Cálculo II

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FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
CÁLCULO II 
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CÁLCULO II 
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Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017SUMÁRIO
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul 
do Estado do Espírito Santo, com unidades em 
Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova 
Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, des-
tacando-se pela oferta de cursos de gradua-
ção, técnico, pós-graduação e extensão, com 
qualidade nas quatro áreas do conhecimen-
to: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sem-
pre primando pela qualidade de seu ensino 
e pela formação de profissionais com cons-
ciência cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto 
grupo de Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institui-
ções avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram 
notas 4 e 5, que são consideradas conceitos 
de excelência em ensino.
Estes resultados acadêmicos colocam 
todas as unidades da Multivix entre as 
melhores do Estado do Espírito Santo e 
entre as 50 melhores do país.
 
MISSÃO
Formar profissionais com consciência cida-
dã para o mercado de trabalho, com ele-
vado padrão de qualidade, sempre mantendo a 
credibilidade, segurança e modernidade, visando 
à satisfação dos clientes e colaboradores.
 
VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci-
da nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
GRUPO
MULTIVIX
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SUMÁRIO
BIBLIOTECA MULTIVIX (Dados de publicação na fonte)
As imagens e ilustrações utilizadas nesta apostila foram obtidas no site: http://br.freepik.com
Lima, Aparecida de Cássia Oliveira; Diniz, Carine Saraiva.
Cálculo II / Aparecida de Cássia Oliveira Lima; Carine Saraiva Diniz. – Serra: Multivix, 2019.
FACULDADE CAPIXABA DA SERRA • MULTIVIX
Catalogação: Biblioteca Central Anisio Teixeira – Multivix Serra
2019 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei.
Diretor Executivo 
Tadeu Antônio de Oliveira Penina
Diretora Acadêmica
Eliene Maria Gava Ferrão Penina
Diretor Administrativo Financeiro
Fernando Bom Costalonga
Diretor Geral
Helber Barcellos da Costa
Diretor da Educação a Distância
Flávio Janones
Coordenadora Acadêmica da EaD
Carina Sabadim Veloso
Conselho Editorial 
Eliene Maria Gava Ferrão Penina (presidente 
do Conselho Editorial)
Kessya Penitente Fabiano Costalonga
Carina Sabadim Veloso
Patrícia de Oliveira Penina
Roberta Caldas Simões
Revisão de Língua Portuguesa
Leandro Siqueira Lima 
Revisão Técnica
Alexandra Oliveira
Alessandro Ventorin
Graziela Vieira Carneiro
Design Editorial e Controle de Produção de Conteúdo
Carina Sabadim Veloso
Maico Pagani Roncatto
Ednilson José Roncatto
Aline Ximenes Fragoso
Genivaldo Félix Soares
Multivix Educação a Distância
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Pedagógico
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Semipresencial
Gestão de Materiais Pedagógicos e Metodologia
Direção EaD
Coordenação Acadêmica EaD
EDITORIAL
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Aluno (a) Multivix,
Estamos muito felizes por você agora fazer parte 
do maior grupo educacional de Ensino Superior do 
Espírito Santo e principalmente por ter escolhido a 
Multivix para fazer parte da sua trajetória profissional.
A Faculdade Multivix possui unidades em Cachoei-
ro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, 
São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999, 
no mercado capixaba, destaca-se pela oferta de 
cursos de graduação, pós-graduação e extensão 
de qualidade nas quatro áreas do conhecimento: 
Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, tanto na mo-
dalidade presencial quanto a distância.
Além da qualidade de ensino já comprova-
da pelo MEC, que coloca todas as unidades do 
Grupo Multivix como parte do seleto grupo das 
Instituições de Ensino Superior de excelência no 
Brasil, contando com sete unidades do Grupo en-
tre as 100 melhores do País, a Multivix preocupa-
-se bastante com o contexto da realidade local e 
com o desenvolvimento do país. E para isso, pro-
cura fazer a sua parte, investindo em projetos so-
ciais, ambientais e na promoção de oportunida-
des para os que sonham em fazer uma faculdade 
de qualidade mas que precisam superar alguns 
obstáculos. 
Buscamos a cada dia cumprir nossa missão que é: 
“Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.”
Entendemos que a educação de qualidade sempre 
foi a melhor resposta para um país crescer. Para a 
Multivix, educar é mais que ensinar. É transformar o 
mundo à sua volta.
Seja bem-vindo!
APRESENTAÇÃO 
DA DIREÇÃO 
EXECUTIVA
Prof. Tadeu Antônio de Oliveira Penina 
Diretor Executivo do Grupo Multivix
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LISTA DE FIGURAS
 > FIGURA 1 - Gráfico da família de funções de f(x) = x2 + c 18
 > FIGURA 2 - Área de uma região curva qualquer no intervalo [A,B] 52
 > FIGURA 3 - Aproximação da área por retângulos 53
 > FIGURA 4 - Aproximação da área por número maior de retângulos 54
 > FIGURA 5 - Sólido formado a partir da rotaçãoda curva y = √x 
em torno do eixo x 65
 > FIGURA 6 - Sólido gerado 66
 > FIGURA 7 - Representação do triângulo retângulo na forma 2 − 2 87
 > FIGURA 8 - Representação do triângulo retângulo na forma 2 − 2 87
 > FIGURA 9 - Representação do triângulo retângulo na forma 88
 > FIGURA 10 - Representação no triângulo retângulo 89
 > FIGURA 11 - Representação no triângulo retângulo 90
 > FIGURA 12 - Representação no triângulo retângulo 91
 > FIGURA 13 - Trombeta de Gabriel 114
 > Gráfico da função f(x, y) = x= + y2 122
 > 0 Gráfico da função f(x, y) = 1 – x2 – y2 122
 > Dimensões da piscina 130
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LISTA DE GRÁFICOS
 > GRÁFICO 1 - Gráfico da função y = x2 58
 > GRÁFICO 2 - Gráfico da função y = 4 - x2 59
 > GRÁFICO 3 - Gráfico da função y = x2 – 5x 60
 > GRÁFICO 4 - Gráfico da função y = sen x 61
 > GRÁFICO 5 - Gráfico da região limitada pelas curvas 
y = x2 – 1 e y = x + 1 62
 > GRÁFICO 6 - Gráfico da região limitada pelas curvas 
y = (x – 1)3 e y = x – 1 63
 > GRÁFICO 7 - Gráfico da função y = √x 64
 > GRÁFICO 8 - Gráfico da curva y=ex 66
 > GRÁFICO 9 - Área sob uma curva qualquer 104
 > GRÁFICO 10 - Área da região formada pela curva y
x
=
1
2
 107
 > GRÁFICO 11 - Área da região formada pela curva y
x
=
1
2
, no 
intervalo [1,2] 107
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SUMÁRIO
SUMÁRIO
1 INTEGRAL INDEFINIDA 16
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 16
1.1 PRIMITIVA 17
1.1.1 DEFINIÇÃO 18
1.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL INDEFINIDA 20
1.3 TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS 22
1.4 APLICAÇÃO DE INTEGRAL INDEFINIDA 25
1.5 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: TROCA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL 
INDEFINIDA 32
CONCLUSÃO 36
2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 38
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 38
2.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES 39
2.2 EXEMPLOS DE INTEGRAÇÃO UTILIZANDO OS MÉTODOS 
DE SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS E INTEGRAÇÃO POR PARTES 43
2.3 APLICAÇÕES DE TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 46
CONCLUSÃO 49
3 INTEGRAL DEFINIDA 52
INTRODUÇÃO 52
3.1 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL DEFINIDA POR SOMA 
DE RIEMANN 53
UNIDADE1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
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3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 56
3.3 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 56
3.4 CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS 58
3.5 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 65
3.6 VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO 69
3.7 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS NA FÍSICA 70
3.7.1 DISTÂNCIA PERCORRIDA 70
3.7.2 TRABALHO 71
3.8 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS DEFINIDAS 72
CONCLUSÃO 75
4 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 77
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 77
4.1 INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 78
4.1.1 INTEGRAIS ∫SEN U DXE ∫COS U DU 78
4.1.2 INTEGRAIS ∫TG U DUE ∫COTG U DU 79
4.1.3 INTEGRAIS ∫SEC U DUE ∫COSEC U DU 81
4.2 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES QUE ENVOLVEM POTÊNCIAS DE 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 82
4.2.1 INTEGRAIS DA FORMA ∫SENN (U) DU E ∫COSN (U) DU, N � IN 82
4.2.2 INTEGRAIS DA FORMA ∫SENM (U).COSN(U) DU, M,N ϵ IN 84
4.2.3 INTEGRAIS DA FORMA ∫TGN (U)DUE ∫SECN U DU, N ϵ IN 85
4.3 SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 87
4.4 INTEGRAÇÃO DE EXPRESSÕES CONTENDO O TRINÔMIO DE 2º GRAU 93
4.5 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS COM FRAÇÕES PARCIAIS 95
4.6 APLICAÇÕES 101
CONCLUSÃO 102
SUMÁRIO
UNIDADE 4
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SUMÁRIO
SUMÁRIO
5 FUNÇÕES IMPRÓPRIAS 104
INTRODUÇÃO 104
5.1 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 105
5.2 INTERVALOS INFINITOS 107
5.3 INTERVALOS DESCONTÍNUOS 111
5.4 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 114
CONCLUSÃO 116
6 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 118
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 118
6.1 FUNÇÕES DE DUAS E TRÊS VARIÁVEIS 119
6.1.1 DOMÍNIO 121
6.2 DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 124
6.3 REGRA DA CADEIA 128
6.4 APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 130
CONCLUSÃO 133
REFERÊNCIAS 135
UNIDADE 5
UNIDADE 6
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ICONOGRAFIA
ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
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SUMÁRIO
BIODATA DAS AUTORAS 
Aparecida de Cássia Oliveira Lima
Mestre em Gestão Social, Educação e Desenvolvimento Local pelo Centro Universitá-
rio de Minas Gerais – UNA. Especialista em Informática na Educação pelo IEC – Pontifí-
cia Universidade Católica de Minas Gerais. Graduação em Matemática pela Pontifícia 
Universidade Católica de Minas Gerias. Experiência como Docente no ensino supe-
rior desde 2010, trabalhando na Faculdade Pitágoras em Betim, onde ministra as 
disciplinas Matemática Instrumental, Geometria Analítica e Álgebra Linear, Métodos 
Numéricos Aplicados, Probabilidade e Estatística, Cálculo Diferencial e Cálculo Inte-
gral. Nos ensinos médio e fundamental, atua desde 2001 na rede pública estadual 
como professora de Matemática e Física.
Carine Saraiva Diniz
Mestre em Gestão Social, Educação e Desenvolvimento Local pelo Centro Universitário 
de Minas Gerais – UNA. Especialista em Educação Matemática pela Pontifícia Univer-
sidade Católica de Minas Gerais (PUC Minas) e Licenciada em Matemática pela Ponti-
fícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC Minas). Experiência como Docente 
no ensino superior desde 2013, ministrando as disciplinas de Geometria Analítica e 
Álgebra Linear, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo de Várias Variáveis, Equa-
ções Diferenciais e Matemática Instrumental. Nos ensinos médio e fundamental, atua 
desde 2001 como professora de Matemática, nas redes pública e privada. Atualmen-
te, é Professora Assistente na Faculdade UNA de Betim nos cursos de Engenharia 
e Professora Efetiva de Matemática na Secretaria de Estado de Educação de Minas 
Gerais (SEE-MG).
JUSTIFICATIVA 
Cálculo integral é uma importante ferramenta matemática que possibilita o estudo 
e a modelagem de problemas reais de várias áreas do conhecimento. Além disso, 
auxilia na construção de um importante embasamento de raciocínio lógico e crítico, 
necessário para a estruturação e resolução de situações diversas do cotidiano.
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ENGAJAMENTO 
Imagine que você quer calcular o campo elétrico da parte de baixo de um poste que, 
dependendo do nível, pode trazer complicações para a saúde humana. Como você 
