Equação de Onda de Schrödinger

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Marcia R. Gallas (FIS01184) – IF-UFRGS
4.1 A Equação de Onda de Schrödinger 
4.2 Valores Esperados
4.3 Poço de Potencial Quadrado Infinito
4.4 Poço de Potencial Quadrado Finito
4.5 Barreiras e Tunelamento
4.6 Poço de Potencial Infinito Tridimensional
Unidade 2 – Aula 4
EquaçãoEquação de Schrödinger*de Schrödinger*
Erwin Schrödinger (1887-1961)
A careful analysis of the process of observation in atomic physics has 
shown that the subatomic particles have no meaning as isolated 
entities, but can only be understood as interconnections between the 
preparation of an experiment and the subsequent measurement. 
- Erwin Schrödinger
* Tradução e adaptação livre das aulas do Professor 
Rick Trebino em: www.physics.gatech.edu/frog
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Opiniões sobre mecânica quântica
I think it is safe to say that no 
one understands quantum 
mechanics. Do not keep saying 
to yourself, if you can possibly 
avoid it, “But how can it be like 
that?” because you will get 
“down the drain” into a blind 
alley from which nobody has yet 
escaped. Nobody knows how it 
can be like that.
- Richard Feynman
Richard Feynman (1918-1988)
Those who are not shocked 
when they first come across 
quantum mechanics cannot 
possibly have understood it.
- Niels Bohr
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4.1: A Equação de Onda de Schrödinger
A equação de onda de Schrödinger na sua forma dependente do 
tempo para uma partícula com energia E se movendo num potencial
V em uma dimensão é:
e i é a raiz quadrada de -1. 
A Equação de Schrödinger é A equação fundamental da Mecânica
Quântica.
onde V = V(x,t)
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Solução Geral da Equação da Onda
de Schrödinger quando V = 0
Tente esta solução:
( )i kx t
i Ae i
t
ωω ω−
∂Ψ
= − = − Ψ
∂
( )( )i i i
t
ω ω
∂Ψ
= − Ψ = Ψ
∂
h h h
2 2 2 2
2
2 2
k
m x m
− ∂ Ψ
= Ψ
∂
h h
Esta solução funciona se:
2 2
2
k
m
ω =
h
h
o que nos mostra que a 
energia total do sistema é a 
energia cinética!!
Ψ==
∂
Ψ∂ − ikikAe
x
tkxi )( ω Ψ−==
∂
Ψ∂ − 2)(
2
2
))(( kAeikik
x
tkxi ω
m
p
m
h
m
h
m
k
222
2
2
2
2
222
22
=






=












=
λλ
π
πh
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V = 0, significa que temos uma partícula livre no espaço, e a solução
geral tem a forma 
que também descreve o movimento de uma onda na direção x. Em
geral a amplitude pode ser complexa.
A função de onda também não está restrita a ser real! Note que esta
função é complexa (i). 
Sómente as quantidades fisicamente mensuráveis são reais. Isto
inclui a probabilidade, o momento e a energia.
Solução Geral da Equação da
Onda de Schrödinger quando V = 0
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Normalização e Probabilidade
A probabilidade P(x) dx de uma partícula estar entre x e x + dx é dada 
pela equação
A probabilidade de uma partícula estar entre x1 and x2 é dada por
A função de onda deve também ser normalizada para que a 
probabilidade desta partícula estar em qualquer lugar no eixo x seja 1.
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Propriedades de Funções de Onda Válidas
Condições para a função de onda:
1. Para evitar probabilidades infinitas, a função de onda deve ser 
finita em todos os pontos.
2. A função de onda deve ter um valor único (“single valued”).
3. A função de onda deve ser diferenciável duas vezes. Isto significa
que ela e suas derivadas devem ser contínuas. (Uma exceção
para esta regra ocorre quando o potencial V é infinito.) 
4. Para normalizar uma função de onda, ela deve se aproximar de 
zero quando x vai a infinito.
Soluções que não satisfazem estas propriedades em geral não
correspondem a situações físicamente realizáveis.
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� O potencial em muitos casos não depende explicitamente do tempo.
� A dependência com o tempo e com a posição podem ser separados
na equação de onda de Schrödinger. Podemos escrever:
Levando à:
Agora dividindo pela função de onda ψ(x) f(t):
Equação de Onda de Schrödinger Independente do Tempo
A parte esquerda depende somente de t, e a parte 
direita depende somente de x. Deste modo cada
lado deve ser igual a uma constante. O lado
dependente do tempo fica:
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Integrando ambos os lados temos:
onde C é uma constante de integração que podemos escolher como
sendo zero. 
Portanto:
Equação de Schrödinger Independente do tempo
Lembre da solução para uma partícula livre (onde V=0)
Onde f(t) = e -iω t, assim: ω = B / ħ ou B = ħω, o que significa que: B = E !
