7 - Notas de Aula relações metricas no circulo - 9 EF

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Material elaborado para a 2ª etapa – Prova Prática de Didática - IMPARH 
Matemática Prof. Me. Esp. Jefferson Macedo 
Notas de Aula – Relações métricas no círculo 
1 RELAÇÃO ENTRE DUAS CORDAS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 
Considere uma circunferência qualquer e duas cordas 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ que se cruzam, em um 
ponto 𝑃, como mostra a figura a seguir 
Ao traçar os segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , formamos os triângulos 𝑃𝐶𝐴 e 𝑃𝐵𝐷. Vamos mostrar 
que esses triângulos são semelhantes. 
Observe que 𝐶�̂�𝐴 ≅ 𝐵�̂�𝐷, isto é, são congruentes pois são opostos pelo vértice. 
Os ângulos inscritos 𝐴�̂�𝐷 e 𝐴�̂�𝐷 são associados ao mesmo arco AB e, portanto, são 
congruentes. Logo, o terceiro ângulo é congruente. Então, pelo caso de semelhança A.A.A. 
concluímos que os triângulos são semelhantes. 
Assim, comparando as medidas dos lados correspondentes dos triângulos 𝑃𝐶𝐴 e 𝑃𝐵𝐷, 
temos 
𝑃𝐵
𝑃𝐶
=
𝑃𝐷
𝑃𝐴
 
Isto é, 
𝑃𝐴. 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶. 𝑃𝐷 
 
 
Figura 1:Elemento gerado no Geogebra 
Corda: Segmento 
ligando dois pontos 
de um círculo. 
Figura 2: Elemento gerado no Geogebra 
 
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2 RELAÇÃO ENTRE DOIS SEGMENTOS SECANTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA 
Considere uma circunferência qualquer e dois segmentos secantes 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐶̅̅̅̅ em que 
extremidade 𝑃 é um ponto externo à circunferência, como na figura a seguir. 
Ao traçar os segmentos 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , obtemos os triângulos 𝑃𝐴𝐷 e 𝑃𝐶𝐵. Vamos mostrar que 
esses triângulos são semelhantes. 
Os ângulos 𝑃�̂�𝐷 e 𝑃�̂�𝐵 são inscritos e associados ao mesmo arco 𝐵𝐷 e, portanto, são 
congruentes. O ângulo �̂� é comum aos triângulos. 
Então, pelo caso 𝐴. 𝐴. 𝐴. de semelhança de triângulos, concluímos que os triângulos 𝑃𝐴𝐷 
e 𝑃𝐶𝐵 são semelhantes. 
Comparando as medidas de comprimento dos lados correspondentes dos triângulos 𝑃𝐴𝐷 
e 𝑃𝐶𝐵, temos 
𝑃𝐴
𝑃𝐶
=
𝑃𝐷
𝑃𝐵
 
isto é, 
𝑃𝐴. 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶. 𝑃𝐷 
 
Figura 3:Elemento gerado no Geogebra 
Figura 4:Elemento gerado no Geogebra 
 
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3 RELAÇÃO ENTRE UM SEGMENTO SECANTE E UM SEGMENTO TANGENTE A UMA 
CIRCUNFERÊNCIA 
Considere uma circunferência qualquer e um segmento secante 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ e outro segmento 𝑃𝑇̅̅̅̅ 
tangente à circunferência. 
 É possível mostrar que a relação abaixo é verdadeira: 
𝑃𝐴. 𝑃𝐵 = (𝑃𝑇)2 
 
4 ATIVIDADES 
1. Obtenha a medida do comprimento do segmento 𝐸𝐽̅̅ ̅ representado na figura a seguir. 
 
2. Calcule o valor de 𝑥 em cada uma das figuras abaixo: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
Figura 5:Elemento gerado no Geogebra 
 
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3. Calcule a medida do segmento 𝑉𝐸̅̅ ̅̅ tangente à circunferência em 𝐸. 
 
 
 
5 REFERÊNCIAS 
BARBOSA, João Lucas, Geometria Euclidiana Plana, .... 
SAMPAIO, Fausto Arnaud. Trilhas da matemática, 9º ano: Ensino Fundamental, anos finais - 1 a 
ed., São Paulo: Saraiva, 2018.