QuanticaI

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1 Autovalor e Autoestado de Operadores
Vimos que o estado quântido de uma partícula microscópica é descrita em ter-
mos de uma função de onda. No caso da Mecânica Clássica, o estado de uma
partícula ponteforme é descrita em termos de sua coordenada ~r e o momento ~p.
Para um dado estado da partícula, também podemos pensar em outras quanti-
dades, tais como energia. Estas quantidades são representadas por números na
Mecânica Clássica. Mas, no mundo microscópico, vimos que os valores destas
quantidades não necessariamente são bem definidos. Por exemplo, para um
dado estado ψ (~r), as observações da posisão desta partícula pela chapa não se
concentra numa posição bem determinada, mas distribue de acordo com ψ(~r).
Então, no caso de Mecânica Quântica, como expressamos a quantidade física,
por exemplo, a posição ~r ? Para introduzir o conceito de observável, talvez é
útil a visualização de função de onda como um vetor no espaço de funções.
1.1 Função como Vetor e Operador como Matriz
Para facilitar a visualização, vamos considerar o caso unidimensional. Neste
caso, a função de onda é expressa por ψ (x). Na algebra linear, aprendemos que
uma função pode ser considerada como um vetor num espaço vetorial. Para
visualizar esta afirmação, vamos introduzir a representação em termos de vetor-
coluna
ψ(x)→

...
ψi−1
ψi
ψi+1
...
 ,
onde
ψi = ψ(xi)
e {−∞, · · · , xi−1, xi, xi+1, · · ·+∞} são os pontos de varáveis x com intervalo
∆x infinitesimal. Isto é, xi+1 = xi + ∆x. Estamos aproximando uma função
contínua pela função de escadas de intervalo infinitesimal. Nesta representação,
o produto escalar entre duas funções,∫ ∞
−∞
dx ψ∗ (x)φ(x) → ∆x
∑
i
ψ∗i φi
= ∆x
(
· · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · ·
)

...
φi−1
φi
φi+1
...
 .
1
Ainda nesta representação, é importante notar que a função derivada dψ/dx
pode ser expressa como
dψ
dx
→

...
(ψ(xi−1)− ψ(xi−2)) /∆x
(ψ(xi)− ψ(xi−1)) /∆x
(ψ(xi+1)− ψ(xi)) /∆x
...
 =
1
∆x

. . .
. . . 0
. . . −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 . . .
. . .
. . .
. . .


...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...

.
Isto é, um operador diferencial d/dx corresponde a uma matriz que tem +1 em
todo diagonal e −1 em subdiagonal abaixo e dividido por ∆x. Vamos denotar
essa matriz que corresponde a derivada por
ˆ
D =
1
∆x

. . .
. . . 0
. . . −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 . . .
. . .
. . .
. . .

2
É interessante observar que o quadrado desta matriz,
ˆ
D
2
=
1
∆x2

. . .
. . . 0
. . . −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 . . .
. . .
. . .
. . .

2
=
1
∆x2

. . .
. . . 0
. . . 1 −2 1
0 1 −2 1
0 1 −2 1
0 1 −2 . . .
. . .
. . .
. . .

2
coincide a expressão da segunda derivada
d2
dx2
ψ =
1
∆x
(
ψ(x+
1
2
∆x)− ψ(x− 1
2
∆x)
)
=
1
∆x
{
ψ(x+ ∆x)− ψ(x)
∆x
− ψ(x)− ψ(x−∆x)
∆x
}
=
1
∆x2
(ψ(x+ ∆x)− 2ψ(x) + ψ(x−∆x)) .
Da Eq.(??), podemos escrever o valor médio do momento num estado ψ (x)
como
〈p〉 = ∆x
(
· · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · ·
)
P̂

...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...

(1)
Nesta representação, o operador de momento também corresponde à uma ma-
triz,
p̂→ P̂ .
3
Por outro lado, a posição, x também pode ser entendido como um operador
que multiplica x para uma função de onda.
x : ψ(x)→ xψ(x)
Em termos da representação de vetor-coluna, temos
xψ(x)→

...
xi−1ψi−1
xiψi
xi+1ψi+1
...
 =

. . .
. . . 0
. . . 0 xi−1 0
0 0 xi 0
0 0 xi+1 0
0 −1 xi+2
. . .
. . .
. . .
. . .


...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...

ou seja, uma matriz diagonal, onde i-esimo elemento diagonal é dada por xi.
Assim, podemos associar uma matriz para a coordenada,
x→ X̂ =

. . .
. . . 0
. . . 0 xi−1 0
0 0 xi 0
0 0 xi+1 0
0 −1 xi+2
. . .
. . .
. . .
. . .

. (2)
O valor esperado da posição fica então
〈x〉 = ∆x
(
· · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · ·
)
X̂

...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...

(3)
Note que as Eqs.(1) e (3) tem a mesma forma, apenas substituindo a matriz P̂
por X̂.
4
Vamos generalizar o conceito. Vamos postular que qualquer quantidade física
deve corresponder à uma matriz nesta representação. Em geral, esta matriz tem
todos os elementos, tipo,
O → Ô =

. . .
Oi−1,i−1 Oi−1,i Oi−1,i+1
Oi,i−1 Oi,i Oi,i+1
Oi+1,i−1 Oi+1,i Oi+1,i+1
. . .
. . .
 .
Ainda postulamos que o valor médio deste observável seja dado por
〈O〉 = ∆x
(
· · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · ·
)
Ô

...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...

