Introdução ao Método Matricial

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 7: Introdução ao Método Matricial
Apresentação
Os métodos de análise estrutural podem ser divididos em dois grupos: analíticos (clássicos) e numéricos (matricial). Na
formulação clássica, desenvolvem-se o método das forças, o método da deformação e o processo de Cross, visto até a aula
passada (da Aula 2 até a Aula 6).
Essa formulação é muito útil para compreender o comportamento da estrutura hiperestática. Importante também para a
análise crítica de resultados fornecidos por computador. Já na formulação matricial, a ênfase é a generalização, que veremos
a partir desta aula.
Nas últimas décadas houve mudanças nos métodos de análise estrutural usados na Engenharia por conta dos avanços dos
computadores (processadores). Os métodos matriciais fornecem uma linguagem matemática que podem resolver questões
complexas de estruturas por meio do computador.
Atualmente, todos os sistemas computacionais comerciais de análise de estruturas fazem uso do método da rigidez direta
(formulação matricial do método dos deslocamentos). Não se projetam mais estruturas com algum grau de complexidade
sem fazer uso desses sistemas.
Objetivos
Calcular um vetor (matriz) dos deslocamentos;
Calcular um vetor (matriz) das ações nodais;
Reconhecer a introdução aos métodos de rigidez e �exibilidade.
Introdução aos métodos matriciais
Antes de mais nada, você precisa possuir alguns conhecimentos fundamentais de álgebra matricial. Indicamos fazer uma revisão
do assunto para poder começar a estudar esta aula e as demais.
 Solda em estrutura metálica (Fonte: Shutterstock)
No �nal da Aula 10 faremos um resumo de álgebra matricial.
Comentário
Esta aula é toda baseada nas notas do professor Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho.
A análise matricial de estruturas é um tópico da disciplina de Teoria das Estruturas, na qual as equações que regem o problema a
resolver são formuladas matricialmente, sejam equações de equilíbrio de forças ou de compatibilidade de deformações,
dependendo do método utilizado (das forças ou dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais adequado para
implementação computacional.
 Fonte: Shutterstock
A formulação de um modelo matemático de elementos à estrutura contínua real é a análise matricial de estruturas. As operações
de álgebra matricial poderão ser realizadas por meio do modelo necessário para obtenção de números de graus de liberdade.
A Análise Matricial de Estruturas determina os deslocamentos, as reações e os esforços solicitantes de estruturas de barras, tais
como: vigas, vigas continuas, grelha, pórticos planos e espaciais. Modelando-as como um arranjo de elementos simples (barras),
unidos através de suas extremidades ou nós.
Os pontos de interseção são os nós de uma estrutura reticulada, assim como os pontos de apoio e as extremidades livres. A
estrutura sofrerá deslocamentos sob a forma de translações e rotações, quando estiver submetido a cargas em cada nó.
Os deslocamentos nodais serão identi�cados devido às condições colocadas nas
estruturas, por exemplo, no engaste não existe deslocamento nenhum. Os nós que não
são os apoios, possuirão deslocamentos que não são conhecidos e só podem ser
obtidos fazendo-se uma análise completa da estrutura. Esses deslocamentos nodais
são as quantidades cinemáticas indeterminadas do sistema estrutural. Esse número
representa o número de graus de liberdade da estrutura. Em alguma literatura chama-
se de grau de indeterminação cinemática.
Em uma estrutura, os apoios podem ser modelados como engaste, como na Figura 1, no apoio A. No apoio D modela-se um
apoio articulado, de 2° gênero. E apoios móveis (1º gênero) em B e C.
 Figura 1 – Esquema estrutural
Em uma estrutura reticulada as cargas podem ser modeladas como ações mecânicas externas, cargas concentradas, cargas
distribuídas e cargas momentos.
Nas estruturas onde os elementos são conectados por nós, a in�uência necessária entre os elementos livres é introduzida por
meio de forças e deslocamentos nos nós comuns. Em um sistema estrutural as forças de in�uência entre os elementos são
representadas por forças axiais e cortantes, e momentos �etores e torsores nos nós. Observe a Figura 2.
 Figura 2 – Estrutura integra
Se as estruturas forem isostáticas, as equações de equilíbrio estático são su�cientes para determinar todas as forças, todos os
momentos �etores e torsores nos nós. Já para as estruturas hiperestáticas as equações de equilíbrio estático não são su�cientes
para determinar todas as forças desconhecidas, logo devem ser complementadas com as equações de compatibilidade.
Ao formular as equações de equilíbrio, em termos dos deslocamentos, sempre haverá um número su�ciente de equações para
determinar os deslocamentos desconhecidos de de�exões e rotações.
Sistemas de coordenadas
Para identi�car e ordenar matricialmente as forças e os momentos (ações mecânicas) e os deslocamentos lineares e angulares,
existentes em uma estrutura montada ou uma estrutura contínua ou nas extremidades de um elemento, �ca imprescindível a
determinação de um sistema de coordenada arbitrária.
