Otimização em Sistemas Logísticos

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Disciplina 
Otimização em Sistemas Logísticos 
Tema 1 
A Pesquisa Operacional Como Ferramenta de Apoio à Decisão 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. A modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de descrever um 
fenômeno pela representação de sistemas, a fim de prever o comportamento deles 
ou propor soluções não previstas. Com relação ao processo de modelagem 
matemática em Pesquisa Operacional, assinale a alternativa INCORRETA. 
 
Fonte: questão adaptada do Concurso da Fundação o de Desenvolvimento da 
Pesquisa – UFMG (FUNDEP) para Indústrias Nucleares do Brasil (INB) 2018 para 
o cargo de Engenheiro de Produção. 
A qualidade da solução do modelo depende da qualidade dos dados de entrada no 
modelo. 
Modelos matemáticos são objetos abstratos que procuram representar as principais 
características de um objeto real. 
Modelos matemáticos podem ser classificados como estáticos ou dinâmicos em 
função de como a variação do tempo é considerada no processo de modelagem. 
Uma das vantagens relacionadas à modelagem matemática é a possibilidade testar 
todas as possíveis soluções para diferentes cenários, geralmente, a um custo reduzido 
e em menor intervalo de tempo. 
Todas as variáveis de decisão devem ser inteiras para que um modelo matemático 
seja considerado inteiro. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "E" está correta. 
Basta que apenas uma variável de decisão seja inteira para termos um modelo inteiro. 
Todas as variáveis de decisão precisam estar livres para assumir valores fracionais para 
o modelo ser não inteiro. 
2. A qualidade da solução de um modelo matemático depende da qualidade dos 
dados de entrada no modelo. Para o desenvolvimento de modelos matemáticos 
em estudos de Pesquisa Operacional, o processo de coleta de dados ocorre no 
seguinte passo: 
Formulação do problema 
Observação do sistema 
Formulação do modelo matemático 
Verificação do modelo matemático e uso para predição 
Seleção da melhor alternativa 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "B" está correta. 
 
Após a formulação do problema, os dados necessários devem ser coletados, na fase de 
observação do sistema, para que sejam estimados os valores das variáveis e os 
parâmetros a serem adotados na modelagem do problema analisado. Tais estimativas 
são adotadas no desenvolvimento do modelo (passo 3) e em sua análise (passo 4). 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Entre os principais elementos de um modelo de programação linear, os fatores 
não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, os dados de entrada que 
devem ser coletados previamente a etapa de modelagem do problema, são 
denominados: 
Variáveis de decisão 
Variáveis condicionantes 
x Parâmetros 
Função objetivo 
Parte inferior do formulário 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "C" está correta. 
 
 
Os principais elementos de um modelo de programação linear são as variáveis de 
decisão, os parâmetros, a função objetivo e o conjunto de restrição. 
As variáveis de decisão são os fatores controláveis do problema a ser analisado, ou 
seja, são as incógnitas a serem definidas na solução do problema de otimização. Os 
parâmetros são os fatores não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, são 
os dados de entrada que devem ser coletados previamente à etapa de modelagem do 
problema. 
É importante ressaltar que os parâmetros influenciam diretamente os valores obtidos 
para a solução ótima do problema de otimização. 
2. Um sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Para 
fazer um par de sapatos novos, o sapateiro leva 2 horas, se fizer somente sapatos. 
Ele gasta 4 unidades de couro para fabricar um par de sapatos. Para consertar 
uma unidade de sapato, ele gasta uma unidade de couro. 
 
Sabe-se que o total disponível de couro é de 12 unidades e que o sapateiro 
trabalha 10 horas por dia. O lucro unitário por par de sapatos é de 8 unidades 
monetárias e o do conserto de uma unidade de sapato é de 2 unidades monetárias. 
O sapateiro deseja planejar seu sistema de produção diário de modo a maximizar 
seu lucro por hora. 
 
Pedido 1 – A função objetivo do problema é: 
Max Z = x1 + 2x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
Max Z = 2x1 + 8x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de 
sapato fabricada. 
Max Z = 2x1 + 8x2, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato 
consertada. 
Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de 
sapato fabricada. 
Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato 
consertada. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão, que, no 
caso, são: 
 x1: unidade de sapato consertada. 
 x2: unidade de sapato fabricada. 
O lucro por unidade de sapato fabricada é de 4,00 unidades monetárias (8,00 pelo par). 
O lucro por unidade de sapato consertado é de 2,00 unidades monetárias. Logo, a 
função objetivo é: Max Z = 2x1 + 4x2. 
3. Pedido 2 – A restrição em referente à disponibilidade de couro é: 
x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato 
consertada. 
x1 + 4x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
x1 + 4x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato 
consertada. 
3x1 + x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "A" está correta. 
 
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão. Nesse 
caso, as variáveis de decisão são: 
 x1: unidade de sapato consertada. 
 x2: unidade de sapato fabricada. 
O sapateiro tem disponível um total de 12 unidades de couro, de modo que a restrição 
será uma inequação do tipo ≤. 
O sapateiro gasta uma unidade de couro para consertar uma unidade de sapato e 4 
unidades de couro para fabricar um par de sapatos. Com isso, para fabricar uma 
unidade de sapato, o sapateiro precisa de 2 unidades de couro. Podemos afirmar, 
portanto, que a restrição referente à disponibilidade de couro para a produção ou 
conserto de sapatos é x1 + 2x2 ≤ 12. 
4. Pedido 3 – A restrição referente às horas trabalhadas é: 
3x1 + x2 ≤ 10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
3x1 + 2x2 ≤ 10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
x x13+x2≤10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
x13+2x2≤10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
3x1 + x2 ≥ 10, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato 
fabricada. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "C" está correta. 
 
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão, que são: 
 x1: unidade de sapato consertada. 
 x2: unidade de sapato fabricada. 
A jornada diária do sapateiro é de 10 horas. Logo, ele trabalha um total de 10 horas 
diárias, no máximo, e podemos concluir que a restrição será uma inequação do tipo ≤. 
O sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Logo, ele leva 
20 minutos (1/3 da hora) para consertar cada unidade de sapato. O sapateiro leva 2 
horas para fazer um par de sapatos novos. Desse modo, ele fabrica uma unidade de 
sapato por hora, levando 1 hora para fabricar cada unidade de sapato. 
Podemos afirmar, portanto, que a restrição referente às horas trabalhadas para a 
produção ou o conserto de sapatos é x13+x2≤10 
Ava 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Utilize o Método Gráfico para a solução do Programação Linear a seguir: 
 
MAX: 350X1 + 300X2 
 
Sujeito a: 
 
1X1 + 1X2 <= 200 
 
9X1 + 6X2 <= 1566 
 
12X1 + 16X2 <= 2880 
 
X1 >= 0 
 
X2 >= 0 
 
O valor de z para a solução ótima para o problema apresentado éigual a: 
Zero 
54.000 
60.900 
64.000 
66.100 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "E" está correta. 
 
 
A resposta correta é 66.100, conforme pode ser verificado na solução obtida pelo 
Método Gráfico apresentada na figura a seguir: 
 
Solução pelo método gráfico. 
2. Ao solucionar um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico, foi 
obtido o seguinte gráfico: 
Solução para 
um problema de programação linear. 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que se trata de um problema de: 
Minimização com uma solução ótima 
Maximização com uma solução ótima 
Maximização com múltiplas soluções alternativas 
x Maximização ilimitado 
Maximização inviável 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
Trata-se de um problema de maximização ilimitado. Observe que o vetor Z está 
apontando para cima – na direção oposta da origem –, o que nos mostra que este é um 
problema de maximização. 
Não há uma região de espaço de soluções delimitada pelo cruzamento das retas do 
conjunto de restrições. Dessa forma, as restrições formam um espaço aberto de 
soluções viáveis, de modo que a solução tende ao infinito, caracterizando um problema 
ilimitado. 
 
Tema 2 
Aplicações da Programação Linear 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. A fábrica XYZ produz rações para a alimentação de gado. As rações são 
elaboradas a partir da mistura de três diferentes tipos de grãos: grão 1, 2 e 3. Três 
nutrientes são considerados no produto final: o nutriente A, B e C. 
Sabe-se que o grão do tipo 1 custa R$35,00 por kg. Um quilo de grão 1 possui 
30mg de nutriente A, 10mg de nutriente B e 43mg de nutriente C. O grão do tipo 2 
custa R$23,00 por kg. Além disso, 1kg do grão 2 possui 28mg do nutriente A, 17mg 
do nutriente B e 40mg do nutriente C. O grão do tipo 3 possui apenas 70mg do 
nutriente tipo A, e 1kg deste tipo de grão custa R$78,00. 
A ração para gado deve conter, no mínimo, 1.250mg de nutriente A, 380mg do 
nutriente B e 980mg do nutriente C. 
O analista deseja determinar a composição da ração que minimize os custos de 
produção, considerando que as necessidades mínimas dos nutrientes sejam 
atendidas. Logo, é possível afirmar que: 
As variáveis de decisão que devem ser usadas na modelagem são: xa a quantidade 
de nutrientes A, xb a quantidade de nutrientes B e xc a quantidade de nutrientes C. 
A função objetivo do modelo é Máx Z=30xa+28xb+70xc, sendo xa a quantidade de 
nutrientes A, xb a quantidade de nutrientes B e xc a quantidade de nutrientes C. 
O modelo possui apenas duas restrições que garantem o suprimento mínimo da 
quantidade de nutrientes. 
As variáveis de decisão do modelo não precisam atender à condição de não 
negatividade. 
A função objetivo do modelo é Min Z= 35x1+23x2+78x3, sendo x1 = quilos de grão 
tipo 1 usado na produção de um quilo de ração, x2 = quilos de grão tipo 2 usado na 
produção de um quilo de ração, e x3 = quilos de grão tipo 3 usado na produção de um 
quilo de ração. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "E" está correta. 
 