.
Em termos de função de onda contínua, a expressão correspondente fica
〈O〉 =
∫
d3~r ψ∗(~r)Oψ(~r),
onde O é o operador correspondente a matriz Ô. Por exmplo, O pode ser o mo-
mento, posição, a energia, ou qualquer quantidade física associada a partícula.
Exercício: Expresse o valor médio da energia cinética de uma partícula.
Embora o valor esperado é um número, naturalmente um operador não é
um número. Então, qual é de fato os valores observáveis correspondente ao este
operador? Para responder esta pergunta, primeiramente vamos considerar o que
será o estado da partícula após da observação desta quantidade.
Como vimos, lógo após a observação desta observável e verificando a partícula
tenha sido encontrado o valor, digamos oα. Vamos denotar por ψα a função de
onda do estado daquela partícula que acabou de ser observada. Juntamos todas
as partículas para quais a quandidadeO tenha sida obserbada como oa. Todas as
partículas estão no estado representado pela função de onda ψa. Vamos planejar
uma série de experiências que medem novamente o valor da mesma observável
O para estas partículas no estado ψa. Neste caso, esperamos obviamente todos
os valores observados devem ser igual a oa. Em outras palavras, para o estado
logo após de ter observado o valor oa para um observável, a medição em seguida
do mesmo observável deve fornecer o mesmo valor oa. Assim, o estado ψa é
um estado para qual a medição da quantidade O resulta certamente o valor oa.
Vamos chamar este tipo de estado como autoestado do observável.
5
• Autoestado de um observável = estado para qual temos certeza de que o
observável tem um determinado valor. Exemplo: uma onda plana, ψ '
e
i
~p0x é um aotoestado do momento p.
Para autoestado de de um observável O, o desvio quadrado médio deve ser
nulo, pois não há flutuação nos valores observados para O. Isto pode ser expressa
matematicamente por
〈∆O2〉 =
∫
d3~rψ∗a(~r)(O − oa)2ψa(~r)→ 0. (4)
Note que a equação pode ser satisfeita se a função de onda ψa tenha a pro-
priedade,
Oψa = oaψa. (5)
Em outras palavras, a aplicação do operador O na função de onda é proporcional
a própria função ψa com a constante multiplicativa oa.
Vamos considerar o caso de momento de uma partícula como a quantidade
observada (caso unidimensional).
O → p̂ ≡ ~
i
∂
∂x
,
e p0 seja o valor de momento observado. Neste caso, a equação (??) fica
~
i
∂
∂x
ψp0(x) = p0ψp0(x). (6)
onde denotamos por ψp0(x) a função de onda de partícula após de ser observada
seu momento como p0. A Eq.(6) é uma equação diferencial em x, e podemos
facilmente sua solução como
ψp0(x) = N e
i
~p0x, (7)
que é exatamente a onda plana, representando a função de onda da partícula
com momento bem definido como p0.
Uma equação da forma Eq.(??) é chamada de equação de autovalor, e oa,
neste caso, é chamado de autovalor do operador O. A Eq.(6) é então a equação
de autovalor do operador de momento p̂ e p0 é o seu autovalor. A função de onda
que satisfaz a equação de autovalor é chamado de autofunção (ou auto-estado,
se refere ao estado). Assim, a onda plana, Eq.(7), é a autofunção do momento
com o autovalor p0.
Quando não existe nenhuma condição contorno para funções de onda, qual-
quer valor real de p0 pode ser um autovalor do momento na Eq.(6). Mas de-
pendendo do operador, isto não acontece em geral.O que temos mais interesse é o operador de energia, isto é o Hamiltoniano.
A equação de autovalor para o Hamiltoniano pode ser escrita como
HψEα = EαψEα (8)
6
onde ψEα é a autofunção de energia, Eα é o seu autovalor. Normalmente, a
equação de autovalor determina os possíveis valores dos autovalores e as respec-
tivas autofunções.
Na representação matricial, a equação de autovalor tem a forma,
Ô

...
ψi−1
ψi
ψi+1
...
 = o

...
ψi−1
ψi
ψi+1
...