faria isso? Num retângulo ou num triângulo, podemos calcular sua área facilmente, 
certo? Agora, como você faria para calcular a área de uma região curva, formada, por 
exemplo, entre uma parábola e o eixo x? Ou, ainda, como construir uma cobertura 
com contornos curvos de um grande galpão? E qual a área ocupada por essa cober-
tura? Como projetar a aerodinâmica de um avião ou o design de um eletrodoméstico 
para que seja moderno e eficiente ao mesmo tempo? 
Todas essas perguntas podem ser respondidas usando o cálculo de integrais. Uma 
das maiores vantagens de integral, inclusive, é poder trabalhar de forma simples com 
linhas e superfícies curvas. Antes de tudo, é preciso ter em mente que a integral 
representa, na verdade, uma operação inversa da derivação. E é isso que esta discipli-
na pretende: apresentar o que são as integrais e algumas aplicações possíveis. Alguns 
processos apresentam certo grau de complexidade, exigindo disposição e dedicação 
de você, estudante, para um bom entendimento.
APRESENTAÇÃO DA 
DISCIPLINA
Bem-vindo à disciplina Cálculo II!
Nesta disciplina, você estudará conceitos como integrais indefinida e definida, inte-
gração de funções trigonométricas, integrais impróprias e funções de duas e três 
variáveis organizados em 6 (seis) unidades de ensino. A primeira unidade apresenta-
rá uma introdução ao conceito de integral indefinida a partir da definição de primiti-
va, que é fundamental para o entendimento da disciplina como um todo. A segunda 
unidade abordará o método de integração por partes. Na unidade seguinte, a integral 
definida, suas propriedades, interpretação geométrica e aplicações, como o cálculo 
de áreas entre curvas, serão o foco. Na quarta unidade, você verá alguns métodos 
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SUMÁRIO
mais avançados utilizados na resolução de integrais envolvendo funções trigonomé-
tricas e funções racionais. A quinta unidade tratará da integração nas funções impró-
prias e algumas aplicações na física. Por fim, a sexta unidade contemplará as funções 
de duas e três variáveis, que possibilitam modelar uma grande quantidade de fenô-
menos dos mais diversos ramos do conhecimento. 
Esta disciplina é composta por este material didático, bem como pelas aulas inte-
rativas, que apresentam os principais temas a serem estudados. Além destes, conte 
também com fóruns de discussão e atividades elaboradas para que você consiga 
uma melhor compreensão dos conceitos trabalhados. 
Enfim, os conteúdos foram organizados tendo em vista um melhor aproveitamento e 
rendimento. No entanto, para que isso se concretize, é necessário manter uma rotina 
de estudos para que você se dedique aos processos de leitura, participação e realiza-
ção das atividades propostas. Participe ativamente!
Bons estudos!
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
Ao final desta disciplina, esperamos que você seja capaz de: 
• Discutir e utilizar os conceitos fundamentais da integração e aplicá-los na reso-
lução de problemas.
• Apontar o conceito de integral e explicar os diversos métodos de integração e 
suas aplicações.
• Aplicar o conceito de integral definida para obter a área entre curvas e o volu-
me de sólidos de revolução.• Discutir o conceito de função de duas ou mais variáveis e sua relação com 
modelos matemáticos.
• Analisar o conceito de derivadas parciais e suas diferentes aplicações.
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Definir o conceito de 
integral e as diversas 
técnicas de integração.
> Aplicar o estudo das 
técnicas de integração 
em fenômenos e 
situações diversos.
UNIDADE 1
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
1 INTEGRAL INDEFINIDA
Nesta unidade, você estudará a integral, começando com a noção de primitiva. Em 
seguida, trataremos da definição de integração indefinida, que consiste, essencial-
mente, no processo inverso da derivação. Veremos também as propriedades das inte-
grais indefinidas e a tabela de integrais imediatas, que decorrem de forma direta das 
derivadas elementares. Na sequência, serão apresentadas algumas aplicações das 
integrais indefinidas em diferentes áreas e, por fim, mostrar-se-á o método da subs-
tituição, que consiste na troca de variável na integral indefinida com o objetivo de 
torná-la uma função mais simples de ser resolvida. Em cada caso, serão apresentados 
vários exemplos para que você se familiarize com o conteúdo estudado, proporcio-
nando uma assimilação gradual do conteúdo.
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Derivada e integral são dois conceitos básicos em torno dos quais se desenvolve todo 
o cálculo. Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, 
e a potenciação e a radiciação, a operação inversa da derivação é a antiderivação 
ou integração indefinida. O eixo central desta disciplina é o conceito de integral. 
Nela, estudaremos, basicamente, as definições, propriedades e aplicações das inte-
grais indefinidas. A integral é de fundamental importância em estatística, ciências e 
engenharia. Situações como a determinação da expressão da posição de um corpo 
ao longo do tempo, conhecendo a função horária da velocidade, a expressão da rela-
ção entre duas grandezas, sendo conhecida a taxa de variação de uma em relação à 
outra, a determinação do custo de uma produção, o crescimento de uma população, 
entre outros, são alguns dos exemplos de aplicação da integral.
Você perceberá que o resultado de uma integral indefinida é uma função e que nem 
sempre será possível encontrar essa função utilizando apenas conceitos e proprieda-
des da derivação. Mas não se preocupe: existem técnicas para facilitar essa determi-
nação. Nesta unidade, aprenderemos o método de substituição de variáveis e, como 
você perceberá, esse método transformará integrais complexas em integrais bem 
simples, nas quais o processo de determinação da primitiva será bem mais fácil.
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1.1 PRIMITIVA
Inicialmente, você verá o conceito de primitiva de uma função real e, em seguida, 
aprenderá o conceito de integral indefinida.
Dizemos que uma função F(x) é primitiva de outra função f(x) em um intervalo I se 
esta é a derivada daquela, isto é, F’(x) = f(x).
A função F(x) = x3+2x é primitiva de f(x) = 3x2+2; a função F(x) = senx é primitiva 
da função f(x) = cosx; a função F(x) = x4 é primitiva de f(x)=4x^3.
Observe que a função F(x) = x4 não é a única primitiva da função f(x) = 4x3, tendo 
em vista que, se tomarmos como exemplo a função F1(x) = x
4+6 ou a função 
F2(x) = x
4 —5, veremos que elas também são primitivas de f(x)=4x3. Assim, perce-
be-se que qualquer função do tipo F(x) = x4+c é uma primitiva de f(x) = 4x3. 
Portanto, uma mesma função f(x) admite uma infinidade de primitivas, pois 
a derivada de uma constante c é sempre zero. 
Desse modo, o cálculo de primitivas nada mais é do que o inverso do cálculo 
de derivadas. O processo que determina a função original (primitiva) a partir 
de sua derivada denominamos de antiderivação.
Conhecida uma primitiva, podemos determinar o conjunto de todas as 
primitivas de uma função, variando apenas sua parte constante. Esse conjun-
to de primitivas constituído de uma família de curvas que diferem apenas 
pela constante recebe o nome de integral indefinida da função.
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SUMÁRIO
Para determinar primitivas, é importante conhecer bem as regras de deriva-
ção e as derivadas de várias funções. Sendo assim, para um melhor entendi-
mento do assunto, pesquise na internet sobre as regras de derivação.
1.1.1 DEFINIÇÃO
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x)+c é chamada integral indefinida da 
função f(x), sendo denotada por:
f(x)dx = f(x)+ c∫
Segundo essa notação, o símbolo ∫ é chamado de sinal de integração; f(x), função 
integrando; e dx, diferencial. Este último aparece no integrando e serve para identi-
ficar a variável de integração. O processo que permite achar a integral indefinida de 
uma função, que é a operação inversa da derivação, é chamado de integração ou 
antiderivação.
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2 36 x dx = 2 x + c∫ , pois '( )+ =3 22x c 6x
3dx = 3 x+ c∫ 
24tdt = 2t + c∫
A partir da definição, temos que:
• 
'f(x)dx = F(x)+ c F (x) = f(x)↔∫ .
• f(x)dx∫ representa uma família de funções, ou seja, a família de todas as 
primitivas da função integrando.
A figura abaixo mostra uma família de primitivas da função integrando f(x) = x2+c, 
quando c = 0, c = —1, c = — 4 e c = — 9.
FIGURA 1 - GRÁFICO DA FAMÍLIA DE FUNÇÕES DE F(X) = X2 + C
8
6
4
2
0-4 -2 2
-2
-4
-6
-8
-10
Fonte: Elaborada pelas autoras.
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SUMÁRIO
Graficamente, a constante c desloca a representação gráfica da função do conjunto 
de primitivas na direção do eixo y.
1.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL 
INDEFINIDA
As primeiras propriedades de antiderivadas seguem diretamente as regras do fator 
constante, da soma e da diferença de derivadas.
Sejam F(x) e G(x) primitivas de f(x) e g(x), respectivamente, e a um número real, então: 
1) Uma constante pode ser movida para fora do sinal de integração, isto é:
. ( ) ( )a f x dx a f x dx=∫ ∫
2) A antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas, isto é:
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
3) A antiderivada de uma diferença é a diferença das antiderivadas, isto é:
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫
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a) ( )x dx∫ 46
 Aplicando P1 ( )
x
x dx x dx c∫ = ∫ = +
5
4 4
6 6 6
5
b) ( )2x 2x 5 dx+ −∫
 Aplicando P2 e P3 ( )x x dx x dx xdx dx∫ + − = ∫ + ∫ − ∫ =
2
2
2 5 2 5
 Aplicando P1 
2
3 2
x dx 2 xdx 5 dx
x x
2 5x c
3 2
+ − =
= + − + =
∫ ∫ ∫
Portanto, ( )
x
x x dx x x c∫ + − = − +
3
2 2
2 5 5
3
c) 
x
dx x dx c c
x x
− −∫ = ∫ = + = − +
−
3
3 2
1 2 1
2 2
Nesse caso, é necessário aplicar propriedades da potenciação para reescre-
ver a função dada.
 Aplicando P1 
dx x dx
x
−=∫ ∫ 33
1
x
c c
x
−
= + = − +
− 2
2 1
2 2
21
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SUMÁRIO
Essas propriedades podem ser facilmente verificadas, derivando-se o resul-
tado para obter o integrando. Para complementar seus estudos em relação 
a este tema, consulte as provas de tais propriedades no volume 1 do livro 
Cálculo, de Howard Anton, Irl Bivense Stephen Davis.
1.3 TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS
Agora que você já sabe que o processo de integração de uma função é o inverso do 
processo de diferenciação, é possível obter uma tabela de integrais imediatas escri-
ta a partir da função derivada a fim de facilitar o processo de obtenção da função 
primitiva. Esses resultados podem ser facilmente verificados, calculando a derivada 
do segundo membro.
1) du u c∫ = +
2) | |
du In u c
u
∫ = +
3) ( )
a
a u
u du c a
a
+
∫ = + ≠ −
+
1
1
1
4) 
u
u aa du c
In a
∫ = +
5) 
u u
e dx e c∫ = +
6) cossen u u c∫ = − +
7) cos u du sen u c∫ = +
8) sec u du tg u c∫ = +2
22
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9) cos cotec u du g u c∫ = − +2
10) sec . secu tg u du u c∫ = +
11) cos . cot cosec u u du ec u c∫ = − +
12) 
du
arc sen u c
u
∫ = +
− 21
13) 
du
arc tg u c
u
∫ = +
+ 21
14) 
secdu arc u c
u u
∫ = +
−2 1
15) coshsenh u du u c∫ = +
16) cosh u du senh u c∫ = +
17) sech u du tgh u c∫ = +2
18) cos cotech u du gh u c∫ = − +2
19) sec . sech u tgh u du h u c∫ = − +
20) cos . cot cosech u gh u du ech u c∫ = − +
21) | |
du arc senh u c In u u c
u
∫ = + = + + +
+
2
2
1
1
22) 
2
2
du arc cosh u + c = In|u + u 1| c
u 1
= − +
−
∫
23
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SUMÁRIO
23) 
du uarc tgh u c In c
uu
+ ∫ = + = + − −2
1 1
2 11
24) sec | |
du
arc h u c
u u
∫ = − +
− 21
25) 
cos | |du arc ech u c
u u
∫ = − +
+ 21
Veja alguns exemplos de aplicação da tabela de integrais imediatas e das proprie-
dades da integral indefinida.
a) 
/
/( )
/
x x
x x dx x dx dx x dx x c∫ − + = ∫ − ∫ + ∫ = − + +
3 3 2
2 2 1 2
4 3 4 3 4 3
3 3 2
/x
x x c= − + +
3
3 22
4
3 3
b) | |x x xe x dx e dx x dx dx ex In x c
x x
 ∫ + − = ∫ + ∫ − ∫ = + − + 
 
