Questes_resolvidas_av2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO - DCA/CT 
DISCIPLINA: Otimização de Sistemas 
___________________________________________________________________________________________ 
Firmino. 
PROFESSOR: Manoel Firmino de Medeiros Jr. 
 
QUESTÕES RESOLVIDAS 
 
 
1) Uma firma construtora possui obras nas cidades A, B, C e D, que devem ser abastecidas com tijolos 
produzidos por empresas cerâmicas, cujas fábricas se situam nas localidades I II e III. As fábricas 
possuem estoques de 60, 90 e 110 milheiros de tijolos, respectivamente. As demandas das obras são 
50, 60, 70 e 80 milheiros, respectivamente. Os custos unitários (por milheiro) dos transportes são 
especificados no Quadro de Custos abaixo (R$): 
 
 A B C D 
I 25 20 15 25 
II 15 20 -- 10 
III 10 15 20 25 
 
Considere que não há estrada ligando a cerâmica II à obra da cidade C. Deseja-se encontrar o plano ótimo de 
transporte para a construtora, admitindo que as cerâmicas pratiquem o mesmo preço, para o milheiro de 
tijolo. Para tanto: 
a) Determine, primeiramente, uma solução inicial para o problema, adotando a Regra do Noroeste; 
b) Implemente a solução encontrada no sistema de equações, apresentando-o na forma canônica. Em 
seguida, aplique o método SIMPLEX para determinar o plano ótimo de transporte. 
 
Solução: 
 
Quadro de custos 
25 20 15 25 
15 20 2000 10 
10 15 20 25 
 Quadro de soluções 
 A B C D Oferta 
 I 50 10 60/10/0 L1-L4 
II 50 40 90/40/0 L2-L5' 
III 30 80 110/80/0 L3-L6' 
Demanda 50/0 60/50/0 70/30/0 80/0 
 
 
L5-L1' L6-L2' L7-L3' 
 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
 Base 1 -25 -20 -15 -25 -15 -20 -2000 -10 -10 -15 -20 -25 0 L0+25L4 
1B 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 60 L1-L4 
2C 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 90 
 3D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 110 
 1A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
 2B 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 60 
 3C 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 70 
 
 
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO - DCA/CT 
DISCIPLINA: Otimização de Sistemas 
___________________________________________________________________________________________ 
Firmino. 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
 Base 1 0 -20 -15 -25 10 -20 -2000 -10 15 -15 -20 -25 1250 L0+20L1 
1B 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 10 
 2C 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 90 
 3D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 110 
 1A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
 2B 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 60 L5-L1' 
3C 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 70 
 
 
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
 Base 1 0 0 5 -5 -10 -20 -2000 -10 -5 -15 -20 -25 1450 L0+20L5' 
1B 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 10 
 2C 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 90 L2-L5' 
3D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 110 
 1A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
 2B 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 1 1 0 0 50 
 3C 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 70 
 
 
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
 Base 1 0 0 -15 -25 10 0 -2000 -10 15 5 -20 -25 2450 L0+2000*L2' 
1B 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 10 
2C 0 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 -1 0 0 40 
3D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 110 
1A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
2B 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 1 1 0 0 50 
3C 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 70 L6-L2' 
 
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
Base 1 0 0 1985 1975 10 0 0 1990 -1985 -1995 -20 -25 82450 L0+20L6' 
1B 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 10 
2C 0 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 -1 0 0 40 
3D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 110 L3-L6' 
1A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
2B 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 1 1 0 0 50 
3C 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 1 1 0 30 
 
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: Otimização de Sistemas 
___________________________________________________________________________________________ 
Firmino. 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
Base 1 0 0 1985 1955 10 0 0 1970 
-
1965 -1975 0 -25 83050 L0+25L3 
1B 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 10 
2C 0 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 -1 0 0 40 
3D 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
1A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
2B 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 1 1 0 0 50 
3C 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 1 1 0 30 
 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
 
Base 1 0 0 1985 1980 10 0 0 1995 -1965 -1975 0 0 85050 
L0-
1995L2 
1B 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 10 
 2C 0 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 -1 0 0 40 
 3D 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 L3-L2 
1A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
 2B 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 1 1 0 0 50 
 3C 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 1 1 0 30 L6+L2 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
 Base 1 0 0 -10 -15 10 0 -1995 0 30 20 0 0 5250 L0-30L3 
1B 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 10 L1+L3 
2D 0 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 -1 0 0 40 L2+L3 
3D 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 1 1 0 1 40 
 1A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 L4-L3 
2B 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 1 1 0 0 50 L5-L3 
3C 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 70 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
 Base 1 0 0 20 -15 10 0 -1965 0 0 -10 0 -30 4050 L0-20L4 
1B 0 0 1 0 1 -1 0 -1 0 0 1 0 1 50 
 2D 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
 3A 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 1 1 0 1 40 L3+L4 
1A 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 -1 0 -1 10 L4 
2B 0 0 0 0 -1 1 1 1 0 0 0 0 -1 10 
 3C 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 70 L6-L4 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
 Base 1 -20 0 0 -15 -10 0 -1985 0 0 10 0 -10 3850 L0-10L1 
1B 0 0 1 0 1 -1 0 -1 0 0 1 0 1 50 
 2D 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
 3A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
 
