SOLUCAO TP 01 - PONTES - 13 12 2020 - GABRIELA PIMENTA

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
CAMPUS X – UNIDADE CURVELO | CEFET – MG 
 
 Tópicos Especiais em Estruturas: Pontes e Viadutos 
 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL – 13/10/2020 
PROFESSOR: THIAGO BOMJARDIM PORTO 
Aluna: Gabriela Farias Pimenta 
___________________________________________________________________________________________________________ 
1. Para a estrutura apresenta (OAE), pede-se: 
a) Traçar a linha de influência de reação no ponto A; 
b) Determinar os valores limites de RA (RAmax(+) e RAmax(-)); 
c) Traçar a linhas de influência do esforço cortante/cisalhante QA (VA); 
d) Determinar o valor limite de QA (QAmax(+) e QAmax(-)) para o carregamento apresentado; 
e) Traçar a linha de influência de Momento fletor no ponto A (MA); 
f) Determinar os valores limites de MA (MAmax(+) e MAmax(-)) para o trem-tipo apresentado: 
g) Elaborar Pré-dimensionamento das longarinas principais da Ponte (Seções 1 a 6); 
Dados: Veículo TB-450, fck=30MPa, Aço CA 50, CAA III. 
 
 
Modelo Analítico Simplificado da viga e o trem-tipo em estudo 
 
Subdivisão da longarina em seções transversais de referência 
 
 
 
A. Traçar a linha de influência de reação no ponto A; 
 
∑𝑀𝐵 = 0 
 
−1 ∙ (29,5 − 𝑥) + 𝑅𝐴 ∙ 25 = 0 
25𝑅𝐴 = 29,5 − 𝑥 
𝑅𝐴 =
29,5 − 𝑥
25
= 1,18 − 0,04𝑥 
x (metros) RA (kN) 
0 1,18 
4,5 1,0 
29,5 0,0 
34 -0,18 
 
 
Por semelhança de triângulos, temos: 
 
1,18
29,5
=
𝑌1
28
=
𝑌2
26,5
 
 
0,18
4,5
=
𝑌3
1,5
=
𝑌4
3,0
 
B. Determinar os valores limites de RA (RA
max(+) e RA
max(-)); 
 
RA
max(+) 
 
𝑅𝐴
max⁡(+)
= 119,01(1,18 + 1,12 + 1,06) +
1,18 ∙ 29,5
2
∙ 19,65 = 741,88𝑘𝑁 
 
RA
max(-) 
 
𝑅𝐴
max⁡(−)
= −119,01(0,18 + 0,12 + 0,06) −
0,18 ∙ 4,5
2
∙ 19,65 = −50,80𝑘𝑁 
C. Traçar a linhas de influência do esforço cortante/cisalhante QA (VA); 
 
 
 
 
 
 
D. Determinar o valor limite de QA (QAmax(+) e QAmax(-)) para o carregamento 
apresentado; 
QA
max(+). 
 
 
𝑄𝐴
max⁡(+)
= 119,01(1,0 + 0,94 + 0,88) +
1,0 ∙ 25
2
∙ 19,65 +
0,18 ∙ 4,5
2
∙ 19,65 = 589,19𝑘𝑁 
 
 QA
max(-) 
 
𝑄𝐴
max⁡(−)
= −119,01(0,18 + 0,12 + 0,06) −
0,18 ∙ 4,5
2
∙ 19,65 = −50,80𝑘𝑁 
E. Traçar a linha de influência de Momento fletor no ponto A (MA); 
 
𝑀𝑆 = −1(4,5 − 𝑥) = −4,5 + 𝑥 
x (metros) RA (kN) 
0 -4,5 
4,5 0,0 
 
 
 
F. Determinar os valores limites de MA (MAmax(+) e MAmax(-)) para o trem-tipo 
apresentado: 
MA
max(+) 
 
𝑀𝐴
max⁡(+)
= 0𝑘𝑁.𝑚 
 
MA
max(-) 
 
4,5
4,5
=
𝑌1
3,0
=
𝑌2
1,5
= 1,0 
 
𝑌1 = 3,0 
𝑌2 = 1,5 
 
𝑀𝐴
max⁡(−)
= −119,01(4,5 + 3,0 + 1,5) −
4,5 ∙ 4,5
2
∙ 19,65 = −1.270,04𝑘𝑁.𝑚 
 
G. Elaborar Pré-dimensionamento das longarinas principais da Ponte (Seções 1 a 6); 
Definição dos coeficientes de ponderação dinâmicos/estáticos dos esforços da viga 
IMPACTO VERTICAL: Face à complexidade dos efeitos causadores do impacto, a sua 
determinação é feita por processos experimentais. A NBR 7187/2003 determina a seguinte 
expressão para o coeficiente de impacto em pontes rodoviárias: 
 = 1,4 - 0,007l > 1,0 
Sendo: 
l = comprimento de cada vão teórico do elemento carregado, em metros. 
 
 
Para o problema proposto, tem-se: 
l = 4,5+25+4,5 = 34 m 
 = 1,4-0,007x34 = 1,16 
No entanto, a atual NBR 7188/2013 estabelece 3 coeficientes de ponderação distintos: 
CIV = Coeficiente de Impacto Vertical 
CNF = Coeficiente de Número de Faixas 
CIA = Coeficiente de Impacto adicional 
𝜑′ = 𝐶𝐼𝑉 × 𝐶𝑁𝐹 × 𝐶𝐼𝐴 
 
Onde: 
CIV = 1,35 para estruturas com vão menor do que 10,0 metros 
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 (
20
𝐿𝑖𝑣 + 50
) 
𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,05(𝑛 − 2) > 0,9 
CIA = 1,25 (obras em concreto ou mistas) 
CIA = 1,15 (obras em aço) 
Seção 1: 
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 (
20
34 + 50
) = 1,25 
𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,05(2 − 2) = 1,0 
CIA = 1,25 
𝜑′ = 1,25 × 1,0 × 1,25 = 1,56 
ABNT NBR 8681:2003 - Ações e segurança nas estruturas - Procedimento 
Estados limites últimos (ELU) 
Coeficientes de ponderação para os estados limites últimos 
Carregamento normal 
γg = 1,35 
γq = 1,50 
 
Estados limites de serviço (ELS) 
Coeficiente de ponderação para os estados limites de serviço 
Carregamento normal 
0 = 0,7 
1 = 0,5 
2 = 0,3 
 