Assim multipicando por ψ(x), a equação de Schrödinger espacial fica: 
tikxitkxi
eAeAetx
ωω −− ==Ψ )()(),(
BxV
dx
xd
xm
=+− )(
)(
)(
1
2
2
22 ψ
ψ
h
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Os físicos em geral escrevem esta equação simplesmente como:
onde:
Ĥ Eψ ψ=
2 2
2
ˆ
2
H V
m x
∂
= − +
∂
h
é um operador
conhecido como
Hamiltoniano.
Ĥ
Esta equação é conhecida como Equação de Onda de Schrödinger 
Independente do Tempo , e é uma equação tão fundamental em
Mecânica Quântica como a equação de Schrödinger dependente do tempo.
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Estados Estacionários
A função de onda pode ser escrita como:
A densidade de probabilidade fica:
A distribuição de probabilidade é constante no tempo. 
Este é um fenômeno de onda estacionária e é chamado de estado
estacionário.
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4.2: Valores Esperados
Em mecânica quântica se calcula valores esperados. O valor
esperado, , é o valor médio ponderado de uma dada quantidade. 
Por exemplo, o valor esperado de x é dado por:
Se exixtir um número infinito de possibilidades, e x é contínuo, 
então:
1 1 2 2 N N i i
i
x Px P x P x P x= + + + =∑L
x
( )x P x x dx= ∫
* *
( ) ( ) ( ) ( )x x x x dx x x x dx= Ψ Ψ = Ψ Ψ∫ ∫
Na Mecânica Quântica temos:
E o valor esperado de alguma função de x, g(x) é dado por:
*
( ) ( ) ( ) ( )g x x g x x dx= Ψ Ψ∫
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Para encontrar o valor esperado de p, precisamos primeiro representar
p em termos de x e t. Considere a derivada da função de onda de uma
partícula livre com relação a x:
Com k = p / ħ temos
e portanto:
Isto nos dá a definição do operador momento como .
O valor esperado do momento é:
Operador Momento
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� A posição x é seu próprio operador.
� Operador de energia: a derivada temporal da função de onda de 
uma partícula livre é:
Substituindo ω = Ε / ħ leva a 
O operador de energia é então:
O valor esperado da energia é dado por:
Operadores de Posição e Energia
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Substituindo pelos operadores:
E:
K+V:
Derivando a Equação de Schrödinger 
usando operadores
2
2
p
E K V V
m
= + = +A energia é:
E i
t
∂Ψ
Ψ =
∂
h
22
1
2 2
p
V i V
m m x
∂ 
Ψ + Ψ = − Ψ + Ψ 
∂ 
h
2
2
p
E V
m
⇒ Ψ = Ψ + Ψ
2 2
22
V
m x
∂ Ψ
= − + Ψ
∂
h
2 2
22
i V
t m x
∂Ψ ∂ Ψ
= − + Ψ
∂ ∂
h
hSubstituindo:
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4.3: Poço de Potencial Quadrado Infinito
O exemplo mais simples é aquele de uma
partícula confinada numa caixa com paredes
rígidas, onde a partícula não pode penetrar.
Este potencial chamado de poço quadrado
infinito é dado por:
Claramente a função de onda deve ser zero onde o potencial é infinito.
Onde o potencial é zero (dentro da caixa), a equação de onda de 
Schrödinger independente do tempo fica: 
A solução geral é:
x0 L
onde
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Condições de contorno do potencial estabelecem
que a função de onda deve ser zero para x = 0
e x = L. Isto leva a soluções válidas para valores
inteiros de n de tal modo que kL = nπ.
A função de onda fica então:
Normalizando a função de onda:
A função de onda normalizada fica:
Estas funções são idênticas àquelas obtidas para uma corda vibrante
com pontas fixas.
Quantização
⇒
x0 L
2 /A L=⇒
)2
4
1
2
1
( 2 xsenxxdxsen −=∫
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Energia Quantizada
O número de onda quantizado fica agora:
Resolvendo para a energia temos:
Note que a energia depende de valores inteiros de n. Portatno a 
energia é quantizada e não é zero. 
O caso especial para
n = 1 é chamado de 
estado fundamental.
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4.4: Poço de Potencial
Quadrado Finito
Potencial é descrito como:
podemos escrever:
Considerando que as funções de 
onda devem ser zero no infinito, as 
soluções para esta equação são
A equação de Schrödinger 
for a do poço finito nas
regiões I e III é dada por:
Fazendo:
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Dentro do poço, onde o potencial V é zero, a equação de onda fica
onde
A solução aqui é: 
As condições de 
contorno requerem que:
assim a equação de
onda é continua onde as 
as regiões se encontram.
Note que a função
de onda não é zero 
fora da caixa. 
Solução para o poço quadrado finito
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Profundidade de Penetração
A profundidade de 
penetração é a distância
for a do poço de potencial
onde a probabilidade
diminui significativamente. 
É dada por
A distância de penetração
que viola as leis da física
clássica é proporcional a 
constante de Planck.
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4.5: Barreiras e Tunelamento
Considere uma partícula com energia E se aproximando de uma barreira
de potencial de altura V0, sendo que o potencial em qualquer outro lugar é 
zero. Primeiro vamos considerar o caso onde a energia é maior que a 
barreira de potencial.