onde o é um dos autovalores do O. Desta forma, vemos que a estrutura de
equação de autovalor da Mecânica Quântica é identica ao problema de auto-
valores de um matriz. Esta forma de ver a Mecânica Quântica foi primeira
vez introduzida por Heisenberg, e chamada de Mecânica Matricial. Como foi
indicado acima, a Mecânca Matricial e a Mecânica Ondulatória são equivalentes.
Exercício: Seja λ um dos autovalor de um operador O. Mostre que λ2 é o
autovalor do operador O2. Mosrtre que, em geral, para o operador definido
por f (O), f (λ) é autovalor.
Na verdade, para ser um observável, o operador correspondente deve satis-
fazer certas propriedades. Discutiremos este ponto mais adiante.
2 Dinâmica Quântica
2.1 Equação de Schödinger
A equação de movimento no caso da Mecânica Newtoniana determina a tra-
jetória de uma partícula. No caso da Mecânica Quântica, a dinâmica de uma
partícula deve ser descrita pela variação temporal da sua função de onda. Mas,
já sabemos que, se observamos a partícula num instante, o estado depois da
observação não permanecerá no mesmo estado antes da observação. Assim, a
dinâmica quântica deve ser entendida também em termos de probabilidade.
Como um estado de uma partícula varia em tempo? Esta questão foi re-
solvida por E.Schrödinger. Vamos considerar, por simplicidade, o caso de uma
partícula unidimensional com sua função de onda
ψ(x, t).
Qualquer função de onda pode ser descrita em termos de transformada de
Fourier,
ψ(x, t) =
1
2π~
∫
dE
∫
dp Φ(E, p) e−
i
~ (Et−px), (9)
7
e inversamemente
Φ(E, p) =
1
2π~
∫
dt
∫
dx ψ(x, t) e+
i
~ (Et−px). (10)
Segundo deBroglie, uma partícula de momento p e a energia E tem sua função
de onda,
ψ(x, t) ∼ e− i~ (Et−px).
Assim, podemos considerar a Eq(9) como sendo a expansão de um estado em
superposição de ondas planas com a coeficiente,
Φ(E, p),
e esta coeficiente pode ser interpretado como a amplitude de probabilidade de se
encontar a partícula com energia E e momento p. Desta forma, o valor esperado
da energia então deve ser dado por
〈E〉 =
∫
dE
∫
dp E |Φ(E, p) |2 . (11)
Fazendo o raciocíneio análogo ao caso de momento, teriamos
〈E〉 =
∫
dt
∫
dx ψ∗(x, t)i~
∂
∂t
ψ(x, t)
o que nos levar a associar à energia um operador
E → i~ ∂
∂t
. (12)
A diferência do sinal comparado ao caso de momento vêm da diferença do sinal
no exponente da onda plana.
Por outro lado, para uma partícula sob uma força de potencial V (x), a
energia é a soma de energia cinética e o potencial,
E → 1
2m
p̂2 + V (x). (13)
onde denotamos o momento como um operador para função de onda por p̂. As
Eqs.(12) e (13) são ambos a forma de operador correspondente a energia, só que
a primeira a derivada em relação ao tempo e a segunda contém a derivada em
relação a coordenada, x. Assim, não podemos igualar as duas formas.
Podemos impor que o estado da partícula, ou seja a função de onda compor-
tasse as duas formas ficam equivalente. Para isto, vamos supor que a dependên-
cia temporal de uma função de onda deve satisfazer a equação,
i~
∂
∂t
ψ(x, t) =
{
1
2m
p̂2 + V (x)
}
ψ(x, t). (14)
Isto é a Equação de Schrödinger.
8
Substituindo a forma diferencial do operador
p̂→ ~
i
∂
∂x
,
a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial,
i~
∂
∂t
ψ(x, t) = − ~
2
2m
∂2
∂x2
ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t). (15)
Para o movimento de uma partícula em tres dimensões, podemos generalizar
facilmente a equação de Schrödinger, sendo
i~
∂
∂t
ψ(~r, t) = − ~
2
2m
∇2ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t). (16)
O operador de energia, Eq.(13) é chamado de Hamiltoniano e custuma usar a
notação H. Para uma partícula sobe a ação de potencial, temos
H =
1
2m
p̂2 + V (x) (17)
= − ~
2
2m
∂2
∂x2
+ V (x), (18)
ou no caso tridimensional, temos
H = − ~
2
2m
~∇2 + V (x).
A equação de Schrödinger então é escrita como
i~
∂
∂t
ψ = Hψ. (19)
Vale a pena salientar o aspecto muito importante da equação de Schrödinger.
Ela é uma equação linear, isto é, se ψ1 e ψ2 são soluções, então sua combinação
linear
ψ = αψ1 + βψ2,
onde α e β são constantes, é também a solução.