ABNT NBR 6118:2014 (Item 11 – Ações) 
γq – coeficiente de ponderação para as ações variáveis diretas 
γg – coeficiente de ponderação para as ações permanentes 
ψ0 – fator de redução de combinação para ELU 
ψ1 – fator de redução de combinação frequente para ELS 
ψ2 – fator de redução de combinação quase permanente para ELS 
 
 
 
 
 
k.2. Combinações de cálculo 
k.2.1. Envoltória das Solicitações últimas (ELU) 
ABNT NBR 8681:2003 - Ações e segurança nas estruturas – Procedimento 
 
ABNT NBR 6118:2014 (Item 11 – Ações) 
 
 
EQUAÇÃO SIMPLIFICADA: 
𝑭𝒅(𝑬𝑳𝑼) = 𝜸𝒈𝑭𝒈𝒌 + 𝜸𝒒𝑭𝒒𝒌 
 
k.2.1. Envoltória das Solicitações serviço (ELS) 
ABNT NBR 8681:2003 - Ações e segurança nas estruturas – Procedimento 
Verificação de Flecha 
 
Verificação de Fissuração 
 
ABNT NBR 6118:2014 (Item 11 – Ações) 
 
 
EQUAÇÃO SIMPLIFICADA (CQP) – Verificação de Flechas: 
𝑭𝒅(𝑬𝑳𝑺) = 𝑭𝒈𝒌 + 𝟐𝝋𝑭𝒒𝒌 
EQUAÇÃO SIMPLIFICADA (CF) – Verificação de fissuração: 
𝑭𝒅(𝑬𝑳𝑺) = 𝑭𝒈𝒌 + 𝟏𝝋𝑭𝒒𝒌 
Substituindo os esforços solicitantes, na seção 1, tem-se 
 
 
 
𝑴+ = 𝑴𝒈𝒌 +𝝋𝑴𝒒𝒌
+ = 𝟏𝟎𝟗𝟏, 𝟗𝟕 + 𝟏, 𝟏𝟔 × (𝟎) = +𝟏𝟎𝟗𝟏, 𝟗𝟕𝒌𝑵.𝒎 
𝑴− = 𝑴𝒈𝒌 + 𝝋𝑴𝒒𝒌
− = 𝟏𝟎𝟗𝟏, 𝟗𝟕 + 𝟏, 𝟏𝟔 × (−𝟏𝟐𝟕𝟎,𝟎𝟒) = −𝟑𝟖𝟏, 𝟐𝟖𝒌𝑵.𝒎 
 
𝑴𝒅(𝑬𝑳𝑼)
+ = 𝜸𝒈𝑴𝒈𝒌 + 𝜸𝒒𝝋𝑴𝒒𝒌
+ 
𝑴𝒅(𝑬𝑳𝑼)
+ = 𝟏, 𝟒𝑴𝒈𝒌 + 𝟏, 𝟒𝝋𝑴𝒒𝒌
+ = ⁡𝟏, 𝟒 × (−𝟏𝟎𝟗𝟏, 𝟗𝟕) + 𝟏, 𝟒 × 𝟏, 𝟏𝟔 × (𝟎)
= −𝟏𝟓𝟐𝟖, 𝟕𝟔𝒌𝑵.𝒎 
𝑴𝒅(𝑬𝑳𝑼)
− = 𝟏, 𝟒𝑴𝒈𝒌 + 𝟏, 𝟒𝝋𝑴𝒒𝒌
+ = ⁡𝟏, 𝟒 × (−𝟏𝟎𝟗𝟏, 𝟗𝟕) + 𝟏, 𝟒 × 𝟏, 𝟏𝟔 × (−𝟏𝟐𝟕𝟎, 𝟎𝟒)
= −𝟑𝟓𝟗𝟏,𝟑𝟎𝒌𝑵.𝒎 
 
 
Pré-dimensionamento da longarina segundo a NBR 6118/2014 
Seção 1: 
Adotar Md = - 3591,30 kN.m = - 359130 kN.cm 
Não pode ser dimensionado como viga T. 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm
2 
f𝑐 =
0,85𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
0,85 × 30
1,4
= 18,21⁡𝑀𝑃𝑎 = 1,821
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝑘 =
359130
1,821 × 45 × 1902
= 0,1214 < 𝑘𝐿 = 0,295 → 𝑘 = 𝑘′ 
𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠2 = 0 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 =
1,821 × 45 × 190
43,48
× (1 − √1 − 2 × 0,1214⁡) = 46,49𝑐𝑚2 ≈ 46,5𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
46,5
4,909
= 9,47⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 10⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
Cálculo da ferragem na região comprimida: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
0,15 × 𝐴𝑐
100
=
0,15 × 45 × 200
100
= 13,5𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
13,5
4,909
= 2,75⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 3⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
 
Croqui do detalhamento da viga na seção 1: 
 
 
 
 
 
Da mesma forma encontraremos a envoltória de momentos para as outras seções: 
Seçã
o 
Posiçã
o x 
(m) 
𝑴𝒈(
𝒌𝑵.𝒎) 
 
𝑴𝒒
+(𝒌𝑵.𝒎) 
 
𝑴𝒒
−(𝒌𝑵.𝒎) 
 
𝑴𝒅(𝑬𝑳𝑼)
+ (
𝒌𝑵.𝒎) 
 
𝑴𝒅(𝑬𝑳𝑼)
+ (𝒌𝑵.𝒎) 
 
0 0 0 0 0 0,00 0,00 
1e 5e -1091,97 0 -1270,04 -1528,76 -3591,30 
1d 5d -1091,97 0 -1270,04 -1528,76 -3591,30 
2 7,5 435,86 1302,42 -1162,94 2725,33 -1278,41 
3 10 1592,22 2303,51 -1055,83 5970,01 514,44 
4 12,5 2437,16 3003,28 -948,72 8289,35 1871,30 
5 15 2960,22 3404,71 -841,61 9673,56 2777,53 
6 17,5 3161,41 3588,08 -734,5 10253,02 3233,15 
 
Seção 0: 
Como a seção 0 não tem momento aplicado, usaremos a armadura para encontrarmos a área de 
aço submetida a flexão dada por: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
0,173 × 𝐴𝑐
100
=
0,173 × 25 × 200
100
= 8,65𝑐𝑚2 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
8,65
4,909
= 1,76⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡
≈ 𝑃𝑎𝑟𝑎⁡𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟⁡𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜⁡𝑛𝑎⁡𝑣𝑖𝑔𝑎⁡𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠⁡4⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚Seção 2: 
Pode ser dimensionada como viga T. 
 
𝑐 = 0,1𝑚 
𝑏2 = 5,00 − 0,1 = 4,9𝑚 
𝑏1 ≤ {
0,5𝑏2
0,1𝑎
} 
𝑏1 ≤ {
0,5 ∗ 4,9𝑚
0,1 ∗ 15𝑚
} 
𝑏1 ≤ {
2,45𝑚
1,5𝑚
} 
𝑏1 = 1,5𝑚 
𝑏3 ≤ {
𝑏4
0,1𝑎
} 
𝑏3 ≤ {
1,65𝑚
1,50𝑚
} 
𝑏3 = 1,5𝑚 
𝑏𝑤 = 0,33𝑚 
𝑏𝑓 = 𝑏1 + 𝑏𝑤 + 𝑏3 
𝑏𝑓 = 1,50 + 0,33 + 1,50 
𝑏𝑓 = 3,33𝑚 
ℎ𝑓 = 0,20𝑚 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
 
 
 
Para as seções 3, 4, 5 e 6 teremos: 
 
𝑐 = 0,1𝑚 
𝑏2 = 5,00 − 0,1 = 4,9𝑚 
𝑏1 ≤ {
0,5𝑏2
0,1𝑎
} 
𝑏1 ≤ {
0,5 ∗ 4,9𝑚
0,1 ∗ 15𝑚
} 
𝑏1 ≤ {
2,45𝑚
1,5𝑚
} 
𝑏1 = 1,5𝑚 
𝑏3 ≤ {
𝑏4
0,1𝑎
} 
𝑏3 ≤ {
1,65𝑚
1,50𝑚
} 
𝑏3 = 1,5𝑚 
𝑏𝑤 = 0,30𝑚 
𝑏𝑓 = 𝑏1 + 𝑏𝑤 + 𝑏3 
𝑏𝑓 = 1,50 + 0,30 + 1,50 
𝑏𝑓 = 3,30𝑚 
ℎ𝑓 = 0,20𝑚 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
Para realizarmos o dimensionamento da armadura longitudinal positiva, será utilizado o 
cálculo conforme procedimento para armaduras de vigas T, conforme proposto por Porto 
& Fernandes (2015), verificando inicialmente se a linha neutra corta ou não a mesa. Para 
realizar este procedimento é necessário comparar se: 
𝑀𝑟𝑒𝑓 ≤ 𝑀𝑑 
Onde: 
⁡𝑀𝑟𝑒𝑓⁡é o momento de referência 
⁡𝑀𝑑 ⁡é o momento de cálculo 
O momento de referência é calculado da seguinte fórmula: 
(09) 
𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝑓𝑐 ∗ 𝑏𝑓 ∗ ℎ𝑓 (𝑑 −
ℎ𝑓
2
) 
Onde: 
𝑓𝑐 é a resistência final de cálculo do concreto: 
𝑏𝑓 é a largura da mesa colaborante 
ℎ𝑓 é a espessura da laje 
d é a altura útil, atribuindo-se um d’=0,05m: 𝑑 = ℎ − 𝑑’ = 2 − 0,05 = 1,95𝑚 
𝑀𝑟𝑒𝑓 = 15178,57 ∗ 3,33 ∗ 0,2 (1,9 −
0,2
2
) = 18.196,07𝑘𝑁.𝑚 
O ⁡𝑀𝑑⁡será o maior momento de cálculo encontrado, que no caso será 6593,17kN.m, assim 
⁡𝑀𝑟𝑒𝑓 ≥ 𝑀𝑑, logo a linha neutra não corta a mesa, assim deve se considerar a seção como uma 
seção retangular comum. 
𝑘 =
272533
1,821 × 333 × 1902
= 0,0124 < 𝑘𝐿 = 0,295 → 𝑘 = 𝑘′ 
𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠2 = 0 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 =
1,821 × 333 × 190
43,48
× (1 − √1 − 2 × 0,0124⁡) = 33,20𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
33,20
4,909
= 6,76⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 7⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
 
Os outros valores seguindo a geometria da seção serão iguais, logo podemos elaborar a seguinte 
tabela para encontrar a área de aço para cada seção de 2 a 6, utilizaremos o maior momento 
para cada seção: 
 
Seção 2: 
Adotar Md = +⁡2735,33 kN.m = +273533 kN.cm e Md = −⁡1278,41 kN.m = -⁡1278,41 kN.cm 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm
2 
f𝑐 =
0,85𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
0,85 × 30
1,4
= 18,21⁡𝑀𝑃𝑎 = 1,821
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
Cálculo da ferragem na região comprimida: 
𝑘 =
273533
1,821 × 45 × 1902
= 0,092 < 𝑘𝐿 = 0,295 → 𝑘 = 𝑘′ 
𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠2 = 0 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 =
1,821 × 45 × 190
43,48
× (1 − √1 − 2 × 0,092⁡) = 34,62𝑐𝑚2 ≈ 34,6𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
34,6
4,909
= 7,05⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 8⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
Cálculo da ferragem na região tracionada: 
𝑘 =
127841⁡
1,821 × 45 × 1902
= 0,043 < 𝑘𝐿 = 0,295 → 𝑘 = 𝑘′ 
𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠2 = 0 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 =
1,821 × 45 × 190
43,48
× (1 − √1 − 2 × 0,043⁡) = 15,74𝑐𝑚2 ≈ 15,7𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
15,7
4,909
= 3,2⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 4⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
 
Croqui do detalhamento da viga na seção 2: 
 
Seção 3: 
Adotar Md = +⁡5970,00⁡ kN.m = +⁡597000 kN.cm 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm
2 
f𝑐 =
0,85𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
0,85 × 30
1,4
= 18,21⁡𝑀𝑃𝑎 = 1,821
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
Cálculo da ferragem na região comprimida: 
𝑘 =
597000⁡
1,821 × 45 × 1902
= 0,202 < 𝑘𝐿 = 0,295 → 𝑘 = 𝑘′ 
𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠2 = 0 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 =
1,821 × 45 × 190
43,48
× (1 − √1 − 2 × 0,202⁡) = 81,63𝑐𝑚2 ≈ 81,6𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
81,6
4,909
= 16,62⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 17⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
Cálculo da ferragem na região tracionada: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
0,15 × 𝐴𝑐
100
=
0,15 × 45 × 200
100
= 13,5𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
13,5
4,909
= 2,75⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 3⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
 
Croqui do detalhamento da viga na seção 3: 
 
Seção 4: 
Adotar Md = +8289,35⁡⁡ kN.m = +⁡828935 kN.cm 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm
2 
f𝑐 =
0,85𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
0,85 × 30
1,4
= 18,21⁡𝑀𝑃𝑎 = 1,821
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
Cálculo da ferragem na região comprimida: 
𝑘 =
⁡828935⁡⁡
1,821 × 45 × 1902
= 0,280 < 𝑘𝐿 = 0,295 → 𝑘 = 𝑘′ 
𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠2 = 0 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 =
1,821 × 45 × 190
43,48
× (1 − √1 − 2 × 0,280⁡) = 120,55𝑐𝑚2 ≈ 120,5⁡𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋3,22
4
= 8,042𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
81,6
8,042
= 10,15⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 11⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡32⁡𝑚𝑚 
Cálculo da ferragem na região tracionada: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
0,15 × 𝐴𝑐
100
=
0,15 × 45 × 200
100
= 13,5𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
13,5
4,909
= 2,75⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 3⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
 
Croqui do detalhamento da viga na seção 4: 
 
 
Seção 5: 
Adotar Md =+ 9673,55⁡⁡ kN.m = +967355⁡⁡ kN.cm 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm
2 
f𝑐 =
0,85𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
0,85 × 30
1,4
= 18,21⁡𝑀𝑃𝑎 = 1,821
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
Cálculo da ferragem na região comprimida: 
𝑘 =
⁡967355⁡⁡⁡⁡
1,821 × 45 × 1902
= 0,327 > 𝑘𝐿 = 0,295 → 𝑘𝐿 = 𝑘′ 
𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠2 =
1,821 × 45 × 190
43,48
×
(0,327 − 0,295⁡)
1 − (
10
190
)
= 12,095𝑐𝑚2 ≈ 12,1⁡𝑐𝑚² 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 =
1,821 × 45 × 190
43,48
× (1 − √1 − 2 × 0,327⁡) = 147,45𝑐𝑚2 ≈ 147,5⁡𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 = 12,1 + ⁡147,5 = 159,55⁡𝑐𝑚² 
 
Considerando-se bitola de 32 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋3,22
4
= 8,042𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
159,55
8,042
= 19,84⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 20⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡32⁡𝑚𝑚 
Cálculo da ferragem na região tracionada: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
0,15 × 𝐴𝑐
100
=
0,15 × 45 × 200
100
= 13,5𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
13,5
4,909
= 2,75⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 3⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
 
Croqui do detalhamento da viga na seção 5: 
 
 
Seção 6: 
Adotar Md =+ 10253,01⁡⁡ kN.m = + 1025301⁡⁡ N.cm 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm
2 
f𝑐 =
0,85𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
0,85 × 30
1,4
= 18,21⁡𝑀𝑃𝑎 = 1,821
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
Cálculo da ferragem na região comprimida: 
𝑘 =
⁡1025301⁡⁡⁡⁡
1,821 × 45 × 1902
= 0,346 > 𝑘𝐿 = 0,295 → 𝑘𝐿 = 𝑘′ 
𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠2 =
1,821 × 45 × 190
43,48
×
(0,346 − 0,295⁡)
1 − (
10
190
)
= 19,28𝑐𝑚2 ≈ 19,3⁡𝑐𝑚² 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 =
1,821 × 45 × 190
43,48
× (1 − √1 − 2 × 0,346⁡) = 159,36𝑐𝑚2 ≈ 159,4⁡𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 = 19,3 + 159,4 = 178,7⁡𝑐𝑚² 
 
Considerando-se bitola de 32 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋3,22
4
= 8,042𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
178,7
8,042
= 22,22⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 23⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡32⁡𝑚𝑚 
Cálculo da ferragem na região tracionada: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
0,15 × 𝐴𝑐
100
=
0,15 × 45 × 200
100
= 13,5𝑐𝑚2 
 
Considerando-se bitola de 25 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=25
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋2,52
4
= 4,909𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
13,5
4,909
= 2,75⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 3⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡25⁡𝑚𝑚 
 
Croquido detalhamento da viga na seção 6: 
 
 
g.3.1. Armadura longitudinal; 
 
 
 
 
Armadura longitudinal 
k.3.2. Armadura transversal (estribos) 
SEÇÃO 1: 
Diagrama de Cortante (Carga permanente) 
 
Carga acidental 
LINHA DE INFLUENCIA DAS FORÇAS CORTANTES (S1) 
 
 
 
 
Combinações de cálculo: 
 
 
V1
e = Vgk +φVqk = −371,29 + 1,16 × (−445,45) = −888,01kN 
(V1
d)
𝑚𝑎𝑥
= Vgk +φVqk = 678,97 + 1,16 × (589,19) = 1362,43kN 
(V1
d)
𝑚𝑖𝑛
= Vgk +φVqk = 678,97 + 1,16 × (−50,80) = 620,04kN 
 
Vd(ELU)
+ = γgVgk + γqφVqk
+ 
Vd(ELU)
+ = 1,35Vgk + 1,50φVqk
+ 
 
Vd(ELU)
1e = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1e = ⁡1,4 × (−371,29) + 1,4 × 1,16 × (−445,45) = −1243,22kN 
Vd(ELU)
1d = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1d = ⁡1,4 × (678,97) + 1,4 × 1,16 × (589,19) = 1907,40kN 
 
DIMENSIONAMENTO 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm
2 
wd2 = 0,509 kN/cm
2 
c0 = 0,087 kN/cm
2 
w,min = 0,116 
Seção 1e: 
 
(i) Verificação da biela comprimida do concreto 
𝜏𝑤𝑑 =
V𝑑
𝑏𝑤𝑑
=
1243,22
45 × 190
= 0,1454
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 𝜏𝑤𝑑2 = ⁡0,509⁡kN/cm2 
 
Não haverá ruptura da biela comprimida de concreto. 
 
(ii) Dimensionamento do estribo 
𝐴𝑠𝑤 = 𝜌𝑤𝑏𝑤 
𝜌𝑤 = 100 (
𝜏𝑤𝑑 − 𝜏𝑐0
39,15
) = 100 (
0,1454 − 0,087
39,15
) = 0,149 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,116 
Assim: 
𝐴𝑠𝑤 = 0,149 × 45 = 6,71(
𝑐𝑚2
𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑎
⁄ ) 
Logo, para 2 pernas, tem-se: 
𝐴𝑠𝑤 =
6,71
2
= 3,353
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
Adotar  8.0 C/ 14 
Seção 1d: 
 
(iii) Verificação da biela comprimida do concreto 
𝜏𝑤𝑑 =
V𝑑
𝑏𝑤𝑑
=
1907,40
45 × 190
= 0,223
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 𝜏𝑤𝑑2 = ⁡0,509⁡kN/cm2 
 
Ok, Não haverá ruptura da biela comprimida de concreto. 
 
(iv) Dimensionamento do estribo 
𝐴𝑠𝑤 = 𝜌𝑤𝑏𝑤 
𝜌𝑤 = 100 (
𝜏𝑤𝑑 − 𝜏𝑐0
39,15
) = 100 (
0,223 − 0,087
39,15
) = 0,3476 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,116 
Assim: 
𝐴𝑠𝑤 = 0,3476 × 45 = 15,64(
𝑐𝑚2
𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑎
⁄ ) 
Logo, para 2 pernas, tem-se: 
𝐴𝑠𝑤 =
15,64
2
= 7,82
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
Adotar  12.5 C/ 15 
Croqui do detalhamento do estribo 
 
Ou 
Estribo duplo com 4 pernas: 
𝐴𝑠𝑤 =
15,64
4
= 3,91
𝑐𝑚2
𝑚
 
Adotar 2x  10.0 C/ 20 
 
𝐴𝑠𝑤,𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ =
0,1
100
× 𝑏ℎ =
0,1
100
× 45 × 200 = 9𝑐𝑚2 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ 
Considerando-se bitola de 12.5 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=12.5
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋1,252
4
= 1,23𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
9
1,23
= 7,33⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 8⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡12.5⁡𝑚𝑚/𝑓𝑎𝑐𝑒 
CROQUI 
 
 
 
Seção 2: 
Diagrama de Cortante (Carga permanente) 
 
Carga acidental 
 
 
Combinações de cálculo: 
 
 
V2 = Vgk + φVqk = 534,85 + 1,16 × (506,82) = 1122,76⁡kN 
V2 = Vgk + φVqk = 534,85 + 1,16 × (−67,48) = 456,57⁡kN 
Vd(ELU)
+ = γgVgk + γqφVqk
+ 
 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1e = ⁡1,4 × (534,85) + 1,4 × 1,16 × (506,82) = +1571,86kN 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1d = ⁡1,4 × (534,85) + 1,4 × 1,16 × (−67,48) = +639,20⁡kN 
 
DIMENSIONAMENTO 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm2 
wd2 = 0,509 kN/cm2 
c0 = 0,087 kN/cm2 
w,min = 0,116 
 
(i) Verificação da biela comprimida do concreto 
𝜏𝑤𝑑 =
V𝑑
𝑏𝑤𝑑
=
1571,86
45 × 190
= 0,184
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 𝜏𝑤𝑑2 = ⁡0,509⁡kN/cm2 
 
Não haverá ruptura da biela comprimida de concreto. 
 
(ii) Dimensionamento do estribo 
𝐴𝑠𝑤 = 𝜌𝑤𝑏𝑤 
𝜌𝑤 = 100 (
𝜏𝑤𝑑 − 𝜏𝑐0
39,15
) = 100 (
0,184 − 0,087
39,15
) = 0,247 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,116 
Assim: 
𝐴𝑠𝑤 = 0,247 × 45 = 11,15(
𝑐𝑚2
𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑎
⁄ ) 
Logo, para 2 pernas, tem-se: 
𝐴𝑠𝑤 =
11,15
2
= 5,575
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
Adotar  10.0 C/ 14 
 
Croqui do detalhamento do estribo 
 
Ou 
Estribo duplo com 4 pernas: 
𝐴𝑠𝑤 =
11,15
4
= 2,79
𝑐𝑚2
𝑚
 
Adotar 2x  10.0 C/ 27 
 
g.3.3. Armadura de pele (costela) 
𝐴𝑠𝑤,𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ =
0,1
100
× 𝑏ℎ =
0,1
100
× 45 × 200 = 9𝑐𝑚2 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ 
 
Considerando-se bitola de 12.5 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=12.5
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋1,252
4
= 1,23𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
9
1,23
= 7,33⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 8⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡12.5⁡𝑚𝑚/𝑓𝑎𝑐𝑒 
CROQUI 
 
 
Seção 3: 
Diagrama de Cortante (Carga permanente) 
 
Carga acidental 
 
 
Combinações de cálculo: 
 
 
V2 = Vgk + φVqk = 402,30 + 1,16 × (429,36) = +900,36⁡kN 
V2 = Vgk + φVqk = 402,30 + 1,16 × (−60,63) = +331,97⁡kN 
Vd(ELU)
+ = γgVgk + γqφVqk
+ 
 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1e = ⁡1,4 × (402,30) + 1,4 × 1,16 × (429,36) = +1260,50kN 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1d = ⁡1,4 × (402,30) + 1,4 × 1,16 × (−60,63) = +464,76⁡kN 
 
DIMENSIONAMENTO 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm2 
wd2 = 0,509 kN/cm2 
c0 = 0,087 kN/cm2 
w,min = 0,116 
 
(i) Verificação da biela comprimida do concreto 
𝜏𝑤𝑑 =
V𝑑
𝑏𝑤𝑑
=
1260,5
45 × 190
= 0,147
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 𝜏𝑤𝑑2 = ⁡0,509⁡kN/cm2 
 
Não haverá ruptura da biela comprimida de concreto. 
 
(ii) Dimensionamento do estribo 
𝐴𝑠𝑤 = 𝜌𝑤𝑏𝑤 
𝜌𝑤 = 100 (
𝜏𝑤𝑑 − 𝜏𝑐0
39,15
) = 100 (
0,147 − 0,087
39,15
) = 0,154 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,116 
Assim: 
𝐴𝑠𝑤 = 0,154 × 45 = 6,93(
𝑐𝑚2
𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑎
⁄ ) 
Logo, para 2 pernas, tem-se: 
𝐴𝑠𝑤 =
6,93
2
= 3,47
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
Adotar  8.0 C/ 14 
 
Croqui do detalhamento do estribo 
 
Ou 
Estribo duplo com 4 pernas: 
𝐴𝑠𝑤 =
6,93
4
= 1,73
𝑐𝑚2
𝑚
 
Adotar 2x  5.0 C/ 11 
 
 
g.3.3. Armadura de pele (costela) 
𝐴𝑠𝑤,𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ =
0,1
100
× 𝑏ℎ =
0,1
100
× 45 × 200 = 9𝑐𝑚2 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ 
Considerando-se bitola de 12.5 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=12.5
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋1,252
4
= 1,23𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
9
1,23
= 7,33⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 8⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡12.5⁡𝑚𝑚/𝑓𝑎𝑐𝑒 
CROQUI 
 
 
Seção 4: 
Diagrama de Cortante (Carga permanente) 
 
 
 
 
Combinações de cálculo: 
 
V2 = Vgk + φVqk = 273,55 + 1,16 × (356,81) = +687, ,45⁡kN 
V2 = Vgk + φVqk = 273,55 + 1,16 × (−258,56) = −26,38⁡kN 
Vd(ELU)
+ = γgVgk + γqφVqk
+ 
 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1e = ⁡1,4 × (273,55) + 1,4 × 1,16 × (356,81) = +962,43kN 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1d = ⁡1,4 × (273,55) + 1,4 × 1,16 × (−258,56) = −36,93⁡kN 
 
DIMENSIONAMENTO 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm2 
wd2 = 0,509 kN/cm2 
c0 = 0,087 kN/cm2 
w,min = 0,116 
 
(i) Verificação da biela comprimida do concreto 
𝜏𝑤𝑑 =
V𝑑
𝑏𝑤𝑑
=
962,43
45 × 190
= 0,113
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 𝜏𝑤𝑑2 = ⁡0,509⁡kN/cm2 
 
Não haverá ruptura da biela comprimida de concreto. 
 
(ii) Dimensionamento do estribo 
𝐴𝑠𝑤 = 𝜌𝑤𝑏𝑤 
𝜌𝑤 = 100 (
𝜏𝑤𝑑 − 𝜏𝑐0
39,15
) = 100 (
0,150 − 0,087
39,15
) = 0,161 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,116 
Assim: 
𝐴𝑠𝑤 = 0,113 × 45 = 5,08(
𝑐𝑚2
𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑎
⁄ ) 
Logo, para 2 pernas, tem-se: 
𝐴𝑠𝑤 =
5,08
2
= 2,54
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
Adotar  6.3 C/ 12 
 
Croqui do detalhamento do estribo: 
 
Estribo duplo com 4 pernas: 
𝐴𝑠𝑤 =
5,08
4
= 1,27
𝑐𝑚2
𝑚
 
Adotar 2x  5.0 C/ 15 
 
g.3.3. Armadura de pele (costela) 
𝐴𝑠𝑤,𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ =
0,1
100
× 𝑏ℎ =
0,1
100
× 45 × 200 = 9𝑐𝑚2 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ 
Considerando-se bitola de 12.5 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=12.5
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋1,252
4
= 1,23𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
9
1,23
= 7,33⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 8⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡12.5⁡𝑚𝑚/𝑓𝑎𝑐𝑒 
CROQUI 
 
Seção 5: 
Diagrama de Cortante (Carga permanente) 
 
 
 
Combinações de cálculo: 
 
V2 = Vgk + φVqk = 144,80 + 1,16 × (289,18) = +480,24⁡kN 
V2 = Vgk + φVqk = 144,80 + 1,16 × (−90,10) + 40,28⁡kN 
Vd(ELU)
+ = γgVgk + γqφVqk
+ 
 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1e = ⁡1,4 × (144,80) + 1,4 × 1,16 × (289,18) = +672,35kN 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1d = ⁡1,4 × (144,80) + 1,4 × 1,16 × (−90,10) = 56,40⁡kN 
 
DIMENSIONAMENTO 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm2 
wd2 = 0,509 kN/cm2 
c0 = 0,087 kN/cm2 
w,min= 0,116 
 
(i) Verificação da biela comprimida do concreto 
𝜏𝑤𝑑 =
V𝑑
𝑏𝑤𝑑
=
672,35
45 × 190
= 0,079
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 𝜏𝑤𝑑2 = ⁡0,509⁡kN/cm2 
 
Não haverá ruptura da biela comprimida de concreto. 
 
(ii) Dimensionamento do estribo 
𝐴𝑠𝑤 = 𝜌𝑤𝑏𝑤 
𝜌𝑤 = 100 (
𝜏𝑤𝑑 − 𝜏𝑐0
39,15
) = 100 (
0,079 − 0,087
39,15
) = 0,204 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,116 
Assim: 
𝐴𝑠𝑤 = 0,204 × 45 = 9,18(
𝑐𝑚2
𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑎
⁄ ) 
Logo, para 2 pernas, tem-se: 
𝐴𝑠𝑤 =
9,8
2
= 4,59
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
Adotar  10 C/ 17 
 
Croqui do detalhamento do estribo 
 
Ou 
Estribo duplo com 4 pernas: 
𝐴𝑠𝑤 =
9,8
4
= 2,45
𝑐𝑚2
𝑚
 
Adotar 2x  6.3 C/ 12 
 
 
g.3.3. Armadura de pele (costela) 
𝐴𝑠𝑤,𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ =
0,1
100
× 𝑏ℎ =
0,1
100
× 45 × 200 = 9𝑐𝑚2 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ 
Considerando-se bitola de 12.5 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=12.5
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋1,252
4
= 1,23𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
9
1,23
= 7,33⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 8⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡12.5⁡𝑚𝑚/𝑓𝑎𝑐𝑒 
 
 
 
 
CROQUI 
 
 
Seção 6: 
Diagrama de Cortante (Carga permanente) 
 
Carga acidental 
 
 
 
 
 
 
 
Combinações de cálculo: 
 
V2 = Vgk + φVqk = 16,10 + 1,16 × (226,46) = +278,79kN 
V2 = Vgk + φVqk = 16,10 + 1,16 × (−112,21) = −129,06⁡kN 
Vd(ELU)
+ = γgVgk + γqφVqk
+ 
 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1e = ⁡1,4 × (16,10) + 1,4 × 1,16 × (226,46) = +390,31⁡kN 
Vd(ELU) = 1,4Vgk + 1,4φVqk
1d = ⁡1,4 × (16,10) + 1,4 × 1,16 × (−112,21) = −159,89⁡kN 
 
DIMENSIONAMENTO 
Dados Iniciais: 
fck = 30 MPa 
bw =45 cm 
h = 200 cm 
h = d + d’ 
d’ = 10 cm 
d = 190 cm 
fyd = 43,48 kN/cm2 
wd2 = 0,509 kN/cm2 
c0 = 0,087 kN/cm2 
w,min = 0,116 
 
 
(i) Verificação da biela comprimida do concreto 
𝜏𝑤𝑑 =
V𝑑
𝑏𝑤𝑑
=
390,31
45 × 190
= 0,045
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 𝜏𝑤𝑑2 = ⁡0,509⁡kN/cm2 
 
Não haverá ruptura da biela comprimida de concreto. 
 
(ii) Dimensionamento do estribo 
𝐴𝑠𝑤 = 𝜌𝑤𝑏𝑤 
𝜌𝑤 = 100 (
𝜏𝑤𝑑 − 𝜏𝑐0
39,15
) = 100 (
0,045 − 0,087
39,15
) = 0,172 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,116 
Assim: 
𝐴𝑠𝑤 = 0,172 × 45 = 7,74(
𝑐𝑚2
𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑎
⁄ ) 
Logo, para 2 pernas, tem-se: 
𝐴𝑠𝑤 =
7,74
2
= 3,87
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
Adotar  8 C/ 13 
 
Croqui do detalhamento do estribo 
 
Ou 
Estribo duplo com 4 pernas: 
𝐴𝑠𝑤 =
7,74
4
= 1,94
𝑐𝑚2
𝑚
 
Adotar 2x  5 C/ 10 
 
 
 
g.3.3. Armadura de pele (costela) 
𝐴𝑠𝑤,𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ =
0,1
100
× 𝑏ℎ =
0,1
100
× 45 × 200 = 9𝑐𝑚2 𝑓𝑎𝑐𝑒⁄ 
Considerando-se bitola de 12.5 mm, temos: 
𝐴𝑠
𝜙=12.5
=
𝜋𝜙2
4
=
𝜋1,252
4
= 1,23𝑐𝑚2 
Número de Barras de aço: 
𝑁𝑜 =
9
1,23
= 7,33⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡ ≈ 8⁡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠⁡𝑑𝑒⁡12.5⁡𝑚𝑚/𝑓𝑎𝑐𝑒 
CROQUI 
 
 
g.4. Verificação da fadiga: 
Seção 1: 
CARGA PERMANETE = g 
 
CARGA ACIDENTAL = q 
 
 
 
 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
+ 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 =⁡−1091,97 + 0,5 × 1,16 × (0) = −1091,97⁡𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑖𝑛 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
− 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = −1091,97 + 0,5 × 1,16 × (−1270,04) = −1828,59⁡𝑘𝑁.𝑚 
 
Cálculo da Posição da Linha Neutra (x): 
Dado: 
αe = 10 
 
 
𝐴𝑠
∗ =
(325 − 45)20
10
= 560 
 
 
𝐴 =
10(50 + 0 + 560)
45
= 135,56 
 
 
𝑑𝑜 =
50 × 190 + 0 + 560 (
20
2 )
50 + 0 + 560
= 24,75 
 
 
𝑥 = 135,56(−1 + √1 +
2 × 24,75
135,56
) = 37,0𝑐𝑚 
 
 
 
𝐼𝐼𝐼 =
325 × 373
3
−
(325 − 45) ∙ (37 − 0)3
3
+ 10[50⁡(190 − 37)2 + 0] = 12464295⁡𝑐𝑚4 
A tensão no concreto será dada por: 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 =
1828,59 × 100 × 37
12464295
= 0,54
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
A tensão no aço será dada por: 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 10 × 0,54 (
190 − 37
37
) = 22,33
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 =
1091,97 × 100 × 37
12464295
= 0,32
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 10 × 0,32 (
190 − 37
37
) = 13,23
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 22,33 − 13,23 = 9,09
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 9,09
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 10,5
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
Conclusão: Não ocorrerá fadiga 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 2: 
 
 
 
 
 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
+ 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = ⁡435,86 + 0,5 × 1,16 × (1302,42) = 1191,26⁡𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑖𝑛 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
− 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 435,86 + 0,5 × 1,16 × (−1162,94) = −238,64⁡𝑘𝑁.𝑚 
 
Cálculo da Posição da Linha Neutra (x): 
Dado: 
αe = 10 
 
 
𝐴𝑠
∗ =
(325 − 33)20
10
= 584 
 
 
𝐴 =
10(35 + 0 + 584)
33
= 187,58 
 
 
𝑑𝑜 =
35 × 190 + 0 + 560 (
20
2 )
50 + 0 + 560
= 20,08 
 
 
𝑥 = 187,58(−1 + √1 +
2 × 20,08
187,58
) = 38,17𝑐𝑚 
 
 
 
𝐼𝐼𝐼 =
325 × 38,173
3
−
(325 − 33) ∙ (38,17 − 20)3
3
+ 10[35(⁡190 − 38,17)2 + 0]
= 2627600,74⁡𝑐𝑚4 
A tensão no concreto será dada por: 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 =
1191,26 × 100 × 38,17
2627600,74⁡
= 0,096
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
A tensão no aço será dada por: 
 
 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 10 × 0,096 (
190 − 38,17
38,17
) = 0,183
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 =
238,65 × 100 × 38,17
2627600,74⁡
= 0,183
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 10 × 0,183 (
190 − 38,17
38,17
) = 7,28
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 18,53 − 7,28 = 11,25
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 11,25
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
> 10,5
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
Conclusão: Para evitar fadiga, deve-se aumentar a taxa de armadura (processo iterativo) 
 
Por regra de 3, a armadura mínima necessária é: 
𝐴𝑠 =
11,25
10,5
× 130 = 139,28𝑐𝑚2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3: 
CARGA 
 
 
 
 
 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
+ 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = ⁡1592,22 + 0,5 × 1,16 × (2303,51) = 2928,26⁡𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑖𝑛 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
− 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 1592,22 + 0,5 × 1,16 × (−1055,83) = −979,84⁡𝑘𝑁.𝑚 
 
Cálculo da Posição da Linha Neutra (x): 
Dado: 
αe = 10 
 
 
𝐴𝑠
∗ =
(325 − 25)20
10
= 600 
 
 
𝐴 =
10(75 + 0 + 600)
25
= 270 
 
 
𝑑𝑜 =
75 × 190 + 0 + 600 (
20
2 )
75 + 0 + 600
= 30 
 
 
𝑥 = 270(−1 + √1 +
2 × 30
270
) = 39,21𝑐𝑚 
 
 
 
𝐼𝐼𝐼 =
325 × 39,213
3
−
(325 − 25) ∙ (39,21 − 20)3
3
+ 10[75(⁡190 − 39,21)2 + 0]
= 22874916⁡𝑐𝑚4 
A tensão no concreto será dada por: 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 =
2928,26 × 100 × 39,21
22874916
= 0,50
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
A tensão no aço será dada por: 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 10 × 0,50 (
190 − 39,21
39,21
) = 19,22
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 =
979,84 × 100 × 39,21
22874916
= 0,17
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 10 × 0,17 (
190 − 39,21
39,21
) = 6,54
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 19,22 − ⁡6,54 = 12,68
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 12,68
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
> 10,5
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
Conclusão: Para evitar fadiga, deve-se aumentar a taxa de armadura (processo iterativo) 
 
Por regra de 3, a armadura mínima necessária é: 
𝐴𝑠 =
12,68
10,5
× 130 = 156,99⁡𝑐𝑚2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 4: 
 
 
 
 
 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
+ 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = ⁡2437,16 + 0,5 × 1,16 × (3003,28) = 4179,06⁡𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑖𝑛 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
− 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 2437,16 + 0,5 × 1,16 × (−948,72) = 1886,90⁡𝑘𝑁.𝑚 
 
Cálculo da Posição da Linha Neutra (x): 
Dado: 
αe = 10 
 
 
𝐴𝑠
∗ =
(325 − 25)20
10
= 600 
 
 
𝐴 =
10(105 + 0 + 600)
25
= 282 
 
 
𝑑𝑜 =
105 × 190 + 0 + 600 (
20
2 )
105 + 0 + 600
= 36,80 
 
 
𝑥 = 282(−1 + √1 +
2 × 36,80
282
) = 39,31𝑐𝑚 
 
 
 
𝐼𝐼𝐼 =
325 × 39,313
3
−
(325 − 25) ∙ (39,31 − 20)3
3
+ 10[105(⁡190 − 39,31)2 + 0]
= 29703513,2𝑐𝑚4 
A tensão no concreto será dada por: 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 =
4179,06 × 100 × 39,31
29703513,2
= 0,55
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
A tensão no aço será dada por: 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 10 × 0,55 (
190 − 39,31
39,31
) = 21,08
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 =
1886,90 × 100 × 39,31
29703513,2
= 0,25
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 10 × 0,25 (
190 − 39,31
39,31
) = 9,58
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 21,08 − ⁡9,58 = 11,50
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 11,50
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
> 10,5
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
Conclusão: Para evitar fadiga, deve-se aumentar a taxa de armadura (processo iterativo) 
 
Por regra de 3, a armadura mínima necessária é: 
𝐴𝑠 =
11,50
10,5
× 130 = 142,38⁡𝑐𝑚2Seção 5: 
 
 
 
 
 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
+ 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = ⁡2960,22 + 0,5 × 1,16 × (3404,71) = 4934,95⁡𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑖𝑛 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
− 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 2960,22 + 0,5 × 1,16 × (−841,61) = 2472,09𝑘𝑁.𝑚 
 
Cálculo da Posição da Linha Neutra (x): 
Dados: 
αe = 10 
 
 
𝐴𝑠
∗ =
(325 − 25)20
10
= 600 
 
 
𝐴 =
10(125 + 0 + 600)
25
= 290 
 
 
𝑑𝑜 =
125 × 190 + 0 + 600 (
20
2 )
125 + 0 + 600
= 41,03 
 
 
𝑥 = 290(−1 + √1 +
2 × 41,03
290
) = 38,47𝑐𝑚 
 
 
 
𝐼𝐼𝐼 =
325 × 38,473
3
−
(325 − 25) ∙ (38,47 − 20)3
3
+ 10[125(⁡190 − 38,47)2 + 0]
= 35499540,4𝑐𝑚4 
A tensão no concreto será dada por: 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 =
4934,95 × 100 × 38,47
35499540,4
= 0,53
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
A tensão no aço será dada por: 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 10 × 0,53 (
190 − 38,47
38,47
) = 20,87
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 =
2472,09 × 100 × 38,47
35499540,4
= 0,27
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 10 × 0,27 (
190 − 38,47
38,47
) = 10,63
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
∆𝜎𝑠 = 20,87 − ⁡10,63 = 10,23
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 10,23
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
< 10,5
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
Conclusão: Não ocorrerá fadiga 
 
 
 
 
Seção 6: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
+ 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 3161,41 + 0,5 × 1,16 × 3588,08 = 5242,50𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑖𝑛 = 1,0𝑀𝑔𝑘 + 0,5𝜑𝑀𝑞𝑘
− 
𝑀𝑑(𝐸𝐿𝑆)
𝑚𝑎𝑥 = 3161,41 + 0,5 × 1,16 × (−734,50) = 2735,40𝑘𝑁.𝑚 
 
Cálculo da Posição da Linha Neutra (x): 
Dado: 
αe = 10 
 
 
𝐴𝑠
∗ =
(325 − 25)20
10
= 600 
 
 
𝐴 =
10(130 + 0 + 600)
25
= 292 
 
 
𝑑𝑜 =
130 × 190 + 0 + 600 (
20
2 )
130 + 0 + 600
= 42,055 
 
 
 
𝑥 = 292(−1 + √1 +
2 × 42,055
292
) = 39,4𝑐𝑚 
 
 
 
𝐼𝐼𝐼 =
325 × 39,43
3
−
(325 − 25) ∙ (39,4 − 20)3
3
+ 10[130(190 − 39,4)2 + 0]
= 35.380.320,14⁡𝑐𝑚4 
 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 =
5242,50 × 100 × 39,40
35.380.320,14
= 0,584
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
A tensão no aço será dada por: 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 10 × 0,584 (
190 − 39,4
39,4
) = 22,316
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 =
2735,40 × 100 × 39,40
35.380.320,14
= 0,305
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 10 × 0,305 (
190 − 39,4
39,4
) = 11,644
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
∆𝜎𝑠 = 22,316 − 11,644 = 10,672
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
 
 
 
∆𝜎𝑠 = 10,672
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
> 10,5
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 
Conclusão: Para evitar fadiga, deve-se aumentar a taxa de armadura (processo iterativo) 
 
Por regra de 3, a armadura mínima necessária será: 
𝐴𝑠 =
10,672
10,5
× 130 = 132,13𝑐𝑚2