 
Como as rações são elaboradas a partir de três diferentes tipos de grãos, temos que as 
variáveis de decisão são: 
x1 = quilos de grão tipo 1 usado na produção de um quilo de ração; 
x2 = quilos de grão tipo 2 usado na produção de um quilo de ração; 
x3 = quilos de grão tipo 3 usado na produção de um quilo de ração. 
Como se deseja minimizar o custo de produção, conhecendo o custo do quilo de cada 
tipo de grão, temos a seguinte função objetivo: 
Min Z= 35x1+23x2+78x3 
Logo, podemos afirmar que a resposta certa para o exercício é a alternativa E. Porém, 
vamos seguir na construção do modelo matemático para este problema. 
A ração deve conter, no mínimo, 1250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 980mg 
do nutriente C. Assim, teremos três restrições com relação à quantidade dos diferentes 
tipos de nutrientes. São elas: 
30x1+28x2+70x3≥1250→Nutriente A 
10x1+17x2≥380→Nutriente B 
43x1+40x3≥980→Nutriente C 
Logo, temos que o modelo para este exercício é: 
Min Z= 35x1+23x2+78x3 
Sujeito a: 
30x1+28x2+70x3≥1250 
10x1+17x2≥380 
43x1+40x3≥980 
x1,x2,x3,x4≥0 
2. Uma fábrica de eletrodomésticos está planejando seus níveis de estoque para 
as próximas quatro semanas. A loja tem capacidade máxima de estoque de 100 
geladeiras. Os dados com relação à produção máxima semanal, ao custo unitário 
de produção e à demanda semanal são apresentados na tabela a seguir. 
30x1+28x2+70x3≥1250 
10x1+17x2≥380 
43x1+40x3≥980 
x1,x2,x3,x4≥0 
Mês 1 2 3 
Custo unitário de produção (R$) 1.240,00 1.300,00 1.265,00
Demanda (unidades) 60 50 65 
Produção máxima (unidades) 100 100 100 
Dados de produção de geladeiras. Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira 
 
Sabe-se que o estoque inicial do mês é de 30 unidades e que o custo de estoque 
é equivalente a 2% do custo unitário de produção da semana. Ao desenvolver o 
modelo matemático para minimizar o custo total da fábrica no próximo mês, 
consideramos que as variáveis de decisão devem ser xi, sendo x o número de 
unidades de geladeiras a serem produzidas na semana “i”, e ei, sendo e o 
inventário inicial da semana “i”. Assim, a(s) restrição(ões) referente(s) ao estoque 
na semana 3 é(são) representada(s) pela(s) seguinte(s) equação(ões): 
x3 + e3 - 65 < 100 
e3 = e2 + x2 – 50 
e4 = e3 + x3 – 65 
x3 + e3 - 65 < 100 e e3 = e2 + x2 – 50 
x x3 + e3 - 65 < 100, e3 = e2 + x2 – 50 e e4 = e3 + x3 – 65 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "E" está correta. 
 
 
As variáveis de decisão são: 
xi = número de unidades a produzir na semana i, i=1 a 4 
ei = inventário inicial na semana i, i=1 a 4 
Conhecendo o custo unitário de produção e o custo de estoque de cada mês, 
conseguimos determinar a função objetivo para a minimização dos custos da fábrica, 
considerando o custo do estoque médio da semana(es=ei+ei+12): 
Min Z= 1.240x1+1.300x2+1.265x3+1.285x4+24,8(e1+e2)/2+26(e2+e3)/2+25,3(e3+e4)/2+ 
25,7(e4+e5)/2 
A produção de unidades de geladeira por semana deve ser, no mínimo, o suficiente para 
atender à demanda, porém não pode superar a produção máxima semanal. Logo, temos 
as seguintes restrições com relação aos níveis de produção: 
60≤x1 ≤ 100 } semana 1 
50 ≤ x2 ≤100 } semana 2 
65 ≤ x3 ≤100 } semana 3 
70 ≤ x4 ≤ 100 } semana 4 
Sabe-se também que a capacidade máxima de estoque na fábrica é de 100 geladeiras. 
Logo, o estoque final em cada semana não pode ser superior a tal capacidade máxima, 
de modo que esta restrição será do tipo ≤. Como o Estoque final = Estoque inicial + 
produção - unidades vendidas, temos: 
x1 + e1 - 60 < 100 } semana 1 
x2 + e2 - 50 < 100 } semana 2 
x3 + e3 - 65 < 100 } semana 3 
x4 + e4 - 70 < 100 } semana 4 
Ainda em relação ao estoque, é necessário o balanço do inventário, que é representado 
pelas seguintes restrições: 
e1 = 30 
e2 = e1 + x1 – 60 
e3 = e2 + x2 - 50 
e4 = e3 + x3 - 65 
e5 = e4 + x4 - 70 
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema de planejamento da 
produção dinâmico é: 
Min Z= 1.240x1+1.300x2+1.265x3+1.285x4+24,8(e1+e2)/2+26(e2+e3)/2+25,3(e3+e4)/2+ 
25,7(e4+e5)/2 
Sujeito a: 
60≤x1 ≤ 100 } semana 1 
50 ≤ x2 ≤100 } semana 2 
65 ≤ x3 ≤100 } semana 3 
70 ≤ x4 ≤ 100 } semana 4 
x1 + e1 - 60 < 100 } semana 1 
x2 + e2 - 50 < 100 } semana 2 
x3 + e3 - 65 < 100 } semana 3 
x4 + e4 - 70 < 100 } semana 4 
e1 = 30 
e2 = e1 + x1 – 60 
e3 = e2 + x2 - 50 
e4 = e3 + x3 - 65 
e5 = e4 + x4 - 70 
Logo, as equações que representam as restrições referentes ao estoque na semana 3 
são: 
x3 + e3 - 65 < 100 } semana 3 
e3 = e2 + x2 - 50 
e4 = e3 + x3 – 65 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Uma fábrica de bebidas tem três depósitos (O1, O2 e O3) na cidade do Rio de 
Janeiro que suprem duas lojas (D1 e D2). As distâncias, bem como as quantidades 
ofertadas de cada depósito e a demanda de cada loja, são apresentadas na tabela 
a seguir: 
 
Depósitos Distância 
Mercados 
D1 D2 
O1 15 35 
O2 43 27 
O3 6 38 
Demandas 150 200 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira 
 
Afábrica deseja planejar sua distribuição de modo a minimizar a distância total 
de transporte. Assim, em relação ao modelo matemático que representa este 
problema, é possível afirmar que: 
Deve possuir três variáveis de decisão. 
Possui três inequações que representam as restrições com relação à demanda a 
ser atendida. 
Possui duas inequações que representam as restrições com relação à capacidade 
de suprimento. 
As restrições quanto à demanda devem ser do tipo ≤. 
As restrições quanto à capacidade de suprimento devem ser do tipo ≤. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "E" está correta. 
 
 
As variáveis de decisão a serem adotadas neste modelo matemático são: 
X11= quantidade de produtos transportados de O1 para D1; 
X12= quantidade de produtos transportados de O1 para D2; 
X21= quantidade de produtos transportados de O2 para D1; 
X22= quantidade de produtos transportados de O2 para D2; 
X31= quantidade de produtos transportados de O3 para D1; 
X32= quantidade de produtos transportados de O3 para D2. 
Logo, o modelo matemático deste problema é: 
Minz Z=15X11+35X12+43X21+27X22+6X31+38X32 
Sujeito a: 
X11+X21 +X31 ≥150 
X12+X22 +X321 ≥200 
X21+X22 ≤90 
X11+X12≤60 [As restrições de capacidade são do tipo ≤.] 
X31+X32 ≤200 
X11, X12, X21, X22, X31, X32≥0 
2. Uma empresa de bebidas tem três fábricas (O1, O2 e O3) e um centro de 
distribuição (C1) na cidade do Rio de Janeiro que suprem duas lojas (D1 e D2). As 
distâncias, bem como as quantidades ofertadas de cada depósito e a demanda de 
cada loja, são apresentadas na tabela a seguir: 
 
Fábricas e Centro de 
Distribuição 
 Distância 
 Mercados e Centro de Distribuição 
 D1 D2 C1 
 01 15 35 11 
 02 43 27 21 
 03 6 38 15 
 C1 10 20 - 
 Demandas 150 200 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira 
 
 
A fábrica deseja planejar sua distribuição de modo a minimizar a distância total de 
transporte. Para desenvolver o modelo matemático que representa este problema, 
consideramos a variável de decisão xij, que representa o número de unidades do produto 
específico despachadas do ponto de suprimento ou do centro de distribuição i para o 
ponto de demanda ou centro de distribuição j. Assim, é possível afirmar que: 
Deve possuir 3 variáveis de decisão. 
Deve possuir 6 variáveis de decisão. 
Deve possuir 8 variáveis de decisão. 
X Deve possuir 11 variáveis de decisão. 
Deve possuir 12 variáveis de decisão. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
As variáveis de decisão a serem adotadas neste modelo matemático são: 
X11= quantidade de produtos transportados de O1 para D1; 
X12= quantidade de produtos transportados de O1 para D2; 
X13= quantidade de produtos transportados de O1 para C1; 
X21= quantidade de produtos transportados de O2 para D1; 
X22= quantidade de produtos transportados de O2 para D2; 
X23= quantidade de produtos transportados de O2 para C1; 
X31= quantidade de produtos transportados de O3 para D1; 
X32= quantidade de produtos transportados de O3 para D2; 
X33= quantidade de produtos transportados de O3 para C1; 
X41= quantidade de produtos transportados de C1 para D1; 
X42= quantidade de produtos transportados de C1 para D2. 
Assim, temos 11 variáveis de decisão e a função objetivo para o modelo deste problema 
é: 
Minz Z=15X11+35X12+11X13 +43X21+27X22+21X23+6X31+38X32+15X33+10X41+20X42 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Um treinador necessita formar um time de nadadores para competir em uma 
prova olímpica de 400 metros medley. Os nadadores apresentam as seguintes 
médias de tempo em cada estilo: 
 
Nadador Tempo (s) / 100m 
Livre Peito Golfinho 
1 54 54 51 
2 51 57 52 
3 50 53 54 
4 56 54 55 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira 
 
O treinador deseja designar os nadadores para os diferentes estilos, a fim de 
obter o menor tempo possível para completar o medley. Sobre o modelo 
matemático que representa este problema, é possível afirmar que: 
As variáveis de decisão que devem ser usadas na modelagem são: x1 que 
representa o nadador alocado ao nado livre, x2 que representa o nadador designado 
para o peito, x3 que representa o nadador alocado para o golfinho, e x4 que indica o 
nadador alocado para o estilo de costas. 
As variáveis de decisão que devem ser usadas na modelagem são: x1 que 
representa o estilo designado para o nadador 1, x2 que representa o estilo designado 
para o nadador 2, x3 que representa estilo designado para o nadador 3, e x4 que indica 
o estilo alocado para o nadador 4. 
As variáveis de decisão usadas no modelo devem ser inteiras, porém não 
precisam ser binárias. 
O modelo matemático possui 16 variáveis de decisão, que são variáveis binárias. 
Não é possível tratar este problema como um problema de alocação, pois o 
número de tarefas (estilos) a serem alocadas é igual ao número de designados 
(nadadores). 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
Neste problema de alocação, a variável de decisão xij recebe valor igual a “1” se 
decidirmos que o estilo “i” será alocado ao designado “j”, sendo “0” se decidirmos o 
contrário. De tal forma, temos: 
X11= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário; 
X12= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 1; zero, caso 
contrário; 
X13 =1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário; 
X14=1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário; 
X21= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário; 
X22= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário; 
X23= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário; 
X24= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário; 
X31= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário; 
X32= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário; 
.X33= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário; 
X34= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário; 
X41= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário; 
X42= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário; 
X43= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário; 
X44= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
Logo, temos 16 variáveis de decisão binárias, o que faz com que 
a alternativa D seja a resposta correta. 
O modelo matemático para este problema da alocação é: 
Min Z= 
54X11+54X12+51X13+53X14+51X21+57X22+52X23+52X24+50X31+53X32+54X33+56X34+56X41+54
X42+55X43+53X44 
Sujeito a: 
X11+X12+X13+X14=1 
X21+X22+X23+X24=1 Cada nadador desempenha apenas um estilo. 
X31+X32+X33+X34=1 
X41+X42+X43+X44=1 
 
