NPC3_MAT_U8-2

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Matemática
1ª edição
2017
Matemática
3
8Unidade 8
Programação linear e seus tipos
Para iniciar seus estudos
Nesta unidade, trataremos da programação linear e seus tipos, ampla-
mente utilizados na indústria, na área militar, dentre outros setores. De 
maneira geral, ela tem por objetivo encontrar a melhor solução para uma 
situação em que há algum tipo de limitação. Depois de concluir esta uni-
dade, você será capaz de modelar um problema utilizando programação 
linear e determinar o ponto ótimo. Preparado? Então, vamos lá!
Objetivos de Aprendizagem
• Entender qual é o objetivo e os conceitos de programação linear.
• Identificar em um problema as variáveis de decisão, as restrições e 
o critério de otimização.
• Ser capaz de modelar um problema usando programação linear.
• Representar graficamente a região viável um problema de progra-
mação linear e determinar o ponto ótimo.
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Matemática | Unidade 8 - Programação linear e seus tipos
8.1 O que é a programação linear?
A programação linear é um método de resolução de problemas lineares criado durante a Segunda Guerra Mun-
dial. Naquele momento, havia uma grande necessidade de a indústria desenvolver uma metodologia capaz de 
ser aplicada aos problemas de produção.
A programação linear, portanto, surgiu como uma ferramenta de otimização de funções lineares, cujo objetivo é 
maximizar ou minimizar uma função dada uma série de restrições. Resumidamente, essa teoria foi desenvolvida 
para ser aplicada em casos de atividades que estão competindo por recursos limitados. Para melhor entender-
mos os conceitos de programação linear, consideraremos um exemplo.
8.1.1 Exemplo de aplicação
Exemplo 1: 
A construtora ‘Casa Matemática’ precisa de três pedreiros e quatro serventes para construir uma casa popular por 
mês. Para construir um apartamento por mês, precisa de quatro pedreiros e oito serventes. A construtora conta 
com 40 pedreiros e 70 serventes para realizar suas obras. Além disso, sabemos que ela lucra R$ 4 mil a cada casa 
popular vendida, R$ 6 mil a cada apartamento vendido e que toda a produção é vendida.
Qual é a quantidade de casas e apartamentos que a construtora deve construir mensalmente para obter o 
máximo lucro possível?
Resolução do Exemplo 1:
Primeiramente, notamos que a questão principal do problema é determinar quando o lucro é máximo, sendo 
que, quanto mais casas ou apartamentos construir, maior será o lucro.
Percebemos também que existem restrições ao problema: a construtora não pode construir dezenas de casas e 
ter um lucro maior porque é limitada pelo número de funcionários.
Uma vez feita essas observações, podemos organizar os dados em forma de tabela para resolver esse problema:
Tabela 8.1: Dados do Exemplo 1.
Casa popular Apartamento Mão de obra
Pedreiro 3 4 40
Servente 4 8 70
Lucro (x R$ 1000) 4 6
Legenda: Síntese dos dados do exemplo para a solução do exercício.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Percebemos também que as variáveis ‘quantidades de casas populares’ e ‘quantidade de apartamentos’ são o 
nosso objeto de análise. Ou seja, devemos construir uma quantidade de casas e apartamentos de forma que o 
lucro seja máximo e que não empreguemos mais de 40 pedreiros e 70 serventes.
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Portanto, criaremos uma notação para nossas variáveis de estudo: o número de casas populares construídas é 
x1, e de apartamentos, x2. Com isso, a função que desejamos obter o valor máximo é o lucro que pode ser escrito 
matematicamente por:
( )1 2 1 2, 4 6F x x x x= +
Como dissemos anteriormente, existem restrições quanto ao número de funcionários. Portanto, quando consi-
deramos o caso dos pedreiros, temos:
1 23 4 40x x+ ≤
Isso ocorre porque, na construção de cada casa popular, a empresa precisa de três pedreiros, e para os aparta-
mentos, quatro.
