Gabarito Detalhado - Unidade 2 - Tópico 1

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Introdução ao Cálculo 
Unidade 2 – Equações e Inequações 
Tópico 1 – Equações do 1º, do 2º, do 3º e do 4º Grau 
 
Questão 1: Encontre as raízes das equações de 1º e 2º graus a seguir: 
a) 18𝑥 – 43 = 65 
Resolução: Vamos isolar 𝑥 
18𝑥 – 43 = 65 
18𝑥 = 65 + 43 
18𝑥 = 108 
𝑥 = 6. 
 
b) 23𝑥 – 16 = 14 – 17𝑥 
Resolução: Vamos isolar 𝑥 
 23𝑥 – 16 = 14 – 17𝑥 
23𝑥 + 17𝑥 = 14 + 16 
40𝑥 = 30 
𝑥 =
30
40
 
𝑥 =
3
4
. 
 
c) 10𝑦 – 5(1 + 𝑦) = 3(2𝑦 – 2) – 20 
Resolução: Vamos isolar 𝑦 
 10𝑦 – 5(1 + 𝑦) = 3(2𝑦 – 2)– 20 
10𝑦 − 5 − 5𝑦 = 6𝑦 − 6 − 20 
10𝑦 − 5𝑦 − 6𝑦 = −6 − 20 + 5 
−𝑦 = −21 
𝑦 = 21. 
 
d) 𝑥(𝑥 + 4) + 𝑥(𝑥 + 2) = 2𝑥2 + 12 
Resolução: Vamos isolar 𝑥 
𝑥2 + 4𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥 = 2𝑥2 + 12 
2𝑥2 − 2𝑥2 + 4𝑥 + 2𝑥 = 12 
6𝑥 = 12 
𝑥 = 2. 
 
e) 4𝑥(𝑥 + 6) – 𝑥2 = 5𝑥2 
Resolução: Vamos isolar 𝑥 
4𝑥(𝑥 + 6) – 𝑥2 = 5𝑥2 
4𝑥2 + 24𝑥 − 𝑥2 = 5𝑥2 
4𝑥2 − 𝑥2 − 5𝑥2 = −24𝑥 
−2𝑥2 = −24𝑥 
2𝑥2 = 24𝑥 
2𝑥2 − 24𝑥 = 0 
𝑥(2𝑥 − 24) = 0. 
Note que se 2𝑥 − 24 = 0, temos 𝑥 = 12. Portanto, as soluções são 𝑥′ = 0 
e 𝑥′′ = 12. 
 
f) 𝑥2 − 𝑥 − 20 = 0 
Resolução: Vamos resolver esta equação através da fórmula de Bhaskara. Note 
que 𝑎 = 1, 𝑏 = −1 e 𝑐 = −20, temos então 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
∆= 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
∆= (−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ −20 
∆= 81. 
Portanto 
𝑥 =
−(−1) ± √81
2 ⋅ 1
 
𝑥 =
1 ± 9
2
 
𝑥′ =
1 + 9
2
= 5 
𝑥′′ =
1 − 9
2
= −4. 
 
 
g) 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 
Resolução: Temos 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, 𝑐 = −4, logo 
∆= 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
∆= (−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ −4 
∆= 25 
Portanto, 
𝑥 =
−(−3) ± √25
2 ⋅ 1
 
𝑥′ =
3 + 5
2
= 4 
𝑥′′ =
3 − 5
2
= −1. 
 
h) 𝑥2 – 8𝑥 + 7 = 0 
Resolução: Temos 𝑎 = 1, 𝑏 = −8, 𝑐 = 7, logo 
∆= 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
∆= (−8)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 7 
∆= 36 
Portanto, 
𝑥 =
−(−8) ± √36
2 ⋅ 1
 
𝑥′ =
8 + 6
2
= 7 
𝑥′′ =
8 − 6
2
= 1. 
 
