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Cálculo Diferencial I 
Aula 05: Fórmulas de Derivação e Derivação Implícita 
Tópico 01: Fórmulas de Derivaçãol
VERSÃO TEXTUAL 
A derivada de uma função, até este momento, foi efetuada através da sua 
definição; entretanto, tal procedimento quando usado para funções mais 
complexas requer excessivo trabalho ou dificuldades. Neste tópico, serão 
apresentados os teoremas e corolários que permitem encontrar a derivada de uma 
função (num valor onde ela existe) através de fórmulas, onde as suas 
demonstrações serão efetuadas no texto complementar indicado no final deste 
tópico; as fórmulas para derivar as funções seno e co-seno, serão estabelecidas no 
final do tópico.
O que se chama derivação (ou diferenciação) é o processo usado para encontrar a 
derivada de uma função. Os teoremas que serão estabelecidos a seguir, dão um conjunto de 
fórmulas que permitem encontrar a derivada de uma função num valor onde ela existe, as 
demonstrações de alguns itens serão efetuadas no texto complementar indicado no final 
deste tópico.
Teorema 1: Se  a  e  b  são constantes, r  é racional e  f(x) = axr + b  é derivável, então: Dx
(axr + b) = arxr-1.
OBSERVAÇÃO
Observação
Do teorema (1), obtém-se: 
(i) Dxb = 0 se a = 0; e (ii) (iii) = Dx[f1(x) ± f2(x)±fn(x)] = Dxf1(x) ±Dxf2(x) ±..... ± Dxfn(x) 
se r = a = 1 e b = 0. 
A fórmula  (i)  significa que a derivada da função constante é igual a função nula. E 
(ii) significa que a derivada da função identidade é igual a função constante igual a um.
Teorema 2: Sejam  f  e  g  funções deriváveis num valor  x, então a derivada:
(a) Da soma de  f  com  g  é dada por: Dx[f(x) ± g(x)] = Dxf(x) ± Dxg(x);
(b) Do produto de  f  por  g  é dada por: Dx[f(x)g(x)] = f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf(x);
(c) Do quociente de  f  por  g  é dada por: , se g(x) ≠ 0.
OBSERVAÇÃO
Observação
(1) O teorema 2(a) pode ser estendido para um número finito de funções, ou seja, se
f1,f2,....,fn são funções deriváveis, então 
(iii) Dx[f1(x) ± f2(x)± .... ± fn(x)] = Dxf1(x)± Dxf1(x)± ... ± Dxfn(x).
(2) Do teorema  2(b)  e  (i), se  g  é a função constante g(x) = c  então
(iv) Dx[cf(x)] = cDxf(x)
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular a derivada das seguintes funções:
SOLUÇÃO 
(a) Aplicando o resultado (iii) tem-se :
RESULTADO (III)
f'(x) = Dxx
6 -Dx3x
4 + Dxx - Dx10
(Usando o teorema 1 tem-se :
TEOREMA 1
Se  a  e  b  são constantes, r  é racional e  f(x) = axr + b  é derivável, então
Dx(axr + b) = arxr - 1
Do teorema  (1), obtém-se:
(i) Dxb = 0 se a = 0 ; e (ii) Dxx = 1 se r = a = 1 e b = 0;
Dxx6 = 6x6-1 = 6x5
Dx3x4 = 3. 4x4 - 1 = 12x3
Dxx = 1 e Dx10 = 0 
Logo, substituindo os resultados obtidos, encontra-se
f'(x) = 6x5 - 123 + 1 
(b) Sendo tem-se 
mas 
 e  . Logo, substituindo os resultados encontrados, obtém-se
(c) Se  tem-se 
logo 
mas
Assim, substituindo os resultados encontrados, tem-se
(d) Sendo p'(x) = (x2 + 2x - 1) (x3 - 4x2 + 2) do teorema 2(b) , tem-se :.