Nas regiões I e III os números de onda são:
Na região da barreira temos
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Reflexão e Transmissão
A função de onda será composta por uma onda incidente, uma onda
refletida, e uma onda transmitida.
Os potenciais e a equação de onda de Schrödinger para as três regiões
serão:
As soluções correspondentes são:
Se a onda se move da esquerda para a direita, podemos simplificar as 
funções de onda:
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Probabilidade de Reflexão e Transmissão
A probabilidade das partículas serem refletidas R ou transmitidas T
é:
Como as partículas podem ser ou refletidas ou transmitidas, temos: 
R + T = 1
Applicando as condições de contorno
x → ±∞, x = 0, and x = L, chegamos na
probabilidade de transmissão:
Note que a probabilidade de transmissão pode ser 1. 
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O resultado da mecânica quântica é uma das características mais
marcantes da física moderna. Existe uma probabilidade finita de 
que a partícula possa penetrar a barreira e mesmo, emergir do 
outro lado!
A função de onda
na região II fica:
A probabilidade de transmissão que
descreve o fenômeno de tunelamento é:
Tunelamento
Agora vamos considerar a 
situação onde classicamente
a partícula não tem energia
suficiente para superar a 
barreira de potencial, E < V0.
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Função de onda de Tunelamento
A violação da física clássica é permitida pelo princípio de 
incerteza. A particula pode violar a física clássica por ∆E por um 
período curto de tempo, ∆t ~ ħ / ∆E.
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Analogia com a onda na Óptica
Se luz passando através de um prisma de vidro
reflete na superfícies interna com um ângulo
maior que o ângulo crítico, ocorre reflexão
interna total. Entretanto, o campo 
eletromagnético não é exatamente zero fora do 
prisma. Se colocarmos outro prisma muito
próximo deste primeiro prisma, foi mostrado
experimentalmente que a onda eletromagnetica
(luz) surge no segundo prisma. A situação é 
análoga ao tunelamento descrita aqui. Este 
efeito foi observado por Newton e pode ser 
demonstrado com dois prismas e um laser. A 
intensidade da segundo feixe de luz diminui
exponencialmente com o aumento da distância
entr os dois prismas.
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Poço de Potencial: efeitos quânticos
Considere uma partícula passando
por um poço de potencial, 
em vez de uma barreira.
Classicamente, a partícula iria
aumentar a sua velocidade na região
do poço porque
K = mv2 / 2 = E + V0
Na mecânica quântica, reflexão e transmissão podem ocorrer, mas o 
comprimento de onda diminue dentro do poço. Quando a largura do 
poço de potencial é precisamente igual a (m+½)λ ou mλ onde m é inteiro, 
as ondas refletidas podem estar fora de fase ou em fase com a onda
original, e cancelamentos ou ressonâncias podem ocorrer. Estes efeitos
podem gerar uma transmissão ou reflexão quase puras para certos
comprimentos de onda. Por exemplo, em x = L para uma onda passando
para a direita, esta onda pode refletir e estar fora de fase com a onda
incidente. O efeito seria de cancelamento dentro do poço.
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Decaimento de Partícula Alfa
O fenômeno de tunelamento esplica o decaimento de partículas alfa
de núcleos pesados radioativos.
Dentro do núcleo, uma partícula alfa sente a força nuclear atrativa, 
forte e de curto alcance, assim como a força de repulsão
Coulombiana.
A força nuclear domina na região dentro do raio nuclear, onde o 
potencial pode ser representado aproximadamente por um poço
quadrado.
A força Coulombiana domina
fora do raio nuclear.
A barreira de potencial no raio
nuclear é maior que a energia
da partícula alfa.
Em mecânica quântica, entretanto, 
a partícula alfa pode tunelar
através da barreira. Isto é observado
como decaimento radioativo.
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A função de onda deve ser uma função das três coordenadas espaciais. 
Vamos considerar o operador momento atuando na função de onda e neste
caso, ele deve atuar duas vezes em cada dimensão. Temos:
4.6: Poço de potencial infinito tridimensional
Deste modo a equação de onda de Schrödinger tridimensional fica:
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O poço de potencial infinito 3D 
22 22 2
2 2 22
yx z
x y z
nn n
E
m L L L
π  
= + +  
 
h
È fácil mostrar que:
( )
2 2
2 2 2
22
x y z
E n n n
mL
π
= + +
h
Se a caixa é um cubo:
( , , ) sin( ) sin( ) sin( )
x y z
x y z A k x k y k zψ =
/
x x x
k n Lπ=onde: /y y yk n Lπ= /z z zk n Lπ=
e:
Note que mais de uma função de onda podem ter a mesma energia.
Tente (10, 4, 3) 
e (8, 6, 5)
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Degenerescência
A equação de onda de Schrödinger em três dimensões introduz três
números que quantizam a energia. E a mesma energia pode ser 
obtida para diferentes conjuntos de números quânticos.
Um estado quântico é dito degenerado quando existe mais de 
uma função de onda para uma dada energia.
Degenerescência resulta de propriedades particulares da função de 
energia potencial que descreve o sistema. Uma perturbação na
energia potencial pode remover esta degenerescência.