2
5 1
2 7 2 7 5 2 7 5
2
c) ( ) cossen x dx sen x dx x c∫ = ∫ = − +6 6 6
d) 
| |x x xdx dx dx x dx In x c
xx x x
− +
−−   ∫ = ∫ − = ∫ − ∫ = − +    − +   
2 1
2
2 2 2
2 2 1
2 2
2 1
/ / /x dx x dx x dx− −= ∫ + ∫ + ∫ =11 3 5 6 1 34
/ / /
/ / /. .
/ /
x x x c x x x c= + + + = + + +
14 3 1 6 2 3
14 3 1 6 2 33
3 4 18 6
14 3 1 6 2 14
24
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e) 
| |x x xdx dx dx x dx In x c
xx x x
− +
−−   ∫ = ∫ − = ∫ − ∫ = − +    − +   
2 1
2
2 2 2
2 2 1
2 2
2 1
/ / /x dx x dx x dx− −= ∫ + ∫ + ∫ =11 3 5 6 1 34
/ / /
/ / /. .
/ /
x x x c x x x c= + + + = + + +
14 3 1 6 2 3
14 3 1 6 2 33
3 4 18 6
14 3 1 6 2 14
f) 
x x x
x dx x dx x dx dx x c
 
∫ − + = ∫ − ∫ + ∫ = − + +  
 
2 3 2
23 1 3 3
10 10 10
5 4 5 4 15 2
g) 
/
/ /
/
y
y dy c y c
−∫ = + = +
3 5
2 5 3 53
3 5 5
h) 
( ) ( )s ds s s ds s ds s ds ds∫ − = ∫ − + = ∫ − ∫ + ∫ =23 5 9 2 30 25 9 2 30 25
s s
s c s s s c= − + + = − + +
3 2
3 2
9 30 25 3 15 25
3 2
1.4 APLICAÇÃO DE INTEGRAL INDEFINIDA
Como brevemente comentado anteriormente, a integral tem diversas aplicações nos 
mais variados campos do conhecimento. Embora a maior parte dessas aplicações 
seja relativa à integral definida, cujo estudo será contemplado em unidades poste-
riores, a integral indefinida pode ser utilizada para: determinação da expressão da 
posição de um corpo ao longo do tempo, a partir da função horária da velocidade; 
expressão da relação existente entre duas grandezas, conhecendo-se a taxa de varia-
ção de uma em relação à outra; entre outras aplicações. 
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SUMÁRIO
Não raro, em aplicações envolvendo integral indefinida (antiderivação), deseja-se 
encontrar uma antiderivada específica que satisfaça determinadas condições iniciais, 
que, ao serem substituídas no resultado encontrado, fornecem o valor específico da 
constante arbitrária c. Com esse valor, determinada antiderivada é obtida. 
Veja alguns exemplos que ilustram essa aplicabilidade.
1) Um objeto move-se ao longo de um eixo s, e sua velocidade é dada pela 
função v(t)=2t2 - t, sendo t dado em segundos, e a velocidade, em metros por 
segundo. Se a posição do corpo no instante 1 segundo é 0 metro, determine 
a posição do objeto 6 segundos depois.
Como você já sabe, a velocidade instantânea de uma partícula é a taxa de 
variação (derivada) da posição da partícula em relação ao tempo. Sendo 
assim, como a integral é a operação inversa da derivada, ao integrarmos a 
função velocidade obteremos a função da posição para qualquer valor de t. 
3 2
t t
s t v t dt t t dt c= = − = − +( ) ( ) ( )∫ ∫ 22 2
3 2
Como s(1)=0, temos:
c c= − + → =
3 2
1 1 1
0 2
2 2 6
Logo, a função procurada é: ( ) . ( ) ,s s m= − + → ≅
2
32 6 1
6 6 6 126 17
3 2 6
Como queremos determinar a posição do objeto para t = 6 s é:
( )
2
32 6 1
s 6 6 s 6 126 17m
3 2 6
( ) ,= ⋅ − + → ≅
26
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2) Uma partícula se desloca com uma aceleração igual a (3t+2) m/s2. No 
instante t=1 segundo, a partícula encontra-se a 5 metros da origem, e sua 
velocidade é 6 m/s2. Qual é a equação horária do movimento?
A aceleração do móvel é a taxa de variação (derivada) da velocidade instan-
tânea em função do tempo. Ao integrarmos a função aceleração, encontra-
remos a função velocidade e, ao integrarmos esta, obteremos a função da 
posição (ou equação horária do movimento).
Como v(1)=6 m/s, substituindo na função velocidade, encontramos o valor 
de c:
. . c c= + + → =
2
1 5
6 3 2 1
2 2
Portanto, a função da velocidade é: ( ) tv t t= + +
2
5
3 2
2 2
Para encontrarmos a equação horária do movimento, integramos v(t):
( ) ( ) t ts t v t dt t dt t t c
 
= = + + = + + +  
 
∫ ∫
2 3
5 5
3 2 2
2 2 2 2
Como s(1)=5m, temos:
. c c= + + + → =
3
21 5
5 1 1 1
2 2
Assim, a equação horária do movimento pode ser descrita por:
( )s t t t t= + + +3 21 5 1
2 2
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3) Determine a equação de determinada curva que contém o ponto (1, 3), 
cuja reta tangente tem inclinação igual a y = x + 2.
Como a inclinação da reta a uma curva em qualquer ponto (x, y) é o valor da 
derivada nesse ponto, temos que:
'y x= +2
Logo, se integrarmos essa função, obteremos a equação procurada:
( ) xy x dx x c= ∫ + = + +
2
2 2
2
x
y x c= + +
2
2
2
 é a família de curvas. Como queremos a curva que passa 
por (1, 3):
. c c= + + → =
2
1 1
3 2 1
2 2
Portanto, a curva será: 
2
x 1
y 2x
2 2
= + +
 