Na Figura 3, a estrutura é submetida a alguns carregamentos pontuais. Uma carga pontal de 2kN e outra de 5kN, e uma carga
momento de 3kNm. Escolheu-se inicialmente um sistema de coordenadas a �m de analisar os nós B, C e D. Como pode ser visto
na Figura 4.
 Figura 3 – Estrutura submetida a uns carregamentos.
⇩
 Figura 4 – Sistema de Coordenadas Arbitrário.
O vetor das ações nodais [R]:
Após aplicação das cargas (Figura 3), a estrutura se deformará e apresentará uma elasticidade, como pode ser visto na Figura 5.
R =
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢
−22  
 0   
55
− 33
⎤
⎦
⎥⎥
 Figura 5 – Deformações devidas ao carregamento nas coordenadas monitoradas.
Os vetores das ações e dos deslocamentos sempre terão quatro termos, mesmo que sejam nulos alguns. Sempre serão
enunciados na ordem em que as coordenadas estiverem numeradas.
Se quisermos montar um sistema de carregamento mais genérico, ou mesmo obter um maior número de deformações,
poderemos montar outro sistema de coordenadas. Veja a Figura 6.
A partir da Figura 6, o vetor (matriz) nodal [R] será:
O vetor nodal [R] será:
A Figura 7 representa os deslocamentos encontrados após todas as coordenadas monitoradas.
R =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
−22
0
0
0
− 55
0
0
0
− 33   
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
 Figura 7 – Deformações segundo o novo sistema de coordenadas.
O vetor dos deslocamentos:
Logo, quanto maior o número de coordenadas maior serão as respostas obtidas sobre o comportamento da estrutura. Também
será maior o custo computacional para resolver a estrutura.
R =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
0, 005
−0, 001
0, 002
0, 004
− 0, 002
− 0, 001
0, 004
− 0, 001
0, 003
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
1
Coordenadas globais caracterizam-se
pelo sistema de coordenadas
apresentado até aqui.
2
Coordenadas locais referem-se ao sistema de coordenadas
referente aos elementos desmontados.
Um elemento de viga (barra), considerando forças transversais e desconsiderando forças normais poderia ter, inicialmente, quatro
coordenadas (Figura 8a). A existência de duas equações de equilíbrio possibilita apenas duas coordenadas, como pode-se ver na
Figura 8b e Figura 8c.
 Figura 8 – Sistemas de coordenadas para o elemento de viga.
Na Figura 3, as coordenadas locais do pórtico para a estrutura decomposta serão vistas na Figura 9. Não levando em
consideração as forças normais.
 Figura 9 – Sistema de coordenadas locais para a estrutura da Figura
3.
As cargas nas extremidades dos elementos consistem nos esforços existentes nos nós. Logo, o Vetor dos Esforços representa 8
coordenadas locais:
S =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Os deslocamentos em cada elemento podem ser escritos pelo Vetor das Deformações(deslocamentos locais):
S =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Para calcular uma estrutura por meio da discretização em elementos, será necessário montar dois sistemas de coordenadas:
1
Coordenadas Globais, para ações [R] e
deslocamentos [r] nodais da estrutura.
2
Coordenadas Locais, para os esforços [S] e deformações
(deslocamentos) [s] nos elementos da estrutura.
Introdução aos métodos de rigidez e �exibilidade
Relação entre ações e deslocamentos
Normalmente, a rigidez de um nó é conceituada como a força (ou o momento) exigida para produzir um deslocamento (ou uma
rotação) unitário no nó se o deslocamento for em todos os outros nós da estrutura.
 Figura 10 – Análise estrutural – Jack C. McCormac.
Com base na Figura 10, o relacionamento entre força aplicada P1 e o alongamento da mola 1 pode ser escrito como:
P1 = K 1
K é a constante da mola ou a força exigida para produzir um deslocamento unitário.
δ é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de �exibilidade, sendo o deslocamento por
unidade de força, ou seja, é o deslocamento produzido pela aplicação de uma força de valor
unitário.
K = P se = 11 1
Se a constante da mola for conhecida, o deslocamento pode ser determinado para qualquer carga aplicada P .1
Logo,
kij ≡ Coe�ciente de rigidez: representa a ação (força) na direção i causada por um
deslocamento unitário na direção j (enquanto todos os outros deslocamentos são impostos
como nulos).
�j ≡ Coe�ciente de �exibilidade: representa o deslocamento na direção i causado por uma ação
(força) de valor unitário na direção j (enquanto todas as outras são nulas).
Força em função de deslocamentos
 Figura 12 – Coeficientes de rigidez em estrutura composta de 2 hastes com
solicitação axial: (a) - Sistema de coordenadas globais (1 e 2); (b) e (c) -
Coeficientes de rigidez.
Ao conhecer R1 e R2 e força por unidade de deslocamento, os coe�cientes de rigidez (K11, K12, K21 e K22), queremos saber o
deslocamento (r1 e r2).