Em relação aos serventes, a limitação pode ser escrita como:
1 24 8 70x x+ ≤
Pois a construtora precisa de quatro serventes para construir uma casa popular e oito serventes para construir 
um apartamento.
Além dessas restrições, podemos inferir que a quantidade de casas e apartamentos construídos não pode ser um 
número negativo. Ou seja:
1 0x ≥
2 0x ≥
Uma vez expressas matematicamente essas relações, podemos representá-las graficamente, como mostra 
Scheirnerman (2016), sendo a linha verde referente à restrição quanto ao número de pedreiros e a linha azul 
referente ao número de serventes:
Figura 8.1: Representação gráfica do Exemplo 1.
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
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5
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7
8
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Quantidade de casas populares
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 a
pa
rt
am
en
to
s Pedreiros
Serventes
Legenda: As retas representam as limitações de mão de obra do Exemplo 1.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
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Analisando a figura, podemos perceber que todos os pontos abaixo da linha verde satisfazem as limitações esta-
belecidas no enunciado, pois correspondem ao número de pedreiros empregados na construção (menor do que 
40). Por outro lado, todos os pontos que abaixo da linha azul satisfazem a limitação de empregar menos que 70 
serventes de pedreiro na construção.
Portanto, concluímos ainda que a região simultaneamente abaixo da linha verde e abaixo da linha azul satisfaz as 
duas limitações. Dessa forma, qualquer ponto nessa região satisfaz as restrições do problema. A essa região, que 
é representada na Figura 8.2, damos o nome de região viável:
Figura 8.2: Região viável.
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0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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3
4
5
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Quantidade de casas populares
Q
ua
nt
id
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 a
pa
rt
am
en
to
s Pedreiros
Serventes
Legenda: Todos os pontos da região viável satisfazem as limitações do enunciado.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Por exemplo, tomando o ponto (5,3): cinco casas populares construídas e três apartamentos. Nesse caso, a cons-
trutora empregará 19 pedreiros e 44 serventes, como mostra as relações a seguir, e ambas satisfazem as limita-
ções do problema:
 3 5 4 3 27
30
⋅ + ⋅ =
≤
 4 5 8 3 44
70
⋅ + ⋅ =
≤
O lucro, por sua vez, será de R$ 38 mil, como é mostrado a seguir:
4 5 6 3 38⋅ + ⋅ =
Agora, podemos fazer a seguinte pergunta: será que esse ponto é o que traz o maior lucro para a empresa? Qual 
ponto da região viável maximiza o lucro? Para responder a essas perguntas, podemos desenhar curvas nível na 
figura, ou seja, retas paralelas com a mesma inclinação. Dois pontos em uma mesma curva de nível têm lucros 
iguais. Ao analisar essas curvas, percebemos que quanto mais os pontos se aproximam das linhas de limitações, 
mais o lucro aumenta.
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Figura 8.3: Retas de mesmo valor de lucro.
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
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5
6
7
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Quantidade de casas populares
Q
ua
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id
ad
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de
 a
pa
rt
am
en
to
s
Pedreiros
Serventes
54
42
30
18
6
Legenda: Curvas de nível de mesmo valor de lucro.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Portanto, o ponto de lucro máximo é aquele que mais se aproxima das retas e ainda está na região abaixo dessas 
duas retas. Analisando o gráfico, podemos perceber que esse ponto é (5;6,25). Com isso, a construtora otimizará 
seu lucro se construir cinco casas populares e 6,25 apartamentos por mês.
Nas próximas seções, aprenderemos uma propriedade que nos permite determinar onde está a melhor solução 
da região viável.
8.2 Retomando conceitos
Agora que já vimos um exemplo de aplicação de programação linear, podemos entender melhor os conceitos.
Conforme dissemos brevemente no início da seção anterior, a programação linear é utilizada para resolver proble-
mas de otimização, sendo lineares à função objetivo e às restrições do problema. O que a programação linear se 
propõe a fazer, portanto, é identificar a melhor forma de resolver um problema matemático por meio de uma abs-
tração, ou seja, por meio da criação de um modelo matemático, como também foi mostrado por Gersting (2016).