2.2 Caso Estacionária
Uma autofunção de energia tem uma importante propriedade. A função de onda
dependendo do tempo da forma,
ψ(~r, t) ≡ e− i~Eαt ψα(~r) (20)
satisfaz a equação de Schrödinger,
i~
∂
∂t
ψ(~r, t) = Hψ(~r, t),
9
pois,
i~
∂
∂t
ψ(~r, t) =
(
i~
∂
∂t
e−
i
~Eαt
)
ψα(~r) = Eαψ(~r, t),
e
Hψ(~r, t) = e−
i
~Eαt H ψα(~r) = Eαψ(~r, t).
Assim, uma vez o estado esteja em autoestado de energia, a dependência em
t posterior pode ser descrito pela Eq.(20). Mas, neste caso, a densidade de
probabilidade,
ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 =
∣∣∣e− i~Eαt ψα(~r)∣∣∣2
= |ψα(~r)|2 ,
que não depende do tempo. Isto é, a distribuição de probabilidade em x não
varia em tempo. Tal situação é chamado de estado estacionário. É exatamente
esta propriedade que é desejada para orbitas de elétrons no modelo de átomo
de Hidrogênio (ver a sessão mais adiante).
Uma vez obtido todos os autovalores e autofunções do Hamiltoniano, podemos
escrever a solução geral da Equação de Schrödinger como uma combinação linear
destas,
ψ (~r, t) =
∑
α
Cαe
− i~Eαt ψα(~r). (21)
O conjunto de todos autovalores do Hamiltonianao é chamado de “espectro”do
Hamiltoniano.
Exercício: Mostre que a Eq.(21) satisfaz a Equação de Schrödinger, Eq.(19).
2.3 Equação de Continuidade e Corrente da Probabilidade
A Equação de Schrödinger tem a forma,
i~
∂ψ(~r, t)
∂t
= − ~
2
2m
∇2ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t). (22)
Vamos analizar o comportamento da densidade de probabilidade, ρ = |ψ(~r, t)|2 =
ψ(~r, t)∗ψ(~r, t). Para isto, tomamos o complexo conjugado da Eq.(22),
−i~∂ψ(~r, t)
∗
∂t
= − ~
2
2m
∇2ψ(~r, t)∗ + V (~r)ψ(~r, t)∗. (23)
Aqui, supormos que o potencial é real. Multiplicando ψ∗ para Eq.(22) e ψ para
Eq.(23), e subtraindo, temos,
i~
(
ψ∗
∂ψ
∂t
+ ψ
∂ψ∗
∂t
)
= − ~
2
2m
(
ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗
)
. (24)
10
Os termos que contêm o potencial V cancelam-se. Definindo a densidade da
corrente
~j(~r, t) =
~
2mi
(
ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗
)
, (25)
a Eq.(24) fica escrita por
∂
∂t
ρ+ ~∇ ·~j = 0, (26)
que tem a forma da equação de continuidade. Assim, o vetor ~j representa a
densidade de corrente (fluxo) da probabilidade. Integrando os dois lados da
equação acima em relação às coordenadas espaciais, temos,∫
V
d3~r
(
∂
∂t
ρ+ ~∇ ·~j
)
= 0.
Para o primeiro termo, tiramos a derivada temporal para fora da integral, e
para segundo termo, utilzando o teorema de Gauss, temos
d
dt
∫
V
d3~r ρ+
∫
S
d~S ·~j = 0.
A função de onda tende a zero para |~r| → ∞, então, o segundo termo de integral
de superfície fica zero para superfície bem longe da origem. Assim, temos
d
dt
∫
V→∞
d3~r ρ = 0.
Isto é, a integral da densidade de probabilidade para todo espaço é constante
em tempo. Esta resultado representa a conservação de probabilidade total.
Vamos calcular a corrente de probabilidade para uma onda plana unidimen-
sional,
ψ(x, t) = N e−
i
~ (Et−px).
j ≡ ~
2mi
(
ψ∗
∂
∂x
ψ − ψ ∂
∂x
ψ∗
)
= |N |2 p
m
.
Já que |N |2 representa a densidade da probabilidade, a corrente tem a forma,
j ∼ ρv,
onde v ≡ p/m.
No exemplo acima, consideramos v = p/m como a velocidade. Mas, lembre
que esta quantidade não é a velocidade clássica no sentido de
dx/dt,
pois não existe a trajetória para partícula. Mas a expressão de corrente j ex-
pressa o operador que corresponde ao número de partícula que passa na unidade
11
de área por unidade do tempo. Uma consequência immediata da definição da
corrente é que se a função de onda for real,
ψ = ψ∗,
então, temos
~j ≡ 0.
Mais precisamente, se afunção de onda é uma função real de posição ~r, vezes
um fator constante em ~r ( mesmo que seja complexo), a corrente fica nula.
2.4 Partícula Livre, Pacote de Onda e Velocidade de Grupo
Vamos considerar um outro exemplo simples. Isto é, uma partícula livre. Neste
caso, o Hamiltoniano é dado simplesmente por
H = T = − ~
2
2m
∇2,
e a equação de Schrödinger fica
i~
∂
∂t
ψ(~r, t) = − ~
2
2m
∇2ψ(~r, t). (27)
Em primeira lugar, vamos considerar uma solução estacionária. Neste caso,
temos a forma,
ψ(~r, t) = e−
i
~EtψE(~r),