Questão 2: O dobro de um número, aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse 
número? 
Resolução: Montando a equação temos 
2𝑥 + 15 = 49 
2𝑥 = 49 − 15 
2𝑥 = 34 
𝑥 = 17. 
 Portanto o número desconhecido é 17. 
Questão 3: Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 
empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica? 
Resolução: Montando a equação temos 
1
3
𝑥 + 72 = 𝑥 
1
3
𝑥 − 𝑥 = −72 
−
2
3
𝑥 = −72 
2
3
𝑥 = 72 
𝑥 = 108. 
 Assim, concluímos que a fabrica tem 108 empregados. 
 
Questão 4: Dois quintos do salário de Ana são reservados para o aluguel e a 
metade é gasta com alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. 
Qual é o salário de Ana? 
Resolução: Montando a equação temos 
2
5
𝑥 +
1
2
𝑥 + 45 = 𝑥 
2
5
𝑥 +
1
2
𝑥 + 45 = 𝑥 
9
10
𝑥 + 45 = 𝑥 
9
10
𝑥 − 𝑥 = −45 
−
1
10
𝑥 = −45 
−𝑥 = −450 
𝑥 = 450. 
 Logo, o salário de Ana é R$ 450,00. 
 
Questão 5: Em um retângulo, a área pode ser obtida multiplicando-se o 
comprimento pela largura. Em determinado retângulo que tem 54 𝑐𝑚2de área, o 
comprimento é expresso por (𝑥 – 1) 𝑐𝑚, enquanto a largura é expressa por 
(𝑥 – 4) 𝑐𝑚. Nessas condições, determine o valor de x. 
Resolução: Montando a equação temos 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) = 54 
𝑥2 − 4𝑥 − 𝑥 + 4 = 54 
𝑥2 − 5𝑥 − 50 = 0. 
Da equação do segundo grau temos 𝑎 = 1, 𝑏 = −5 e 𝑐 = −50, logo 
∆= 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
∆= (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−50) 
∆= 225. 
Portanto, 
𝑥 =
−(−5) ± √225
2 ⋅ 1
 
𝑥 =
5 ± 15
2
 
assim as raízes são 
𝑥′ =
5 + 15
2
= 10 
𝑥′′ =
5 − 15
2
= −5. 
Como a área de um retângulo não pode ser um valor negativo, temos que 
a única solução é 𝑥 = 10. 
 
Questão 6: O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes 
esse número. Calcule esse número. 
Resolução: Montando a equação temos 
𝑥2 + 25 = 10𝑥 
𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 
como 𝑎 = 1, 𝑏 = −10 e 𝑐 = 25, logo 
∆ = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
∆ = (−10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 
∆= 0 
portanto, 
𝑥 =
−(−10) ± √0
2 ⋅ 1
 
𝑥 =
10 ± 0
2
 
assim a única raiz é 𝑥 = 5, pois 
𝑥′ =
10 + 0
2
= 5 
𝑥′′ =
10 − 0
2
= 5. 
 Portanto o número desconhecido é 5. 
 
Questão 7: Encontre as raízes das equações do 2º grau incompletas: 
a) 4𝑥2– 36 = 0 
Resolução: Basta isolar o 𝑥 
4𝑥2 = 36 
𝑥2 = 9 
𝑥 = ±3 
sempre que invertemos o quadrado para uma raiz devemos acrescentar ± antes 
da raiz. 
 
b) 7𝑥2 – 21 = 0 
Resolução: Basta isolar o 𝑥 
7𝑥2 = 21 
𝑥2 = 3 
𝑥 = ±√3. 
 
c) 𝑥2 + 9 = 0 
Resolução: Basta isolar o 𝑥 
𝑥2 = −9 
𝑥 = ±√−9. 
Como a raiz de um número negativo não está definida no conjunto dos 
números reais concluímos que a equação não tem solução real. 
 
d) 𝑥2 – 49 = 0 
Resolução: Basta isolar o 𝑥 
𝑥2 = 49 
𝑥 = ±7. 
 
e) 5𝑥2– 20 = 0 
Resolução: Basta isolar o 𝑥 
5𝑥2 = 20 
𝑥2 = 4 
𝑥 = ±2. 
 