Sendo R1� Força aplicada na coordenada 1. Para se garantir o equilíbrio no nó, ela deve ser igual ao somatório das forças
(internas) na coordenada 1 resultantes dos deslocamentos ocorridos ao longo da estrutura, ou seja:
R1  =  K11. r1  +  K12. r2
Da mesma forma para a coordenada 2, obtém-se:
R2  =  K21. r1  +  K22. r2
Reunindo as equações sob forma matricial, obtém-se ainda:
[ ]  = [ ]  [ ]  =   [R]  =   [K]  [r]R1
R2
K11
K21
K12
K22
r1
r2
Onde:
• [R] é o vetor das ações externas (solicitações); 
• [r] é o vetor dos deslocamentos; 
• [K] é matriz de rigidez da estrutura em estudo, de dimensões (2x2),
correspondente ao número de coordenadas utilizadas.
A matriz de rigidez é uma matriz de transformação linear, onde transforma o vetor
dos deslocamentos no vetor das ações.
Deslocamento em função das forças
Ao conhecer R1 e R2 e deslocamento por unidade de força, os coe�cientes de �exibilidade (f11, f12, f21 e f22), queremos saber o
deslocamento (r1 e r2).
No regime elástico-linear o deslocamento �nal na coordenada 1 será igual à soma dos deslocamentos ocorridos devido às cargas
externas.
r1  =  f11. R1  +  f12. R2
Ao conhecer R1 e R2 e deslocamento por unidade de força, os coe�cientes de �exibilidade (f11, f12, f21 e f22), queremos saber o
deslocamento (r1 e r2).
No regime elástico-linear o deslocamento �nal na coordenada 1 será igual à soma dos deslocamentos ocorridos devido às cargas
externas.
r1  =  f11. R1  +  f12. R2
Fazendo para a coordenada 2:
r2  =  f21. R1  +  f22. R2
Logo, as equações sob forma matricial, são:
[ ]  =   [ ]  [ ]  = R [r]  =   [F]  [R]r1
r2
f11
f21
f12
f22
R1
R2
Onde:
[R] ➜ vetor das ações externas (solicitações);
[r] ➜ vetor dos deslocamentos;
[F] ➜ matriz de �exibilidade da estrutura com dimensões (2x2), correspondente ao
número de coordenadas utilizadas.
Referências
Você verá a seguir exemplos envolvendo as �guras trabalhadas com métodos matriciais
Exemplo 1
Para a estrutura da Figura 11, submetida a determinado carregamento, escolheu-se inicialmente o sistema de coordenadas
apresentado na Figura 12, a �m de assinalar as solicitações nos nós B, C e D.
 Figura 12 – Estrutura submetida a um dado carregamento.
 Figura 13 – Sistema de Coordenadas Arbitrário.
Logo, tem-se as coordenadas, e quando a estrutura for submetida às cargas, o vetor (matriz) nodal [R] será:
R =  
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢
−12  
0
15
− 13 
⎤
⎦
⎥⎥
Exemplo 2
Ao se aplicar o carregamento indicado (Figura 11), a estrutura se deformará, apresentando uma elástica, conforme aponta a
Figura 13.
A partir da Figura 13, qual será o vetor (matriz) dos deslocamentos:
 Figura 14 – Deformações devidas ao carregamento nas coordenadas
monitoradas - Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho.
Logo, o vetor (matriz) de deslocamento [r] será:
r =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
0, 006 
0, 003  
−0, 002  
0, 004
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
Exemplo 3
Ao se desejar representar um sistema de carregamentos mais genérico, ou mesmo obter um maior número de deformações do
domínio da estrutura, poderemos estabelecer outro sistema de coordenadas, conforme Figura 14.
A partir da Figura 14, o vetor (matriz) nodal [R] será:
 Figura 15 – Sistema de coordenadas alternativo. - Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho.
Logo, o vetor (matriz) nodal [R] será:
r =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
−12  
0
0
0
−15
0
0
0
−13
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Exemplo 4
Diante dos deslocamentos indicados (Figura 15), a estrutura se deformará, apresentando uma elástica.
A partir da Figura 15, qual será o vetor (matriz) dos deslocamentos:
 Figura 16 – Deformações segundo o novo sistema de coordenadas.
Logo, o vetor (matriz) de deslocamento [r] será:
r =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
0, 005
−0, 001   
0, 002 
0, 004
−0, 002
−0, 001
0, 004
−0, 001
0, 001 
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Atividades
1. Obter o vetor nodal da estrutura abaixo:
2. Obter o vetor nodal da estrutura abaixo com o maior número de deformações do domínio da estrutura:
3. Obter o vetor dos deslocamentos da estrutura abaixo.
NotasReferências
ARAGÃO Filho, Luiz A. C. Moniz de. Notas de aula. Disponível em: //aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
<//aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm> . Acesso em: 27 fev. 2019.
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 9. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 22. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SORIANO, Humberto Lima. Análise de estruturas – formulação matricial. cap. 1. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, s/d.
Próxima aula
Matriz de Flexibilidade e Matriz de Rigidez;
Calculo das reações de apoio usando a Matriz de Rigidez;
Calculo das reações de apoio usando a Matriz de Flexibilidade.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, acesse:
//aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/ <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/> .
//aquarius.ime.eb.br/~moniz/ <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/> .
Leia:
MCCORMAC, J. C. Análise estrutural. Cidade: LTC, 2009. cap. 22.
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/