucessão fictícia de testes em duas moedas. 141 ESTATÍSTICA Tabela 67 Número de vezes que a moeda foi lançada Moeda A Moeda B N . d e ca ra s Pr ob ab ili da de d e ca ra N . d e co ro as Pr ob ab ili da de d e co ro a N . d e ca ra s Pr ob ab ili da de d e ca ra N . d e co ro as Pr ob ab ili da de d e co ro a 10 6 60,0% 4 40,0% 5 50,0% 5 50,0% 30 14 46,7% 16 53,5% 16 53,3% 14 46,7% 40 19 47,5% 21 52,5% 23 57,5% 17 42,5% 50 27 54,0% 23 46,0% 29 58,0% 21 42,0% 100 52 52,0% 48 48,0% 57 57,0% 43 43,0% 500 249 19,8% 251 50,2% 290 58,0% 210 42,0% 1.000 505 50,5% 4095 49,5% 589 58,9% 411 41,1% 10.000 5.010 50,1% 4.990 49,9% 5.809 58,1% 4.191 41,9% Note algumas características importantes: • Para poucos lançamentos, não é possível assumir se as moedas são honestas ou viciadas. O número de observações não é suficiente. Isso é constante na estatística indutiva. Precisamos de uma quantidade de observações mínima para se chegar a alguma conclusão. • À medida que o número de observações vai crescendo, cristalizamos a ideia de que a moeda A é honestae a moeda B viciada. Perceba que em dez jogadas não há nada de estranho em se obterem seis caras e quatro coroas, mas quando jogamos a moeda 100 vezes e obtemos 57 caras, algo não acidental está ocorrendo. Não é possível que seja uma questão de “sorte” ou “azar”. • A partir dessas observações podemos assumir que a moeda A é honesta e a probabilidade de se obter cara é igual à de se obter coroa, no valor de 50% (o fato de os cálculos não resultarem exatamente em 50% é efeito de variações aceitáveis). • Já a moeda B é viciada e a probabilidade de se obter cara é de 58% (aproximadamente) e, de se obter coroa, 42%. A partir desses conceitos podemos abrir um pouco mais o leque dos nossos cálculos, resolvendo a questão do próximo item. 142 Unidade II 6.1 Evento soma e evento produto Exemplo 1 Jogamos a moeda B, mencionada anteriormente, três vezes em sequência. Lembrar que essa moeda é viciada com 58% de probabilidade de sair cara e 42% de probabilidade de sair coroa. Qual é a probabilidade que obtenhamos pelo menos duas caras? Vamos entender a questão através do uso da árvore de decisões. É a mesma árvore usada anteriormente com uma diferença. Sobre cada decisão (simbolizada pelas flechas), colocaremos a probabilidade correspondente: Cada “caminho” será formado de várias decisões em sequência, cada uma delas com probabilidades diferentes. A probabilidade de ocorrência de um caminho em especial é dada pela multiplicação das probabilidades individuais. A isso chamamos de evento produto. Observe na figura o cálculo dos vários caminhos: Cara 3ª moeda jogada 2ª moeda jogada 1ª moeda jogadaResultados da: Cara Cara Cara Coroa Coroa Coroa Coroa Caminho 1 → 0,58 x 0,58 x 0,58 = 0,583 = 0,1951 Probabilidade de cada caminho Somatório = 1 ou 100% 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42 Caminho 3 → 0,58 x 0,42 x 0,58 = 0,582 x 0,42 = 0,1413 Caminho 5 → 0,42 x 0,58 x 0,58 = 0,582 x 0,42 = 0,1413 Caminho 7 → 0,42 x 0,42 x 0,58 = 0,58 x 0,422 = 0,1023 Caminho 2 → 0,58 x 0,58 x 0,42 = 0,582 x 0,42 = 0,1413 Caminho 4 → 0,58 x 0,42 x 0,42 = 0,58 x 0,422 = 0,1023 Caminho 6 → 0,42 x 0,58 x 0,42 = 0,58 x 0,422 = 0,1023 Caminho 8 → 0,42 x 0,42 x 0,42 = 0,423 = 0,0741 Cara Coroa Cara Cara Coroa Coroa Joga-se uma moeda viciada sucessivamente 3 vezes Figura 40 143 ESTATÍSTICA Pelo menos duas caras significam duas ou três caras, logo os caminhos 1; 2; 3; 5 nos interessam, os demais ou têm apenas uma cara, ou nenhuma. Qualquer um desses quatro caminhos que vier a ocorrer atenderá a nossa pergunta, ou seja, a probabilidade de ocorrer pelo menos duas caras é a soma das probabilidades de ocorrer o caminho um ou então o dois ou então o três ou ainda o cinco. Poderíamos escrever isso assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P pelo menos uma cara P cacaca P cacaco P cacoca P cocaca= + + + Assim, o resultado final seria: ( )P pelo menos uma cara 0,1951 0,1413 0,1413 0,1413 0,6190 61,90%= + + + = = Essa soma de eventos gera o que se chama de evento