Primeira_lista__Fundamentos_de_Eletromagnetismo

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE FUNDAMENTOS DE ELETROMAGNATISMO – PARTE 1
Nesta lista, os itens marcados em vermelho devem ser respondidos apenas após vocês
estudarem o conteúdo sobre energia e potencial elétricos.
1.1) Considere quatro cargas puntuais colocadas nos vértices de um quadrado de lado L,
como mostrado na figura abaixo.
y
xz
^
^
^
FIG. 1. Exercício 1.1
Calcule:
(a) A energia potencial do sistema.
(b) A força sobre a carga −q situada no vértice superior direito.
(c) A força sobre a carga +q situada no vértice superior esquerdo.
1.2) Um fio infinito com densidade linear de carga positiva λ está posicionado a uma distância
d da ponta de um bastão de comprimento L com carga positiva Q uniformemente distribuída
ao longo de toda sua extensão, conforme mostrado na figura abaixo. Calcule o módulo da
força de repulsão exercida sobre o bastão.
1.3) Uma carga pontual positiva q está posicionada a uma distância d da ponta de um bastão
de comprimento L com carga positiva Q uniformemente distribuída ao longo de toda sua
extensão, conforme mostrado na figura abaixo. (a) Calcule o módulo da força de repulsão
exercida sobre a carga q. (b) Mostre que, para d ≫ L, o módulo da força calculada no item
(a) é aproximadamente Qq/4πϵ0d2. Explique o motivo deste resultado.
1.4) Um cilindro infnitamente longo e de raio R está carregado uniformentemente em toda
a sua extensão, sendo ρ a densidade volumétrica de carga. Calcule o módulo do campo
elétrico, E, a uma distância r < R do eixo do cilindro.
1
d
L
Q
l
+
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
FIG. 2. Exercício 1.2
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
d L
+
q Q
FIG. 3. Exercício 1.3
1.5) Considere uma casca esférica com raio interno a e raio externo b, carregada com desidade
não uniforme de carga ρ = γ/r, onde γ é uma constante e r é a distância ao centro. Calcule
o módulo do campo elétrico para (a) r < a, (b) a < r < b, (c) r > b.
1.6) (a) Explique de forma clara e completa por que numa situação estática todos os pontos
de um material condutor devem ter campo elétrico nulo. (b) Por que, nesta situação,
podemos afirmar que um corpo condutor é equipotencial.
1.7) Calcule o campo elétrico gerado por um anel de espessura desprezível e raio R, carregado
com uma carga q uniformemente sobre seu corpo, em um ponto sobre o eixo de simetria do
anel e à distância z do seu centro.
1.8) (a) Calcule o campo elétrico gerado por um disco de raio R e espessura desprezível, com
uma carga q uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do disco e
à uma distância z do seu centro. (b) Qual o valor do campo elétrico no limite de o disco ser
um plano infinito.
1.9) A figura abaixo mostra as seções retas de duas placas de grande extensão, paralelas,
não condutoras, positivamente carregadas, ambas com distribuição superficial de cargas
2
σ = 1, 77 × 10−22 C/m2. Determine o campo elétrico E⃗, em termos dos vetores unitários,
(a) acima das placas; (b) entre as placas; (c) abaixo das placas.
FIG. 4. Exercício 1.9
1.10) Rutherford propôs em 1911, a existência de um núcleo para o átomo. Segundo ele,
o átomo de um elemento de número atômico Z tem um núcleo esférico minúsculo, de raio
a e carga +Ze, circundado por uma carga eletrônica −Ze uniformemente distribuída em
uma esfera de raio R, muito maior que a, concêntrica ao núcleo. Calcule o valor do campo
elétrico dentro da nuvem eletrônica, em um ponto à distância r do centro do átomo.
1.11) Um condutor isolado de forma arbitrária possui uma carga de +10 × 10−6 C. No
interior do condutor existe uma cavidade; no interior da cavidade está uma carga pontual
q = +3, 0 × 10−6 C. Determine a carga (a) da superfície da cavidade; (b) da superfície
externa do condutor. Justifique adequadamente suas respostas.
1.12) Na figura abaixo um próton está a uma distância d/2 do centro de um quadrado de
aresta d. Qual é o módulo do fluxo elétrico através do quadrado. (Sugestão: Pense no
quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d.)
FIG. 5. Exercício 1.12
1.13) Um cilindro sólido muito longo de raio R possui distribuição uniforme de carga positiva,
sendo ρ a carga por unidade de volume. (a) Deduza uma expressão para o campo elétrico no
interior do volume, a uma distância r do eixo do cilindro, em função da carga ρ. (b) Qual é
3
o campo elétrico em um ponto fora do volume do cilindro, em função da carga por unidade
de comprimento, λ, do cilindro? (c) Compare os resultado dos itens (a) e (b) para r = R.