 
X11+X21+X31+X41=1 
X13+X23+X33+X43=1 Cada estilo é alocado para apenas um nadador. 
X12+X22+X32+X42=1 
X14+X24+X34+X44=1 
 
 
X11, X12, X13, X14, X21, X22, X23, X24, X31, X32, X33, X34, X41, X42, X43, X44 ꞓ {0,1} 
2. Um treinador necessita formar um time de nadadores para competir em uma 
prova olímpica de 400 metros medley. Os nadadores apresentam as seguintes 
médias de tempo em cada estilo: 
 
Nadador Tempo (s) / 100m 
Livre Peito Golfinho 
1 54 54 51 
2 51 57 52 
3 50 53 54 
4 56 54 55 
 
O treinador deseja designar os nadadores para os diferentes estilos, a fim de 
obter o menor tempo possível para completar o medley. Considere que a 
variável de decisão do modelo matemático para este problema seja xij, que 
recebe o valor igual a “1” se decidirmos que o estilo “i” será alocado ao 
designado “j”, sendo “0” se decidirmos o contrário. Logo, é possível afirmar 
que: 
A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o estilo 1 será desempenhado por 
apenas um nadador. 
A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o nadador 1 desempenha apenas um 
estilo. 
A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o estilo 1 pode ser desempenhado 
por todos os nadadores. 
A equação X11+X21+X31+X41=1 restringe que o nadador1 pode desempenhar todos 
os estilos. 
A equação X11+X21+X31+X41=1 não é uma restrição do modelo. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o estilo 1 será desempenhado por apenas 
um nadador, pois determina que apenas uma das variáveis X11, X12, X13 e X14 pode 
receber o valor 1. As demais passam a ser zero, para que a soma seja igual a 1. 
 
Tema 3 
Otimização em Sistemas de Produção 
 
MÃO NA MASSA 
1. Uma cidade do interior paulista é atendida por uma empresa de transportes 
urbanos que transporta, em média, 30.000 pessoas por dia. A finalidade do caso 
é determinar a escala dos motoristas de forma a atender as necessidades dos 
usuários e que também leve em conta um regime de trabalho razoável. As 
necessidades de motoristas, por turno, estão nas tabelas que se seguem: 
Turnos 
1 
2 
3 
Necessidade no sábado 
Turnos Número de motoristas 
1 26 
2 22 
3 16 
Necessidade no domingo 
Turnos Número de motoristas 
1 16 
2 16 
3 16 
Necessidade de 2ª a 6ª feira 
Turnos Número de motoristas 
1 26 
2 32 
3 18 
Considerando que os motoristas não podem trabalhar mais do que 6 horas por 
dia e têm descanso de 2 dias consecutivos por semana, formule e resolva o 
problema objetivando minimizar a quantidade de motoristas que a empresa deve 
contratar. Desconsidere a possibilidade de o funcionário trocar de turno. 
Quantos funcionários a empresa deverá contratar? 
100 
120 
80 
90 
75 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
O primeiro passo é montar a escala de trabalho para os três turnos, na qual 1 significa 
que o funcionário está trabalhando e 0, de folga. 
 seg ter qua qui sex 
6h a 12h seg 1 1 1 1 1 
ter 0 1 1 1 1 
qua 0 0 1 1 1 
qui 1 0 0 1 1 
sex 1 1 0 0 1 
sáb 1 1 1 0 0 
dom 1 1 1 1 0 
 seg ter qua qui sex 
12h a 18h seg 1 1 1 1 1 
ter 0 1 1 1 1 
qua 0 0 1 1 1 
qui 1 0 0 1 1 
sex 1 1 0 0 1 
 seg ter qua qui sex 
sáb 1 1 1 0 0 
dom 1 1 1 1 0 
 seg ter qua qui sex 
18h a 24h seg 1 1 1 1 1 
ter 0 1 1 1 1 
qua 0 0 1 1 1 
qui 1 0 0 1 1 
sex 1 1 0 0 1 
sáb 1 1 1 0 0 
dom 1 1 1 1 0 
Vamos agora montar a planilha para a solução do problema: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
A formulação será: 
 
L4:L10 → número de pessoas a serem contratadas para o 1º turno 
L13:L19 → número de pessoas a serem contratadas para o 2º turno 
L22:L28 → número de pessoas a serem contratadas para o 3º turno 
R5 → =SOMA(L4:L10)+SOMA(L13:L19)+SOMA(L22:L28) → função objetivo 
E12 → =SOMARPRODUTO(E4:E10;$L$4:$L$10) → número de pessoas trabalhando 
na segunda no 1º turno (arrastar até K12) 
E21 → =SOMARPRODUTO(E13:E19;$L$13:$L$19) → número de pessoas 
trabalhando na segunda no 2º turno (arrastar até K19) 
E30 → =SOMARPRODUTO(E22:E28;$L$22:$L$28) → número de pessoas 
trabalhando na segunda no 3º turno (arrastar até K30) 
 
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $R$5 
Para → Min 
Alterando células variáveis → $L$4:$L$10;$L$13:$L$19;$L$22:$L$28 
Restrição 1 → $L$4:$L$10 = número inteiro 
Restrição 2 → $L$13:$L$19 = número inteiro 
Restrição 3 → $L$22:$L$28 = número inteiro 
Restrição 4 → $E$12:$K$12 ≥ $E$11:$K$11 
Restrição 5 → $E$21:$K$21 ≥ $E$20:$K$20 
Restrição 6 → $E$30:$K$30 ≥ $E$29:$K$29 
Método de solução → LP Simplex 
 
 Captura de tela do Software Excel 
E a solução será: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
2. A YDVQS Motores recebeu recentemente uma encomenda para entregar três 
modelos diferentes de motores. Cada motor necessita de determinado número 
de horas de trabalho nos setores de montagem e de acabamento. Para atender a 
encomenda, a YDVQS pode também terceirizar parte de sua produção. 
 
A tabela a seguir resume as informações sobre a demanda de cada modelo de 
motor, o tempo necessário para montar uma unidade de cada modelo, a 
quantidade de horas disponíveis no setor de montagem, o tempo necessário 
para dar acabamento a uma unidade de cada modelo, a quantidade de horas 
disponíveis no setor de acabamento, o custo de produção e o custo de 
terceirização de uma unidade de cada modelo. Qual será o custo total da 
estratégia ótima a ser adotada pela empresa de forma a atender os pedidos? 
Modelo 1 2 
Demanda 3.000 2.500 500 
Montagem 1 2 0,5 
Acabamento 2,5 1 4 
Custo de produção R$ 50,00 R$ 90,00 R$ 120,00
Terceirizado R$ 65,00 R$ 92,00 R$ 140,00
R$ 457.000,00 
X R$ 439.000,00 
R$ 435.000,00 
R$ 495.000,00 
R$ 385.000,00 
Comentário 
A alternativa "B" está correta. 
Vamos montar a planilha para solucionar pelo Solver. 
 
 Captura de tela do Software Excel 
A formulação será: 
Célula Fórmula Copiar até 
D12 =SOMA(D10:D11) F12 Total produzido por tipo
D17 =SOMARPRODUTO(D10:F10;D5:F5) Horas gastas na montagem
D18 =SOMARPRODUTO(D10:F10;D6:F6) Horas gastas no acabamento
D14 =SOMARPRODUTO(D10:F11;D7:F8) Custo total 
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $D$14 
Para → Min 
Alterando células variáveis → $D$10:$F$11 
Restrição 1 → $D$10:$F$10 = número inteiro 
Restrição 2 → $D$11:$F$11 = número inteiro 
Restrição 3 → $D$17:$D$18 ≤ $G$5:$G$6 
Restrição 4 → $D$12:$F$12 = $D$4:$F$4 
Método de solução → LP Simplex 
 
 Captura de tela do Software Excel 
E obtemos a seguinte solução: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
Observe que a demanda foi atendida e as restrições de horas da montagem e do 
acabamento foram respeitadas. O custo total será de R$439.000,00. 
3. Considere o seguinte problema de programação inteira: 
Max Z = 6x1 + 11x2 
Sujeito a: 
5x1 + 3x2 ≤ 17 
x1, x2 ≥ 0 e inteiro 
A solução ótima será obtida para 
X x1 = 0 e x2 = 5. 
x1 = 3 e x2 = 0. 
x1 = 1 e x2 = 4. 
x1 = 2 e x2 = 3. 
x1 = 0 e x2 = 3. 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
Se x1 = 0, temos que x2 = 5,67. Como a solução não é inteira, vamos subdividir em 
dois submodelos, um com x2 ≤ 5 e outro com x2 ≤ 6. 
Submodelo A Submodelo B
Max Z = 6x1 + 11x2 Max Z = 6x1 + 11x2 
Sujeito a: Sujeito a: 
5x1 + 3x2 ≤ 17 5x1 + 3x2 ≤ 17 
x2 ≤ 5 x2 ≤ 6 
x1, x2 ≥ 0 e inteiro x1, x2 ≥ 0 e inteiro 
Podemos observar que: 
 A solução encontrada para o PLA é dada por x1 = 0,4 e x2 = 5, que 
fornece Z = 57,4. 
 O PLB não tem solução. Observando as restrições, não há valor de x2 que as 
satisfaça simultaneamente, visto que x1 não pode ser negativo e o mínimo 
valor para x2 é 6 (restrição x2 ≥ 6). 
 A restrição 5x1 + 3x2 ≤ 17 não aceita valores de x2 maiores que 6. 
O PLB é eliminado, porque não tem solução, e a solução encontrada para o PLA ainda 
não é viável, porque x1 não é inteiro. Então, seguimos a resolução do problema com 
o PLA, lembrando que temos novamente uma variável com valor decimal. Dessa vez, 
temos que pensar em 0 ≤ x1 ≤ 1 e, a partir disso, criar dois PLs, ramificando mais uma 
vez nosso problema. 
Submodelo C Submodelo D
Max Z = 6x1 + 11x2 Max Z = 6x1 + 11x2 
Sujeito a: Sujeito a: 
5x1 + 3x2 ≤ 17 5x1 + 3x2 ≤ 17 
x2 ≤ 5 x2 ≤ 5 
x1 ≤ 0 x1 ≥ 1 
x1, x2 ≥ 0 e inteiro x1, x2 ≥ 0 e inteiro 
Analisando as restrições do PLC, percebemos que as restrições x1 ≥ 0 e x1 ≤ 0 só 
aceitam uma solução: x1 = 0. Em consequência disso, usando a 
restrição 5x1 + 3x2 ≤ 17, temos x2 = 5, que é o máximo valor aceito pela 
restrição x2 ≤ 5. Assim, para o PLC temos: x1 = 0, x2 = 5 e Z = 6 x 0 + 11 x 5 = 55. 
4. Uma empresa de construção civil compra mensalmente tijolos em paletes e 
prevê, para os próximos 6 meses, a procura média de 50, 30, 40, 20, 40 e 20 paletes, 
respectivamente. O fornecedor satisfaz, em prazo máximo de 48 horas, 
encomendas tipificadas de 10, 20, 30, 40 ou 50 paletes com custo unitário de 3u.m. 
(unidades monetárias) e oferece os seguintes descontos de quantidade: 
Encomenda (paletes) Desconto na aquisição (u.m.)
10 3% 
20 5% 
30 10% 
40 20% 
50 30% 
Mensalmente, a diferença entre o estoque e a procura não deve exceder 40 
paletes por questões de armazenagem. O custo de encomenda é de 12u.m. O 
custo de estoque por mês é de 0.2u.m./palete incidindo sobre o estoque no final 
de cadamês. Admitindo que a gestão se inicia com estoque nulo e se pretende 
que também termine com estoque nulo no final do sexto mês, qual o custo total 
da compra mediante a política ótima de gestão do estoque? 
530 
280 
X 577 
384 
306306 
Comentário 
A alternativa "C" está correta. 
Vamos montar a planilha para utilizar o Solver. 
 