TEOREMA 2(B)
Sejam f e g funções deriváveis num valor x, então a derivada:
(b) Do produto de  f  por  g  é dada por
Dx[f(g)g(x)] = f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf(x)
p'(x) = (x2 + 2x - 1)Dx(x3 - 4x2 + 2) + (x3 - 4x2 + 2)Dx(x2 + 2x -1);
mas Dx(x3 - 4x2 + 2) = 3x2 - 8x e Dx (x2 + 2x + 1) = 2x + 2.
Logo, substituindo os resultados obtidos, encontra-se
p'(x)= (x2 + 2x - 1)(3x2 - 8x) + (x3 - 4x2 + 2) (2x + 2).
(e) Sendo
aplicando o teorema 2(c) tem-se :.
TEOREMA 2(C)
Sejam  f  e  g  funções deriváveis num valor  x, então a derivada:
(c) Do quociente de  f  por  g  é dada por
mas Dx (x2 + 2) = 2x e Dx(2x - 3) = 2 e   Logo, substituindo os resultados 
obtidos, 
encontra-se 
EXEMPLO PROPOSTO 1
Mostrar que se:
(a) f(x) = 2x5 + 5x3 - 2x + √2 então f'(x) = 10x4 + 15x2 - 2;
(b) então 
(c) então 
(d) p(x) = (x3 - 3x2 + 1)(x2 + 2x - 2) então p'(x) = 2(x + 1)(x3 - 3x2 + 1) + 3x (x - 2)
(e) então
O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de duas funções a partir 
das derivadas das funções, isto é, sem efetuar a composição; a fórmula estabelecida pelo 
teorema é conhecida como a “regra da cadeia”.
Teorema 3. Sejam  f  e  g  funções deriváveis e definidas por y=f(u)   e u=g(x)  então fog 
 é derivável, além disso
Como aplicações imediatas da regra da cadeia, tem-se os dois Resultados .
RESULTADOS
Se f é uma função definida por y= f(x) com inversa f-1 tal que ambas são deriváveis e 
f'(x) ≠ 0  então (f -1of)(x) = x  assim (derivando os dois lados e aplicando a regra da 
cadeia)
(f-1)'(f(x))f'(x) = 1 ou seja, pois f'(x) ≠ 0.
Substituindo  y= (fx) tem-se
pois (f-1)'(y) = Dyx  uma vez que x = f
-1(y) Isto mostra que a derivada da inversa de 
uma função é o inverso da derivada da função. Vale ressaltar que esta fórmula da 
derivada da inversa de uma função, já tinha sido estabelecida no exercício 50 do 
exercitando do tópico 3 da aula 04, onde pode ser verificado que invés da 
diferenciabilidade de f-1 basta continuidade para obter tal fórmula.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Calcular:
(a) (fog)' (x) se e g(x) = x3 - 2x +1;
(b) Dx y no ponto em que t=1 se x = t3- t2 + 1 e y= t4- t + 2.
SOLUÇÃO 
(a) Como obtém-se
Uma segunda solução pode ser obtida, considerando a variável intermediária u 
mencionada no enunciado do teorema 3 deste tópico, assim fazendo
TEOREMA 3 
Sejam  f  e  g  funções deriváveis e definidas por y = f(u) e u = g(x) 
então fog é derivável, além disso 
logo substituindos os resultados encontrados, obtém-se
substituindo acha-se
(b) Do resultado (ii) do teorema 3 tem-se :
RESULTADO (II) DO TEOREMA 3
(i) Se f é uma função definida por y = f(x) com inversa f -1 tal que ambas
são deriváveis e f'(x) ≠ 0,
então (f-1 of)(x)=x, assim (derivando os dois lados e aplicando a regra da 
cadeia) (f-1)'(f(x))f'(x) = 1, ou seja, pois f'(x)≠ 0. Substituindo y = 
f(x), tem-se ou pois (f-1)'(y)= Dyx uma vez que x=f-1 (y). 
obtém-se 
Portanto, fazendo t=1  acha-se
EXEMPLO PROPOSTO 2
(a) e g(x) = x2 + 2x - 1 então
(b) x = 3t2 + 2t - 2 e y = 2t3 + t2 - 3 então (Dxy)(-1) = -1
Teorema 4. Sejam r um número racional, f e g  funções deriváveis tal que g(x) = [f(x)]r
então Dx[f(x)]
r = r[f(x)]r -1Dxf(x).