4) O custo fixo de produção de determinada empresa é R$ 100,00. Saben-
do-se que o custo marginal é dado pela função C^’ (x)=0,08x+3, determine a 
função custo total.
O custo marginal C^’ (x) é a derivada da função custo total C(x). Assim, para 
obtermos C(x), basta calcularmos a integral indefinida da função custo 
marginal:
2
c x 0 08x 3 dx 0 04x 3x c( ) ( , ) ,= + = + +∫
31
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SUMÁRIO
Quando a produção for nula (x = 0), o custo fixo será de R$ 100,00, ou seja: 
100 = 0,04.02 + 3.0 + cc = 100
Portanto, a função custo total é: C(x) = 0,04x2 + 3x + 100
1.5MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: TROCA DE 
VARIÁVEL NA INTEGRAL INDEFINIDA
Ao longo desta unidade, serão apresentadas muitas fórmulas básicas de integração 
a partir das correspondentes fórmulas de diferenciação. Por exemplo, sabendo que a 
derivada de sen x é cosx, podemos deduzir que a integral de cosx é sen x. 
Porém, nem sempre é possível obter a integral indefinida de uma função usando-se 
as propriedades descritas acima e a tabela de integrais imediatas. Algumas vezes, 
faz-se necessário usar técnicas específicas, que transformam funções mais elabora-
das em imediatas, facilitando o processo de encontrar as primitivas. 
O papel da substituição na integração é comparável ao da regra da cadeia na dife-
renciação. Essa técnica consiste em substituir a variável a ser integrada a fim de obter 
uma função mais simples de calcular. 
Teorema: se F é uma antiderivada de f, então: 
( ( )). '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x c= +∫
Fazendo u = g(x), du = g^’ (x) dx, então:
( ( )). '( ) ( ) ( )f g x g x dx f u du F u c∫ = ∫ = +
32
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Não existe um procedimento geral para a escolha da função u=g(x). Na prática, deve-
mos convenientemente defini-la, de tal forma que a integral obtida seja mais simples 
de calcular. 
1) 
2
2x
dx
1 x+∫
Note que não se trata de uma integral imediata. Fazemos, portanto, u=1+x2, 
então, du=2xdx. Temos:
( )222x dudx In u c In 1 x c1 x u= = + = + ++∫ ∫
Na técnica da substituição, a mudança da variável deve sempre vir acompa-
nhada da mudança da diferencial. Como você pode perceber nos exemplos 
apresentados, ao substituir a variável x pela variável u = g(x), é necessário que 
a diferencial dx seja substituída pela diferencial du através da relação: du = 
g’(x) dx.
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SUMÁRIO
2) ( )
5
1 2x dx−∫
Fazemos u 1 2x= − Então, 
du
du 2dx dx
2
= − = − = . Portanto:
( )
6 6
5
5 5du 1 1 u u
1 2x dx u u du c c
2 2 2 6 12
 − = ⋅ − = − = − ⋅ + = + 
 ∫ ∫ ∫
Voltando à variável x, ou seja, substituindo u=1-2x, temos:
( ) ( )
5 61
1 2x dx 1 2x c
12
− = − − +∫
3) 
sen x dx sen u
du
sen u du u c x3
3
1
3
1
3
1
2
3( ) = = = −( ) + = −∫ ∫ ∫ . . cos cos( )++ c
u x
du dx
du
dx
=
= → =
3
3
3




4) .x u u u xduxe dx e e du e c e c− − = ∫ − = − ∫ = − + = − + 
 ∫
2
6 6 2
4 4 2 2 2
2
u x
du
du xdx xdx
 = −


= − → − =
2
6
2
2
5) 
dx du x
u du u c c
u
x
−
 ∫ = ∫ = ∫ − = − − + = − + + 
  + 
 
4
5 5
3 3 3
3 5 4 8
4 4 31
8
3
u x
du dx du dx
 = +

 = → =

1
8
3
1
3
3
34
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6) cos( ) cos . ( )x dx u du sen u c sen x c∫ + = ∫ = + = + +9 9
u x
du dx
= +
 =
9
7) senx u u senx c
e xdx e du e c ecos +⋅ = = + =∫ ∫
u senx
du xdxcos
=
=
8) 
9) 
10) 
35
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SUMÁRIO
CONCLUSÃO
Derivada e integral são duas noções básicas do cálculo. Tanto o cálculo diferencial 
quanto o integral são ferramentas de análise de funções que podem ser utiliza-
das nas mais variadas formas para resolver desde problemas simples até os mais 
complexos.
Muito da grande evolução científica e tecnológica dos últimos séculos se deve ao surgi-
mento dos cálculos diferencial e integral no século XVII por Leibniz e Isaac Newton. 
Para se ter uma ideia, antes do conceito de integral ser introduzido, os matemáticos 
lidavam apenas com funções relativamente simples. O físico Isaac Newton, por exem-
plo, desenvolveu o cálculo como forma de criar ferramentas matemáticas capazes de 
solucionar problemas em seus estudos na física, até então desconhecidos. 
É claro também que, desde esses primeiros estudos e descobertas na área do cálcu-
lo, muito se evoluiu, principalmente com relação a programas de computação, que 
permitem calcular primitivas com bastante facilidade. Porém, embora esses progra-
mas ofereçam rapidez nos resultados obtidos, é indispensável que o usuário desses 
programas tenha noção dos princípios básicos de integração para poder manuseá-los 
com maior eficiência. Sendo assim, mesmo depois de tantos anos desde os primeiros 
estudos desenvolvidos, a derivada e a integral continuam sendo indispensáveis para o 
entendimento dos fundamentos de diversas áreas do conhecimento.
Nesta unidade, foi apresentada a definição de integral indefinida, começando com a 
noção de primitiva e sua relação com a derivada. Você estudou como calcular uma 
integral indefinida, aplicando suas propriedades e utilizando a tabela de integrais 
imediatas. Aprendeu também como calcular uma integral usando o método da 
mudança de variável, tornando o cálculo da integral mais simples. Além disso, foram 
apresentados vários exemplos de aplicação da integral indefinida.
36
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Descrever as técnicas 
para o cálculo das 
integrais.
> Explicar a técnica de 
integração por partes.
> Empregar as aplicações 
das integrais.
UNIDADE 2
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SUMÁRIO
2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Nesta unidade, você estudará outra técnica de integração: a integração por partes, 
que permite determinar primitivas (ou integrais indefinidas) para muitas combina-
ções de funções, formadas, geralmente, por um produto, cujas primitivas não podem 
ser definidas por meio das propriedades das integrais, da tabela de integrais imedia-
tas ou, ainda, pelo método da substituição de variáveis. Você verá que, em alguns 
casos, teremos que utilizar a integração por partes repetidas vezes ou combiná-la 
com o método da substituição de variáveis para a resolução de um mesmo exercício. 
Os exemplos apresentados ao longo desta unidade ilustrarão bem todas essas situa-
ções, de forma bem detalhada, mostrando passo a passo os procedimentos matemá-
ticos utilizados na resolução de cada integral. Além disso, serão apresentados alguns 
exemplos de aplicações das técnicas mencionadas em problemas contextualizados, 
em diferentes áreas do conhecimento.
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade, você estudará o método de integração por partes. Decorrente da 
regra do produto da derivação, essa técnica ajuda a reduzir o cálculo de uma inte-
gral mais elaborada em uma integral mais simples. Geralmente, a integração por 
partes é empregada em produto de funções. Em linhas gerais, separa-se a função a 
ser integrada em duas partes, representadas por u e dv. A diferencial dx acompanha 
a parte de dv. Geralmente, u será a função mais simples de derivar, e dv, a função 
mais fácil para integrar. Para fazer essa escolha de forma assertiva, é necessário que 
você pratique bastante. Além disso, alguns casos requerem a aplicação da integração 
por partes mais de uma vez, podendo também ser aplicado concomitante o método 
de substituição de variáveis para o cálculo simplificado de alguma integral. Ao longo 
da unidade, você perceberá que será detalhada bastante a integração por partes, 
apresentando vários exemplos e aplicações para possibilitar seu pleno aprendizado.
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2.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES 
O método de integração por partes baseia-se na regra da derivação de um produto 
de duas funções e é frequentemente usado quando o integrando envolve logaritmos, 
exponenciais, funçõestrigonométricas inversas e produtos de funções. Assim como o 
método de substituição de variáveis, a integração por partes também ajuda a redu-
zir o cálculo de uma integral mais elaborada ao cálculo de uma integral mais simples. 
Para relembrar o cálculo da derivada de um produto, consulte este livro:
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1. Grupo A, 2014, 
p. 198.
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis no intervalo I, então, pela regra do produto, tem-se 
que:
(f(x) .g(x))’=f’ (x).g(x)+f(x) .g’(x) ou f(x) .g’ (x)=[f(x).g(x)]’ – f(x)’ . g(x)
Integrando os dois lados dessa equação, obtém-se:
( ). ( ) [ ( ). ( )]' ( ).' '( )f x g x dx f x g x dx g x f x dx= −∫ ∫∫
Como ( ). ( ) ( ) ( )' .f x g x dx f x g x=∫ , a igualdade acima pode ser escrita como:
( ). ( ) ( ). ( )' '( ) '. ( )f x g x df x g x d f x g x xx −=∫ ∫
Substituindo as expressões u = f(x) e v = g(x) e, respectivamente, du = f’ (x)dx e dv = 
g’ (x)dx, obtém-se, de forma mais simplificada, a fórmula de integração por partes:
.u dv u v v du= −∫ ∫
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Observe que em nenhum momento há a preocupação em se escrever a 
constante de integração, pois ela será introduzida no final do processo.
Ao aplicar essa técnica deve-se separar a função a ser integrada em duas partes, 
representadas por u e dv. A diferencial dx deve ser parte de dv. 
Não há uma regra para a escolha dessas partes. Geralmente, a parte escolhida como 
dv deve ser facilmente integrável, enquanto que u deve ser facilmente derivável. Além 
disso, ∫v du deve ser mais simples do que ∫u dv. Veja alguns exemplos:
Exemplo 1: determine ∫x.ex dx
Analise as opções para u e dv: 
ª ) .
ª ) .
ª )
x
x
x
u e dv x dx
u x e dv dx
u x dv e dx
 = → =
 = → =