Voltando ao exemplodo item anterior, a função objetivo, como o próprio nome indica, é a função de interesse, é 
o que se quer maximizar ou minimizar. Para citar alguns exemplos de aplicação, geralmente se busca maximizar 
o lucro, a produção, a minimização do custo, dentre outros.
Outra característica importante da programação linear são as restrições, isto é, as limitações impostas pelo pro-
blema e podem ser as mais variadas. No exemplo proposto, as limitações eram o número de pedreiros e o número 
de serventes.
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Por fim, temos as variáveis de decisão. Como é possível perceber pelo nome, essas variáveis são o que se quer 
determinar para chegar ao objetivo proposto. Retomando o nosso exemplo, a variável de decisão é o número de 
casas populares e apartamentos.
A programação linear se desenvolveu principalmente para se tornar uma ferramenta de 
resolução de problemas lineares de otimização. Para saber mais sobre esse contexto histó-
rico, bem como das primeiras aplicações de programação linear, acesse: <http://www.php-
simplex.com/pt/historia.htm>. Além da história, você também pode encontrar outros mate-
riais de programação linear nesse endereço eletrônico. 
8.3 Modelagem de problemas em programação linear
Para resolver um problema de programação linear, é preciso que criemos um modelo matemático de acordo com 
a situação descrita. Para que possamos melhor entender como se dá o processo de modelagem matemática, 
apresentamos a Figura 8.4:
Figura 8.4: Etapas de modelagem em programação linear
Etapa 1: identificação das variáveis de decisão 
e a criação de uma simbologia matemática.
Etapa 2: listagem das restrições do problema 
que devem ser expressas em termos das variáveis 
de decisão.
Etapa 3: identificação da função objetivo, que 
também deve ser escrita em função das variáveis 
de decisão.
Legenda: Etapas a serem seguidas para modelar um problema em programação linear.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
http://www.phpsimplex.com/pt/historia.htm
http://www.phpsimplex.com/pt/historia.htm
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8.3.1 Exemplo de modelagem em programação linear
Resolveremos mais um exemplo de programação linear seguindo as etapas mostradas na Figura 8.4.
Exemplo 2: 
A empresa ‘Somando Aromas’ produz dois tipos de perfumes, lavanda e jasmim, sendo a produção limitada pela 
disponibilidade de materiais e mão de obra. Cada um desses produtos exige uma quantidade diferente desses 
recursos, como mostra a tabela a seguir:
Tabela 8.2: Dados do problema do Exemplo 2.
Lavanda Jasmim
Mão de obra (h/unidade) 1 2
Materiais (g/unidade) 7 3
Lucro (R$/unidade) 5 3
Legenda: Dados necessários para resolver o Exemplo 2.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Sabemos também que a mão de obra não pode exceder 50 horas por dia e que a quantidade diária de materiais 
disponíveis é de 150 gramas. Quanto deve ser produzido de cada tipo de perfume para que o lucro diário seja o 
máximo possível?
Resolução do Exemplo 2:
Como foi proposto, resolveremos esse problema de acordo com as etapas descritas na Figura 8.4:
Etapa 1: identificação das variáveis de decisão
Dissemos anteriormente que as variáveis de decisão é o que se deseja determinar para chegar ao objetivo esta-
belecido. Neste exemplo, queremos determinar a quantidade a ser fabricada de cada perfume de modo a obter o 
lucro máximo. Sendo assim, as variáveis de decisão são:
x1 = número de perfumes ‘lavanda’ produzidos diariamente
x2 = número de perfumes ‘jasmim’ produzidos diariamente 
Etapa 2: restrições do problema
Também dissemos, no enunciado do problema, que existem limitações quanto aos materiais e à mão de obra: 
os materiais estão limitados a uma quantidade diária de 150 g e a mão de obra não pode exceder 50 horas por 
dia. Com essas informações, é possível escrever relações que as expressam em termos matemáticos. No que diz 
respeito à mão de obra, temos: 
1 22 50x x+ ≤
Em relação aos materiais, temos:
1 27 3 150x x+ ≤
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Sabemos também que a quantidade de perfumes lavanda e jasmim não podem ser números negativos. Portanto:
1 0x ≥
2 0x ≥
Etapa 3: função objetivo
Nesse problema, o objetivo é maximizar o lucro. Dessa forma, a função objetivo é o lucro que pode ser expresso 
matematicamente em função de x1 e x2:
( )1 2 1 2, 5 3f x x x x= +
Preste atenção ao ler o enunciado do problema para identificar corretamente as variáveis de 
decisão, as restrições e a função objetivo. 