(d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r, de r = 0 até
r = 3R.
1.14) Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma
densidade ρ(r) dada por:
ρ(r) =
ρ0
(
1− r
R
)
, para r ≤ R,
0, para r ≥ R.
em que ρ0 = 3Q/πR3 é uma constante positiva. (a) Mostre que a carga total contida na
distribuição é igual a Q. (b) Demonstre que o campo elétrico na região r ≥ R é idêntico
ao campo elétrico produzido por uma carga puntiforme Q, situada em r = 0. (c) Obtenha
uma expressão para o campo elétrico na região r ≤ R. (d) Faça um gráfico do módulo do
campo elétrico E em função de r. (e) Encontre o valor de r para o qual o campo elétrico
atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo máximo.
1.15) A figura abaixo mostra, em seção reta, uma esfera metálica, duas cascas metálicas e
três superfícies gaussianas esféricas concêntricas de raio R, 2R e 3R. As cargas dos três
corpos, distribuídas uniformemente, são as seguintes: esfera, Q; casca menor, 3Q; casca
maior, 5Q. Coloque as três superfícies gaussianas na ordem do módulo do campo elétrico
em qualquer ponto da superfície, começando pelo maior.
FIG. 6. Exercício 1.15
1.16) A figura (a), abaixo, mostra uma barra não condutora com uma carga +Q distribuída
uniformemente. A barra forma uma semicircunferência de raio R e produz um campo elétrico
4
de módulo E no centro da curva, P . Se a barra é substituída por uma carga pontual situada
a uma distância R do ponto P (veja a figura (b)), qual é a razão entre o novo valor de E e
o antigo valor?
FIG. 7. Exercício 1.16
1.17) A figura abaixo mostra três sistemas constituídos por uma partícula carregada e uma
casca esférica com uma distribuição de cargas uniforme. As cargas são dadas e os raios das
cascas estão indicados. Ordene os sistemas de acordo com o módulo da força exercida pela
casca sobre a partícula, em ordem decrescente.
FIG. 8. Exercício 1.17
1.18) Na figura abaixo, duas pequenas esferas condutoras de mesma massa, m, e mesma
carga, q, estão penduradas em fios não condutores de comprimento L. Suponha que o
ângulo θ é tão pequeno que a aproximação tan θ ≈ sin θ pode ser usada. (a) Mostre que a
distância de equilíbrio entre as esferas é dada por:
x =
(
q2L
2πϵ0mg
)1/3
.
(b) Se L = 120 cm, m = 10 g e x = 5, 0 cm, qual o valor de |q|?
Respostas
1.1) (a) −U = (q2/4πϵ0L)(4−
√
2)
1.1) (b) F⃗ = (q2/16πϵ0L2)(4−
√
(2))(−x̂− ŷ)
5
FIG. 9. Exercício 1.18
1.1) (c) F⃗ = (q2/16πϵ0L2)(4−
√
(2))(x̂− ŷ)
1.2) F = λQ
2πϵoL
ln
(
d+L
d
)
1.3) F = 1
4πϵ0
qQ
[d(d+L)]
1.4) E = ρr/(2ϵ0)
1.5) (a) E = 0
1.5) (b) E = γ(r2 − a2)/(2ϵ0r2)
1.5) (c) E = γ(b2 − a2)/(2ϵ0r2)
1.7) E⃗ = q
4πϵ0
zẑ
(z2+R2)3/2
1.8) (a) E⃗ = q
2πϵ0R2
(
1− z√
z2+R2
)
ẑ. (b) E⃗ = σ
2ϵ0
ẑ;σ = q
πR2
1.9) (a) E⃗ = σ
ϵ0
ŷ; (b) E⃗ = 0; (c) E⃗ = σ
ϵ0
(−ŷ)
1.10) E⃗ = Ze
4πϵ0r2
(
1− r3
R3
)
r̂
1.11) (a) −3, 0× 10−6 C; (b) +13× 10−6 C.
1.12) q
6ϵ0
1.13) (a) E⃗ = ρr
2ϵ0
r̂; (b) E⃗ = λ
2πϵ0r
r̂
1.14) (c) E⃗ = ρ0
ϵ0
(
r
3
− r2
4R
)
r̂; (e) r = 2R/3; Emax = ρ0R9ϵ0
1.15) Empatadas.
1.16) 1,57
1.17) (b) e (c) empatadas, (a).
1.18) 2, 4× 10−8 C.
6