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2010−11 Ficha Prática 6 - Extremos/Função Impĺıcita AM2D 1. Determine e classifique os pontos cŕıticos das funções definidas pelas seguintes ex- pressões: f1(x, y) = x 2 + 2xy + 3y2; f2(x, y) = x 3 + 3xy − y3; f3(x, y) = y x2 + y2 + 1 ; f4(x, y) = xy + 1 x + 1 y . 2. Calcule as coordenadas do(s) ponto(s) da superf́ıcie esférica centrada na origem e de raio r = 6 que se encontra(m) mais distante(s) do ponto M(1, 2, 2). Qual (Quais) o(s) ponto(s) mais próximo(s)? 3. A temperatura de um ponto (x, y) de uma placa metálica é dada por T (x, y) = 4x2 − 4xy + y2. Uma formiga percorre a circunferência centrada em 0 e de raio 5. Qual a maior e a menor temperatura que encontra? 4. Calcule o máximo e o mı́nimo das funções fi nos conjuntos Di indicados: a. f1(x, y) = x 2 − 2xy + 5y2, D1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}; b. f2(x, y) = x+ y, D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 3y2 ≤ 3}. 5. a. Mostre que a equação x + sin(y + z) = 0 define implicitamente y como função de x e z numa vizinhança de (0, 0, 0) (y = φ(x, z)). Calcule ∂2φ ∂x2 (0, 0). b. Explicite a função φ e calcule de novo ∂2φ ∂x2 (0, 0). 6. Considere x0 6= 0, y0 6= 0 e z0 6= 0 e seja (x0, y0, z0) um ponto que satisfaz a equação x z = φ (y z ) , onde φ : R→ R. (1) a. Indique que condições deve satisfazer φ por forma a que a equação (1) defina implici- tamente z como função de x e y numa vizinhança de (x0, y0, z0). b. Mostre que x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = z, onde z = ϕ(x, y), na vizinhança considerada para (x0, y0). 7. a. Mostre que a equação ez sin(xyz) + 2z+ 2xy = π define implicitamente z como função de x e y numa vizinhança de (1, π 2 , 0). b. Considerando ~u = (1, 1), calcule z′~u(1, π 2 ). 8. Assuma que a pressão (P ), o volume (V ) e a temperatura (T ) de um sistema f́ısico satisfazem a equação F (P, V, T ) = 0. Supondo que esta equação permite definir im- plicitamente qualquer uma das três variáveis como função das duas restantes, deduza as igualdades seguintes: a. ∂P ∂T ∂T ∂V = −∂P ∂V ; b. ∂P ∂T ∂T ∂V ∂V ∂P = −1. 9. Um gás diz-se de Van der Walls se a sua pressão molar, volume e temperatura (p, V, T ) verificarem a equação ( p+ a V 2 ) (V − b) = RT, (2) onde R é a constante de Avogadro e a e b são duas constantes positivas. a. Mostre que na vizinhança de qualquer ponto (p0, V0, T0) que verifique a equação (2) e que satisfaça p0V 3 0 − aV0 + 2ab 6= 0, V é função regular de p e T . b. Calcule ∂V ∂T e ∂V ∂p . Mantendo a temperatura constante, como varia o volume se se aumentar um pouco a pressão? c. Mostre que ∂2V ∂T 2 (p, T ) = 2aR2(3b/V − 1) V 3(p− a/V 2 + 2ab/V 3)3 .
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