8.4 Representação geométrica
Uma vez que modelamos um problema de programação linear, somos capazes de desenhar graficamente a região 
viável, ou seja, a região que contém todos os pontos que satisfaçam as limitações impostas pelo problema. Vale 
lembrar que os problemas de programação linear com até duas variáveis podem ser representados graficamente. 
Para problemas com mais variáveis, usamos outras formas de solução, como o método Simplex.
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Figura 8.5: Retas que representam as restrições do problema.
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0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
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Materiais
Mão de obra
Quantidade de perfumes lavanda
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 p
er
fu
m
es
 ja
sm
im
Legenda: Quadrilátero que contém todos os pontos da região viável.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Sabemos que a mão de obra disponível é de 50 horas por dia. Logo, todos os pontos abaixo da reta laranja satis-
fazem essa condição. Por outro lado, todos os pontos abaixo da reta azul satisfazem a limitação de 150 gramas 
de materiais por dia.
Então, como mostramos na Figura 8.5, a região viável é aquela que está simultaneamente abaixo na reta laranja 
e da reta azul. Entretanto, como encontramos o ponto de maior lucro nessa região?
O lucro é representado por uma função linear:
( )1 2 1 2, 5 3f x x x x= +
Essa equação também pode ser entendida como a representação de uma família de retas paralelas. Ou seja, para 
cada valor de f(x1,x2), ou cada valor de lucro, existe uma reta paralela com outro valor de f(x1,x2) – como é mostrado 
por Santos (2009) e como mostraremos na Figura 8.6.
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Figura 8.6: Curvas de nível.
0
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
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Materiais
Mão de obra
Quantidade de perfumes lavanda
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 p
er
fu
m
es
 ja
sm
im
75
25
50
Legenda: Curvas de nível são retas paralelas, em que todos os pontos de uma reta têm o mesmo valor de lucro.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Também podemos chamar essas retas paralelas de curva de nível; todos os pontos pertencentes a essa reta possuem 
o mesmo valor de lucro. Na primeira reta, o lucro é igual a 25, na segunda, 50, na terceira, 75 e assim por diante. 
Como se pode perceber, o lucro tente a aumentar conforme as curvas de nível se deslocam para cima do gráfico.
Concluímos, então, que o ponto de ótimo é obtido quando se desenha a curva de nível mais alta possível, de 
modo que toque a região viável em apenas um ponto. Portanto, obtemos que o ponto de lucro máximo é repre-
sentado na Figura 8.7:
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Figura 8.7: Ponto ótimo do Exemplo 2.
0
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
5
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30
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Materiais
Mão de obra
Quantidade de perfumes lavanda
Q
ua
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id
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e 
de
 p
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fu
m
es
 ja
sm
im
75
25
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(13,7;18)
Legenda: Melhor solução do Exemplo 2.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Se procurarmos os pontos de maior rendimento, vamos perceber que a solução ótima está sempre associada a 
um ponto de interseção do espaço de soluções, como mostrado por Vinhal (2014).
Entretanto, é importante destacar que alguns casos de programação linear apresentam infinitas soluções, por-
que todos os pontos de um dos lados da região viável são pontos ótimos. Isso ocorre porque a função objetivo é 
paralela a umadas restrições.
O ponto ótimo é sempre vértice ou extremo da região viável se uma das restrições não é 
paralela à função objetivo. 