 Captura de tela do Software Excel 
Para solucionar problemas desse tipo, temos que fazer o balanço dos estoques: 
Estoque Final = Estoque Inicial + Compras - vendas 
 
Lembrando que o Estoque Inicial do mês em análise é o Estoque Final do mês 
anterior. 
Vamos às fórmulas: 
Célula Fórmula 
C9 =C6+C7-C8 
D9 =D6+D7-D8 
C17 =SE(C7=0;0;C21/C7) 
C20 =SE(C7=0;0;12) 
C21 =SE(C7>=$H$14;$H$16*C7;SE(C7>=$G$14;$G$16* 
C7;SE(C7>=$F$14;$F$16*C7;SE(C7>=$E$14;$E$16*C7;SE 
(C7>=$D$14*C7;$D$16*C7;$C$16*C7))))) 
C22 =C9*0,2 
C23 =SOMA(C20:C22) 
I20 =SOMA(C20:H20) 
C25 =SOMA(C20:H22) 
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $C$25 
Para → Min 
Alterando células variáveis → $C$7:$H$7 
Restrição 1 → $C$7:$H$7= número inteiro 
Restrição 2 → H9 = 0 
Restrição 3 → $C$9:$H$9 ≥ 0 
Método de solução → GRG Não Linear 
 
 Captura de tela do Software Excel 
Obtendo como solução: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
5. A YDVQS Trading Ltda. possui um armazém com capacidade de 
armazenamento de 300.000 toneladas de grãos. No início do mês de janeiro, a 
YDVQS tinha 17.000 toneladas de grãos de trigo armazenadas. Em cada mês, é 
possível comprar ou vender trigo a preços prefixados pelo governo em qualquer 
quantidade desejada. Por questões fiscais, só é possível vender em cada mês o 
que estava estocado no início deste mês, ou seja, no fim do mês anterior. 
Mês Preço de venda 
Janeiro R$ 3,00 R$ 5,00 
Fevereiro R$ 4,00 R$ 7,00 
Março R$ 8,00 R$ 2,00 
Abril R$ 2,00 R$ 5,00 
Maio R$ 4,00 R$ 3,00 
Junho R$ 5,00 R$ 3,00 
Considerando que a YDVQS Trading vai planejar suas operações de compra e 
venda nos próximos seis meses de forma a maximizar o lucro, qual será o valor 
do lucro? 
51.000 
535.000 
874.000 
X 951.000 
1.058.000 
Comentário 
A alternativa "D" está correta. 
Vamos, inicialmente, montar a planilha com os dados apresentados. 
 
 Captura de tela do Software Excel 
A formulação será: 
Célula Fórmula 
E4 =G3 
G4 =G3+F4-E4 
C11 =SOMARPRODUTO(C4:C9;E4:E9) 
D11 =SOMARPRODUTO(D4:D9;F4:F9) 
C13 =C11-D11 
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $C$13 
Para → Max 
Alterando células variáveis → $F$4:$F$9 
Restrição 1 → $G$4:$G$9 ≤ $H$4:$H$9 
Método de solução → LP Simplex 
 
 Captura de tela do Software Excel 
Obtendo-se: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
6. O administrador de um hospital deseja determinar a escala dos enfermeiros. 
Para isso, ele organiza um sistema de plantão dividindo o dia em 6 períodos de 4 
horas. A tabela a seguir mostra o número mínimo de enfermeiros que devem estar 
presentes em cada horário. 
Horário 8h-12h 12h-16h 16h-20h 20h
Número de enfermeiros 51 58 62 41 
Cada enfermeiro cumpre um plantão normal de 8 horas, que pode começar apenas 
no início de um desses períodos. No horário de 8h a 20h, o enfermeiro recebe 
R$100,00 por hora de trabalho e R$125,00 por hora no horário noturno, de 20h a 
8h. Como o administrador deve escalar os enfermeiros de forma a minimizar o 
custo com a mão de obra? 
X R$125.200 
R$132.800 
R$175.700 
R$148.300 
R$158.900 
R$ 158.900 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. A Companhia Brasileira de Café, presente em três plantações bem localizadas, 
tritura os grãos de café até se tornarem pó. Semanalmente, o café em pó é 
embarcado com destino a quatro armazéns em diferentes cidades, para 
torrefação, distribuição e exportação. O custo de transporte em unidades 
monetárias (u.m.) de uma tonelada de café da plantação i para o armazém j é 
apresentado a seguir. 
 
Plantações 
Armazéns 1 2 
1 9 8 
2 7 6 
3 5 4 
As capacidades semanais das plantações 1, 2 e 3 são 40, 60 e 80 toneladas 
respectivamente, enquanto as necessidades dos armazéns 1, 2, 3 e 4 são 50, 40, 
30 e 60 toneladas respectivamente. O objetivo da companhia consiste em 
determinar as quantidades de café que devem ser transportadas de cada uma das 
plantações para cada um dos armazéns minimizando o custo total de transporte. 
A parte da função objetivo sobre o Armazém 1 será igual a: 
X 9x11 + 8x12 + 3x13 + 4x14 
9x11 + 7x21 + 3x13 + 4x31 
7x11 + 6x12 + 2x13 + x14 
8x11 + 7x21 + 5x13 
5x11 + 4x21 + 7x13 + 9x31 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "A" está correta. 
 
 
Como estamos procurando minimizar o custo de transporte, o armazém 1 contribuirá 
com as quantidades enviadas multiplicadas pelo custo do envio: 
9x11 + 8x12 + 3x13 + 4x14 
2. Métodos de resolução utilizam modelos matemáticos para representar 
problemas e auxiliar no processo de tomada de decisão. O estudo de um problema 
por meio da pesquisa operacional pode ser dividido em fases. Sobre tais fases é 
correto afirmar que: 
A primeira etapa é a resolução de um modelo matemático para qualificar o problema 
em questão. 
Variações no resultado do modelo podem ser realizadas para adequá-lo às 
modificações de última hora. 
Os resultados do modelo podem ser implantados diretamente no problema real, sem 
passarem por qualquer validação. 
Uma das fases do estudo é a formulação de um modelo matemático baseado no 
escopo do problema a ser resolvido. 
A validação de um modelo matemático não é uma etapa do processo de solução de 
um problema. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
A alternativa A está errada, pois a primeira etapa não é a resolução do modelo 
matemático e sim a sua elaboração. A alternativa B também está errada, porque um 
modelo matemático é para solucionar um problema e qualquer modificação resultará em 
um novo modelo matemático. Todo modelo tem que ser validado para que tenha 
aplicação efetiva e, por isso, a alternativa C está errada. A alternativa E está errada pois 
a escolha e validação de um modelo matemático é parte do processo de solução de um 
problema. A alternativa D é a correta, visto que o escopo define o que se deseja. 
 
MÃO NA MASSA 
1. Encontre a solução viável básica inicial para o problema de transporte, 
apresentado a seguir, usando o método do Canto Noroeste. 
De 
Para 
DisponívelA B C 
I 50 30 220 1 
II 90 45 170 3 
III 250 200 50 4 
Requerido 4 2 2 
930 
820 
680 
530 
490 
Comentário 
A alternativa "B" está correta. 
Etapa 1 
De 
Para 
A B C 
I 1 1 – 1 = 0 
II 3 
III 4 
Requerido 4 – 1 = 3 2 2 
Etapa 2 
De 
Para 
A B C 
I 1 1 – 1 = 0 
De 
Para 
A B C 
II 3 3 – 3 = 0 
III 4 
Requerido 4 – 4 = 0 2 2 
Etapa 3 
De 
Para 
A B C 
I 1 1 – 1 = 0
II 3 3 – 3 = 0
III 2 4 – 2 = 2
Requerido 4 – 4 = 0 2 – 2 = 0 2 
Etapa 4 
De 
Para 
A B C 
I 1 1 
II 3 3 
III 2 2 4 
Requerido 4 – 4 = 0 2 – 2 = 0 2 – 2 = 0 
O custo será: 1 x 50 + 3 x 90 + 2 x 200 + 2 x 50 = 820 
2. Um fabricante de batatas fritas possui três fábricas e quatro depósitos. O custo 
de transporte das fábricas para os armazéns, a disponibilidade da fábrica e os 
requisitos dos armazéns são apresentados a seguir: 
Fábrica 
Depósitos 
D1 D2 D3 D4 
F1 7 4 3 5 235
F2 6 8 7 4 280
F3 5 6 9 10 110
Armazenagem 125 160 110 230 
A solução utilizando o método do Canto Noroeste dará um custo de transporte 
igual a 
3.075 
3.584 
4.065 
5.038 
6.042 
Comentário 
A alternativa "C" está correta. 
Etapa 1 
Fábrica 
Depósitos 
D1 D2 D3 D4 
F1 125 235 – 125 = 110
F2 280 
Fábrica 
Depósitos 
D1 D2 D3 D4 
F3 110 
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 110 230 
Etapa 2 
Fábrica 
Depósitos 
D1 D2 D3 D4 
F1 125 110 
F2 
F3 
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 – 110 = 50 110 230 
Etapa 3 
Fábrica 
Depósitos 
D1 D2 D3 D4 
F1 125 110 235 
F2 280 
F3 110
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 – 160 = 0 110 230 
Etapa4 
Fábrica 
Depósitos 
D1 D2 D3 D4 
F1 125 110 
F2 50 100 
F3 
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 – 160 = 0 110 – 110 = 0 230 
Etapa 5 
Fábrica 
Depósitos 
D1 D2 D3 D4 
F1 125 110 
F2 50 100 120 
F3 
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 – 160 = 0 110 – 110 = 0 230 -120 = 110 
Etapa 6 
Fábrica 
Depósitos 
D1 D2 D3 D4 
F1 125 110 
F2 50 100 120 
F3 110 
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 – 160 = 0 110 – 110 = 0 230 -230 = 0 
O custo total será: 125 x 7 + 110 x 4 + 50 x 8 + 110 x 7 + 120 x 4 + 110 x 10 = 4.065 
3. A YDVQS Co. produz um único produto em três fábricas para quatro clientes. 
As três fábricas vão produzir 60, 80 e 40 unidades, respectivamente, durante o 
próximo período. A firma fez um compromisso de vender 40 unidades ao cliente 
1, 60 unidades ao cliente 2, e pelo menos 20 unidades para o cliente 3. Ambos os 
clientes 3 e 4 também desejam comprar o máximo possível das unidades 
restantes. O lucro associado ao envio de uma unidade da planta i para venda ao 
cliente j é dado pela seguinte tabela: 
 