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Calcular: f'' se 
SOLUÇÃO 
Aplicando o teorema 2(c), tem-se
TEOREMA 2(C)
Sejam f e g funções deriváveis num valor x, então a derivada:
(c) Do quociente de  f  por  g  é dada por
mas  teorema 1(ii) e do teorema 4 
TEOREMA 1(II)
Se a e b são constantes, r é racional e f(x) = axr + b é derivável, então
Dx(axr + b ) = arxr - 1
Do teorema (1), obtém-se: (i) Dxb = 0 se e (ii) Dxx = 1 se r = a = 1 e b = 0 
DxX = 1 e
logo substituindo os resultados encontrados, obtém-se
Portanto, a derivada segunda da função f é dada por
EXEMPLO PROPOSTO 3
Se , demonstrar que
EXEMPLO RESOLVIDO 4
Achar a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) = |x|
(b) g(x) = x2|x2 - 4|
SOLUÇÃO 
(a) Como |x| = √x2 considerando u = x2 tem-se |x| = √u. Logo
f'(x) = Du|x|Duu = Du √u Dux2,
mas, e Dux2 = 2x, portanto
(b) Tem-se g'(x) = x2Dx|x
2 - 4| + |x2 - 4|Dxx
2
Como : se u = (x2 - 4)2,obtém-se
além disso, Dxx2 = 2x.  Logo, substituindo os resultados encontrados, acha-se
EXEMPLO PROPOSTO 4
Provar que se:
(a) f(x) = |1 - x| então
(b) g(x) = (x - 1)2|x + 3| então
As derivadas das funções seno e co-seno são dadas por:
DEMONSTRAÇÕES 
Da definição de derivada, obtém-se 
mas
logo
(como pois sen x e cos x são constantes em relação a 
t, além disso (conforme exemplo resolvido 7(a) do tópico 2 da aula 03 ) 
 (como foi visto no tópico 2 da aula 03), tem-se
EXEMPLO RESOLVIDO 7(A) DO TÓPICO 2 DA AULA 03
Calcular os limites indicados:
(a) 
(b) 
Solução.
(a)Observe que o limite dado tem a forma indeterminada 0/0. Como
e além disso (do limite fundamental) 
e ,
tem-se
Se u é uma função de x e derivável, pela regra da cadeia,
A derivada da função co-seno é obtida, aplicando-se a fórmula da derivada da 
função seno e as identidades e . Sendo assim,
Sendo ainda u uma função de x e derivável, pela regra da cadeia, 
EXEMPLO RESOLVIDO 5Provar que se:
Calcular a derivada da função dada: 
(a) f(x) = sen(2x +1) cos(x2 - 2);
(b)
SOLUÇÃO 
substituindo os resultados encontrados, obtém-se
b) 
EXEMPLO PROPOSTO 5
Provar que se:
(a) f(x) x sen(x - 2) + cos (x - 2) então f'(x) = x cos(x - 2)
(b) então
LEITURA COMPLEMENTAR
Provar que se:
Vá na  seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo DemonstDasFormDeDerivacao.pdf ou Clique aqui (Visite a aula online para 
realizar download deste arquivo.), estão as demonstrações a maioria das 
fórmulas apresentadas neste tópico. É uma boa oportunidade para rever recursos 
algébricos gerais com limites que possuem a forma indeterminada 0/0. É 
recomendável, pelo menos uma leitura atenciosa.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Provar que se:
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo Exercitando(Aula05_Top1).doc ou Clique aqui (Visite a aula online para 
realizar download deste arquivo.) para abrir o exercitando. Resolva a quantidade 
máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 27, 
46 e 57 do exercitando, são as respectivas questões 1 até 3 do trabalho desta aula a 
ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar. As questões 4 e 5 do 
trabalho, serão indicadas no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho 
desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente 
Solar, num único documento de texto (pdf, doc ou docx) ou manuscrito e escaneado.
