Aula 2 - Cálculo Diferencial e Integral II

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
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Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
AULA 2 
 
1.2 INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Esse método é geralmente aplicado para integrar funções compostas em que 
a derivada de uma função não é igual a outra função, ou seja: 
 
Sejam 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) funções deriváveis no intervalo 𝐼, temos: 
 
[𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓(𝑥) . 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) . 𝑓′(𝑥) ou 
 
𝑓(𝑥) . 𝑔′(𝑥) = [𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)]′ − 𝑔(𝑥) . 𝑓′(𝑥) 
 
Integrando ambos os lados dessa equação, temos: 
 
∫ 𝑓(𝑥) . 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫[𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)]′ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) . 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 , ou ainda 
∫ 𝑓(𝑥) . 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑔(𝑥) . 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 1.2 
 
Se fizermos: 
𝑢 = 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 
e 
𝑣 = 𝑔(𝑥) → 𝑑𝑣 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 
Substituindo tudo na equação 1.2, teremos: 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 1.3 
A equação 1.3 é a equação que será utilizada sempre que for necessário realizar uma 
integral por partes. 
 
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Note que na equação 1.3 não contém a constante de integração. Esta deve ser acres-
centada ao final do processo. 
O sucesso na aplicação desse método está condicionado na escolha correta 
da função que você chamará de 𝑢. Para facilitar essa tarefa você deve classificar as 
funções das integrais e escolher 𝑢 como a primeira que aparecer seguindo a orienta-
ção da seta mostrada na figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 
Calcular a integral ∫ 𝑥𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 
Resolução: 
Vamos começar classificando as funções da integral segundo a orientação no ILATE. 
Neste caso temos: 
𝑥 é uma função algébrica e 𝑒−2𝑥é uma função exponencial, na orientação do ILATE 
as funções algébricas veem antes das funções exponenciais, logo: 
𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
O restante da função será 𝑑𝑣 
𝑑𝑣 = 𝑒−2𝑥𝑑𝑥, Assim: 
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 
Figura 1: Método de memorização do autor 
 
Fonte: O autor 
 
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Resolvendo essa integral para determinar a função 𝑣,a integral da esquerda pode ser 
resolvida de forma imediata e a integral do lado direito pode ser resolvido usando o 
método de substituição. 
Logo: 
𝑣 = ∫ 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥, aplicando a substituição: 
𝑢 = −2𝑥 →
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −2 
𝑣 = ∫
𝑒𝑢
−2
𝑑𝑢 =
−1
2
𝑒𝑢 = −
𝑒−2𝑥
2
 
 
Substituindo tudo na equação 1.3 
 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
∫ 𝑥𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥
𝑒−2𝑥
2
− ∫
𝑒−2𝑥
2
𝑑𝑥 
∫ 𝑥𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥
𝑒−2𝑥
2
−
1
2
∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 
 
A integral da direita é a mesma que acabamos de resolver. 
 
Logo: 
∫ 𝑥𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥
𝑒−2𝑥
2
−
1
2
(
−𝑒−2𝑥
2
) + 𝑐 
∫ 𝑥𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥
𝑒−2𝑥
2
+
𝑒−2𝑥
4
+ 𝑐 
 
 
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Exemplo 6 
Calcular a integral ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
Resolução: 
Nessa integral, como temos somente uma função ela será nossa escolha para a fun-
ção 𝑢. Assim: 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 →
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑥 
Substituindo na equação 1.3 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
∫ 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑥(𝑙𝑛𝑥) − ∫ 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
 
∫ 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑥(𝑙𝑛𝑥) − 𝑥 + 𝑐 
 
Exemplo 7 
Calcular a integral ∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
Resolução: 
Nessa integral temos: 𝑒2𝑥que é uma função exponencial e 𝑠𝑒𝑛𝑥que é uma função tri-
gonométrica. Assim: 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 → 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 
e 
 
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𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥, para determinar integramos os dois lados da expressão: 
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 
O lado esquerdo pode ser integrado de modo imediato e o lado direito por integração 
pelo método da substituição; 
𝑣 = ∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥 
Integrando o lado direito por substituição: 
𝑢 = 2𝑥 →
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 
𝑣 = ∫ 𝑒𝑢
𝑑𝑢
2
=
𝑒𝑢
2
=
𝑒2𝑥
2
 
 
Substituindo na equação 1.3 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫
𝑒2𝑥
2
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
2
∫ 𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 1.4 
 
Notem que a integral da direita é quase idêntica a integral que começamos a resolver 
no início, apenas trocando a função seno pela função cosseno. Logo precisamos re-
solvê-la usando integral por partes; assim aplicando o mesmo procedimento anterior 
na integral ∫ 𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 , temos: 
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 →
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛𝑥 
e 
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥 
 
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∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥 
𝑣 =
𝑒2𝑥
2
 
Aplicando a integração por partes no final da equação 1.4, temos: 
 
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
2
[𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑒2𝑥
2
− ∫
𝑒2𝑥
2
(−𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥] 
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
2
[𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑒2𝑥
2
+
1
2
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥] 
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 −
𝑒2𝑥
4
𝑐𝑜𝑠𝑥 −
1
4
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
 
Note que a integral da direita é igual a integral do início do problema. Agora vamos 
passar essa integral para o lado esquerdo da igualdade. 
 
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 +
1
4
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 −
𝑒2𝑥
4
𝑐𝑜𝑠𝑥 
5
4
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 −
𝑒2𝑥
4
𝑐𝑜𝑠𝑥 
∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
2𝑒2𝑥
5
𝑠𝑒𝑛𝑥 −
𝑒2𝑥
5
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
Agora é hora de praticar, resolva os exercícios propostos da Aula 2 em MATERIAL COM-
PLEMEMTAR. 
 
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Referencial Bibliográfico: 
1. FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A: Funções, Limi-
tes, Derivação e Integração. 6ª ed. São Paulo: Makron Books, 2006. 
 
2. BOULOS, Paulo (Compilador). Cálculo diferencial e integral 1. São Paulo: Ma-
kron Books, 1999. 381p. 
 
3. LEITHOLD, LOUIS. O Cálculo com Geometria Analítica. V.1. São Paulo: Har-
bra, 2000. 
 
4. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. V.1. São Paulo: Ma-
kron Books, 1994. 2º Edição revisada.