Cliente 
 1 2 
Fábrica 1 800 700 500 
2 500 200 100 
3 600 400 300 
A administração deseja saber quantas unidades vender aos clientes 3 e 4 e 
quantas unidades enviar de cada fábrica para cada cliente para maximizar o lucro. 
O lucro esperado será igual a 
50.000 
70.000 
80.000 
X 90.000 
100.000 
Comentário 
A alternativa "D" está correta. 
Montando a planilha: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
O Solver será: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
Obtendo-se a seguinte solução: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
4. Considere o problema de transporte com a seguinte tabela de parâmetros. 
 
Destino 
1 2 4 
Origem 1 15 9 13 7 
2 11 -- 17 5 
3 9 11 9 3 
Demanda 7 3 5 
Os valores da origem e destino referem-se ao lucro gerado pela entrega. 
Utilizando o método do Canto Noroeste, obteremos o seguinte lucro: 
X 223 
348 
187 
245 
284 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
Etapa 1 
 
Destino 
Capacidade1 2 4 
Origem 1 7 7 – 7 = 0 
2 5 
3 3 
Demanda 7 – 7 = 0 3 5 
Etapa 2 
 
Destino 
1 2 4 
Origem 1 7 7 – 7 = 0 
2 5 
3 3 3 – 3 = 0 
Demanda 7 – 7 = 0 3 – 3 = 0 5 
Etapa 3 
 
Destino 
1 2 4 
Origem 1 7 7 – 7 = 0
2 5 5 - 5 = 0
3 3 3 – 3 = 0
Demanda 7 – 7 = 0 3 – 3 = 0 5 - 5 = 0 
O lucro será: 7 x 15 + 3 x 11 + 5 x 17 = 223 
5. Uma empreiteira, Susan Meyer, tem que transportar cascalho para três 
empreendimentos que está construindo. Ela pode comprar até 18 toneladas em 
uma mina de cascalho no norte da cidade e 14 toneladas de uma no sul. Ela 
precisa de 10, 5 e 10 toneladas nos locais 1, 2 e 3, respectivamente. O preço de 
compra por tonelada em cada mina e o custo de transporte por tonelada são 
fornecidos na tabela a seguir. 
 
Custo por tonelada transportada 
1 2 3 
Norte 100 190 160 300
Sul 180 110 140 420
Necessidade 10 5 10 
Qual será o custo mínimo desse transporte? 
3750 
3550 
7500 
X 11050 
12050 
Comentário 
A alternativa "D" está correta. 
Vamos montar a planilha. 
 
 Captura de tela do Software Excel 
O Solver será: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
A solução: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
6. A Indústria YDVQS fabrica um único produto em quatro localidades, Curitiba, 
Campinas, Itabuna e Campos. O custo unitário de produção de cada localidade é 
respectivamente $35,50, $37,50, $39,00 e $36,25, e a capacidade anual de 
produção de cada planta é 18.000, 15.000, 25.000 e 20.000 unidades. A empresa 
está planejando estabelecer sete centros de distribuição para atender a sua 
demanda. O custo unitário de transporte entre cada um dos locais é apresentado 
na tabela a seguir, bem como a demanda de cada região: 
Custo unitário de transporte para o centro de distribuição 
Fábrica SP RJ SA RE BH 
Curitiba $ 2,50 $ 2,75 $ 1,75 $ 2,00 $ 2,10 
Campinas $ 1,85 $ 1,90 $ 1,50 $ 1,60 $ 1,00 
Itabuna $ 2,30 $ 2,25 $ 1,85 $ 1,25 $ 1,50 
Campos $ 1,90 $ 0,90 $ 1,60 $ 1,75 $ 2,00 
Demanda 8.500 14.500 13.500 12.600 18.000 
A empresa deseja determinar como atender a demanda de cada local com o menor 
custo de fabricação e de transporte, mas como a demanda geral excede a 
capacidade de fabricação, deseja ter certeza de que pelo menos 80% das ordens 
recebidas por cada centro de distribuição sejam atendidas. Como você 
solucionaria este problema? Qual será o custo mínimo de transporte? 
X 3.011.360,00 
2.901.500,00 
2.596.620,00 
3.128.540,00 
2.420.480,00 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Há um problema de distribuição de produtos de uma origem para destinos 
diferentes, apresentado na tabela a seguir: 
Origem 
Destinos 
1 2 3 
1 65 45 8 200 
2 30 10 15 100 
3 12 40 55 400 
Demanda 200 100 300 
A solução inicial pelo método do Canto Noroeste será igual à: 
da origem 1 para o destino 1, 65. 
da origem 1 para o destino 1, 200. 
da origem 1 para o destino 3, 300. 
da origem 2 para o destino 2, 100. 
da origem 3 para o destino 3, 200. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "B" está correta. 
 
 
O método do Canto Noroeste tem sua solução inicial começando pelo canto superior 
da esquerda da matriz, alocando o máximo possível da demanda ou da capacidade, 
portanto, devemos alocar 200 unidades da origem 1 deslocando para o destino 1. 
2. Considerando o problema de distribuição de produtos de uma origem para 
destinos apresentado na tabela a seguir, qual será o custo total de transporte? 
Origem 
Destinos 
1 2 3 
1 65 45 8 200 
2 30 10 15 100 
3 12 40 55 400 
Demanda 200 100 300 
9500 
8700 
10300 
6600 
4800 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "A" está correta. 
 
 
Resolvendo com auxílio do Solver, temos: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
O Solver será: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
Obtendo-se: 
 
 Captura de tela do Software Excel 
 
Disciplina 
Otimização em Sistemas Logísticos 
 
Tema 4 
Otimização em Sistemas de Distribuição 
 
MÃO NA MASSA 
1. Considere o tableau de transporte a seguir. 
 
 
Uma solução básica inicial viável usando o método do canto noroeste será 
alocar 
140 unidades. 
100 unidades. 
80 unidades. 
120 unidades. 
90 unidades. 
Comentário 
A alternativa "B" está correta. 
Solução: 
O método do canto noroeste consiste em determinar a primeira variável básica sempre 
em x11, respeitando o limitador da linha 1 e da coluna 1, então: 
2. Considere o problema de transporte a seguir. 
 
 
A variável básica inicial pelo método do menor custo será 
De origem 1 para destino 2 transportando 2.000 unidades. 
De origem 1 para destino 3 transportando 2.000 unidades. 
De origem 2 para destino 1 transportando 1.000 unidades. 
De origem 2 para destino 2 transportando 5.000 unidades. 
X De origem 2 para destino 2 transportando 3.500 unidades. 
Comentário 
A alternativa "E" está correta. 
Solução: 
Montando o tableau de transporte: 
 
A variável básica será a de menor custo, portanto, de origem 2 para o destino 2, 
transportando 3.500 unidades. 
3. Uma empresa de distribuição pretende definir onde localizar os armazéns a 
partir dos quais serão abastecidos cinco clientes. Para tal, selecionou quatro 
potenciais localizações (A, B, C, D). Na tabela, são apresentados o custo de 
abastecimento de cada cliente a partir de cada armazém, as capacidades de 
entrega de cada armazém e a demanda máxima de cada cliente. Qual será o custo 
mínimo de transporte? 
 
 
148.250 
284.400 
X 232.600 
187.420 
302.900 
Comentário 
A alternativa "C" está correta. 
RESOLVENDO UM PROBLEMA DE TRANSPORTE 
4. A Tropicsun produz e distribui sucos cítricos de suas plantações localizadas 
no centro da Flórida, em Mt. Dora, Eustis e Clermont, tendo áreas plantadas de 
275.000, 400.000 e 300.000 alqueires, respectivamente. Os sucos são processados 
em suas plantas industriais localizadas em Ocala, Orlando e Leesburg, as quais 
têm as seguintes capacidades de processamento:200.000, 600.000 e 225.000, 
respectivamente. A Tropicsun fechou um contrato com uma transportadora que 
apresentou os seguintes custos por milha transportada: 
 
 
A Tropicsun deseja determinar a quantidade a ser plantada em alqueires para 
processamento em suas unidades industriais. Sabendo que cada alqueire 
plantado gera uma receita média de US$10 e tem um custo de processamento de 
US$6, qual será o lucro pelo método do canto noroeste? 
X US$1.217.500 
US$2.682.500 
US$1.600.000 
US$4.427.500 
US$3.410.500 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
Solução: 
Montando o tableau de transporte: 
Com o método do canto noroeste, temos a primeira variável básica como sendo de Mt. 
Dora para Ocala, o transporte de 200.000 unidades, que é a necessidade de Ocala: 
 
A próxima variável será de Mt. Dora para Orlando, fechando a primeira linha: 
 
Completando a coluna 2 temos: 
 
Fechando o problema temos: 
O custo dessa operação será: 
2,1 × 200000 + 5,0 × 75000 + 3,0 × 400000 + 2,0 × 125000 + 
 