soma. Observação É importante observar que {cacaco}; {cacoca} e {cocaca} são eventos diferentes, apesar de podermos nos referir a eles como os resultados com duas caras e uma coroa. Caso tenha dúvida, imagine que você e um colega estejam atravessando uma rua movimentada. Um de vocês será atropelado. Tanto faz a ordem do atropelado? Certamente não! Cada vez que se joga a moeda, ocorre um resultado diferente. A cada um desses resultados damos o nome de evento. Vários eventos podem ser combinados, criando os eventos soma e eventos produto, já mostrados anteriormente. O evento soma representa uma alternativa entre vários eventos simples, caracteriza-se pela palavra “ou”. Por exemplo, a questão qual é a probabilidade de um aluno passar em estatística é respondida por um evento soma: o aluno pode passar sem exame ou com exame. A probabilidade será a soma das probabilidades dos dois eventos simples. O evento produto representa uma obrigação entre várias situações e caracteriza-se pela palavra “e”. Por exemplo, qual é a probabilidade de um aluno cursar Administração e passar em Estatística. O aluno tem que cursar Administração e passar em Estatística. A probabilidade será o produto entre probabilidade de um aluno estudar Administração e a probabilidade de passar em Estatística. Vamos firmar esse conceito através do seguinte exemplo: 144 Unidade II Exemplo 2 Dois caçadores, Pedro e João, atiram contra uma caça simultaneamente. Sabemos que Pedro tem uma probabilidade de acertar esse tipo de caça de 40%, enquanto João acerta em 55% das vezes. Calcular a probabilidade de: • A caça ser atingida. • Ambos atingirem simultaneamente a caça. Antes de resolvermos a questão, vamos sublinhar como foram obtidas essas probabilidades. Presume-se que Pedro e João já foram caçar diversas vezes esse tipo de caça e a cada tiro que deram anotaram o resultado. Após algum tempo eles têm uma série de observações suficientemente grandes para calcular as probabilidades relacionadas. Pedro atirou um número X de vezes e acertou quatro a cada dez tiros, assim ele pode afirmar que tem 40% de chances de acertar um tiro qualquer nessas mesmas condições. João em raciocínio semelhante chegou à probabilidade de 55%. É evidente que, se Pedro tem 40% de chances de acertar, tem 60% de chances de errar, assim como João tem 55% de probabilidade de acertar e 45% de errar. Chega-se a essa conclusão porque os eventos acertar e errar são eventos complementares, ou seja, um completa o outro sem a existência de um terceiro e com a soma dos dois resultando em 100%. Com essas probabilidades individuais podemos montar a árvore de decisões apropriada: 0,40 x 0,55 = 0,22 ou 22% 0,60 x 0,55 = 0,33 ou 33% 0,40 x 0,45 = 0,18 ou 18% 0,60 x 0,45 = 0,27 ou 27% Cálculo das probabilidades 0,40 0,55 0,55 0,60 0,45 0,45 Acerta o tiro Acerta o tiro João atira Erra o tiro Erra o tiro João atira Acerta o tiro Erra o tiro Pedro atira Figura 41 145 ESTATÍSTICA Podemos então responder às questões: A caça será atingida se Pedro ou João ou os dois a atingirem. Quer dizer, existe alternativa, portanto é um evento soma: P (caça ser atingida) = P (Pedro e João acertarem) + P (Pedro acertar e João errar) + P (Pedro errar e João acertar) ( )P caça ser atingida 0,22 0,18 0,33 0,73 ou 73%= + + = Portanto, a probabilidade de a caça ser atingida é de 73% (item a). Para ambos atingirem a caça, é necessário que Pedro e João a atinjam, ou seja, é um evento produto. ( ) ( ) ( )P ambos atingirem a caça P Pedro acertar P João acertar= × ( )P ambos atingirem a caça 0,40 0,55 0,22 ou 22%= × = A probabilidade de ambos acertarem simultaneamente a caça é de 22% (item b). 