Cálculo Diferencial I 
Aula 05: Fórmulas de Derivação e Derivação Implícita 
Tópico 02: Derivação Implícitas
VERSÃO TEXTUAL 
Esta aula é finalizada, vendo o processo para encontrar a derivada de uma 
função definida por uma equação em que a variável dependente não esteja isolada, 
diretamente da equação (isto é, sem resolver a equação), processo esse conhecido 
como derivação implícita.
Se na equação que define uma função f, a variável dependente y está isolada, diz-se que 
f (ou y) está definida explicitamente como uma função de x. Por exemplo, na equação 
 , y está definida explicitamente como uma função de x.
Se numa equação que define uma ou mais funções, a variável dependente y não está 
isolada, diz-se que y está definida implicitamente como uma ou mais funções de x.
EXEMPLO
Exemplo
Na equação x2+y2=4, y está definida implicitamente como uma ou mais funções de 
x; neste caso, resolvendo a equação x2+y2=4, tem-se , assim y pode ser 
explicitada através das equações que definem duas funções com 
domínios (por exemplo) iguais ao intervalo [-2, 2].
É comum, numa equação em que a variável y está implícita, haver dificuldades para 
explicitar y em termos de x, como por exemplo na equação x2y-xy2+y4=x3y3, daí a 
necessidade de um processo para encontrar Dxy sem resolver a equação para y, esse 
processo usa também as fórmulas de derivação dadas no tópico 1 desta aula e é chamado 
derivação implícita.
Os exemplos seguintes ilustram o processo de derivação implícita. Os teoremas e 
resultado (iii) citados no exemplo 1, são do tópico 1 desta aula.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Encontrar Dxy se x e y são dadas nas equações seguintes:
(a) x2 + y2 = 4
(b) x2y - xy2 + y4 = x3y3
SOLUÇÃO 
(a) Derivando os dois lados da equação dada em relação a x, tem-se Dx(x2+y2)
=Dx4, assim (pelo teorema 2(a) ) Dxx2+Dxy2=Dx4; mas (pelo ">teorema 1) Dx4=0 e 
Dxx2=2x, (pelo teorema 4 colocando y no lugar de f(x)) , substituindo os 
resultados encontrados, obtém-se 
.
TEOREMA 2(A)
Sejam f e g funções deriváveis num valor x, então a derivada: (a) Da soma 
de f com g é dada por Dx[f(x)±g(x)] = Dxf(x)±Dxg(x)
TEOREMA 4
(b) Derivando os dois lados da equação dada em relação a x, obtém-se
, logo (pelo 
resultado (iii) do teorema 2(a) . Aplicando o 
teorema 2(b) para derivar 
os produtos, tem-se ; mas 
(pelo Teorema 1).Se a e b são constantes, r é racional e f(x) = axr + b é derivável, 
então Dx(ax
r + b) =axr - 1. Do teorema (1), obtém-se: (i) Dxb=0 se a = 0; e (ii) Dxx=1 se 
r=a=1 e b=0.
Teorema 1) Dxx2=2x, Dxx=1, Dxx3=3x2, (pelo Teorema 4. Sejam r um número 
racional, f e g deriváveis tal que g(x) = [f(x)]r, então Dx[f(x)]r = r[f(x)]r - 1Dxf(x). teorema 
4) .
Portanto, substituindo os resultados obtidos, obtém-se 
, passando todos as parcelas que 
têm Dxy para o primeiro membro e as que nâo têm para o segundo membro da 
equação, acha-se , colocando Dxy em 
evidência, tem-se , portanto 
.
EXEMPLO PROPOSTO 1
Encontrar Dxy se x e y são dadas nas equações seguintes:
O exemplo seguinte ilustra como obter derivadas de ordem superior a primeira de 
funções implícitas.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Encontrar Dxy se x e y são dadas nas equações seguintes:
Calcular Dx
2y para x e y dadas na equação:
SOLUÇÃO 
(a) Inicialmente, deve-se encontrar Dxy. Sendo assim, tem-se:
; ; , 
, , .