2,5 × 175000 = 2.682.500 
Foram transportadas: 
200000 + 75000 + 400000 + 125000 + 175000 = 975.000 unidades 
O lucro será igual a: 
(10 – 6) × 975000 – 2682500 = U$$1,217.500 
5. A Tropicsun produz e distribui sucos cítricos de suas plantações localizadas 
no centro da Flórida, em Mt. Dora, Eustis e Clermont, tendo áreas plantadas de 
275.000, 400.000 e 300.000 alqueires respectivamente. Os sucos são processados 
em suas plantas industriais localizadas em Ocala, Orlando e Leesburg, as quais 
têm as seguintes capacidades de processamento: 200.000, 600.000 e 225.000 
respectivamente. A Tropicsun fechou um contrato com uma transportadora que 
apresentou os seguintes custos por milha transportada: 
 
 
A Tropicsun deseja determinar a quantidade a ser plantada em alqueires para 
processamento em suas unidades industriais, sabendo que cada alqueire 
plantado gera uma receita média de US$10 e tem um custo de processamento de 
US$6, qual será o lucro pelo método do menor custo? 
US$1.217.500 
US$2.682.500 
X US$1.600.000 
US$4.427.500 
US$3.410.500 
Comentário 
A alternativa "C" está correta. 
Solução: 
Montando o tableau de transporte: 
 
Com o método do menor custo, temos a primeira variável básica como sendo de 
Clermont para Orlando, o transporte de 300.000 unidades, que é a capacidade de 
Clermont: 
 
Como o próximo menor custo será de Mt. Dora para Ocala, vamos apropriar 200.000, 
que é a necessidade de Ocala: 
 
Seguindo o método, a próxima será de Eutis para Leesburg, no valor de 275.000, que 
é a necessidade de Leesburg: 
 
E, finalizando, temos: 
 
O custo dessa operação será: 
2,1 × 200000 + 3,0 × 125000 + 2,0 × 300000 + 
 
2,2 × 275000 = 2.000.000 
Foram transportadas: 
200000 + 125000 + 300000 + 275000 = 900.000 unidades 
O lucro será igual a: 
(10 – 6) × 900000 – 2000000 = US$1600.000 
6. Uma empresa de enlatados de fruta concentra as suas operações de manufatura 
em duas fábricas (F1 e F2). A fruta utilizada nas fábricas provém de três grandes 
agricultores (A1, A2 e A3), que têm capacidade para fornecer fruta de boa 
qualidade nas seguintes quantidades e preços: 
 
 
Os custos de transporte da fruta (em u.m. por tonelada) são os indicados na 
tabela seguinte: 
 
 
As capacidades de fabricação e os custos de manufatura das fábricas são: 
 
 
A fruta enlatada é vendida aos distribuidores a 50 u.m. por tonelada e, com esse 
preço de venda, a empresa consegue escoar toda a produção. Pretende-se 
determinar as quantidades que devem ser adquiridas dos três agricultores de 
forma a abastecer as duas fábricas e maximizar o lucro da empresa. Resolvendo 
pelo Solver, qual será o lucro dessa operação? 
$15.270,00 
-$15.270,00 
$18.320,00 
-$18.320,00 
$25.310,00 
Comentário 
A alternativa "B" está correta. 
Solução: 
Ajustando a planilha para a solução, temos: 
Print do 
Microsoft ExcelElaborada por: Mauro Rezende Filho 
Agora vamos montar as células que decidirão o problema. Observe as formulações: 
 
Print do Microsoft ExcelElaborada por: Mauro Rezende Filho 
Observe que a demanda é menor do que a capacidade, o que significa que deverá ser 
atendida. Para o Solver, temos: 
 
Print do Microsoft ExcelElaborada por: Mauro Rezende Filho 
 Definir Objetivo: célula F20. 
 Problema de maximização. 
 Alterando as variáveis: D13:F14. 
 Restrição 1 (fabricado menor ou igual à capacidade): G13:G14 ≤ G5:G6. 
 Restrição 2 (entregue é igual à demanda): D15:F15 = D7:F7. 
  Restrição 3 (variáveis devem ser inteiras): D13:F14 = int. 
 Marcar LP Simplex. 
A tela do Solver será: 
 
Print do Microsoft Excel 
E obtemos a solução: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. A Companhia Brasileira de Café, presente em três plantações bem localizadas, 
tritura os grãos de café até se tornarem pó. Semanalmente, o café em pó é 
embarcado com destino a quatro armazéns em diferentes cidades, para 
torrefação, distribuição e exportação. O custo de transporte, em unidades 
monetárias (u.m.), de uma tonelada de café da plantação i para o armazém j é dado 
pela seguinte tabela. 
 
 
 
 
As capacidades semanais das plantações 1, 2 e 3 são 40, 60 e 80 toneladas 
respectivamente, enquanto as necessidades dos armazéns 1, 2, 3 e 4 são, 
respectivamente, 50, 40, 30 e 60 toneladas. O objetivo da companhia consiste em 
determinar as quantidades de café que devem ser transportadas de cada uma das 
plantações para cada um dos armazéns minimizando o custo total de transporte. 
A parte da função objetivo sobre o Armazém 1 será igual a 
9x11 + 8x12 + 3x13 + 4x14 
9x11 + 7x21 + 3x13 + 4x31 
7x11 + 6x12 + 2x13 + x14 
8x11 + 7x21 + 5x13 
5x11 + 4x21 + 7x13 + 9x31 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "A" está correta. 
 
 
Como estamos procurando minimizar o custo de transporte, o armazém 1 contribuirá 
com as quantidades enviadas multiplicado pelo custo do envio: 
9x11 + 8x12 + 3x13 + 4x14 
2. A Indústria MRF fabrica um único produto em quatro localidades: Curitiba, 
Campinas, Itabuna e Campos. O custo unitário de produção de cada localidade é 
respectivamente $35,50, $37,50, $39,00 e $36,25, e a capacidade anual de 
produção de cada planta é de 18.000, 15.000, 25.000 e 20.000 unidades. A empresa 
está planejando estabelecer sete centros de distribuição para atender a sua 
demanda. O custo unitário de transporte entre cada um dos locais apresenta-se 
na tabela a seguir, bem como a demanda de cada região: 
 
 
A empresa deseja determinar como atender a demanda de cada local com o menor 
custo de fabricação e de transporte, mas, como a demanda geral excede a 
capacidade de fabricação, deseja ter certeza de que pelo menos 80% das ordens 
recebidas por cada centro de distribuição sejam atendidas. Se utilizarmos o 
método do menor custo, a variável básica inicial será 
X11 
X16 
X42 
X22 
X34 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "C" está correta. 
 
 
Como o método tem sua variável básica naquela que tem o menor custo, a solução 
será iniciada na fábrica de Campos, enviando para o centro localizado no Rio de 
Janeiro, com um custo de frete de $0,90, o mais baixo entre todos. 
 
MÃO NA MASSA 
1. A Childfair Company possui três fábricas de produção de carrinhos de bebê 
que serão enviados para quatro centros de distribuição. As fábricas 1, 2 e 3 
produzem 12, 17 e 11 unidades por mês respectivamente. Cada centro de 
distribuição precisa receber 10 unidades por mês. A distância de cada planta até 
o respectivo centro de distribuição é dada abaixo: 
 
 
O custo do frete para cada entrega é de $100,00 mais $0,50 por milha. 
Determinando quanto deve ser enviado de cada fábrica para cada um dos 
centros de distribuição de forma a minimizar o custo total de envio, quanto será 
o custo total das remessas? 
4.000 
16.200 
20.200 
18.400 
22.400 
Comentário 
A alternativa "C" está correta. 
Solução: 
Vamos montar a planilha para a soluçãodo problema: 
Print do Microsoft ExcelElaborada por: Mauro Rezende Filho 
Formulações para balancear o fluxo: 
 Célula K5: =SOMASE($E$5:$E$16;I5;$H$5:$H$16)-
SOMASE($C$5:$C$16;I5;$H$5:$H$16) – e arrastar até a célula K11. 
 Célula L18: =SOMA(K8:K11)*L13. 
 Célula L19: =SOMARPRODUTO(G5:G16;H5:H16). 
 Célula L20: =L18+L19. 
O Solver será: 
 
Print do Microsoft Excel 
Clicando em Resolver, obtemos: 
Print do Microsoft ExcelElaborada por: Mauro Rezende Filho 
2. Aplicando manualmente o algoritmo húngaro para resolver o problema de 
atribuição com a tabela de custos a seguir, qual será o custo? 
 
 
 
X 19 
21 
23 
25 
16 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
RESOLVENDO UM PROBLEMA DE 
DESIGNAÇÃO 
3. Considere o problema de designação em transporte, com a seguinte tabela 
de parâmetros, em que devemos alocar um motorista para levar a carga de uma 
origem a um destino. Os valores a seguir representam os custos (em R$ mil) 
com pedágio de cada rota para um mês de operação. 
 
 
Print do Microsoft ExcelElaborada por: Mauro Rezende Filho 
A origem 3 enviará para o destino 1 
200 
150 
100 
X 50 
0 
Comentário 
A alternativa "D" está correta. 
Solução: 
Monte a planilha do Excel com as informações: 
Print do 
Microsoft ExcelElaborada por: Mauro Rezende Filho 
Observe que foram montadas todas as rotas, e a formulação é a seguinte: 
 Célula K5: =SOMASE($E$5:$E$24;I5;$H$5:$H$24)-
SOMASE($C$5:$C$24;I5;$H$5:$H$24) – arrastar até K13. 
 Célula L17: =SOMARPRODUTO(G5:G24;H5:H24). 
Com isso, podemos montar o Solver: 
 
Print do Microsoft Excel 
E obtém-se a solução: 
 
Print do Microsoft Excel Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
4. Uma organização tem três unidades industriais (F1, F2 e F3), um centro de 
distribuição (CD1) e dois clientes (C1 e C2) que consomem um determinado 
semiacabado produzido nessas unidades. O gráfico a seguir apresenta a 
capacidade de produção de cada unidade, a capacidade de armazenamento do 
centro de distribuição e as necessidades de cada cliente, todos referentes a um 
mês. Os custos de frete são apresentados por cada semiacabado transportado. 
 