6.2 Eventos independentes e eventos vinculados Na questão anterior, os tiros de Pedro não interferem nos tiros de João e vice-versa, ou seja, o fato de Pedro acertar ou errar não torna mais ou menos provável os acertos ou erros de João. É o que se chama de eventos independentes. Nem sempre, no entanto, isso ocorre. Eventualmente a ocorrência de um evento altera a probabilidade de ocorrência do evento seguinte. São os eventos vinculados ou condicionados ou dependentes. A próxima questão exemplifica esse conceito: Exemplo Temos uma caixa que contém um total de 45 bolinhas, sendo 20 verdes, 15 brancas e 10 pretas. Retira-se dessa caixa uma bolinha, anota-se sua cor, coloca-se de lado e em seguida retira-se da caixa uma segunda bolinha. • Qual é a probabilidade que as duas bolinhas retiradas formem a agradável combinação verde e branca? • Qual é a probabilidade que as duas bolinhas retiradas formem a desagradável combinação preta e branca? 146 Unidade II Uma combinação verde e branca corresponde a retirar uma primeira bolinha verde e uma segunda bolinha branca ou uma primeira bolinha branca e uma segunda bolinha verde. Raciocínio semelhante utiliza-se para a combinação preta e branca. Novamente vamos utilizara árvore de decisões para entender e esquematizar o problema, seguindo o raciocínio anteriormente estabelecido: Caixa agora contendo: 20 bolinhas verdes; 15 brancas e 10 pretas, num total de 45 bolinhas 19 bolinhas verdes; 15 brancas e 10 pretas, num total de 44 bolinhas 20 bolinhas verdes; 14 brancas e 10 pretas, num total de 44 bolinhas 20 bolinhas verdes; 15 brancas e 9 pretas, num total de 44 bolinhas Bolinha preta Bolinha preta Bolinha preta Bolinha preta 3 6 9 Bolinha branca Bolinha branca Bolinha branca Bolinha branca 2 5 8 Bolinha verde Bolinha verde Bolinha verde Bolinha verde 1 4 7 Depois de retirada a 1ª bolinha a caixa ficará contendo: Depois de retirada a 1ª bolinha a caixa ficará contendo: Depois de retirada a 1ª bolinha a caixa ficará contendo: 20 45 15 45 10 45 19 44 20 44 20 44 15 44 14 44 15 44 10 44 10 44 9 44 20 45 10 44 200 1980 = 0,1010x = 15 45 10 44 150 1980 = 0,0757x = 10 45 9 44 90 1980 = 0,0455x = 20 45 15 44 300 1980 = 0,1515x = 15 45 14 44 210 1980 = 0,1061x = 10 45 15 44 150 1980 = 0,0757x = 20 45 19 44 380 1980 = 0,1919x = 15 45 20 44 300 1980 = 0,1515x = 10 45 20 44 200 1980 = 0,1010x = Figura 42 Note que em todos os caminhos a probabilidade de ocorrência da segunda retirada depende do que aconteceu na primeira retirada. Seja qual for a cor retirada, em primeiro lugar a caixa fica, para a segunda retirada, com 44 bolinhas. Isso porque a bolinha retirada não foi recolocada na caixa. Chamamos a isso de retirada sem reposição, caracterizando o evento dependente. As probabilidades da segunda retirada dependem do que aconteceu na primeira retirada. Perceba o caminho 1. Na segunda retirada pode sair uma bolinha verde e a probabilidade de que isso ocorra é de 19/44. O caminho 4, na segunda retirada também pode resultar numa bolinha verde e a probabilidade de que isso ocorra é de 20/44. Por que essa diferença? Porque a primeira retirada foi diferente entre os dois caminhos, no caminho 1 a primeira retirada foi de uma bolinha verde, no caminho 4 de uma bolinha preta. No primeiro caso houve uma redução na quantidade de bolinhas verdes, no segundo a quantidade se manteve igual. Essa vinculação entre eventos sucessivos altera as probabilidades finais, portanto, devemos estar atentos a ela. 147 ESTATÍSTICA Agora, voltando à resolução do exercício, note que, dos nove caminhos existentes (eventos produtos), dois correspondem a uma combinação verde e branca. Os caminhos 2 e 4. Portanto um ou outro atendem ao solicitado (portanto, evento soma), desta forma: ( ) ( ) ( )P combinação verde e branca P 1ª verde e 2ª branca P 1ª branca e 2ª verde= + ( )P combinação verde e branca 0,1515 0,1515 0,3030 ou 30,30%= + = A probabilidade de se obter uma combinação verde e branca é de 30,30%. Raciocínio semelhante se faz para a combinação preta e branca (siga os caminhos 6 e 8): ( ) ( ) ( )P combinação preta e branca P 1ª preta e 2ª branca P 1ª branca e 2ª preta= + ( )P combinação preta e branca 0,0757 0,0757 0,1514 ou 15,14%= + = 6.3 Revisão teórica dos conceitos estudados Procuramos até aqui dar uma visão lógica da teoria das probabilidades. Revisaremos agora os conceitos à luz das teorias matemáticas comumente usadas e retomaremos o vocabulário tradicionalmente usado. • Experimento: processo como ocorre uma determinada sucessão de acontecimentos. Por exemplo: realizar uma reação química; investir em ações; jogar dados. • Experimento matemático ou determinístico: são aqueles em que os resultados podem ser previstos de modo exato utilizando-se da ciência. Por exemplo: realizar uma reação química. • Experimento aleatório: são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos, apesar de se repetirem várias vezes em condições semelhantes. Por exemplo, jogar dados. • Experimentos aproximadamente aleatórios: são aqueles que, apesar de terem uma tendência de ocorrência, não podem ter seus resultados definidos de modo exato pela ciência. Por exemplo: investir em ações. • Espaço amostral ou conjunto universo: conjuntos formados por todos os resultados possíveis de um experimento. Por exemplo, o conjunto formado pelos números {1;2;3;4;5 e 6}, resultados possíveis de um jogo de dados. • Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Por exemplo, os números 2; 4 e 6, evento “números pares” de um jogo de dados. 148 Unidade II • Evento simples: aquele formado por um único elemento do espaço amostral. Por exemplo, o número 5 num jogo de dados. • Evento composto: aquele formado por mais de um elemento do espaço amostral. Por exemplo, os números 1; 3 e 5, evento “números ímpares” de um jogo de dados. • Evento complementar: de um evento A qualquer, é o evento B (chamado complementar de A), tal que todos os elementos do espaço amostral que não pertençam a A pertençam a B e vice-versa. Observar que S = A+B. Por exemplo, o conjunto A = {1,3,5} é complementar ao conjunto B = {2,4,6}, num jogo de dados, visto que, ao serem somados, dão origem ao espaço amostral S = {1,2,3,4,5,6}. Não falta nem sobra elemento algum. • Eventos mutuamente exclusivos: suponha dois eventos A e B, no qual a ocorrência de A impede a ocorrência de B e vice-versa. Dizemos que eles são mutuamente exclusivos. Por exemplo: num jogo de dados, a ocorrência de um número par (1, 2, 3) impede a ocorrência de um número ímpar (2, 4, 5), portanto são mutuamente exclusivos. Não confunda eventos complementares com eventos mutuamente exclusivos. Todos os eventos complementares são mutuamente exclusivos, mas o contrário não é verdade. • Eventos independentes: dizemos que dois ou mais eventos são independentes quando eles não exercem ações recíprocas, comportando-se cada um de maneira que lhe é própria, sem influenciar os demais. Por exemplo, o lançamento de duas moedas, simultaneamente. • Eventos vinculados ou condicionados: são eventos cujo aparecimento de um dependa, isto é, seja influenciado pelo aparecimento de outro, do mesmo experimento. Por exemplo, retirada de duas cartas de um baralho. Quando você retira a primeira carta, existem 52 cartas no baralho, 26 vermelhas e 26 pretas. Quando você for retirar a segunda carta o baralho, terá apenas 51 cartas e poderão ser 25 vermelhas e 26 pretas ou 26 vermelhas e 25 pretas, dependendo da cor da primeira carta. Portanto, o segundo evento está condicionado ao ou vinculado com o primeiro. • Evento soma: quando relacionamos dois eventos de um mesmo experimento e a ocorrência de um ou de outro nos interessa, temos o evento soma. Perceba a importância da palavra ou na formulação do princípio e da ideia de alternativa. Por exemplo: jogo um dado e quero que saia um número par ou um número primo. Os números pares são: {2,4,6} e os números primos são {1,2,3,5}. Como me interessam os números pares ou primos, fico satisfeito com a ocorrência de qualquer um dos seguintes números {1,2,3,4,5}. Note que esse conjunto é a soma dos dois anteriores, descontadas as intersecções (no caso o número 2). • Evento produto: quando relacionamos dois eventos de um mesmo experimento e a ocorrência de um e simultaneamente do outro nos interessa, temos o evento produto. Perceba a importância da palavra e na formulação do princípio, e da ideia de obrigação. Por exemplo: jogo um dado e quero que saia um número par e primo. Os números pares são: {2,4,6} e os número primos são {1,2,3,5}. Como