ListaExercicios-1-Analise-Graduacao-v5

Prévia do material em texto

Primeira lista de Exerćıcios - versão 5
Análise Matemática
5952022
Supremo e Ínfimo
1. Dizemos que uma função f : X ∈ R é limitada superiormente quando sua imagem
f(X) = {f(x) : x ∈ X} é um conjunto limitado superiormente e escrevemos
sup f = sup f(X).
[a)] Prove que se f, g : X → R são limitadas superiormente então o mesmo
ocorre com a soma (f + g) : X → R e sup(f + g) ≥ sup f + sup g.
[b)] Dê um exemplo tal que sup(f + g) < sup f + sup g.
2. Dado X ⊂ R limitado e α ∈ R definimos o conjunto
αX = {α · x : x ∈ X}.
Prove:
[a)] sup(αX) = α supX;
[b)] inf(αX) = α inf X, se α ≥ 0.
[c)] sup(αX) = α inf X, se α ≤ 0.
Em particular, conclua que sup(−X) = − inf(X).
Sequências
1. Sejam (xn)n∈N, (yn)n∈N sequências de números reais tais que xn → a e yn → b.
Prove que:
Se xn ≤ yn para todo n suficientemente grande então a ≤ b. Se fosse xn < yn
podemos concluir que a < b?
2. Construa uma sequência que possui infinitas subsequências convergentes a pontos
diferentes.
Noções topológicas em R
1. Seja X ⊂ R um conjunto limitado não vazio. Mostre que a = inf X e b = supX
são pontos aderentes de X.
2. Seja A ⊂ R um conjunto tal que toda sequência de números reais (xn)n∈N que
converge para um ponto a ∈ A é tal que xn ∈ A, para todo n suficientemente
grande. Mostre que A é um conjunto aberto.
1
3. Sejam A,B ⊂ R conjuntos quaisquer. Prove que:
[a)] A ∪B = A ∪B.
[b)] A ∩B ⊂ A ∩B. Dê um exemplo para mostrar que não vale a igualdade.
Limites
1. Seja f : R → R definida por f(0) = 0 e f(x) = sin( 1x) se x 6= 0. Prove que
para todo c ∈ [−1, 1], existe uma sequência (xn)n∈N, com xn 6= 0, n ∈ N, tais que
xn → 0 e (f(xn))n∈N → c.
2. Sejam f, g : X → R, a ∈ X ′, limx→a f(x) = L e limx→a g(x) = M .
[a)] Mostre que se L < M , então existe δ > 0 tal que f(x) < g(x), para todo
x ∈ X com 0 < |x− a| < δ.
[b)] A hipótese L < M , no item (a), pode ser substituida por L ≤ M? Justi-
fique.
2