sendo ψE(~r) é a autofunção do Hamiltoniano,
− ~
2
2m
∇2ψE(~r) = EψE(~r).
Podemos verificar logo que
ψE(~r) = e
i
~ ~p·~r
é uma solução, onde ~p é um vetor que satisfaz
1
2m
~p2 = E. (28)
Assim, verificamos que a onda plana,
ψ~p(~r, t) = e
− i~Ete
i
~ ~p·~r = e−
i
~
p2
2m t+
i
~ ~p·~r,
é uma solução para qualquer vetor ~p. Sabemos que a Equação de Schrödinger
é linear e, portanto, uma superposição das soluções é também uma solução.
Assim, uma solução mais geral para Eq.(27) pode ser escrita como
ψ(~r, t) =
1
(2π~)3/2
∫
d3~p Φ(~p) e−
i
~
p2
2m t+
i
~ ~p·~r. (29)
12
onde o fator (2π~)−3/2 foi introduzido por conveniência. Tomando a transfor-
mada de Fourier desta expressão, vemos que a coeficiente Φ(~p) é dada por∫
d3~r e−
i
~ ~p·~r ψ(~r, t) =
1
(2π~)3/2
∫
d3~r e−
i
~ ~p·~r
∫
d3~p′ Φ(~p′) e−
i
~
p′ 2
2m t+
i
~ ~p
′·~r
=
1
(2π~)3/2
∫
d3~p′ Φ(~p′) e−
i
~
p′ 2
2m t
∫
d3~r e
i
~ (~p−~p
′)·~r
= (2π~)3/2
∫
d3~p′ Φ(~p′) e−
i
~
p′ 2
2m tδ(3)(~p− ~p′)
= (2π~)3/2 Φ(~p) e−
i
~
p2
2m t.
Assim, se sabemos a função de onda para a instatne inicial t = 0, então temos
Φ(~p) =
1
(2π~)3/2
∫
d3~r e−
i
~ ~p·~r ψ(~r, t = 0).
Substituindo esta expressão na Eq.(29), podemos determinar a função de onda
para qualquer tempo t. A forma da função de onda Eq.(29) é chamada de pacote
de onda.
Em geral, a energia E associado a partícula não necessariamente tem a forma
dada pela Eq.(28). A expressão uma pacote de onda é dada em geral,
ψ(~r, t) =
1√
(2π~)3
∫
d3~p Φ(~p) e−
i
~E(p)t+
i
~ ~p·~r. (30)
Um exemplo de que a relação Eq(28) não é válida é o caso de uma partícula
relativística,
E(p) =
√
p2c2 +m2c4. (31)
Em particular, no caso de fóton, m = 0, então
E(p) = cp. (32)
Vamos estudar o caso unidimensional. Escrevemos o pacote de onda como
ψ(x, t) =
1√
2π~
∫
dp Φ(p) e−
i
~E(p)t+
i
~px.
No caso de m = 0, podemos escrever a integral formalmente
ψ(x, t) =
1√
2π~
∫
dp Φ(p) e
i
~ ξp
= f(ξ),
onde f é a transformada inversa de Fourier da função Φ(p) e introduzimos a
variável ξ por
ξ = x− ct.
13
Assim, o pacote de onda neste caso não muda a forma f , representando uma
propagação desta pacote de onda com a velocidade c.
Mas isto é para o caso de m = 0. Para os casos mais gerais, a velocidade de
deslocamento não é igual a c, mas dado por
~vg =
∂E
∂~p
, (33)
e a forma inicial da onda não fica mantida, mas vai ser desperçando no tempo
(veja o exemplo abaixo). Por esta razão, a relação
E = E(p)
é chamada de relação de dispersão. A velocidade do pacote, Eq.(33) é chamada
de velocidade de grupo como mostrado a seguir.
Para mostrar a Eq.(33) vamos considerar um exemplo unidimensional, onde
o pacote inicial é dada pela forma Gaussiana,
ψ(x, t = 0) = N e−x
2/2σ2+ i~p0x,
onde N é o fator de normalização1
N2 =
1√
πσ2
.
O fator,
e+
i
~p0x
foi introduzido para ter o valor correto da corrente,
j(x) =
~
2mi
(
ψ∗
∂
∂x
ψ − ψ ∂
∂x
ψ∗
)
= N2
p0
m
.
Sem este fator, a corrente se torna nula (onda estacionária).
Podemos considerar que p0 é o momento inicial médio da parícula. Vamos
caluclar a distribuição em momento, Φ(p).
Φ(p) =
1√
2π~
∫
dx e−
i
~px ψ(x, t = 0)
=
N√
2π~
∫
dx e−
i
~px e−x
2/2σ2+ i~p0x
=
N√
2π~
∫
dx e−x
2/2σ2− i~ (p−p0)x
=
N√
2π~
∫
dx e−1/2σ
2(x− i~σ
2(p−p0))2− σ
2
2~2
(p−p0)2
=
N√
2π~
√
2πσ2e−
σ2
2~2
(p−p0)2
= N ′ e−
σ2
2~2
(p−p0)2 ,
1Na verdade, a discussão a seguir não depende de fator de normalização.
14
onde N ′ é o fator de normalização,
N ′ 2 =
√
σ2
π~2
.
Uma vez obtido Φ (p) podemos calcular a função de onda para qualquer tempo
t,
ψ(x, t) =
1√
2π~
∫
dp Φ(p) e−
i
~ (Et−px)
=
N ′√
2π~
∫
dp e−
σ2
2~2
(p−p0)2 e−
i
~ (Et−px). (34)
É claro que sem saber E = E(p) não podemos avançar mais o cálculo. Mas,
para σ2 � ~2, o primeiro fator Gaussiano tende a zero rapidamente quando
p afasta muito do valor p0. Neste caso, as contribuição para a integral que
vêm muito longe do valor de p = p0 podem ser despreziveis. Podemos fazer
uma aproximação no exponente do segundo fator, como uma função de p, pela
expansão de Taylor em torno do p0.
Et− px '
[
E(p0) +
(
dE
dp
)
p0
(p− p0) +
1
2
(
d2E
dp2
)
p0
(p− p0)2
]
t− px
=
1
2
(
d2E
dp2
)
p0