= → =
1
2
3
Na 1ª opção, obtêm-se xdu e= e xv =
2
2
, pois .dv x dx∫ = ∫ . Então, aplicando a 
fórmula de integração por partes:
. . .e x xx xx xdx e e dx= −∫ ∫
2 2
2 2
Obtemos uma nova integral mais complicada do que a original. Por isso, a 
escolha para u e dv não foi a mais adequada. 
40
CÁLCULO II 
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Na 2ª opção, obtêm-se du = ex + xex dx e v = x, pois ∫dv = ∫dx. Então, aplicando 
a fórmula de integração por partes:
. . . .( . )x x x xx e dx x e x x e x e dx= − +∫ ∫
Novamente obtemos uma integral mais complicada do que a original.
Na 3ª opção, obtêm-se du = 1dx = dx e v = ex, pois ∫dv = ∫ex dx. Então, aplicando 
a fórmula de integração por partes:
. .x x xx e dx xe e dx= −∫ ∫
Agora sim você encontrou uma integral mais simples que a original. Efetuan-
do os cálculos finais, obtém-se:
. . . . ( )x x x x x xx e dx x e e dx x e e c e x c= − = − + = − +∫ ∫ 1
Exemplo 2: determine ∫x . ln x dx
Escolhendo a parte mais simples u = ln x, a parte restante será dv = xdx. Essa 
escolha parece ser a mais adequada, pois você sabe calcular a integral de dv: 
∫xdx. Assim, tem-se que:
u Inx du dx
x
= → =
1
x
dv xdx v xdx= → = =∫
2
2
Substituindo na fórmula, 
. .x x x x x x xIn x dx In x dx In x x dx x dx In x c
x
− = − = − = = − +∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 4
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 3: calcule ∫x.senx dx
cos
u x du dx
dv senx dx v x
= → =
 = → = −
∫x.senx dx = x .(–cosx) – ∫(–cosx)dx = –xcos + senx + c
Exemplo 4: calcule ∫ln x dx
u In x du dx
x
dv dx v x
 = → =

 = → =
1
∫ln x dx = ln x .x – ∫x .1/x dx = x ln x – ∫dx = x ln x - x + c = x(ln x –1) + c
Exemplo 5: calcule ∫t2 et dt
t t
u t du t dt
dv e dt v e
 = → =

= → =
2
2
. . .t t t tt e dt t et e t dt t e e t dt= − = −∫ ∫ ∫2 22 2 2
Essa escolha de u e dv transformou a integral original ∫t2 et dt numa 
expressão que contém uma integral mais simples ∫et . t dt, devi-
do à redução da potência de t. Nesse caso, aplique o méto-
do de integração por partes novamente para o cálculo de 
∫et . t dt. Veja:
t t
u t du dt
dv e dt v e
= → =

= → =
. . .t t t t te t dt e e e dt te e c= − = − +∫ ∫
Substituindo esse resultado na expressão obtida anteriormente, tem-se:
∫t2 et dt = t= et – 2[tet – et ] + c = t2 et – 2tet + 2et + c = et (t2 – 2t + 2)+c
42
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Exemplo 6: calcule ∫x3 ln x dx
u In x du dx
x
xdv x dx v
 = → =

 = → =
4
3
1
4
. .x x x x xx In x dx In x dx In x x dx In x c
x
= − = − = − +∫ ∫ ∫
4 4 4 4 4
3 31 1
4 4 4 4 4 4
2.2 EXEMPLOS DE INTEGRAÇÃO UTILIZANDO OS 
MÉTODOS DE SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS E 
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Como você viu no exemplo anterior, pode acontecer de determinada integral exigir 
repetidas aplicações da integração por partes. Além disso, em alguns casos, será 
necessário o uso do método da substituição de variáveis juntamente com o método 
da integração por partes na resolução de um mesmo exercício. 
Relembre mais sobre o método de substituição de variáveis consultando:
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1. Grupo A, 2014, 
p. 365.
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Veja alguns exemplos: 
Exemplo 1: calcule ∫x e–2x dx
Nesse exemplo, pode-se fazer u = x e obtém-se du = dx. 
Consequentemente, dv = e–2x dx. Como se faz a integral de dv para encontrar 
v, tem-se: v = ∫e–2x dx. Essa integral não é imediata, deve-se, portanto, utilizar 
o método da substituição de variáveis para resolvê-la.
du
u x du dx= − → = − → −2 2
2
.x u xdue dx eu e du e c− − = − = − = − + 
 ∫ ∫ ∫
2 21 1
2 2 2
Portanto, voltando à integração por partes, tem-se que:
x x
u x du dx
dv e dx v e
− −
= → =


= → = −
2 21
2
. .
.
x x x x x
x x x x
x
xe dx x e e dx e e dx
x x
e e c e e c
− − − − −
− − − −
   = − − = +   
   
 = − + − + = − − + 
 
∫ ∫ ∫2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 4
Exemplo 2: calcule ∫x cos(5x)dx
cos( )
u x du dx
dv x dx
= → =
= 5
cos( )v x dx
du
u x du dx dx
 =


= → = → =

∫ 5
5 5
5
cos( ). ( )duv u sen x→ = =∫
1
5
5 5
cos( ) . ( ) ( ) ( ) ( )xx x dx x sen x sen x dx sen x sen x dx = − = − 
 ∫ ∫ ∫
1 1
5 5 5 5 5
5 5 5
44
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A integral de ∫sen(5x)dx requer o uso do método da substituição de variáveis:
u x
du
du dx dx
=


= → =
5
5
5
( ) . cos( )dusen x dx sen u x= = −∫ ∫
1
5 5
5 5
Substituindo, tem-se:
cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )x xx x dx sen x x c sen x x c = − − + = + +  ∫
1 1 1
5 5 5 5 5
5 5 2 5 25
Exemplo 3: calcule x x dx∫ +2
u x du dx
dv x dx
v x dx
u x du dx
v x
= → =
= +
= +
= + → =




= +
∫( ) ( )
( )
/
/
2
2
2
2
1 2
1 2
11 2 1 2
3 2
3 2
3 2
2
3
2/ /
/
/
/
( )dx u du u x∫ ∫= = = +
x x dx x x x dx x x x+ = +( )




 − +( ) = + −∫ ∫2
2
3
2 2
3
2 2
3
2 2
3
3 2 3 2 3 2. . ( ) (/ / / ++∫ 2 3 2) / dx
Novamente, você utilizará a substituição de variáveis para resolver a integral 
∫(x + 2)3⁄2 dx:
u x
du dx
x dx u du u c x c
= +
=



→ + = = + = +( ) +∫ ∫
2
2
8 2
2
5
23 2 3 2
5 2
5 2( )
/
/ /
/
/
Voltando ao cálculo da integral dada e substituindo esse resultado, tem-se:
x x dx x x x c x x x+ = + − +( )




 + = + −∫ 2
2
3
2 2
3
2
5
2 2
3
2 4
15
3 2 5 2 3 2( ) ( ) (/ / / ++ +2 5 2) / c
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SUMÁRIO
Exemplo 4: calcule ∫x2.e(1–x) dx
u x du x dx
dv e dx v ex x
= → =
= → = −



− −
2
1 1
2
x e dx x ee xdx x e x e dxx x x x x2 1 2 1 1 2 1 12 2− − − − −∫ ∫ ∫= − − − = − + =.( ) . .
No exemplo 1, você calculou a integral de ∫e–2x dx, e nele se usou o mesmo 
raciocínio para obter a integral de ∫e1–x dx = e1–x, utilizando o método de subs-
tituição de variáveis.
Aplicando novamente a integração por partes:
u x du dx
dv e dx v ex x
= → =
= → = −



− −1 1
x e dx x e x e e dx x e xex x x x x x2 1 2 1 1 1 2 1 12 2 2− − − − − −∫ ∫= − + − − −  = − − −.( ) ee c
x1− +
2.3 APLICAÇÕES DE TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Acompanhe alguns exemplos de aplicação das duas técnicas de integração: substi-
tuição de variáveis e integração por partes.
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Exemplo 1: sabe-se que um objeto se move ao longo de uma reta com velo-
cidade igual a v(t) = te–t m/s, após t segundos. Determine a função que permi-
te calcular a distância percorrida por esse objeto para qualquer valor de t, 
sabendo que s(0) = 0.
Primeiramente, calcule a integral da função velocidade, utilizando a integra-
ção por partes, pois ela nos fornece a função posição.
s t v t dt t e dt
u t du dt
dv e dt v e
t
t t
( ) = ( ) =
= → =
= → = −



−
− −
∫∫ .
Para calcular ∫e–t dt, pode-se utilizar a substituição de variáveis. Veja:
u t
du dt
du dt
e dt e dt et u t
= −
= −
− =





= − = −− −∫∫ .( )
t e dt t e e dt te e ct t t t t. .( )− − − − −= − − − = − − +∫∫
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SUMÁRIO
Como s(0) = 0, tem-se que:
0 = –0.e–0 – e–0 + c → c = 1
Portanto:
s(t) = –te–t – e–t + 1
Exemplo 2: calcule ∫x2 sen x dx
Nesse exemplo, aplique o método de integração por partes duas vezes.
u x du xdx
dv sen x dx v x
= → =
= → = −



2 2
cos
Integrando por partes, tem-se:
x sen x dx x x x x dx x x x xdx2 2 22 2= − − − = − +∫ ∫ ∫.( cos ) ( cos ). cos .cos
Como a integral ∫x.cos xdx também requer resolução por partes, tem-se:
u x du dx
dv x dx v sen x
x xdx x sen x sen x dx xsen x
= → =
= → =