OBS: Uma maneira de resolver as equações acima é utilizando a fórmula de 
Bhaskara. 
 
Questão 8: Em uma indústria, o custo de fabricação de 𝑥 unidades de um 
produto é dado por 𝑐(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 400 reais. Em um dia de trabalho, o 
número de unidades produzidas é 𝑥(𝑡) = 12𝑡 unidade, em que t é o número de 
horas trabalhadas no dia. Determine o custo de fabricação quando são 
decorridas três horas de trabalho. 
Resolução: Note que nesse caso 𝑡 = 3. Então 
𝑥(𝑡) = 12𝑡 
𝑥(3) = 12 ⋅ 3 
𝑥(3) = 36. 
Assim, são produzidas 36 unidades em 3 horas de trabalho. Vamos 
calcular o custo de um produto. 
𝑐(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 400 
𝑐(36) = 362 + 2 ⋅ 36 + 400 
𝑐(36) = 1768. 
 Portanto, o custo de produção é R$ 1768,00. 
 
Questão 9: Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 
1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto 
que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no 
dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros. 
Considerando-se 𝑥 o valor, em centavos, do desconto dado no preço de 
cada litro, e 𝑉 o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então 
a expressão que relaciona 𝑉 e 𝑥 é: 
𝑎) 𝑉 = 10000 + 50𝑥 − 𝑥2 
𝑏) 𝑉 = 10000 + 50𝑥 + 𝑥2 
𝑐) 𝑉 = 15000 − 50𝑥 − 𝑥2 
𝑑) 𝑉 = 15000 + 50𝑥 − 𝑥2 
𝑒) 𝑉 = 15000 − 50𝑥 + 𝑥2 
Resolução: Considere 𝑄 a quantidade de litros de gasolina vendidos e 𝑃 o preço 
da gasolina, em reais. Note que as duas variáveis são funções do valor de 
desconto 𝑥. Além disso, o valor 𝑉 arrecado no final do dia é dado pela igualdade 
𝑉 = 𝑃 ⋅ 𝑄. 
Sabemos que para cada centavo de desconto por litro, eram vendidos 100 
litros a mais por dia e que a venda é de 10.000 litros por dia temos que 
𝑄 = 10.000 + 100𝑥 
e 
𝑃 = 1,50 − 0,01 ⋅ 𝑥. 
Portanto, 
𝑉 = 𝑃 ⋅ 𝑄 
= (10.000 + 100𝑥) ⋅ (1,50 − 0,01 ⋅ 𝑥) 
= 15.000 + 50𝑥 − 𝑥2. 
Concluímos que a alternativa correta é d). 
 
Questão 10: Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os 
números 0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3: 
𝑎) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥3 − 1) 
𝑏) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)3 
𝑐) 𝑝(𝑥) = 𝑥3(𝑥 − 1) 
𝑑) 𝑝(𝑥) = (𝑥3 − 𝑥)(𝑥 − 1) 
𝑒) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥3 + 𝑥2 − 2) 
Resolução: Vamos analisar cada uma das equações separadamente: 
A alternativa a) não é, pois a raiz 𝑥 = 0 tem multiplicidade 1 e 𝑥 = 1 tem 
multiplicidade 3. 
A alternativa b) também não é, pois a raiz 𝑥 = 0 tem multiplicidade 1 e 𝑥 =
1 tem multiplicidade 3. 
A alternativa c), é correta, pois as raízes do polinômio 𝑥3 = 0 é 𝑥 = 0 e 
tem multiplicidade 3, pois o 𝑥 está elevado ao cubo. E 𝑥 − 1 = 0 tem solução 𝑥 =
1 de multiplicidade 1. 
A alternativa d) não é correta, pois 𝑥 = 1 tem multiplicidade maior que 1. 
A alternativa e) também não é correta, já que 𝑥 = 5 não é solução da 
equação. 
 