me interessa que o número seja par e simultaneamente primo, fico satisfeito somente com 149 ESTATÍSTICA a ocorrência de número: {2}. Note que esse conjunto é a intersecção dos dois anteriores, ou seja, valores que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos. • Definição de probabilidade matemática: é a razão (divisão) entre o número de elementos do evento estudado pelo número de elementos do espaço amostral, ou seja: ( ) ( )( ) n A P A n S = • Definição de probabilidade estatística: presumindo que um experimento é repetido uma quantidadeconsiderável de vezes e seus resultados anotados, definimos probabilidade de ocorrência de eventos daquele experimento como sendo sua frequência relativa: ( ) A1 T f P A fr f = = • Axiomas das probabilidades: são verdades a partir das quais se estabelecem os conceitos de probabilidades: ― Dado um evento A, dentro de um espaço amostral S, temos: ( )0 P A 1≤ ≤ ― A probabilidade do espaço amostral, ou da soma de todos os eventos possíveis é: ( )P S 1= ― Para dois eventos mutuamente exclusivos, temos: ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + ― Se o evento A é complementar de B, então: ( ) ( ) ( ) ( )P A P B 1 ouP A 1 P B+ = = − • Teorema da soma: se A e B são dois eventos não mutuamente exclusivos, a probabilidade da ocorrência de A ou B ou ambos é dada por: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 150 Unidade II Exemplo: numa caixa existem oito bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 8. Qual a probabilidade de, ao se retirar uma bolinha, ela ser múltiplo de 2 ou de 5? Espaço amostral: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -> n(S) = 10 Evento A – múltiplos de 2: A = {2,4,6,8,10) -> n(A) = 5 Evento B – múltiplos de 5: B= {5,10) -> n(B) = 2 Intersecção entre A e B: A―B = {10} -> n(A―B) = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n A n B n A B P A B P A P B P A B n S n S n S ∪ ∪ = + − ∩ = + − 5 2 1 P(A B 0,60 ou 60% 10 10 10 ∪ = + − = • Teorema do produto para eventos independentes: caso tenhamos dois eventos A e B, que não sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer um resultado que pertença simultaneamente aos dois eventos é dada por: ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = × Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos. Exemplo: temos duas caixas com bolinhas nas seguintes quantidades: Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas vermelhas. Total: 55 bolinhas. Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas vermelhas. Total: 60 bolinhas. Retiramos uma bolinha de cada urna. Qual é a probabilidade de que ambas as bolinhas retiradas sejam azuis? Caixa A: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul: ( ) 10P Azul 55 = Caixa B: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul: ( ) 20P Azul 60 = Probabilidade de ambas serem azuis: 151 ESTATÍSTICA ( ) ( ) ( ) 10 20 200P Azul Azul P Urna A; bolinha azul P Urna B; bolinha azul 55 60 3.300 ∩ = × = × = ( )P Azul Azul 0,0606 ou 6,06%∩ = • Teorema do produto para eventos vinculados: a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B vinculados é dada pelo produto da probabilidade de um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro evento: ( ) ( ) ( )BP A B P A P A∩ = × O símbolo ( )BP , A lê-se probabilidade de ocorrência do evento B tendo ocorrido o evento A, é a chamada probabilidade condicional. Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos. Exemplo: retiramos sem reposição três caras de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade que as três sejam vermelhas: Probabilidade de a primeira carta ser vermelha: ( ) 26P vermelha 52 = Probabilidade de a segunda carta ser vermelha: ( ) 25P vermelha 51 = Probabilidade de a terceira carta ser vermelha: ( ) 24P vermelha 50 = Probabilidade de as três serem vermelhas (V): ( ) ( ) ( ) ( )P V V V P 1ª carta V P 2ª carta V /1 ª carta V P 3ª carta V / 2ª carta V∩ ∩ = × × ( ) 26 25 24 26 25 24 15.626P V V V 0,1178 ou 11,78% 52 51 50 52 51 50 132.600 × ×∩ ∩ = × × = = = × × Exemplo de aplicação A empresa XPTO opera em uma de suas plantas com três linhas de produção com níveis tecnológicos diferentes, apesar de produzirem exatamente o mesmo produto. A tabela a seguir reproduz a participação na produção total de cada uma das linhas e a respectiva taxa de produtos defeituosos produzidos. 