= − = +
cos
.cos . . ccos x∫∫
Logo:
x sen xdx x x xen x x x x xsen x x c2 2 22 2 2= − + +[ ] = − + + +∫ cos cos cos cos
Exemplo 3: a função custo marginal de uma empresa é dada pela função 
Cmg (x) = ∫x.ln 3x dx. Sabendo que o custo fixo é de R$98,00, obtenha a função 
custo.
Com a função custo marginal Cmg (x) = C’(x), tem-se:
C x C x dx x x dxmg( ) ( ) .ln= = ∫∫ 3
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Calculando a integral pelos métodos já estudados, tem-se que:
u x du
x
dx
dv x dx v x
= → =
= → =






ln 3 1
2
2
x x dx x x x
x
dx x x xdx x x x c.ln ln . . ln ln3 3
2 2
1
2
3 1
2 2
3
4
2 2 2 2 2
= − = − = − +∫ ∫ ∫
Como C(0) = 98, tem-se que a constante de integração será c = 98. Logo, a 
função custo será:
C x x x x( ) ln= − +
2 2
2
3
4
98
CONCLUSÃO 
O processo de encontrar primitivas (ou antiderivadas) de uma função é denominado 
integração. Você sabe que a integração é de fundamental importância em diversas 
áreas do conhecimento, como na Estatística, Economia, Física e Engenharia. Para se 
ter uma ideia, conhece-se a velocidade de um carro durante um determinado inter-
valo de tempo, então, por meio das técnicas utilizadas nesta unidade, pode-se deter-
minar a distância percorrida por ele nesse intervalo. 
O processo para resolução de uma integral nem sempre é feito de forma simples. Em 
alguns casos, precisamos transformar as funções para depois calcular sua primitiva. 
Como o método de substituição de variáveis não é suficiente para resolver muitas 
integrais, Nesta unidade, você aprendeu como se pode transformar o produto de 
funções utilizando o método de integração por partes. Essa técnica é, essencialmen-
te, a formulação para primitivas a partir da regra do produto para a derivação. 
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
O objetivo principal da integração por partes é escolher u e dv para obter uma nova 
integral que seja mais fácil de calcular do que a original. Não existe uma regra para 
essa escolha. Na realidade, somente a prática o tornará capaz de fazê-la de forma 
eficiente. Você viu que, em alguns casos, tem-se que utilizar a integração por partes 
repetidas vezes ou utilizar, ao mesmo tempo, a integração por partes e o método de 
substituição de variáveis para resolução de uma única integral. Assim, foram apresen-
tados vários exemplos bastante detalhados do processo utilizado para resolver cada 
integral.
50
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
UNIDADE 3
> Definir o conceito de 
integral definida.
> Aplicar o conceito 
de integral definida 
na resolução de 
problemas diversos, 
principalmente os 
relacionados ao cálculo 
da área de figuras 
planas com contornos 
curvos e volume de 
sólidos de revolução.
51
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3 INTEGRAL DEFINIDA
Nesta unidade você, estudará a integral definida, iniciando pela interpretação geomé-
trica a partir do conceito da soma de Riemman, para o cálculo aproximado da área 
de uma região plana com contornos curvos. Esse método propõe que a região curva 
seja dividida em uma infinidade de retângulos verticais. A área da figura de contornos 
curvos seria a soma infinita da área de todos esses retângulos. Como esse processo é 
longo e demorado, utiliza-se o cálculo da integral definida, num determinado inter-
valo, para obter o valor aproximado dessa área. O método de Riemman conseguiu 
formalizar o conceito de integral definida. Em seguida, serão abordadas suas proprie-
dades, que servirão como ferramenta para provar o teorema fundamental do cálculo. 
Este diz como calcular a integral definida, relacionando as operações de derivação e 
integração. 
Nas sessões subsequentes, você verá outras importantes aplicações da integral defi-
nida, como o cálculo do volume de sólidos de revolução – obtidos com a rotação 
de uma região plana em torno de um eixo em seu plano –, do valor médio de uma 
função, para resolver problemas físicos – distância percorrida e trabalho realizado por 
uma força –, entre outras. 
INTRODUÇÃO 
A geometria ensina como calcular áreas de polígonos e do círculo, regiões estas que 
podem ser divididas em um número finito de regiões poligonais ou setores circula-
res. Porém, quando a região não pode ser decomposta desse modo, não é possível 
determinar sua área. A integral definida surgiu, justamente, a partir da necessidade 
de matemáticos na solução de problemas relacionados ao cálculo de áreas de uma 
figura plana delimitada por uma curva qualquer. Um exemplo bem simples desse 
fato é o cálculo da área da região limitada pelos gráficos das funções y = x2 e y = x, no 
intervalo [0, 1] ou, ainda, a área da região limitada por uma elipse. Será apresentado 
um método sistemático para o cálculo da área de certas regiões, como as exemplifi-
cadas acima, além de servir de motivação para o tema principal desta unidade.
52
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A partir dele, serão abordadas as propriedades da integral definida, seguidas de diver-
sos exemplos, todos bem detalhados, com o objetivo de levar você ao pleno domínio 
do cálculo das mais variadas integrais definidas. Por fim, serão apresentadas outras 
aplicações para a integral definida, na qual se destacam o volume de sólidos de revo-
lução e algumas aplicaçõesna física.
3.1 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL 
DEFINIDA POR SOMA DE RIEMANN
A integral definida surge da necessidade de se determinar a área de uma região com 
contornos curvos, como na figura a seguir:
FIGURA 2 - ÁREA DE UMA REGIÃO CURVA QUALQUER NO INTERVALO [A,B]
y
f(x)
A B
x
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Como determinar a área da região hachurada? Não existe fórmula geométrica para 
o cálculo dessa área, como é o caso, por exemplo, do cálculo da área do triângulo ou 
do quadrilátero. Diante dessa dificuldade, o matemático Riemann criou um método 
que permite a determinação aproximada de uma maneira simples. Ele propôs uma 
partição do intervalo [A, B], ou seja, divide-se o intervalo em n subintervalos, esco-
lhendo os pontos:
53
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
A = x0 < x1 < x2 < ... < xn = B
Esse conjunto de pontos define uma partição do intervalo [A, B]:
 A = x0 x1 x2 . . . xn = B
Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [a, b] e seja P a partição definida pelos 
pontos x0, x1, x2, ..., xn de [a, b]. Em cada um dos intervalos [xi – 1, xi], escolhe-se um ponto 
qualquer ci. Para cada i, i = 1, ..., n, constrói-se um retângulo de base ∆ xi (comprimen-
to de cada intervalo parcial na partição) e altura f(ci), que corresponde ao valor da 
função no ponto ci, conforme figura a seguir:
FIGURA 3 - APROXIMAÇÃO DA ÁREA POR RETÂNGULOS
y
A B
f(x)
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
A soma das áreas dos n retângulos é dada por:
( ). ( ). ... ( ). ( ).
n
n n n i i
i
A f c x f c x f c x f c x
=
= ∆ + ∆ + + ∆ = ∆∑1 1 2 2
1
54
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Esta é a soma de Riemann da função y = f(x) no intervalo [A, B], relativa à partição P e 
à escolha dos pontos ci em cada intervalo parcial. A soma de Riemann mede, portan-
to, a soma das áreas dos retângulos. 
À medida que n cresce muito e cada ∆ xi torna-se muito pequeno, a soma das áreas 
retangulares aproxima-se da área total, ou seja, quanto maior o número de retângu-
los, obtém-se melhor aproximação para a área da região curva. 
FIGURA 4 - APROXIMAÇÃO DA ÁREA POR NÚMERO MAIOR DE RETÂNGULOS
y
x
y=f(x)
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Definição: seja y = f(x) uma função contínua, não negativa no intervalo [a, b]. A área 
sob a curva y = f(x), de a até b, é definida por:
max
lim ( ).
i
n
i ii
x
A f c x=∆ →
= ∆∑ 1
0
Como o cálculo desse limite é bastante complexo, faz-se necessária uma forma mais 
simples que dispense o cálculo do limite. É utilizado, para isso, o teorema fundamen-
tal do cálculo integral.
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SUMÁRIO
3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Segundo esse teorema, conhecendo-se uma função primitiva de uma função y = f(x) 
integrável no intervalo fechado [a, b], então se pode calcular a sua integral.
Suponha que a função y = f(x) seja contínua e tenha uma primitiva no intervalo [a, b] 
e seja F uma dessas primitivas.
Quando o limite max
lim ( ).
i
n
i ii
x
A f c x=∆ →
= ∆∑ 1
0
 existe e é finito, ele é chamado de integral defi-
nida da função f no intervalo [a, b] e é denotado por:
max
( ) lim ( ).
i
n
b
i i
a x
i
f x dx f c x
∆ → =
= ∆∑∫
0
1
Pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se que:
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
x b
x a
a
f x dx F x F b F a
=
== = −∫
Nessa notação, os números a e b são denominados limites de integração (a é o limite 
inferior e b é o limite superior).
O teorema fundamental do cálculo é um dos mais importantes teoremas do cálculo, 
pois, além de tornar o cálculo de integrais mais simples, ele contém em si a relação 
entre a derivada e a integral. Isso porque possibilita encontrar o valor da integral utili-
zando uma primitiva da função integrando.
3.3 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
Se f e g são funções contínuas no intervalo [a, b], então:
a. . ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ , onde k é uma constante.
b. ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫
c. [ ( ) ( )] ( ) ( )
b a a
a b b
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
d. ( ) ( ) ( ) ,onde a c b
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= + ≤ ≤∫ ∫ ∫
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e. ( ) ( ) [ , ] ( )
b
a
f x g x x a b f x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫ 0
f. ( ) ( ) [ , ] ( ) ( )
b b
a a
f x g x x a b f x dx g x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫ ∫
g. Se f(a) ( )
a
a
f x dx∃ ⇒ =∫ 0
Na integral definida, não é necessário incluir a constante de integração c na 
primitiva, pois ela seria cancelada na diferença dos dois termos.
1. xx dx = = − = − =∫
3 3 3
2
2 2
1
1
2 1 8 1 7
2 3 3 3 3 3
2. ( ) ( ) ( . ) [( ) .( )x dx x x −− + = + = + − − − − =∫
4
2 4 2 2
1
1
2 5 5 4 5 4 1 5 1 40
3. 
2 4 4 4
3 2 2
6 3 3 3 0 27( ) .( )xx x dx x− = − = − − = − = −∫
34 4
3
0
0
3 81 27
4. . .dx dx x= = = − =∫ ∫
10 10
10
1
1 1
4 4 4 4 10 4 1 36
5. − − − −= = = = −[ ] = −∫∫ 20 20
2
2
0
2
2
03
2
3
2
3
2 2
3
4
3
4
0 3 9
4
x dx xdx x x. .
6. 1
2 2
1
2 2 3
3
2
4
1
21 2 1 2
3 4
29
−( ) +( ) = + − −( ) = + − −