(p− p0)2 t+
[(
dE
dp
)
p0
t− x
]
(p− p0) + E(p0)t− p0x .
Substituindo esta expressão na Eq.(34), temos
ψ(x, t) =
N ′√
2π~
∫
dp e
− σ2
2~2
(p−p0)2− i~
{
1
2
(
d2E
dp2
)
p0
(p−p0)2 t+
[
( dEdp )p0
t−x
]
(p−p0)+E(p0)t−p0x
}
=
N ′√
2π~
∫
dp e−{A(p−p0)
2+B(p−p0)+C }
=
N ′√
2π~
√
π
A
e−C+
B2
4A ,
onde
A =
σ2
2~2
+
i
2~
t
(
d2E
dp2
)
p0
,
B =
i
~
{(
dE
dp
)
p0
t− x
}
,
C =
i
~
{E(p0)t− p0x } .
Finalmente a função de onda fica
ψ(x, t) = N ′′ e
−
{
( dEdp )p0
t−x
}2
/2∆2(t)
e−
i
~{E(p0)t−p0x }, (35)
15
onde
∆2(t) ≡ σ2 + i~t
(
d2E
dp2
)
p0
. (36)
A Eq.(35) mostra que a pacote de onda é uma distribuição Gaussiana, central-
izada em
x =
(
dE
dp
)
p0
t. (37)
A expressão Eq.(36) pode parecer estranho, pois o parâmetro de largura é com-
plexo. Mas para a largura da distribuicão de probabilidade, devemos calcular
a densidade, e não amplitude. A largura para a probabilidade dependente no
tempo será dada por
1
2
{
1
∆2
+
1
∆∗2
}
=
1
σ2 + (~t)
2
σ2
(
d2E
dp2
)2
p0
. (38)
Da Eq.(37), concluimos que a velocidade do pacote é dada por
vg =
(
dE
dp
)
p0
.
Exercício: Mostre que a largura da distribuição de probabilidade é dada pela
Eq.(38).
Exercício: Um pacote de onda de proton cuja largura inicial é 1cm, a energia
cinética de 1GeV , viaja 10Km. Qual é a largura final do pacote?
Exercício: Calcule o valor médio da posição 〈x〉 do pacote Eq.(35). Calcule
também o valor médio do momento 〈p〉.
2.5 Problema de Potencial
Na Mecânica Quântica, a equação dinâmica que substitui a Equação de Newton
é a Equação de Schrödinger,
i~
∂
∂t
ψ(~r, t) = Ĥψ(~r, t),
onde Ĥ é o operador Hamiltonianio. Esta é uma equação diferencial parcial e,
em geral, não é trivial resolver-la. Mas, como vimos, se resolvemos o problema
de autovalor, ou a Equação de Schrödinger independente no tempo,
ĤψE(~r) = EψE(~r) (39)
para todos os possíveis autovalores E do Hamiltoniano Ĥ, a solução geral é dada
por
ψ(~r, t) =
∑
E
CEe
− i~EtψE(~r).
16
Assim, obter todos as soluções de problema de autovalores do Hamiltoniano do
sistema é equivalente a resolver o problema dinâmico.
Para um sistema físico, o autovalor de Hamiltoniano tem o limite inferior, ou
seja, existe o menor valor do autovalor da energia deve ser finito. O autoestado
correspondente ao autovalor de energia mínimo é chamado de “estado funda-
mental”. Obter solução para o estado fundamental do sistema é um problema
extremamente importante.
Para movimento unidimensional de uma partícula ponteforme sob a ação de
um potencial V (x), a Equação de Schrödinger Eq.(39) se torna uma equação
diferencial ordinária,
− ~
2
2m
d2
dx2
ψE(x) + V (x)ψE(x) = EψE(x). (40)
Antes de buscar uma solução, vamos analizar a propriedade geral do sistema
acima. Re-escrevemos a equação como
ψ′′ (x) = −D(x)ψ (x) , (41)
onde
D(x) ≡ 2m
~2
(E − V (x)) . (42)
Dependendo do sinal da função D (x) o comportamento da solução ψ (x)
muda completamente. Se
D (x) > 0,
então ψ′′ e ψ tem sinais opostos, isto é, quando ψ > 0, então ψ′′ < 0 e, quando
ψ < 0, ψ′′ > 0 . Desta forma, se uma vez ψ > 0, enquanto manter isto,
a derivada de ψ decresce cada vez mais e, portanto, a função também acaba
decrescendo indefinidamente, até cruza o eixo x (ver a figura abaixo).
Por outro lado, se ψ se tornanegativo, então ψ′′ fica positivo. Assim, en-
quanto ψ < 0, a sua derivada cresce cada vez mais e a função começa crescer.
No final, a função acaba cruzando o eixo x mudando o sinal (veja a fugura
abaixo).
Combinando as duas propriedades acima, concluimos que o comportamento
da função ψ (x) é oscilatório (ou a parte da função oscilatória) quando D (x) é
positivo. A curvatura da função fica maior quando D (x) maior.
17
Agora, quando D (x) < 0, a situação inverte. Neste caso, se ψ > 0, en-
tão, a derivada de ψ cresce cada vez mais e, portanto, a função também acaba
crescendo indefinidamente e tende a divergir para ∞, se não cruza o eixo x
antes (a curva do topo na figura abaixo). Quando cruza o eixo x, então o sinal
da função se troca e a derivada decrece. Assim, a função decresce indifinida-
mente e tende a divergir para −∞( a curva no meio). Quando com ψ > 0,