Agora, derivando Dxy em relação a x, obtém-se:
Portanto, substituindo Dxy já encontrada neste último resultado, encontra-se: 
(b) Tem - se
Agora, derivando Dxy em relação a x, acha-se
e
Logo, substituindo Dxy já encontrada, resulta em
EXEMPLO PROPOSTO 2
Provar que se:
(a) x2 + 2y2= xy então
(b) cos2 y - sen2 x=1 então
OBSERVAÇÃO
Observação
Um grupo de problemas sobre razão instantânea de variação e que usa derivação 
implícita na sua solução é o seguinte: se duas variáveis y e x estão relacionadas através 
de uma única equação e por sua vez cada uma destas variáveis são funções do tempo t, 
quando se deseja encontrar a razão (ou taxa) instantânea de variação de y ou de x em 
relação a t, usa-se derivação implícita; esse tipo de problema, chama-se problema de 
taxas relacionadas.
Lembrando do tópico 2 da aula 04, que a razão instantânea de variação de uma 
grandeza em relação ao tempo, também é chamada de velocidade de variação da 
grandeza. O exemplo a seguir ilustra o referido tipo de problema.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Se um gás confinado, num certo instante, tem a pressão de 50N/cm2, o volume de 
10cm3 e a pressão está aumentando a razão de 4(N/cm2) por minuto, encontrar a 
velocidade de variação do volume do gás nesse instante.
SOLUÇÃO 
Fonte [1]
A lei de Boyle-Mariotte (enunciada no exemplo resolvido do tópico 2 da 
aula 04) relaciona a pressão e o volume do gás. Deseja-se achar DtV no instante 
em que: p= 50N/cm2, V=10cm3 e Dtp=4(N/cm2) por minuto. Como pV=c obtém-
se: Dt(pV) = Dtc, pDtV + VDtp = 0, pDtV = -VDtp , assim é a razão 
instantânea de variação do volume do gás em relação ao tempo, num tempo 
qualquer. Substituindo os dados do problema, tem-se a razão de variação do 
volume do gás em relação ao tempo no instante considerado, que é 
. O valor negativo de DtV, significa que o volume do gás 
está diminuindo à medida que o tempo passa.
LEI DE BOYLE-MARIOTTE
A variação da pressão num gás confinado, faz com que ele sofra uma dilatação (isto é, altere 
de volume), a <b>lei de Boyle-Mariotte</b> para a dilatacão de um gás estabelece: em 
temperatura constante, o produto da pressão pelo volume do gás é constante, ou seja, pV=c 
onde p é a <b>pressão</b> (isto é, a força em newtons por unidade de volume) que age 
sobre o gás, V é o volume do gás e c é uma constante.
EXEMPLO PROPOSTO 3
Se num condutor de resistência constante igual a 10 ohms, num determinado 
instante, a taxa de variação da diferença de potencial é de 20 volts por segundo, mostrar 
que a velocidade de variação da intensidade da corrente elétrica nesse instante é de 2 
ampères por segundo.
Sugestão: use a lei de Ohm enunciada no exemplo proposto do tópico 2 da aula 04.
LEI DE OHM
A lei de Ohm afirma: num condutor, a razão da diferença de potencial (ou força 
eletromotriz, que é escrita abreviadamente como fem) V entre dois pontos do 
condutor pela intensidade da corrente elétrica I é constante e igual a resistência 
elétrica R, isto é, V/I=R
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo Exercitando(Aula05_Top2).doc ou Clique aqui para abrir (Visite a aula 
online pararealizar download deste arquivo.) o exercitando. Resolva a quantidade 
máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 7 e 22 do 
exercitando são as respectivas questões 4 e 5 do trabalho desta aula a ser postado 
no Portfólio Individual do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja 
postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único 
documento de texto (pdf, doc ou docx) ou manuscrito e escaneado.
Fontes das Imagens
1 - http://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Boyle