 = −t t t t t t t t
t t t. d d
112∫∫
7. 
−
−
− −∫ = = =10 2 5
3 5
1
0 3 5
1
0
3 5
5
3
5
3
u du u u/
/
/
/
8. 
1 1
1 1 1 0 1e e
x
dx x e= = − = − =∫ ln ln ln
9. 
0
2
0
2
2
0 1 0 1π π π/ /cos xdx sen x sen sen= = 




 − ( ) = − =∫
10. /
x
e dx =∫
2
1 2
0
57
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Nesse caso, deve-se usar o método de substituição de variáveis antes de calcular a 
integral: u = 2x → du = 2dx → du/2 = dx
/ / / / /. ( )
x u u
xdu
e dx e e e e= = = = −∫ ∫ ∫
2
1 2 1 2 1 2
1 2 2
0 0 0
0
1 21 1 1
1
02 2 2 2
11. x x dx−∫
2
1
1
Nesse caso, deve-se usar o método de integração por partes antes de calcular a integral:
/ /
/ / / /
( ) ( )
. ( ) ( ) . ( ) ( ) d
u x du dx
dv x dx v x
x
x x dx x x x dx x x x
= → =
= − → = −
   − = − − − = − − −      ∫ ∫ ∫
1 2 3 2
2 2
2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
1 1 1
1 1
2
1 1
3
2 2 2 2
1 1 1 1 1
3 3 3 3
Recorrendo à substituição de variáveis para calcular a integral obtida, tem-se:
u x du dx
x dx u dx u x
= − → =
−( ) = = = +( )∫ ∫
1
1
5 2
2
5
11
2 3 2
1
2 3 2
5 2
1
2 5 2
1
2/ /
/
/
/
Voltando ao cálculo da integral original:
1
2 3 2
1
2
5 2
1
2
1 2
3
1 2
3
2
5
1 2
3
1x x dx x x x x x− = −( )



− +( )



= −(∫
/ / )) − −( )



=3 2 5 2
1
24
15
1 16
15
/ /x
Agora que você já conhece as propriedades das integrais definidas, bem como sabe 
resolvê-las, serão apresentados alguns exemplos de aplicações, a começar pelo cálcu-
lo de áreas entre curvas, que deu origem à integral definida. 
3.4 CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS 
Quando a função f é contínua e não negativa no intervalo [a, b], a definição de inte-
gral definida coincide com a definição da área da região sob o gráfico de f de a até b. 
58
CÁLCULO II 
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Veja as situações que comumente ocorrem:
Caso 1: o valor de a
b f x dx( )∫ = é a área da região delimitada pela curva y = f(x), pelas 
retas x = a, x = b e pelo eixo x, onde f(x) ≥ 0, ∀ x∈[a,b] e f é contínua.
1. Calcule a área sob a curva y = x2, no intervalo [2, 3]:
GRÁFICO 1 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = X2 
x
43210
2
4
6
8
-1-2-3
y
A x dx x= = =∫ 23 2
3
2
3
3
19
3
u.a.
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
u. a. = unidade de área
59
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2. Calcule a área sob a curvay = 4 - x2 e o eixo x:
Primeiramente, é preciso encontrar a interseção da curva com o eixo x. Essa 
interseção corresponde às raízes da função dada: x1 = 2 e x2 = -2. Esses serão os 
limites de integração, pois a área procurada é a área sob o gráfico de y = 4 – x2 
de -2 até 2.
GRÁFICO 2 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = 4 - X2 
y6
4
2
x
210
-2
-1-2-3
A x dx x x= −( ) = − =− −∫ 22 2
3
2
24 4
3
32
3
u.a.
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Caso 2: o valor de a
b f x dx( )∫ = é a área da região delimitada pela curva y = f(x), pelas 
retas x = a, x = b e pelo eixo x, onde f(x) ≤ 0, ∀ x ∈[a,b] e f é contínua.
60
CÁLCULO II 
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1. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x2 – 5x, o eixo x e as 
retas x = 1 e x = 3:
GRÁFICO 3 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = X2 – 5X 
y
x
6420
2
-2
-4
-6
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Como a função assume valores negativos nesse intervalo e a área é sempre um 
valor positivo, pode-se usar o módulo da integral A f x dxa
b= ∫ ( ) ou A f x dxab= −∫ ( ) .
A x x dx x x= −( ) = − = − =∫ 13 2
3 2
5
3
5
2
34
3
34
3
u.a.
61
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2. Determinar a área da região formada pela função y = sen x no intervalo 
[0,2π]:
GRÁFICO 4 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = SEN X 
y
A1
A2
x
1
0
-1
p
Π 2Π
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Nesse caso, deve-se dividir a região em duas sub-regiões para encontrar a área de 
cada uma separadamente. Em seguida, basta somar as duas áreas encontradas:
A A A
A sen xdx sen x dx x x
= +
= + = [ ] + [ ] =∫ ∫
1 2
0
2
0
2 4π π
π π
π
πcos cos u.a.
Caso 3: cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = 
a e x = b, onde f e g são funções contínuas em [a,b] e f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a,b]. Nesse caso, 
a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico 
de g, ou seja:
( ) ( ) [ ( ) ( )]
b b b
a a a
A f x dx g x dx f x g x dx= − = −∫ ∫ ∫
62
CÁLCULO II 
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Fazer o esboço do gráfico da região para determinar qual curva limita acima e qual limi-
ta abaixo é de fundamental importância. Caso os gráficos se cruzem em algum ponto, 
de modo que g passe a estar acima de f, basta estudar cada intervalo separadamente.
1. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x + 1:
Agora, serão encontrados os interceptos entre as duas curvas. Para isso, basta 
igualar as funções: 
GRÁFICO 5 - GRÁFICO DA REGIÃO LIMITADA PELAS CURVAS Y = X2 – 1 E Y = X + 1
y
6
4
4
0
-2f(x) = x + 1
-3 -2 -1 1 2 3
x
g(x) = x2 -1
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
x2 – 1 = x + 1 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x = -1 e x = 2
A integral que determina essa área será:
( ) ( ) ( ) . .x xA x x dx x x dx x u a
− −
−
 
= + − − = − + = − = =  
 
∫ ∫
2
2 3
2 2
2 2
1 1
1
9
1 1 2 2
2 3 2
63
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2. Calcule a área limitada por: y = (x – 1)3 e y = x – 1:
GRÁFICO 6 - GRÁFICO DA REGIÃO LIMITADA PELAS CURVAS Y = (X – 1)3 E Y = X – 1
y
x
21
g(x) = x - 1
f(x) = (x - 1)3
-3
-2
-1
0
1
1
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
A x x dx x x
x
A x x
1 1
2 3
2 4
1
2
0
1 3
1 1
2
1
4
1
4
2 1 1
= −( ) − −( )  = − −
−( )
=
= −( ) − −
∫
(( )  =
−
− + =∫ dx
x x x( )4
4 2
1
4
4 2
0
1
Portanto, a área total da região é: A = 1/4 + 1/4 = 1/2 u. a. 
Além do cálculo de áreas de regiões com contornos curvilíneos, outra importante 
aplicação para a integral definida é o cálculo do volume de sólidos de revolução, 
assunto que será discutido no próximo item.
64
CÁLCULO II 
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3.5 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta fixa qualquer do plano, obtém-
-se uma figura espacial, um sólido, denominado sólido de revolução. A reta ao redor 
da qual a região gira é chamado eixo de revolução.
Uma das aplicações da integral definida é o cálculo do volume desse sólido. Se f é 
uma função contínua em [a,b], o volume do sólido de revolução gerado pela rotação 
em torno do eixo Ox⃗ em [a,b] é dado por: 
[ ( )] [ ( )]
b b
a a
V f x dx f x dx= π = π∫ ∫2 2
1. Encontrar o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 
y = √x e acima do intervalo [1, 4] é girada em torno do eixo x: 
A curva dessa função e o sólido formado pela sua rotação em torno do 
eixo x e no intervalo fornecido estão representados a seguir:
GRÁFICO 7 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = √X
y
x
2
4
1 2 3 4 50
-2
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
65
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
FIGURA 5 - SÓLIDO FORMADO A PARTIR DA ROTAÇÃODA CURVA Y = √X EM TORNO 
DO EIXO X
y
x
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Seu volume será:
V x dx x= ( ) = 




 =∫π π
π
1
4
2 2
1
4
2
15
2
u.v.
u. v. = unidade de volume
2. Determine, aproximadamente, o volume do sólido obtido pela rotação 
em torno da reta y = 1, da região limitada por y=ex e pela reta y = 1, no 
intervalo [0, 2] (Use π = 3,14):
66
CÁLCULO II 
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GRÁFICO 8 - GRÁFICO DA CURVA Y=EX 
7
6
5
4
3
2
1
0-1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
FIGURA 6 - SÓLIDO GERADO
x
y
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
( ) ( ) , . .x x x xv e dx e e dx e ex x u v = π − = π − + = π − + ≅  ∫ ∫
2
2 2
2 2 2
0 0
0
1
1 2 1 2 50 3
2
67
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3. Encontrar o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y =3 - 2x 
e acima do intervalo [0, 2] é girada em torno do eixo y:
De forma análoga, o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação 
em torno do eixo Oy⃗ pode ser obtido por:
[ ( )]
d
c
V g y dy= π∫ 2
Portanto, no exemplo dado, tem-se que:
y y y y
V dy
 − + π = π = π − + =  
    