Questão 11: Resolver a equação 𝑥3 − 3𝑥2 – 𝑥 + 3 = 0, sabendo-se que a 
soma de duas raízes é zero. 
Resolução: Sabemos que a soma das raízes de uma equação de terceiro grau 
é 
−𝑏
𝑎
= 3. 
Além disso, o produto das raízes de uma equação de terceiro grau é 
−𝑑
𝑎
= −3. 
Sejam𝑥’, 𝑥” e 𝑥’’’ sejam as raízes da equação, logo 
𝑥′ + 𝑥” + 𝑥’’’ = 3 
e 
𝑥′ ⋅ 𝑥” ⋅ 𝑥′′′ = −3. 
Suponha que 𝑥′ + 𝑥′′ = 0 (isso é uma hipótese do enunciado), então 
concluímos que 𝑥′′′ = 3. Além disso, como 𝑥′ ⋅ 𝑥” ⋅ 𝑥′′′ = −3, temos 
𝑥′ ⋅ 𝑥” ⋅ 3 = −3, 
ou seja, 𝑥′ ⋅ 𝑥” = −1. 
Agora temos que resolver o sistema 
{ 𝑥
′ + 𝑥′′ = 0
𝑥′ ⋅ 𝑥′′ = −1
 
da primeira equação temos que 𝑥′ = −𝑥′′, substituindo na segunda equação 
temos 
−𝑥′′ ⋅ 𝑥′′ = −1 
−(𝑥′′)2 = −1 
(𝑥′′)2 = 1 
𝑥′′ = ±1 
concluímos que 𝑥′ = 1 e 𝑥′′ = −1 ou 𝑥′ = −1 e 𝑥′′ = 1. 
Portanto as raízes da equação são 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 3. 
 
Questão 12: A soma das raízes da equação 𝑥3– 7𝑥2 + 12𝑥 = 0 é: 
a) 7 
b) 4 
c) 3 
d) 8 
e) 0 
Resolução: Pela Relação de Girard, temos que a soma das raízes de uma 
equação de terceiro grau é 
−𝑏
𝑎
= 7. 
Sejam 𝑥’, 𝑥” e 𝑥’’’ as raízes da equação então 
𝑥′ + 𝑥” + 𝑥’’’ = 7. 
Portanto, a resposta correta é a alternativa a). 
 
Questão 13: A soma das raízes da equação 𝑥4 + 5𝑥3– 3𝑥2– 15𝑥 = 0 é: 
a) – 1 
b) – 2 
c) – 3 
d) – 4 
e) – 5 
Resolução: Note que 
𝑥4 + 5𝑥3– 3𝑥2– 15𝑥 = 𝑥(𝑥3 + 5𝑥2 − 3𝑥 − 15) 
e ainda 
𝑥3 + 5𝑥2 − 3𝑥 − 15 = (𝑥2 − 3)(𝑥 + 5). 
Portanto, podemos escrever a equação como 𝑥(𝑥2 − 3)(𝑥 + 5). Na 
primeira parcela, temos 𝑥 = 0 
Na equação (𝑥2 − 3) = 0, temos 𝑥 = √3 e 𝑥 = −√3, pois 
(𝑥2 − 3) = (𝑥 − √3)(𝑥 + √3). 
Em (𝑥 + 5) = 0, temos 𝑥 = −5. 
Portanto, a soma das raízes é 
0 + √3 − √3 − 5 = −5 
a resposta correta é a alternativa e). 
 