 
Qual será o custo total dessa operação? 
40750 
46360 
44590 
X 45300 
48100 
Comentário 
A alternativa "D" está correta. 
Solução: 
Montando a planilha do Excel: 
 
Print do Microsoft ExcelElaborada por: Mauro Rezende Filho 
Montadas todas as rotas, a formulação é a seguinte: 
 Célula K5: =SOMASE($E$5:$E$10;I5;$H$5:$H$10)-
SOMASE($C$5:$C$10;I5;$H$5:$H$10) – arrastar até K10. 
 Célula L17: =SOMARPRODUTO(G5:G10;H5:H10). 
Com isso, podemos montar o Solver: 
 
Print do Microsoft Excel 
E a solução: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
5. O técnico de uma equipe de natação precisa atribuir nadadores para montar a 
melhor equipe para a prova de revezamento de 200 metros nas Olimpíadas Júnior. 
Seus melhores nadadores são muito rápidos em mais de um estilo, e não está 
claro qual nadador deve ser designado a cada um dos quatro estilos. Os cinco 
nadadores mais rápidos e seus melhores tempos em cada estilo são apresentados 
na tabela a seguir. 
 
 
Como o técnico deverá designar seus nadadores de modo a obter o menor 
tempo total na prova? 
X Carlos (estilo livre), Davi (borboleta), Pedro (costas) e Chico (peito). 
Carlos (estilo livre), Davi (borboleta), Pedro (costas) e Mário (peito). 
Mário (estilo livre), Davi (borboleta), Pedro (costas) e Chico (peito). 
Carlos (estilo livre), Davi (borboleta), Mário (costas) e Chico (peito). 
Carlos (estilo livre), Mário (borboleta), Pedro (costas) e Chico (peito). 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
Solução: 
Aplicando o método do algoritmo húngaro: 
Etapa 1: Subtrair os mínimos das linhas. 
Como a matriz não é quadrada, vamos inserir um estilo fictício. Começamos 
subtraindo o mínimo da linha de cada linha. O menor elemento na primeira linha é, por 
exemplo, 5. Portanto, subtraímos 5 de cada elemento na primeira linha. A matriz 
resultante será: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Etapa 2: Subtrair os mínimos das colunas. 
Da mesma forma, subtraímos o mínimo de cada coluna, gerando a seguinte matriz: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Etapa 3: Cubra todos os zeros com um número mínimo de linhas. 
Agora determinaremos o número mínimo de linhas (horizontais ou verticais) 
necessárias para cobrir todos os zeros na matriz. Todos os zeros podem ser cobertos 
com 2 linhas/colunas: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Como o número de linhas necessárias (2) é menor do que o tamanho da matriz (n = 
5), continuamos com a Etapa 4. 
Etapa 4: Crie zeros adicionais. 
Primeiro, descobrimos que o menor número descoberto é 0,9. Subtraímos esse 
número de todos os elementos descobertos e o adicionamos a todos os elementos 
cobertos duas vezes. Isso resulta na seguinte matriz: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Cubra todos os zeros com um número mínimo de linhas. 
São necessárias 3 linhas para cobrir todos os zeros: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Crie zeros adicionais. 
O número de linhas é menor do que 5. O menor número descoberto é 0,7. Subtraímos 
esse número de todos os elementos descobertos e o adicionamos a todos os 
elementos cobertos duas vezes: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Cubra todos os zeros com um número mínimo de linhas. 
São necessárias 4 linhas para cobrir todos os zeros: 
Elaborada 
por: Mauro Rezende Filho 
Crie zeros adicionais. 
O número de linhas é menor do que 5. O menor número descoberto é 0,3. Subtraímos 
esse número de todos os elementos descobertos e o adicionamos a todos os 
elementos cobertos duas vezes: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Cubra todos os zeros com um número mínimo de linhas. 
São necessárias 4 linhas para cobrir todos os zeros: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Crie zeros adicionais. 
O número de linhas é menor do que 5. O menor número descoberto é 0,9. Subtraímos 
esse número de todos os elementos descobertos e o adicionamos a todos os 
elementos cobertos duas vezes: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Cubra todos os zeros com um número mínimo de linhas. 
São necessárias 5 linhas para cobrir todos os zeros: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
A atribuição ideal. 
Como são necessárias 5 linhas, os zeros cobrem uma atribuição ideal: 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
6. Quatro navios de carga serão usados para o transporte de mercadorias de um 
porto para quatro outros portos (rotulados 1, 2, 3, 4). Qualquer navio pode ser 
usado para qualquer uma dessas quatro viagens. No entanto, o custo total de 
carregar, transportar e descarregar as mercadorias para as diferentes 
combinações navio-porto varia consideravelmente por causa das diferenças entre 
os navios e os tipos de cargas, conforme mostrado na tabela a seguir. 
O objetivo é atribuir quatro portos diferentes aos quatro navios para minimizar o 
custo total para as quatro remessas. 
 
 
O custo total será igual a: 
3800 
1600 
2600 
1900 
2100 
Comentário 
A alternativa "E" está correta. 
Solução: 
Vamos agora achar a solução utilizando o Solver. Veja a montagem da planilha: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Como será designado apenas uma vez, as células das variáveis (E13:H16) somente 
podem assumir o valor “1” se for designado ou “0” em caso contrário. Definimos essa 
situação considerando como binárias. 
Fizemos as somas horizontais e verticais, informando ao Solver que devem ser iguais 
a “1”, e isto é fácil de se entender: se alocarmos o navio 1 para o porto 1, não 
podemos alocar para os portos 2, 3 nem 4, assim como não podemos alocar para os 
navios 2, 3 nem 4. 
O objetivo (minimizar) será então: =SOMARPRODUTO(D5:G8;D13:G16). 
Observe o Solver: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Clicando em Resolver, obtemos: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
 
 
 
VERIFICANDO OAPRENDIZADO 
1. O Miguel, a Ana e o Ricardo têm que fazer o trabalho prático da cadeira de Novas 
Tecnologias de Informação (NTI), do curso de Engenharia de Produção. O 
problema consiste em visitar três cidades do estado, de modo que a distância 
percorrida seja a menor possível, uma vez que cada um somente poderá ir a uma 
cidade. 
 
 
A distância percorrida será 
18 
15 
16 
17 
19 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "B" está correta. 
 
 
2. Uma rede de farmácias possui depósitos nos bairros A, B e C. Os remédios 
comercializados devem ser distribuídos por filiais localizadas nos bairros D, E, F, 
G e H. As demandas de cada filial e a capacidade de fornecimento dos depósitos, 
em quilogramas, bem como os custos de transporte entre cada depósito e cada 
filial, também em quilogramas, constam da tabela a seguir: 
 
 
O modelo matemático que soluciona esse problema tem 
Três inequações de “≥” e três de “=”. 
Três inequações de “≤” e três de “=”. 
Duas inequações de “≥”, uma de “≥” e três de “=”. 
Duas inequações de “≤”, uma de “≤” e três de “=”. 
Três inequações de “≥” e três de “≤”. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "B" está correta. 
 
 
Solução: 
Minimizar o custo de transporte 
Min Z = 26AD + 24AE + 13AF + 38BD + 37BE + 26BF + 45CD + 43CE + 39CF 
Sujeito a: 
AD + AE + AF ≤ 1500 
BD + BE + BF ≤ 2500 
CD + CE + CF ≤ 1000 
AD + BD + CD = 700 
AE + BE + ED = 800 
AF + BF + CF = 1200 
 
MÃO NA MASSA 
1. Dada a rede abaixo, qual o menor caminho para ir do nó “A” para o nó “T”? 
 
 
OABDT ou OABEDT. 
OABDT ou OABET. 
OBDT ou OBET. 
OBDT ou OCET. 
OBET ou OCET. 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
Solução: 
Aplicando o algoritmo, temos: 
 
2. O abastecimento de água de uma localidade do município do Rio de Janeiro é 
feito diretamente por meio de uma estação de abastecimento (1). A companhia de 
abastecimento está estudando a expansão da rede e, a seguir, apresenta as 
possibilidades de rotas para o abastecimento da localidade denominada de “8”: 
 
 
Sabendo que o custo por metro de tubulação é de R$800,00 e que as distâncias 
acima estão em quilômetros, qual será o menor custo para implantar essa nova 
rede? 
R$ 25 milhões. 
R$ 12 milhões. 
R$ 18milhões. 
R$ 40 milhões. 
R$ 8 milhões. 
Comentário 
A alternativa correta é "D". 
Solução: 
Montando a planilha para a solução, temos: 
Print do 
Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
A formulação será: 
 Célula G4: =SOMASE($C$4:$C$16;F4;$E$4:$E$16)-
SOMASE($B$4:$B$16;F4;$E$4:$E$16), e expandir até a G11. 
 Célula H14: =SOMARPRODUTO(D4:D16;E4:E16). 
Montando o Solver: 
 
Print do Microsoft Excel 
Clicando em Resolver: 
 
Print do Microsoft Excel 
O custo será, portanto, 50.000 x 800 = R$ 40.000.000,00 
3. A SafetyTrans é uma empresa especializada em transporte de materiais voláteis 
e altamente poluidores em caso de acidente. A empresa mantém um rigoroso 
esquema de transporte, uma vez que, em caso de acidente, o prêmio de seguro 
torna-se extremamente caro, bem como as consequências ambientais. 
 
 
Enquanto as demais companhias estão preocupadas em transportar ao menor 
custo, a SafetyTrans escolhe suas linhas de transporte com o objetivo de ter o 
menor risco de acidente. A empresa fechou um contrato para transportar 
materiais de Los Angeles, Califórnia, para Amarillo, Texas, e identificou as 
possíveis rotas apresentadas na figura a seguir, na qual os valores nos arcos 
indicam a probabilidade de haver um acidente durante a viagem. 
 
 
Qual rota a ser seguida apresenta o menor risco? 
Los Angeles, Las Vegas, Phoenix, Flagstaff, Las Cruces, Lubbock, Amarillo. 
Los Angeles, Phoenix, Flagstaff, Las Cruces, Lubbock, Amarillo. 
Los Angeles, Las Vegas, Flagstaff, Albuquerque, Amarillo. 
Los Angeles, San Diego, Tucson, Las Cruces, Lubbock, Amarillo. 
Los Angeles, San Diego, Phoenix, Flagstaff, Las Cruces, Lubbock, Amarillo. 
Comentário 
A alternativa correta é "A". 
O PROBLEMA DE TRANSPORTE PONTO A PONTO 
4. Um atacadista deseja abastecer seus clientes varejistas. O caminhão de 
entregas sairá de seu depósito central (AT), irá a todos os varejistas, mas, por 
medida de economia, deverá ir a cada varejista apenas uma vez e retornar ao 
depósito central. O fluxo a seguir apresenta todas as possíveis conexões e a 
distância a ser percorrida. 
 
 
Qual será a menor distância? 
85 
93 
102 
110 
119 
Comentário 
A alternativa "B" está correta. 
Solução: 
Vamos aplicar a força bruta: 
 
5. O fluxo a seguir apresenta as possíveis rotas para que a fábrica (F1) atenda seu 
cliente (C1). Os pontos A, B, C, D e E representam as localidades em que o veículo 
de entrega pode passar para realizar a entrega em C1, logo após sair de F1 e 
buscar a carga no centro de distribuição (CD). As linhas representam as possíveis 
ligações entre as localidades e os valores em quilômetros. 
 
