Folha 4 Congruencias MD_22_23

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Matemática Discreta 22/23 Folha 4
LEI Congruências
24. Preencha os espaços com o menor inteiro não negativo de modo a tornar as afirmações verdadeiras:
(a) 6 + 4 ≡7 (b) 6 + 4 ≡8 (c) −7 ≡10
(d) −9 ≡13 (e) 3− 9 ≡10 (f) 2− 19 ≡12
(g) 5× 8 ≡9 (h) 10× 12 ≡17 (i) 63 ≡8
(j) 210 ≡11 (k) 210 ≡10 (l) 210 ≡8
25. Verifique se:
(a) 13 ≡9 5. (b) 13 ≡8 5. (c) −22 ≡8 2.
(d) 384 ≡4 0. (e) 21 ≡3 99 (f) 46 ≡3 101.
(g) 233 ≡10 173. (h) 1567 ≡10 29981. (i) 186 ≡6 6.
(j) 271 ≡7 5. (k) −222 ≡11 333. (l) 450 ≡11 −45.
(m) 312 ≡13 156. (n) 784 ≡16 10800 (o) 210 ≡16 0.
26. Determine os valores de m(∈ N2) para os quais se tem:
(a) 26 ≡m 6. (b) 58 ≡m 5. (c) 13 ≡m 13.
27. Se posśıvel, determine o menor valor positivo de z tal que:
(a) z ≡7 2 e z ≡15 3. (b) z ≡9 2 e z ≡15 3. (c) z ≡9 2 e z ≡15 8.
28. Determine o algarismo das unidades de:
(a) 2132 + 1415 + 1718. (b) 7177× 4124× 8896.
(c) 104384. (d) 57242.
(e) 215 + 1521. (f) 71452123 + 2214314 + 8149257.
(g) 645 × 746. (h) 24610 + 16632132 × 1517215.
(i) 24610 × 3813. (j) 935230 × 25833.
(k) 2124392 − 8818394. (l) 2124392 + 3143394 × 7177392 − 8818394.
29. Calcule o resto da divisão inteira de:
(a) 108045 + 33364 por 8. (b) 2132 + 1455 + 1718 por 5.
(c) 135 − 278760 por 7. (d) 25933 × 934230 por 4.
(e) 2357× 1036113 + 499× 1517212 por 11. (f) 71482123 + 2212314 × 8142257 por 9.
30. Verifique se 22225555 + 55552222 é diviśıvel por 7. É múltiplo de 11?
31. Mostre que a3 ≡6 a, ∀a ∈ Z.
32. Para m ∈ N2 e a, b ∈ Z, mostre que:
(a) a ≡m b ⇒ a+ t ≡m b+ t,∀t ∈ Z.
(b) a ≡m b ⇒ at ≡m bt ∀t ∈ Z.
(c) a ≡m b ⇒ ai ≡m bi, ∀i ∈ N.
33. Utilize as propriedades das congruências para obter o critério de divisibilidade por 11: 11 | (a =
rn · · · r1r0) se e só se 11 | (r0 − r1 + · · · (−1)nrn).
34. Se posśıvel, determine o simétrico e o inverso de 8 em:
(a)Z9. (b) Z11. (c) Z16. (d) Z15.