152 Unidade II Tabela 68 Linha de produção Participação na produção total da planta Índice de defeitos da linha de produção A 30% 1,0% B 25% 1,5% C 45% 2.0% A produção das três linhas vai para o mesmo armazém de produtos acabados e fica misturada. Em dado momento uma unidade do produto produzido ao acaso é retirado e inspecionado e verifica-se que ele é defeituoso. Qual a probabilidade de que ele tenha sido produzido por cada uma das máquinas? Resolução Perceba que estamos diante de um evento condicionado. Para a máquina A, a probabilidade seria calculada por: ( ) ( ) ( )AP A d P d P d∩ = × Onde: ( )P A d probabilidade de o produto ter sido feito pela máquina A e ser defeituoso∩ = ( )P d probabilidade de o produto ser defeituoso= ( )AP probabilidade de o produto, sendo defeituoso, ter sido feito na máquina Ad = Como desejamos saber a probabilidade de o produto defeituoso ter sido feito na máquina A, devemos preparar a fórmula: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) P A dA AP A d P d P Pd d P d ∩ ∩ = × → = ( ) 0,30 0,01AP 0,1905 ou1 9,05%d 0,30 0,01 0,25 0,015 0,45 0,02 ×= = × + × + × De modo semelhante: ( ) 0,25 0,015BP 0,2381 ou 23,81%d 0,30 0,01 0,25 0,015 0,45 0,02 ×= = × + × + × ( ) 0,45 0,02AP 0,5714 ou 57,14%d 0,30 0,01 0,25 0,015 0,45 0,02 ×= = × + × + × 153 ESTATÍSTICA Resumo Conceituar, entender e saber calcular probabilidades é vital para a utilização da estimação estatística e de seus componentes. Raramente em estatística teremos, acerca do futuro ou de grandes populações, uma certeza absoluta. Nossas induções serão sempre prováveis, e isso não significa um palpite aleatório, e sim fruto de conceitos bem estudados. O termo provável se consubstancializa em termos de margem de erro. A margem de erro é uma tolerância em torno do valor provável de uma ocorrência. Imagine que estejamos estudando o valor do salário mínimo daqui a dez anos. É possível determinar um valor, digamos, de R$ 2.000,00. Evidentemente isso não é uma certeza, é uma probabilidade. Deveríamos dizer, portanto, que o valor provável para o salário mínimo daqui a dez anos será de R$ 2.000,00. Mas não é dessa forma que iremos nos expressar. Em estatística diríamos que o salário mínimo no Brasil daqui a dez anos será de R$ 2.000,00 mais ou menos R$ 200,00, com 95% de certeza. Esses valores não são meros palpites, são decorrência de estudos principalmente envolvendo a teoria das probabilidades e os cálculos do desvio padrão, além é claro do tamanho da amostra da pesquisa realizada. O conhecimento da Teoria das Probabilidades nos permitirá determinar e usar modelos matemáticos que prevejam situações futuras ou envolvendo grandes conjuntos de valores. É o que nos permitirá determinar a expectativa de vida de uma determinada população para cálculos atuariais ou então o crescimento da população brasileira no intervalo entre dois censos. Apesar de não nos conduzir a resultados exatos, o conceito de probabilidade nos permite tomadas de decisão com elevado grau de confiança, como vimos e nos aprofundaremos a seguir. 154 Unidade II Exercícios Questão 1. (Enade 2017) Considere uma urna com cinco bolas azuis, três verdes e seis pretas, da qual serão retiradas bolas sem reposição. Com base nessa situação, avalie as afirmativas a seguir. I – Caso sejam retiradas quatro bolas, uma delas será verde. II – O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para se garantir a retirada de uma bola preta é igual a 9. III – O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para se garantir a retirada de uma bola verde e uma bola azul é igual a 10. É correto o que se afirma em: A) II, apenas. B) III, apenas. C) I e II, apenas. D) I e III, apenas. E) I, II e III. Resposta correta: alternativa A. Análise das afirmativas I – Afirmativa incorreta. Justificativa: temos o total de 14 bolas, sendo cinco azuis, três verdes e seis pretas. Se retirarmos quatro bolas aleatoriamente, podemos obter, por exemplo, quatro bolas azuis ou quatro bolas pretas, entre outras combinações. Não há, portanto, a obrigatoriedade de uma dessas quatro bolas ser verde. II – Afirmativa correta. Justificativa: se desejamos 100% de certeza de tirar uma bola preta, devemos considerar a pior hipótese: tiramos primeiroas bolas verdes e azuis, para apenas, então, tirarmos as bolas pretas. Nesse caso, temos cinco bolas azuis e três verdes, totalizando oito bolas “tiradas”, para, então, tirarmos a primeira bola preta. Logo, precisamos tirar nove bolas para garantir que uma seja preta. 155 ESTATÍSTICA III – Afirmativa incorreta. Justificativa: se desejamos 100% de certeza de obter uma bola verde, devemos considerar novamente a pior hipótese: tiramos as primeiras bolas azuis e pretas, sem nenhuma verde, e apenas então tiramos as bolas verdes. Nesse caso, temos cinco bolas azuis e seis pretas, totalizando 11 bolas “tiradas”, e apenas a 12ª bola seria verde. Precisamos, então, tirar 12 bolas para garantir a retirada de uma bola verde. É interessante adicionar que, se tirarmos seis bolas pretas e três bolas verdes, teremos tirado o total de nove bolas, sem nenhuma azul. Assim, para garantirmos a retirada de uma bola azul, necessitamos da retirada de dez bolas. Para garantirmos a retirada de uma bola verde, necessitamos da retirada de 12 bolas. Como 12>10, garantimos, com 12 retiradas, a retirada de uma bola azul e de uma bola verde. Questão 2. (Enade 2017) Seis estudantes se inscreveram para um campeonato escolar de xadrez: três meninas (das quais duas são irmãs gêmeas) e três meninos. Na primeira rodada serão formadas as três duplas de adversários por sorteio da seguinte forma: o primeiro jogador é sorteado entre os seis participantes; o segundo é sorteado entre os cinco restantes; o terceiro entre os quatro restantes; o quarto, entre os três restantes; a primeira dupla é formada pelo primeiro e segundo sorteados; a segunda dupla é formada pelo terceiro e quarto sorteados; a terceira dupla é formada pelos dois últimos que não foram sorteados. Considerando essas condições a respeito da formação das duplas de adversários na primeira rodada do campeonato, avalie as afirmativas: I – A probabilidade de as gêmeas se enfrentarem é de 1/15. II – A probabilidade de a primeira dupla sorteada ser de meninos é de 1/5. III – A probabilidade de a primeira dupla sorteada ser composta por uma menina e um menino é de 3/5. É correto o que se afirma em: A) I, apenas. B) II, apenas. C) I e III, apenas. D) II e III, apenas. E) I, II e III. Resposta correta: alternativa D. 156 Unidade II Análise das afirmativas Temos seis crianças, sendo três meninos e três meninas e, entre essas três meninas, duas meninas são gêmeas. I – Afirmativa incorreta. Justificativa: calculamos primeiramente a probabilidade de serem sorteadas as gêmeas na primeira dupla. No primeiro sorteio, temos dois sucessos (sorteio de uma das gêmeas) entre seis tentativas (número total de crianças), ou seja, 1 gêmea 2 1 P 6 3° = = A probabilidade de ser sorteada a outra gêmea no segundo sorteio, no qual temos apenas um sucesso restante em cinco tentativas, é 2 gêmea 1 P 5° = Como precisamos que esses dois casos ocorram, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, a probabilidade de serem sorteadas as duas gêmeas nos dois primeiros sorteios é 1 gêmea e 2 gêmea 1 1 1 P . 3 5 15° ° = = As gêmeas também se enfrentariam se fossem sorteadas nos terceiro e quarto sorteios. A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas no primeiro sorteio é o complementar da probabilidade de uma delas ser sorteada, ou seja, 1 não gêmea 2 6 2 4 2 P 1 6 6 6 6 3° = − = − = = Calculamos, da mesma forma, a probabilidade de não ser sorteada uma gêmea no segundo sorteio, dado que nenhuma gêmea tenha sido sorteada no primeiro sorteio. Nesse caso, temos dois sucessos em cinco possibilidades. Logo, 2 não gêmea 2 5 2 3 P 1 5 5 5 5° = − = − = Calculamos a probabilidade de ser sorteada uma das gêmeas no terceiro sorteio, dado que nenhuma gêmea tenha sido sorteada no primeiro sorteio. Nesse caso, temos dois sucessos em quatro possibilidades. Logo, 3 gêmea 2 1 P 4 2° = = Calculamos a probabilidade de ser sorteada a outra gêmea no quarto sorteio, dado que uma delas tenha sido sorteada anteriormente. Nesse caso, temos um sucesso em três possibilidades. Logo, 4 gêmea 1 P 3° = 157 ESTATÍSTICA Todas essas condições devem ocorrer para termos as gêmeas no terceiro e quarto sorteios. Logo, devemos multiplicar as probabilidades, e ficamos com 3 gêmea e 4 gêmea 2 3 2 1 12 1 P . . . 3 5 4 3 15.12 15° ° = = = Chegamos à mesma probabilidade de serem sorteadas as gêmeas na primeira e na segunda tentativas. Resta calcularmos a probabilidade de serem sorteadas as gêmeas nos dois últimos sorteios. A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na primeira tentativa é igual à probabilidade do caso anterior. Logo, 1 não gêmea 2 6 2 4 2 P 1 6 6 6 6 3° = − = − = = A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na segunda tentativa é 2 não gêmea 2 5 2 3 P 1 5 5 5 5° = − = − = A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na terceira tentativa é 3 não gêmea 2 4 2 2 1 P 1 4 4 4 4 2° = − = − = = A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na quarta tentativa é 4 não gêmea 2 3 2 1 P 1 3 3 3 3° = − = − = Dessa forma, temos as gêmeas sorteadas nas duas últimas tentativas. Como todas as condições devem ser satisfeitas, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, 5 gêmea e 6 gêmea 2 3 1 1 6 1 P . . . 3 5 2 3 15.6 15° ° = = = Como o que é pedido é satisfeito sorteando-se as gêmeas ou nas duas primeiras posições, ou na terceira e na quarta posições, ou nas duas últimas posições, devemos somar as probabilidades desses eventos. Logo, a probabilidade de as gêmeas se enfrentarem é confronto de gêmeas 1 1 1 3 1 P 15 15 15 15 5 = + + = = II – Afirmativa correta. Justificativa: a probabilidade de ser sorteado um menino na primeira tentativa é dada pela razão do número de sucessos pelo número de possibilidades. Logo, 1 menino 3 P 6° = A probabilidade de ser sorteado um menino na segunda tentativa é calculada da mesma forma, mas temos apenas dois meninos para serem sorteados em cinco crianças restantes. Logo, 2 menino 2 P 5° = 158 Unidade II Como queremos que o primeiro sorteado seja um menino e que o segundo sorteado também seja um menino, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, 1 menino e 2 menino 3 2 6 1 P . 6 5 30 5° ° = = = III – Afirmativa correta. Justificativa: a probabilidade de ser sorteada uma menina na primeira tentativa é dada pela razão do número de sucessos pelo número de possibilidades, ou seja, 1 menina 3 P 6° = A probabilidade de ser sorteado um menino na segunda tentativa é calculada da mesma forma, mas temos três meninos para serem sorteados em cinco crianças restantes. Logo, 2 menino 3 P 5° = Como queremos que a primeira criança sorteada seja uma menina e que o segundo sorteado seja um menino, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, 1 menina e 2 menino 3 3 9 3 P . 6 5 30 10° ° = = = Precisamos calcular a probabilidade de a dupla ser sorteada de forma invertida, ou seja, antes o menino e depois a menina. A probabilidade de ser sorteado um menino na primeira tentativa, com três meninos entre seis crianças, é 1 menino 3 P 6° = . A probabilidade de a segunda criança sorteada ser uma menina, com três meninas entre as cinco crianças restantes, é 2 menina 3 P 5° = . A probabilidade de ser sorteado um menino e, em seguida, de ser sorteada uma menina é dada pelo produto dessas duas probabilidades. Logo, 1 menino e 2 menina 3 3 9 3 P . 6 5 30 10° ° = = = Vemos que as probabilidades são as mesmas, independentemente da ordem obtida. Como o primeiro caso ou o segundo caso atende ao solicitado, precisamos somar as duas probabilidades. Logo, menino e menina na 1 dupla 3 3 6 3 P 10 10 10 5° = + = =
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