ψ′ decresce cada vez mais e, portanto, a função também acaba decrescendo
mesmo começando com ψ′. Assim ψ decresce indefinidamente e tende a divergir
para −∞, se não cruza o eixo x antes (a curva do baixo). Se cruza o eixo antes,
então a função começa divergir para +∞ (não ilustrado na figura abaixo).
Assim, quando D (x) < 0, a função de onda tende a divergir, seja para +∞,
seja para −∞, exceto uma situação bem particular, onde a função de onda
encosta o eixo x asimtoticamente (ver a figura abaixo). Esta situação particular
ocorre quando o valor e sua derivada de função de onda tem a relação especial.
A análise acima permite discutir o comportamento da função de onda geral
no problema unidimensional. Vamos considerar um potencial atrativo como
ilustrado na figura abaixo. Convencionamos que V (x)→ 0 para |x| → ∞.
18
19
Figure 1: Caso A
Podemos considerar os 3 casos distintos de faixa de energia ilustrados nas
figuras abaixo.
Caso A: Neste caso, a energia é menor que o valor mínimo do potencial.
Isto é, D(x) < 0 para qualquer valor de x. Neste caso, da discussão acima, a
função de onda sempre tem a mesma curvatura, e não ha possibilidade de ter
uma solução finita para |x| → ∞. Assim, podemos descartar esta possibilidade.
Caso B: Neste caso, a energia fica entre o valor mínimo do potencial e zero.
Esta situação corresponde o estado ligado da partícula para este potencial. A
posição x para qual ocorre
V (x) = E,
é chamada de ponto de retorno, pois na Mecânica Clássica, este ponto é onde
a partícula muda a direção da velocidade. Neste exemplo da figura, exitem 2
pontos de retorno. A função de onda tem o comportamento oscilatório dentro
do invervalo entre dois pontos de retorno, e fora dos pontos de retorno, a função
de onda tende a divergir para |x| → ∞. Assim, geralmente não pode satisfazer
a condição de contorno física para valores de energia E arbitrários. Mas, de-
pendendo da situação, pode acontecer que, a oscilação da função de onda no
região no meio fornece justamente a condição não divergente nas regiões fora dos
dois pontos de retorno, aproximando asimtoticamente ao eixo x, como ilustrado
na figura abaixo. Isto mostra que para o caso B, pode existir algum valores
particulares da energia E para o qual, a função de onda satisfaz a condição de
contorno física. Consequentemente, pode existir alguns autovalores descretos de
energia. Assim, o estado ligado na Mecânica Quântica corresponde o autovalor
discreto da energia.
Para o caso C, a energia sempre maior que V (x). Classicamente, esta situ-
ação corresponde o estado de espalhamento. Na Mecânica Quânica, neste caso,
temos sempre D(x) > 0 e a função de onda é sempre oscilatória. Desta forma,
20
Figure 2: Caso B
Figure 3: Caso C
21
Figure 4: Função de onda que asintoticamente converge a zero fora do potencial
nos dois lados.
a condição de contorno física não impor nenhuma condição para E. Qualquer
valor da energia E é permitido, em princípio. Assim, na Mecânica Quântica, o
espectro de autovalor da energia é contínua para estado de espalhamento.
2.6 Exemplo: Partícula num Poço de Potencial Quadrado
Uma solução da equação de autovalores do Hamiltoniano, Eq.(8) é essencial-
mente uma solução da Equação de Schrödinger, também. Assim, a equação
de autovalores do Hamiltoniano, Eq.(8) é chamada de Equação de Schrödinger
independente do tempo.Vamos considerar um exemplo bastante simples. Para
fixar a imagem, vamos tratar um sistema simples. Suponha que uma partícula
com massa m esteja num potencial V (x), definido por
V (x) =
{
−V0,
0,
−L ≤ x ≤ L
|x| > L
onde V0 > 0. Potencial deste tipo é chamado de potencial de poço quadrado.
O operador Hamiltoniano para esta partícula é
H =
1
2m
p̂2 + V
= − ~
2
2m
d2
dx2
+ V (x).
A equação de autovalor do H fica
− ~
2
2m
d2
dx2
ψE(x) + V (x)ψE(x) = EψE(x), (43)
22
onde denotamos o autovalor por E.
Esta é uma equação diferencial para uma função incognita ψE(x), mas lem-
bre que não sabemos ainda o valor de E. O que vai determinar o valor de E é
a condição contorno do problema como vejamos abaixo.
Aqui vamos considerar o caso de estado ligado pelo este poço de potencial.
A energia então deve ser negativa, e maior que o fundo do poço,
−V0 < E < 0.
Neste caso, esperamos que a partícula esteja confinado no poço de potencial.
Vamos explicitar os três regiões de diferentes valores de potencial,
− ~
2
2m
d2
dx2
ψE(x) = EψE(x), x < −L, (44)
− ~
2
2m
d2
dx2
ψE(x)− V0ψE(x) = EψE(x), −L ≤ x ≤ L, (45)
e
− ~
2
2m
d2
dx2
ψE(x) = EψE(x), x〉L, (46)
Da Eq.(44), temos
ψE(x) = Ae
+qx +Be−qx, (47)
onde
q =
√
−2mE
~2
> 0, (48)
e A e B são constantes. Não deve esquecer que a solução dada pela Eq.(47) é
válida só para x < L.
Para x → −∞, o termo exponencial e−qx tende a infinito. Como uma am-
plitude de probabilidade, isto é físicamente não é aceitável2 . Portanto, devemos
ter
B = 0.
Da Eq.(46), temos novamente
ψE(x) = Ce
+qx +De−qx.
Considerando o limite x→ +∞, concluimos que o termo e+qx não deve existir.
Portanto, temos
C = 0.
Da Eq.(45) temos
− ~
2
2m
d2
dx2
ψE(x) = (V0 + E)ψE(x). (49)
Já que
V0 + E > 0,
2Qual é a incoveniência da possibilidade ter infinita para x→ −∞?
23
definimos
k =
√
2m(V0 + E)
~2
, (50)
e a solução da Eq.(49) é escrita por
ψE(x) = α sin kx+ β cos kx.
Resumindo, a solução da equação de autovalor tem a seguinte estrutura;
ψE(x) =
 Ae
+qx,
α sin kx+ β cos kx,
De−qx.
x < −L
−L ≤ x ≤ L
x > L.
(51)
Agora, impormos que a função de onda é suave (contínua até primeira derivada)3 .
Iso é, impormos que
ψE(x)|x→−L−ε = ψE(x)|x→−L+ε ,
e
dψE(x)
dx
∣∣∣∣
x→−L−ε
=
dψE(x)
dx
∣∣∣∣
x→−L+ε
.
Analogamente para x = L, temos
ψE(x)|x→L−ε = ψE(x)|x→L+ε ,
e
dψE(x)
dx
∣∣∣∣
x→L−ε
=
dψE(x)
dx
∣∣∣∣
x→L+ε
.
Estas condições ficam explicitamente para a Eq.(51),
Ae−Lq = −α sin kL+ β cos kL, (52)
qAe−Lq = αk cos kL+ βk sin kL, (53)
De−Lq = α sin kL+ β cos kL, (54)
−qDe−Lq = kα cos kL− kβ sin kL. (55)
Dividindo a Eq.(53) por (52), temos
q = k
α cos kL+ β sin kL
−α sin kL+ β cos kL, (56)
e dividindo a Eq.(55) por (54), temos
q = k
−α cos kL+ β sin kL
α sin kL+ β cos kL
. (57)
3Discutiremos o significado físico destas condições.
24
Das Eqs.(56) e (57), temos
α cos kL+ β sin kL
−α sin kL+ β cos kL =
−α cos kL+ β sin kL
α sin kL+ β cos kL
. (58)
Daí, concluímos que
αβ = 0, (59)
isto é, α = 0 ou β = 0. (α = β = 0 corresponde ψE(x) ≡ 0, portanto não
consideramos).
Exercício: Mostre da Eq.(58) a Eq.(59).
De α = 0, temos
q = k tan kL, (60)
e se β = 0, temos
q = −k cot kL, (61)
Lembramos que q e k são funções de E. Assim, o autovalor de energia E deve
satisfazer, ou
q(E) = k(E) tan k(E)L, (62)
ou
q(E) = −k(E) cot k(E)L. (63)
Isto é, os autovalores da energia E são as raízes das equações acima.
Para ver o comportamento destas raízes, lembramos que,
q2 = −2mE
~2
, k2 =
2m (V0 + E)
~2
,
portanto,
(Lq)
2
+ (Lk)
2
=
2mV0L
2
~2
≡ ξ2. (64)
Escrevendo
u = Lq,
v = Lk,
as equações que devem ser resolvidas ficam{
u =
√
ξ2 − v2
u = v tan v
(65)
ou {
u =
√
ξ2 − v2
u = −v cot v (66)
Exercício: Desenvolve as contas acima.
25
As raízes são dadas comopontos de cruzamento de duas curvas, uma um
circlo com raio ξ e outra, u = v tan v ou u = −v cot v.
Exercício: Desenhe os graficos das duas curvas da Eq.(65) no plano (ν, u).
Dependendo do valor de ξ, existem mais de uma solução. Qual é o valor
de ξ para qual existe apenas uma solução?
Exercício: Mostre que todas as autofunções ficam classficadas em dois grupos,
ou função simétrica, ou antisimétrica.
Vamos investigar o caso de um poço infinitamente fundo, ou seja, no limite
de V0 →∞. Os pontos de cruzamento são dados por
v =
(
n+
1
2
)
π, n = 1, 2, .. (67)
para o caso de
u = v tan v,
e
v = nπ, n = 1, 2, ...
para o caso de
u = −v cot v.
Assim, os possíveis valores de v em ambos casos são dados por
vn =
1
2
πn, n = 1, 2, ... (68)
e os valores correspondentes de k ficam
kn =
1
2
πn
L
A energia medido do fundo do poço (−V0) fica
En + V0 =
~2
2m
k2n
=
π2~2
8mL2
n2. (69)
Exercício: Discuta o comportamento da função de onda em x = ±L no caso
de V0 →∞.
Exercício: Justifique as Eqs.(67) e (68).
Exercício: Discuta o resultado Eq.(69) do ponto de vista do Princípio de In-
certeza.
26