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1C 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 -1 0 -1 10 L4+L1 
2B 0 0 0 0 -1 1 1 1 0 0 0 0 -1 10 
 3C 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 1 1 60 L6-L1 
 
 
 
z 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D Custo 
Base 1 -20 -10 0 -25 0 0 -1975 0 0 0 0 -20 3350 
3B 0 0 1 0 1 -1 0 -1 0 0 1 0 1 50 
2D 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 80 
3A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 50 
1C 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 60 
2B 0 0 0 0 -1 1 1 1 0 0 0 0 -1 10 
3C 0 -1 -1 0 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 10 
 
 
 
2) Considere a função    xcosexf x 2 , definida no intervalo [/4; 5/4]. 
 
a) Aplique a condição de 1ª. ordem, para encontrar seus pontos críticos; 
b) Aplique a condição de 2ª. ordem para definir a natureza desses pontos. 
 
 
Solução: 
 
x=%pi/4:0.05*%pi:5*%pi/4; 
 
y=-exp(-x); 
 
 z1=cos(2*x); 
 
w1=y.*z1; 
 
 plot(x,y,'g') 
 
plot(x,z1,'c') 
 
w1=y.*z1; 
 
plot(x,w1,'k') 
 
y1=-y; 
 
 plot(x,y1,'g') 
 
y2=-1:0.2:1; 
 
[n1 n2]=size(y2); 
 
x1=atan(-1/2)/2+%pi/2; 
 
x2=(atan(-1/2)+2*%pi)/2; 
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xmax=x1*ones(n1,n2); 
 
xmin=x2*ones(n1,n2); 
 
plot(x,y,'g') 
 
plot(x,z1,'c') 
 
plot(x,w1,'k') 
 
plot(xmax,y2,'--r') 
 
plot(xmin,y2,'--r') 
 
 
   xcosexf x 2 
       0222   xexe
x
xdf xx sincos 
 
    0222  xx sincos 
 
 
  212 /tg x 
 
  quadrante º4212  /tanax 
 
Mas x ϵ [/4; 5/4]. Então: 
 
--> doisx1=atan(-1/2)+%pi 
 doisx1 = 
 
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 2.677945 
 
 
--> x1=doisx1/2 
 x1 = 
 
 1.3389725 
 
 
--> doisx2=atan(-1/2)+2*%pi 
 doisx2 = 
 
 5.8195377 
 
 
--> x2=doisx2/2 
 x2 = 
 
 2.9097688 
 
 
 
3) Encontrar os pontos estacionários da função abaixo, definida no intervalo [-/2; /2]. 
       yxeyxfyx cossin, 2 
Quais desses pontos são mínimos locais? Quais são máximos locais? Quais não são nem mínimo nem 
máximo locais? 
 
 
Solução: 
clear 
x=-%pi/2:0.05*%pi:%pi/2; 
y=x; 
[m n]=size(x); 
// 
for j=1:n 
 for i=1:n 
 z(i,j)=-exp(-(x(i)+y(j)))*sin(2*x(i))*cos(y(j)); 
 end 
 end 
// 
plot3d(x,y,z) 
 
 
 
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Cálculo do vetor gradiente e aplicação da condição de 1ª ordem: 
 
                         022222 




  yxeyxe
x
yx
eyxe
x
f yxyxyxyx coscoscossin
cossin
cossin
 
 
                          02222 




  xyeyxe
y
yx
eyxe
y
f yxyxyxyx sinsincossin
cossin
cossin
 
Simplificando por eliminação dos termos exponenciais, obtém-se: 
 
           
           



1ou02022
22ou00222
yxyxyx
xyyxyx
tgsinsinsincossin
tgcoscoscoscossin
 
 
Levando em conta o domínio da função, tem-se que: 
 
  xyy  ,cos 20  
  y-1,01722,ou0,5535722  xxxtg 
  yxxx  ,sin 2ou002  
  41  yytg 
 
Os pontos interiores do domínio são: 
     








































4
0,55357
;
4
0
;
4
1,01722-
3
3
2
2
1
1  y
x
P
y
x
P
y
x
P 
 
 
 
 
 
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Cálculo da matriz Hessiana: 
 
                    xxyeyxeyxe
x
f yxyxyx 222222 sincoscoscoscoscossin 

  
Adotando a identidade         abbaba   tg,cossincos com22 , obtém-se: 
 
        21com25 

   tg,coscos xye
x
f yx 
 
Derivando novamente com relação à variável x e usando a mesma identidade, para simplificar a expressão 
resultante, chega-se facilmente a: 
 
        2com25
2
2


   tg,coscos xye
x
f yx 
 
Semelhantemente, tem-se: 
 
      

  xye
yx
f yx 2410
2
coscos 
 
     xye
y
f yx 222
2
2
sincos 

  
 
Avaliando as Hessianas H1, H2 e H3, para os pontos P1, P2 e P3, respectivamente, tem-se: 
 



















1,59492330
03,9873078
00
06,2035328
7,6723422-0
019,180857-
321 HHH ;; 
 
Os autovalores das Hessianas são: 
 
      


















1,5949233
3,9873078
0
6,2035328
19,180857-
7,6723422-
321 HHH spec;spec;spec 
 
 
Classificação: 
Pontos Natureza Estrito 
P1 Máximo Sim 
P2 Mínimo Não 
P3 Mínimo Sim