Questão 14: A soma dos quadrados das raízes da equação 
(3𝑥 – 1) (3𝑥2– 2𝑥 – 1) = 0 é: 
a) 0 
b) 1/9 
c) 2/3 
d) 11/9 
e) 11/3 
Resolução: Vamos analisar cada uma das parcelas separadas. 
A raiz de 3𝑥 − 1 = 0 é 
3𝑥 = 1 
𝑥 =
1
3
. 
As raízes de 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0, por Bhaskara 
𝑥 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−1)
2 ⋅ 3
 
𝑥 =
2 ± √4 + 12
6
=
2 ± 4
6
 
são 𝑥 = 1 e 𝑥 = −
1
3
. 
Então, o quadro de cada raiz, respectivamente, será 
𝑥 =
1
9
, 𝑥 = 1, 𝑥 = 
1
9
. 
Portanto, a soma das raízes ao quadrado é 
1
9
+ 1 +
1
9
=
11
9
 
e a resposta correta é a alternativa d). 
 
Questão 15: As raízes do polinômio 𝑥3 – 6𝑥2 – 𝑥 + 30: 
a) Somadas dão 6 e multiplicadas dão 30. 
b) Somadas dão – 6 e multiplicadas dão 30. 
c) Somadas dão 6 e multiplicadas dão – 30. 
d) Somadas dão – 6 e multiplicadas dão – 30. 
e) São 5, - 2, - 3. 
Resolução: Note que – 2 é raiz do polinômio, pois 
(−2)3 − 6 ⋅ (−2)2 − (−2) + 30 = 0. 
Portanto vamos dividir o polinômio pelo termo (𝑥—(−2)) = 𝑥 + 2, 
𝑥3 – 6𝑥2 – 𝑥 + 30 𝑥 + 2 
−𝑥3 − 2𝑥2 𝑥2 − 8𝑥 + 15 
−8𝑥2 − 𝑥 + 30 
8𝑥2 + 16𝑥 
15𝑥 + 30 
−15𝑥 − 30 
0 
concluímos que 
(𝑥3 – 6𝑥2 – 𝑥 + 30) = (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥2 − 8𝑥 + 15). 
Basta agora calcularmos as raízes dos dois polinômios. 
Para (𝑥 + 2) = 0 a raiz é 𝑥 = −2. 
Para (𝑥2 − 8𝑥 + 15) = 0 as raízes são 
𝑥 =
−(−8) ± √(−8)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 15
2 ⋅ 1
 
𝑥 =
8 ± √64 − 60
2
 
𝑥 =
8 ± 2
2
 
𝑥 =
8 + 2
2
=
10
2
= 5 𝑥 =
8 − 2
2
=
6
2
= 3. 
Portanto, a soma das raízes é 
−2 + 5 + 3 = 6 
e o produto é 
(−2) ⋅ 5 ⋅ 3 = −30. 
Concluímos que a resposta correta é a alternativa c). 
 
Questão 16: Foi apresentado a um exímio calculista, conhecido como o "homem 
que calculava", o sistema de equações: 
{
 
 
 
 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =
37
30
𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 =
1
2
𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 =
1
15
 
E ele rapidamente respondeu: 
“Uma solução do sistema é 𝑥1 =
1
3
; 𝑥2 =
1
2
; 𝑥3 =
2
5
.” 
Em seguida perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das raízes da equação 
30𝑥3 − 37𝑥2 + 15𝑥 − 2 = 0? De pronto, ele respondeu corretamente. A sua 
resposta foi: 
𝑎)
7
300
 
𝑏)
47
450
 
𝑐)
101
600
 
𝑑)
437
750
 
𝑒)
469
900
 
Resolução: Como as raízes são 
𝑥1 =
1
3
 𝑥2 =
1
2
 𝑥3 =
2
5
 
temos que a soma dos quadrados das raízes é 
(
1
3
)
2
+ (
1
2
)
2
+ (
2
5
)
2
=
1
9
+
1
4
+
4
25
=
469
900
. 
A resposta correta é a alternativa e).