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8.5 Modelagem em programação linear: generalização
Podemos expressar os problemas em programação linear genericamente, de acordo com:
1 1 2 2 ... n nZ c x c x c x= + + +
Em que Z é a função que se deseja maximizar ou minimizar. As m restrições, por sua vez, podem ser escritas de 
maneira geral para um problema com n variáveis:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
0
n n
n n
m m mn n m
i
a x a x c x b
a x a x c x b
a x a x c x b
x
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
≥
8.6 Mais alguns exemplos
Agora que já aprendemos as bases de programação linear, aplicaremos nosso conhecimento resolvendo alguns 
exercícios. O primeiro deles é um exemplo adaptado de Nogueira (2010). 
Exemplo 3: 
Uma indústria de brinquedos produz dois tipos de produtos, ‘bonequinha princesa’ e ‘herói valente’, sendo que 
cada produto é fabricado em três máquinas diferentes, 1, 2 e 3:
Tabela 8.3: Dados de fabricação dos brinquedos do Exemplo 3.
Produto Tempo Máquina 1 Tempo Máquina 2 Tempo Máquina 3
Bonequinha princesa 2 1 4
Herói valente 2 2 2
Legenda: Dados para a resolução do Exemplo 3.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
Além dessas informações, sabemos que o tempo de uso das máquinas é dado pela tabela a seguir:
Tabela 8.4: Dados de fabricação dos brinquedos do Exemplo 3:
Máquina Máximo tempo disponível
1 160
2 120
3 280
Legenda: Dados para a resolução do Exemplo 3.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
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Matemática | Unidade 8 - Programação linear e seus tipos
Finalmente, sabemos que o lucro com a venda do brinquedo ‘bonequinha princesa’ é de R$ 1,00, e o lucro de 
‘herói valente’, R$ 1,50. Qual é a quantidade a ser fabricada de cada produto para que o lucro seja máximo?
Resolução do Exemplo 3
Uma vez entendido o problema, podemos partir para a modelagem matemática. Primeiramente, definiremos 
quais são as variáveis de decisão. Como o que se deseja determinar é a quantidade a ser fabricada de cada pro-
duto, percebemos que as variáveis de decisão são: 
xb = número de brinquedos ‘bonequinha princesa’
xh = número de brinquedos ‘herói valente’
As restrições ao problema, por sua vez, dizem respeito à quantidade de horas que cada máquina fica disponível 
para a fabricação dos brinquedos. Essas limitações podem ser escritas matematicamente por:
2 2 160b hx x+ ≤
2 120b hx x+ ≤
4 2 280b hx x+ ≤
Sendo que a primeira inequação descreve a limitação da máquina 1, a segunda da máquina 2 e a terceira da 
máquina 3. Lembrando que xb e xh não podem ser números negativos.
Finalmente, a função objetivo, o lucro, deve ser representada por:
( ), 1,5h b b hf x x x x= +
Agora, podemos representar graficamente essas limitações, que é dado pela figura a seguir. 
Figura 8.8: Representação gráfica do Exemplo 3.
0 10 20 30 40 50 60
N° de brinquedos ‘herói valente’
0
20
40
60
80
100
120
N
° 
de
 b
ri
nq
ue
do
s 
‘b
on
eq
ui
nh
a 
pr
in
ce
sa
’
Máquina 1
Máquina 2
Máquina 3
A
B
Legenda: Retas que representam as restrições do Exemplo 3.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
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Matemática | Unidade 8 - Programação linear e seus tipos
A linha roxa corresponde à limitação da máquina 1: todos os pontos abaixo da linha roxa utilizam a essa ferra-
menta menos do que 160 horas. Analogamente, a linha vermelha representa a máquina 2, sendo que todos os 
pontos abaixo da reta respeitam a limitação de 120 horas de uso.
De posse dessas informações, podemos construir a região viável que está simultaneamente abaixo das três retas. 
Portanto, temos:
Figura 8.9: Região viável do Exemplo 3.
0 10 20 30 40 50 60
N° de brinquedos ‘herói valente’
0
20
40
60
80
100
120
N
° 
de
 b
ri
nq
ue
do
s 
‘b
on
eq
ui
nh
a 
pr
in
ce
sa
’
Máquina 1
Máquina 2
Máquina 3
A
B
Legenda: Representação da região viável do Exemplo 3.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Conforme dissemos anteriormente, o ponto ótimo é vértice da região viável. No caso da Figura 8.9, existem dois 
vértices. Portanto, o ponto de máximo lucro é um desses dois extremos. Começaremos testando o ponto A de 
coordenadas (20,60):
( )20,60 60 1,5 20
90
f = + ⋅
=
Portanto, o lucro no ponto A é de R$ 90,00. 
Testando agora o ponto B, (40,40) temos: 
( )40,40 40 1,5 40
100
f = + ⋅
=
Portanto, concluímos que o ponto de máximo lucro é o ponto B.
Exemplo 4, adaptado de Rafael (2014): 
Uma empresa de energia elétrica fornece energia de origem convencional e de origem eólica. Sabe-se que o 
consumo anual de energia para iluminação não poderá ser inferior a 40 MWh. Além disso, devido ao um acordo 
ambiental, a empresa se comprometeu que a quantidade de energia de origem convencional não pode exceder 
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Matemática | Unidade 8 - Programação linear e seus tipos
a quantidade de energia eólica fornecida. Em relação aos custos, o preço de cada MWh de energia de origem 
convencional é de 80 euros, e o preço do MWh de energia eólica é de 90 euros. Sabendo que o fornecimento de 
energia não poderá ir além de 40 MWh, qual a quantidade de cada tipo de energia que deve ser consumida no 
ano para que o custo seja o menor possível?
Resolução do Exemplo 4:
As variáveis de decisão que queremos determinar são as quantidades de energia q1 e q2:
q1 = quantidade de energia convencional
q2 = quantidade de energia eólica
As limitações, por sua vez, são em relação ao consumo de energia para iluminação, que deve ser maior que 40 
MWh:
1 2 40q q+ ≥
A quantidade de energia eólica fornecida também não poderá ser menor do que a quantidade de energia con-
vencional:
2 1q q≥
Além disso, a quantidade de energia eólica não poderá ser maior do que 40 MWh:
2 40q ≤
Finalmente, sabemos que a quantidade de energia eólica e energia convencional não pode ser número negativo:
1 2, 0q q ≥
Em relação à função objetivo, temos um caso diferente dos demais. Aqui, ela é o custo que queremos o menor 
possível:
( )1 2 1 2, 80 90f q q q q= +
Uma vez que o problema já foi modelado, podemos representá-lo graficamente na Figura 8.10:
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Matemática | Unidade 8 - Programação linear e seus tipos
Figura 8.10: Representação gráfica do Exemplo 4.
50
40
30
20
10
0
-10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
quantidade de energia convencional
R
3
: q
2
+q
1
= 40
R
2
: q
2
= q
1qu
an
ti
da
de
 d
e 
en
er
gi
a 
eó
lic
a
R
1
: q
2
= 40
Legenda: Representação das restrições do Exemplo 4.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Sabemos que todos os pontos abaixo da reta 1 pertencem à região aceitável, porque correspondem à situação em 
que a energia eólica fornecida é menor do que 40 MWh. Sabemos também que os pontos acima da reta 2 fazem 
parte da região aceitável, pois correspondem ao fornecimento de energia eólica maior que o fornecimento de ener-
gia convencional. Por fim, temos que os pontos acima da reta 3 também satisfazem as restrições do problema, por-
que representam o caso em que o fornecimento de energia eólica e convencional é maior do que 40 MWh.
De posse dessas informações, podemos determinar a região viável, que é a região compreendida entre estas retas:
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Matemática | Unidade 8 - Programação linear e seus tipos
Figura 8.11: Região viável do Exemplo 4.
50
40
30
20
10
0
-10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
quantidade de energia convencional
R
3
: q
2
+q
1
= 40
R
2
: q
2
= q
1qu
an
ti
da
de
 d
e 
en
er
gi
a 
eó
lic
a
R
1
: q
2
= 40
C B
A
Legenda: Representação de todos os pontos que satisfazem as restrições do problema do Exemplo 4.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Como é possível perceber na Figura 8.11, a região possui três vértices, tendo, portanto, três candidatos a ponto de 
mínimo custo. Verificaremos, para cada um desses pontos, o valor da função custo e definir qual é o menor valor.
Para o ponto A, de coordenadas (20,20), o custo é de: 
( )20,20 80 20 90 20
3400
f = ⋅ + ⋅
=
Para o ponto B, decoordenadas (40,40), o custo é:
( )40,40 80 40 90 40
6800
f = ⋅ + ⋅
=
Finalmente, para o ponto C, temos:
( )0,40 80 0 90 40
3600
f = ⋅ + ⋅
=
Portanto, determinamos que o ponto A é o ponto de mínimo custo. Para a empresa, o custo será menor se ela 
fornecer 20 MWh de energia de origem eólica e 20 MWh de energia de origem convencional.
20
Considerações finais
Com o fim desta unidade e da disciplina de Matemática, entendemos que:
• A programação linear é uma ferramenta para resolver problemas 
de otimização quando queremos otimizar uma função linear limi-
tada por funções também lineares.
• A função que se deseja maximizar ou minimizar é chamada de 
função objetivo, já as variáveis que precisamos determinar para 
obter o ponto ótimo são chamadas de variáveis de decisão.
• Uma vez que temos o modelo matemático de um problema de 
programação linear, podemos colocar em um gráfico as restrições 
do problema e determinar a solução viável.
• A melhor solução de um problema de programação linear é sem-
pre vértice da região, exceto quando uma das restrições é paralela 
à função objetivo. Nesse caso, teremos mais de uma solução.
Referências bibliográficas
21
GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da compu-
tação. São Paulo: LTC, 2016.
NOGUEIRA, F. Programação linear. Juiz de Fora: UFJF, 2010. Disponível 
em: <http://www.ufjf.br/epd015/files/2010/06/programacao_linear2.
pdf>. Acesso em: 1 fev. 2018.
PHP SIMPLEX. A história da pesquisa operacional. 2016. Disponível em: 
<http://www.phpsimplex.com/pt/historia.htm#>. Acesso em: 1 fev. 2018.
RAFAEL, A. O. N. Programação linear e algumas extensões. Porto: 
FCUP, 2014. Disponível em: <https://repositorio-aberto.up.pt/bits-
tream/10216/77071/2/33256.pdf>. Acesso em: 1 fev. 2018.
SANTOS, M. P. Programação linear. 2009. Disponível em: <http://www.
facom.ufms.br/~ricardo/Courses/OR-2009/Materials/plinear.pdf>. 
Acesso em: 1 fev. 2018. 
SCHEINERMAN, E. R. Matemática discreta: uma introdução. São Paulo: 
Cengage Learning, 2016.
VINHAL, C. Modelagem com programação linear. Goiânia: UFG, 2014. 
Disponível em: <http://www.emc.ufg.br/~cassio/documents/Aula5-
-cp21i-reduzido.pdf>. Acesso em: 1 fev. 2018.
http://www.ufjf.br/epd015/files/2010/06/programacao_linear2.pdf
http://www.ufjf.br/epd015/files/2010/06/programacao_linear2.pdf
http://www.phpsimplex.com/pt/historia.htm#
https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/77071/2/33256.pdf
https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/77071/2/33256.pdf
http://www.facom.ufms.br/~ricardo/Courses/OR-2009/Materials/plinear.pdf
http://www.facom.ufms.br/~ricardo/Courses/OR-2009/Materials/plinear.pdf
http://www.emc.ufg.br/~cassio/documents/Aula5-cp21i-reduzido.pdf
http://www.emc.ufg.br/~cassio/documents/Aula5-cp21i-reduzido.pdf