∫
2
2 3 2
2
0
0
3 3 9 13
2 12 4 4 6
4. Determine o volume do sólido obtido pela rotação delimitada pelas 
curvas y2 = x e x = 2y, em torno do eixo y:
Quando o sólido é gerado pela superfície limitada por duas funções, f(x) e g(x), 
ambas contínuas no intervalo [a, b], em torno do eixo Ox⃗ , com f(x) ≥ g(x), ∀ x∈[a,b], 
o volume do sólido pode ser obtido por:
[( ( ) ( ( )) ]
b
a
V f x g x dx= π −∫ 2
Primeiramente, igualam-se as funções para obter a intercessão das curvas:
y2 = 2y → y = 0 e y = 2
68
CÁLCULO II 
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Então, tem-se:
V y y dy y y= ( ) − ( )


= −





 =∫π π
π
0
2 2 2 2 2
5 3
0
2
2
5
4
3
64
15
Além do cálculo da área de regiões curvas e do volume de sólidos de revolução, outra 
importante aplicação para a integral definida é a determinação do valor médio de 
uma função. Ele permite, por exemplo, a determinação, em um intervalo dado, da 
temperatura média, do preço médio, da velocidade média, entre outras.
3.6 VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO
O valor médio de uma função f no intervalo [a,b] é definido por:
( )
b
m
a
f f x dx
b a
=
− ∫
1
Teorema: se f é contínua em [a, b], então existe um número c, em [a, b], tal que:
( ) ( ).( )
b
a
f x dx f c b a= −∫
Esse teorema permite calcular uma média de todos os valores de f(x) quando x varia 
em um intervalofechado [a, b].
1. Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado segundo a 
função v(t) = t3 – 2. Determine a velocidade média dessa partícula no 
intervalo de tempo 1 ≤ t ≤ 4:
( )
m
t
V t dt t
 
= − = − = 
−   
∫
4
4
4
3
1
1
1 1 231
2 2
4 1 3 4 4
69
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2. Um estudo realizado em laboratório chegou à conclusão de que o 
número de bactérias presentes numa certa cultura pode ser modelado 
pela equação Q(t) = 300e-t, em que Q(t) representa o número de bactérias 
presentes em um determinado intervalo de tempo. Encontre a quanti-
dade média aproximada de bactérias ao longo das primeiras cinco horas 
do estudo:
Q t e dt e dt e e em
t t t( ) =
−
= = −  = − − −( )∫ − − − −
1
5 0
300 60 60 600
5
0
5
0
5 5 0
  ≅∫ 59 6,
Além das aplicações discutidas anteriormente, as integrais definidas apresentam 
diversas aplicações na física, como para calcular o trabalho realizado por uma força, a 
distância percorrida, centros de massa e momento de inércia, fora várias outras apli-
cações. Veja algumas.
3.7 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS NA FÍSICA
3.7.1 DISTÂNCIA PERCORRIDA
Conhecendo a velocidade v(t) de uma partícula em movimento retilíneo, então a 
integral definida permite determinar a distância total percorrida por ela num deter-
minado intervalo de tempo. Ao integrar a velocidade ao longo de um intervalo de 
tempo, obtém-se o deslocamento e, ao integrar a velocidade escalar ao longo de um 
intervalo de tempo, obtém-se a distância percorrida.
Assim, para calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, deve-se 
considerar os intervalos quando v(t) ≥ 0 e, também, quando v(t) ≤ 0, ou seja:
70
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| ( ) | ( ) ( )
b c b
a a c
v t dt v t dt v t dt= −∫ ∫ ∫
Suponha que uma partícula esteja em movimento ao longo do eixo x com velo-
cidade v(t) = 2 - t. Determine:
a. O deslocamento da partícula no intervalo de tempo 1 ≤ t ≤ 3:
( ) tt dt t
 
− = − = 
  
∫
3
2
3
1
1
2 2 0
2
b. A distância total percorrida pela partícula no intervalo 1 ≤ t ≤ 3:
| | ( ) ( )t dt t dt t dt− = − − − =∫ ∫ ∫
3 2 3
1 1 2
2 2 2 1
Em [1,2), a velocidade é positiva, o que significa que nesse intervalo a partícula percor-
re no sentido positivo; em (2, 3], a velocidade é negativa, o que significa que nesse 
intervalo a partícula recua, de tal modo que em t = 3 ela volta a ocupar a mesma 
posição por ela ocupada no instante t = 1.
3.7.2 TRABALHO
Na física, quando se empurra ou puxa um determinado objeto, realiza-se um traba-
lho. Se aplicar uma força F a um objeto, fazendo-o deslocar-se por uma determinada 
distância d na direção da força realizada, pode-se determinar o trabalho W realizado 
por F sobre esse objeto. Sendo essa força constante, define-se o trabalho como sendo: 
W = F.d
71
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Se a força é variável, determina-se esse trabalho usando a integral definida:
( )
b
a
W F x dx= ∫
1. Determine o trabalho realizado por uma pessoa para empurrar um carri-
nho de bebê utilizando uma força de 5x - 1 Newtons sobre ele, quando 
este se desloca 10 metros:
( ) xW x dx x J
 
= − = − = 
  
∫
10
2
10
0
0
5
5 1 240
2
2. Encontre o trabalho realizado quando uma força variável F x x
N( ) = 12 no 
sentido positivo do eixo x move um objeto de x = 2 até x = 5 metros: 
W
x
dx
x
J= = − =∫ 25 2
2
51 1 11
6
Na sequência, serão apresentados outros exemplos em que a utilização da integral 
definida é de grande importância, além das já apresentadas anteriormente. 
3.8 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS DEFINIDAS
Veja alguns outros exemplos de aplicação das integrais definidas.
72
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1. Uma partícula, movendo-se ao longo de uma reta, possui aceleração 
descrita pela função a(t) = t + 6 (m/s2). Sabendo que sua velocidade inicial 
é v(0) = 3m/s, determine a distância percorrida durante os 10 primeiros 
segundos:
Primeiramente, encontre a função velocidade:
( ) ( ) ( ) tv t a t dt t dt t c= = + = + +∫ ∫
2
6 6
2
Como a v(0) = 3, tem-se que c = 3. Logo, a função velocidade é:
( ) tv t t= + +
2
6 3
2
Encontrando agora a distância no intervalo dado:
( ) t td t t dt t t m
   
= + + = + + =         
∫
10
2 3
10
2
0
0
1490
6 3 3 3
2 6 3
2. Em uma refinaria, a gasolina flui do interior de um tanque de armazena-
mento em direção ao caminhão transportador a uma taxa de f(t)=500-4t 
litros por minuto, onde 0 ≤ t ≤ 100. Mantida essa taxa, determine a quanti-
dade de gasolina que flui desse tanque durante os 20 primeiros minutos: 
( )t dt litros− =∫
20
0
500 4 9200
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3. Analistas financeiros concluíram que o preço do etanol vendido nos postos 
de combustível foi reajustado várias vezes ao longo de um ano a uma taxa 
de P(t) = 0,03t2 + 0,12t + 2, onde t representa os meses. Determine o preço 
médio do etanol durante os quatro primeiros meses desse ano:
( , , ) [ , , ] ,t t dt t t t reais+ + = + + =
− ∫
4
2 3 2 4
0
0
1 1
0 03 0 12 2 0 01 0 06 2 2 4
4 0 4
4. O excedente do consumidor representa a diferença entre a quantia 
que os consumidores se dispõem a pagar pelo produto e o valor real 
do produto. Esse valor pode ser obtido por meio da integral definida: 
EC f q p dqq= −[ ]∫ 0 00 ( ) , onde p = f(q) representa o preço como função da 
demanda para determinado produto. Posto isso e sabendo-se que a 
demanda de um produto é dada por p = 100 – 5q, determine o excedente 
do consumidor quando o preço de mercado é R$ 20,00: 
Inicialmente, deve-se encontrar a quantidade correspondente ao preço de 
mercado:
20 = 100 - 5q → q = 16
Portanto: 
( )EC q dq reais= − − =∫
16
0
100 5 20 640
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CÁLCULO II 
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Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017SUMÁRIO
CONCLUSÃO 
Esta unidade iniciou-se com uma visão geral do problema de encontrar áreas. 
O problema do cálculo de áreas vem de séculos atrás. Mesmo com todos os avanços 
na geometria clássica com os gregos, persistia a dificuldade para se determinar áreas 
de regiões planas com contornos curvos. Embora ainda não se tenha um método 
para determinar a área exata, a partir da soma de Riemman pode-se obter o valor 
aproximado dessas áreas. 
O procedimento utilizado consiste em dividir a área procurada em retângulos de 
bases iguais e alturas apropriadas. A soma das áreas de todos esses retângulos, que 
é a soma de Riemman, aproxima-se da área da região curva. Entretanto, como esse 
cálculo é dispendioso e nem sempre é uma tarefa simples, demonstrou-se que a 
integral definida de uma função contínua em um intervalo fechado permite deter-
minar a área de uma região curvilínea em um plano cartesiano. 
A ideia por trás da integral definida é que se pode calcular quantidades dividindo-as 
em subintervalos e, em seguida, somando cada uma dessas partes. Quanto maior o 
número de subintervalos, mais se aproxima do valor real procurado. 
O cálculo de uma integral definida por meio de sua definição pode ser extremamen-
te complexo e até inviável para algumas funções. Pode-se calcular integrais definidas 
usando o teorema fundamental do cálculo. Esse teorema oferece um método eficaz 
para o cálculo de integrais definidas usando antiderivadas. A integral definida pode 
ser calculada encontrando-se uma antiderivada do integrando e, então, subtraindo-
-se o valor dessa antiderivada no extremo inferior de integração de seu