 
Qual a menor distância a ser percorrida? 
18km. 
32km. 
21km. 
25km. 
28km. 
Comentário 
A alternativa "C" está correta. 
Solução: 
Montando a planilha com todas as possíveis rotas: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
A formulação é a seguinte: 
 Célula G4: =SOMASE($C$4:$C$23;F4;$E$4:$E$23)-
SOMASE($B$4:$B$23;F4;$E$4:$E$23) e arrastar até a G11. 
 Célula H14: =SOMARPRODUTO(D4:D23;E4:E23). 
O Solver será o seguinte: 
Print do 
Microsoft Excel 
Obtendo-se a seguinte solução: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
6. O fluxo a seguir apresenta todas as possíveis rotas entre uma fábrica (F1) e seu 
centro de distribuição (W1). Todas as distâncias estão em quilômetros. 
 
 
Qual a rota com a menor distância? 
F1-C-E-W1. 
F1-CD-B-E-W1. 
F1-CD-C-E-W1. 
F1-CD-A-B-D-W1. 
F1-C-B-E-W1. 
Comentário 
A alternativa correta é "B". 
Solução: 
Vamos montar a planilha: 
Print 
do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
As fórmulas são as seguintes: 
 
O Solver será: 
 
Print do Microsoft Excel 
A solução: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. (CESGRANRIO – 2012). A tabela a seguir apresenta o resultado da obtenção do 
caminho mínimo para o deslocamento entre diversas cidades. 
 
 
A partir dos dados da tabela, conclui-se que 
A menor distância entre as cidades A e F é de 15km. 
O menor caminho entre as cidades A e D é de 2km. 
Um viajante deverá passar obrigatoriamente na cidade C para percorrer o menor 
caminho entre as cidades A e F. 
Um viajante deverá se deslocar na sequência A – B – E – F para percorrer o 
menor caminho entre as cidades A e F. 
Um viajante terá que se deslocar por 5km para percorrer o menor caminho entre a 
cidade B e a cidade E. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
2. Dada a tabela a seguir, cujos valores representam os custos de deslocamento 
de “De” para “Para”, e que podemos designar apenas uma vez, a primeira 
iteração nos dará o seguinte valor de A-1: 
 
 
37,7 
4,1 
10,3 
1,9 
10,4 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "B" está correta. 
 
 
Subtraímos o mínimo da linha de cada linha: 
 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
Subtraímos o mínimo da coluna de cada coluna: 
 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
 
MÃO NA MASSA 
1. Considere a rede a seguir. 
 
 
O fluxo máximo será igual a: 
10 
X 14 
18 
19 
20 
Comentário 
A alternativa correta é "B". 
Solução: 
Pelo método Ford-Fulkerson, temos os seguintes passos: 
Etapa 1: Defina o fluxo de cada borda para 0. 
 
Etapa 2: Encontre um caminho de aumento na rede residual selecionando o caminho 
S-A-B-D-C-T. Em seguida, identifique a capacidade de gargalo (fluxo máximo) para o 
caminho selecionado. Observe que, ao longo desse caminho, a capacidade de gargalo 
é 2. Agora, sem violar a restrição de capacidade, atualize os valores de fluxo das bordas 
no caminho de aumento. Obteremos a seguinte rede de fluxo e a rede residual.Etapa 3: Selecione o caminho de aumento S-A-C-T. Agora, a capacidade de gargalo é 
4. 
 
Etapa 4: Selecione o caminho de aumento S-A-D-C-T. Agora, a capacidade de gargalo 
é 4. 
 
Etapa 5: Selecione o caminho de aumento S-B-A-D-C-T. Agora, a capacidade de 
gargalo é 2. 
 
Etapa 6: Selecione o caminho de aumento S-B-D-T. Agora, a capacidade de gargalo é 
7. 
 
Observe! Agora não há mais caminhos deixados de S para T no gráfico residual. 
Portanto, não há possibilidade de adicionar fluxo. Isso significa que o método Ford-
Fulkerson está completo e estamos prontos para encontrar o fluxo máximo. 
Uma vez que o fluxo máximo é igual ao fluxo que sai da fonte, nesse exemplo, o fluxo 
máximo é 10 + 4 = 14. 
2. Considere a rede a seguir. 
 
 
O fluxo máximo será igual a 
10 
14 
18 
19 
X 20 
Comentário 
A alternativa correta é "E". 
Solução: 
Vamos montar a planilha para resolver pelo Solver: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
As fórmulas serão: 
 Célula G4: =SOMASE($C$4:$C$13;F4;$E$4:$E$13)-
SOMASE($B$4:$B$13;F4;$E$4:$E$13) e copiar até G9. 
 Célula H12: =E13. 
 Células E4:E13: variáveis de decisão. 
O Solver deve ser montado da seguinte forma: 
 
Print do Microsoft Excel 
E a solução: 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
3. O abastecimento de água de uma localidade do município do Rio de Janeiro é 
feito diretamente através de uma estação de abastecimento. Devido a trabalhos 
de manutenção, o abastecimento terá de ser feito indiretamente por meio de 
outras localidades, o que pode ser representado pela seguinte rede: 
 
 
O nó 1 representa a estação de abastecimento; o nó 8, a localidade que se 
pretende abastecer. Os nós 2 a 7 representam as localidades a partir das quais 
pode ser feito o abastecimento. O valor associado a cada arco ( i,j ) representa a 
quantidade, em metros cúbicos por segundo, de água que pode ir diretamente 
de i para j. 
 
 
Com o objetivo de analisar possíveis descontinuidades no abastecimento da 
localidade 8, os serviços municipalizados pretendem determinar a quantidade 
máxima de água que pode chegar indiretamente a essa localidade. Qual a 
quantidade máxima? 
71 
50 
X 65 
85 
96 
Comentário 
A alternativa correta é "C". 
Solução: 
Vamos montar a planilha para resolver pelo Solver: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
As fórmulas serão: 
 Célula G4: =SOMASE($C$4:$C$17;F4;$E$4:$E$17)-
SOMASE($B$4:$B$17;F4;$E$4:$E$17) e copiar até G11. 
 Célula H12: =E17. 
 Células E4:E17: variáveis de decisão. 
O Solver deve ser montado da seguinte forma: 
 
Print do Microsoft Excel 
E a solução: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
4. O próximo diagrama descreve um sistema de aquedutos que se origina em três 
rios (nós R1, R2 e R3) e termina em uma cidade principal (nó T). Os outros nós 
são pontos de junção no sistema. 
 
 
A tabela a seguir mostra a quantidade máxima de água que pode ser bombeada 
através de cada aqueduto por dia. 
 
 
O gerente da empresa de abastecimento de água deseja determinar um plano de 
fluxo que irá maximizar o fluxo de água para a cidade. O valor máximo será 
245 
270 
230 
1.055 
X 715 
Comentário 
A alternativa correta é "E". 
Solução: 
Vamos montar a planilha para resolver pelo Solver: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
As fórmulas serão: 
 Célula G4: =SOMASE($C$4:$C$23;F4;$E$4:$E$23)-
SOMASE($B$4:$B$23;F4;$E$4:$E$23) e copiar até G13. 
 Célula H12: =SOMA(E21:E23). 
 Células E4:E23: variáveis de decisão. 
O Solver deve ser montado da seguinte forma: 
 
Print do Microsoft Excel 
E a solução: 
 
Print do Microsoft Excel 
Elaborada por: Mauro Rezende Filho 
5. A Texago Corporation tem quatro campos de petróleo, quatro refinarias e quatro 
centros de distribuição. Uma greve envolvendo as indústrias de transporte 
reduziu a capacidade da empresa para enviar petróleo dos campos para as 
refinarias e para transportar produtos das refinarias aos centros de distribuição. 
Usando unidades de milhares de barris de petróleo bruto (e seu equivalente em 
produtos refinados), as tabelas a seguir mostram o número máximo de unidades 
que pode ser enviado por dia de cada campo de petróleo para cada refinaria e de 
cada refinaria para cada centro de distribuição. 
 
 
A direção da Texago quer definir um plano para quantas unidades enviar de cada 
campo de petróleo para cada refinaria e de cada refinaria para cada centro de 
distribuição, maximizando o número total de unidades que chegam aos centros 
de distribuição. O total enviado será igual a: 
X 39 
87 
125 
68 
76 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
6. Considere a rede a seguir. 
 
 
O fluxo máximo será igual a: 
10 
X 14 
18 
19 
20 
Comentário 
A alternativa "B" está correta. 
Solução: 
Pelo método Ford-Fulkerson, temos os seguintes passos: 
Etapa 1: Defina o fluxo de cada borda para 0. 
 
Etapa 2: Encontre um caminho de aumento na rede residual selecionando o caminho 
s-a-b-d-c-t. Em seguida, identifique a capacidade de gargalo (fluxo máximo) para o 
caminho selecionado. Observe que, ao longo desse caminho, a capacidade de gargalo 
é 2. Agora, sem violar a restrição de capacidade, atualize os valores de fluxo das bordas 
no caminho de aumento. Obteremos a seguinte rede de fluxo e a rede residual. 
 
Etapa 3: Selecione o caminho de aumento s-a-c-t. Agora, a capacidade de gargalo é 4. 
 
Etapa 4: Selecione o caminho de aumento s-a-d-c-t. Agora, a capacidade de gargalo é 
4. 
 
Etapa 5: Selecione o caminho de aumento s-b-a-d-t. Agora, a capacidade de gargalo é 
2. 
 
Etapa 6: Selecione o caminho de aumento s-b-d-t. Agora, a capacidade de gargalo é 7. 
 
Etapa 7: Selecione o caminho de aumento s-e-b-t. Agora, a capacidade de gargalo é 1. 
 
Observe! Agora não há mais caminhos deixados de s para t no gráfico residual. 
Portanto, não há possibilidade de adicionar fluxo. Isso significa que o método Ford-
Fulkerson está completo e estamos prontos para encontrar o fluxo máximo. 
Uma vez que o fluxo máximo é igual ao fluxo que sai da fonte, nesse exemplo, o fluxo 
máximo é 10 + 7 = 17. 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Observe o fluxo a seguir. 
 
 
O fluxo máximo entre S e T será pela rota 
S-A-B-C-T 
S-A-C-T 
S-B-A-C-T 
S-B-C-T 
S-A-C-B 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
Resolvendo pelo método Ford-Fulkerson, obtemos: 
 
 
 
 
 
2. Observe o fluxo a seguir. 
 
 
s-a-c-t 
s-a-b-t 
s-b-c-t 
X s-b-t 
s-a-b-c-t 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
Veja o fluxo: