Integração Numérica

Prévia do material em texto

INTEGRAÇÃO 
NUMÉRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igor Utzig Picco 
 
 
 Integração Numérica 
 
2 
 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula de Integração Numérica. Nessa aula irei apresentar para 
vocês métodos numéricos que visam realizar a integração de funções. É apresentado nessa 
aula diferentes métodos que dividem o intervalo de integração em subintervalos, visando 
aumentar a precisão. A formulação dos métodos vem de técnicas de interpolação, porém a 
extensa manipulação matemática para se obter o método foi ocultada. Diversos exemplos 
didáticos são apresentados visando clarear os conceitos apresentados. 
 
INTRODUÇÃO A INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
De acordo com a definição do dicionário, integrar significa “juntar as partes em um 
todo; unir, indicar a quantidade total...”. Matematicamente, a integração é representada pela 
expressão apresentada na Equação 1, o que indica a integral de uma função f (x) em relação 
à variável independente x, calculada entre os extremos x=a e x=b. 
A função f(x) na Equação 1 é conhecida como o integrando. Como sugerido pela 
definição do dicionário, a Equação 1 o valor total ou a soma de f(x) dx no intervalo de x= 
[a, b] (CHAPRA, CANALE, 2013). 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 (1) 
 
Sendo assim, podemos definir a integral como um conjunto de somas. Nos casos 
em que as integrais não podem ser resolvidas de maneira direta através das técnicas 
tradicionais apresentados no cálculo integral, é realizado a integração numérica através de 
técnicas que fazem somas sucessivas. 
A quantidade de operações utilizadas no processo define a precisão e custo 
computacional do método numérico. Quanto mais somas são utilizadas, para um mesmo 
intervalo [a, b], maior a precisão do método. Para se obter um resultado de alta precisão, é 
necessário reduzir o intervalo em infinitos intervalos infinitesimais. A Figura 1 apresenta 
a utilização de retângulos sucessivos para estimar uma integral. Quanto mais retângulos 
forem utilizados, menor o intervalo de cada retângulo no eixo x. 
 
 
 Integração Numérica 
 
3 
 
Figura 1. Exemplo de utilização de retângulos para estimar uma integral. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
As fórmulas de Newton-Cotes são os esquemas mais comuns de integração 
numérica. Elas são baseadas na estratégia de substituir uma função complicada ou dados 
tabulados por uma função aproximadora simples que seja fácil de integrar, sendo 
normalmente utilizado uma função polinomial pré-definida (CHAPRA, CANALE, 2013). 
Os processos de integração numérica que utilizam as fórmulas de Newton-Cotes, 
que serão apresentados nesse tópico, consideram que o polinômio que aproxima f(x) 
razoavelmente seja um polinômio que interpole f(x) em pontos do intervalo [a, b] 
igualmente espaçados. Particionam o intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento h, 
sendo h definido matematicamente conforme apresentado na Equação 2, sendo n o número 
de subintervalos utilizados no método numérico de integração analisado (CELINA, 2018). 
 
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
 (2) 
 
Normalmente apresenta-se de maneira inicial o método dos retângulos, que é um 
método simples e muito aplicado de maneira didática. Nesse tópico iremos direto para 
métodos com melhor desempenho e que podem ser aplicados em situações práticas com 
facilidade. 
 
 
 
 
 Integração Numérica 
 
4 
 
MÉTODO DOS TRAPÉZIOS 
 
O método dos trapézios é um dos procedimentos mais comumente utilizados na 
determinação numérica de integrais. Ele tem uma aplicação muito simples, porém deve ser 
realizado com cuidado. A aplicação sem análise gráfica pode resultar em um erro muito 
grande. O método considera a figura de um trapézio para aproximar o cálculo da área. As 
Figuras 2 e 3 ilustram duas aplicações do método. A Figura 2 ilustra a aplicação com 
somente 1 trapézio, o que, como pode-se perceber, reflete em um erro muito grande para o 
caso em questão. A Figura 3 ilustra a aplicação utilizando uma quantidade maior de 
trapézios, que reflete em uma maior precisão. 
 
Figura 2. Descrição gráfica da regra do trapézio com um único intervalo. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
Figura 3. Descrição gráfica da regra do trapézio com múltiplos subintervalos. 
 
Fonte: Celina, 2018. 
 Integração Numérica 
 
5 
 
A regra do trapézio é definida matematicamente pela Equação 3. A equação se 
baseia na Figura 2. A equação 3 é muitas vezes chamada de regra dos trapézios. 
 
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≅ ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
(𝑥 − 𝑎) 
𝐼 ≅ ∫ [𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
(𝑥 − 𝑎)]𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
 
𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎)
(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏))
2
 (3) 
 
Exemplo 1: 
Realize a integração numérica da função apresentada a seguir, no intervalo de 0 a 
3. Sabe-se que o resultado exato é 1,3863. Calcule o erro do método numérico. 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥
 
𝐼 = ∫
1
1 + 𝑥
𝑑𝑥
3
0
 
 
Aplicando a equação 3: 
 
𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎)
(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏))
2
 
𝐼 ≅ (3 − 0)
(𝑓(0) + 𝑓(3))
2
 
𝑓(0) =
1
1 + 0
= 1; 𝑓(3) =
1
1 + 3
=
1
4
 
𝑰 ≅ 𝟑 ∗
(𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟓)
𝟐
= 𝟏, 𝟖𝟕𝟓 
 
Calculando o erro: 
 
𝜀 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜| = |1,3863 − 1,875| = 0,4487 
 
 Integração Numérica 
 
6 
 
O método dos trapézios pode ser aplicado de maneira combinada, associando 
diferentes trapézios, conforme ilustrado na Figura 3. A Figura 4 ilustra algumas 
possibilidades da aplicação conjunta do método dos trapézios. 
 
Figura 4. Ilustração da aplicação múltipla da regra do trapézio. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
Para isso escolhe um número n de subintervalos e divide o intervalo de integração 
em n partes menores. Pode-se utilizar h, apresentado na Equação 2, para auxiliar o 
processo. Em seguida aplica-se n métodos dos trapézios e o resultado final é a soma dos 
diversos métodos. 
 
 
 Integração Numérica 
 
7 
 
 Exemplo 2: 
Realize a integração numérica da função apresentada a seguir, no intervalo de 0 a 
3, utilizando 5 subintervalos. Sabe-se que o resultado exato é 1,3863. Calcule o erro do 
método numérico. Compare com o erro do Exemplo 1, que utilizou somente 1 intervalo. 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥
 
 
Dividindo em 5 subintervalos: 
 
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
3 − 0
5
=
3
5
 
 
Sendo assim, obtemos os 5 subintervalos de espaçamento 3/5: 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜1 = [0,
3
5
] 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜2 = [
3
5
,
6
5
] 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜3 = [
6
5
,
9
5
] 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜4 = [
9
5
,
12
5
] 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜5 = [
12
5
, 3] 
 
Obtendo os valores para todos os extremos de intervalos: 
 
𝑓(0) =
1
1 + 0
= 1; 𝑓 (
3
5
) =
1
1 +
3
5
= 0,625; 𝑓 (
6
5
) =
1
1 +
6
5
= 0,4545; 
𝑓 (
9
5
) =
1
1 +
9
5
= 0,3571; 𝑓 (
12
5
) =
1
1 +
12
5
= 0,2941; 𝑓(3) =
1
1 + 3
= 0,25 
 
 
 
 
 Integração Numérica 
 
8 
 
Realizando a integração pelo método dos trapézios para cada subintervalo: 
 
𝐼1 ≅ (
3
5
− 0)
(𝑓(0) + 𝑓 (
3
5
))
2
=
3
5
∗
(1 + 0,625)
2
= 0,4875 
𝐼2 ≅ (
6
5
−
3
5
)
(𝑓 (
3
5
) + 𝑓 (
6
5
))
2
=
3
5
∗
(0,625 + 0,4545)
2
= 0,3239 
𝐼3 ≅ (
9
5
−
6
5
)
(𝑓 (
9
5
) + 𝑓 (
6
5
))
2
=
3
5
∗
(0,3571 + 0,4545)
2
= 0,2435 
𝐼4 ≅ (
12
5
−
9
5
)
(𝑓 (
12
5
) + 𝑓 (
9
5
))
2
=
3
5
∗
(0,2941 + 0,3571)
2
= 0,1954 
𝐼5 ≅ (3 −
12
5
)
(𝑓(3) + 𝑓 (
12
5
))
2
=
3
5
∗
(0,25 + 0,2941)
2
= 0,1632 
 
Sendo assim, para encontrar a integral do intervalo de 0 a 3, somamos as integrais 
calculadas para os 5 subintervalos: 
 
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼4 + 𝐼5 
𝐼 = 0,4875 + 0,3239 + 0,2435 + 0,1954 + 0,1632 
𝐼 = 1,4113 
 
Calculando o erro: 
 
𝜀 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜| = |1,3863 − 1,4113| = 0,025 
 
O erro ao utilizar 5 subintervalos foi de 0,025. O erro ao utilizar somente 1 intervalo, 
obtidono Exemplo 1 foi de 0,4487. Pode-se confirmar o que foi abordado anteriormente, 
que a utilização de mais subintervalos aumenta a precisão do método numérico. 
 
 
 Integração Numérica 
 
9 
 
INTEGRAÇÃO 1/3 DE SIMPSON 
 
O método do trapézio utiliza um polinômio de primeiro grau para interligar 2 
pontos. Visando obter uma estimativa mais acurada da integral, utiliza-se polinômios de 
grau mais alto para ligar os pontos. Os métodos de Simpson realizam esse procedimento. 
Pode-se utilizar um polinômio de segundo grau para interligar 3 pontos, ou um polinômio 
de terceiro grau para interligar 4 pontos. O método 1/3 de Simpson, apresentado aqui, 
utiliza um polinômio de segundo grau para interligar 3 pontos. O método 3/8 de Simpson 
utiliza um polinômio de terceiro grau para interligar 4 pontos e será apresentado na próxima 
sessão. A Figura 5 ilustra os dois métodos. 
 
Figura 5. Descrição gráfica do método de 1/3 de Simpson (a) e de 3/8 de Simpson. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
Na regra de 1/3 de Simpson utiliza-se 3 pontos igualmente espaçados, resultando 
em dois subintervalos de espaçamento h. O método é ilustrado com mais detalhe na Figura 
6. 
O desenvolvimento, utilizando a interpolação de Lagrange, seu desenvolvimento 
matemático e resultado já simplificado através de manipulações algébricas é apresentado a 
seguir. A Equação 4 apresenta o resultado final (CHAPRA, CANALE, 2013). 
 
 
 
 Integração Numérica 
 
10 
 
Figura 6. Método 1/3 de Simpson 
 
Fonte: Gilat, Subramaniam, 2008. 
 
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≅ ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑓2(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2)
𝑓(𝑥0) +
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2)
𝑓(𝑥1)
+
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)
𝑓(𝑥2) 
𝐼 ≅ ∫ [
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2)
𝑓(𝑥0) +
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2)
𝑓(𝑥1)
𝑥2
𝑥0
+
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)
𝑓(𝑥2)]𝑑𝑥 
𝐼 ≅
ℎ
3
[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)] 
 
𝑰 ≅ (𝒙𝟐 − 𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟎) + 𝟒𝒇(𝒙𝟏) + 𝒇(𝒙𝟐)
𝟔
 (4) 
 
Exemplo 3: 
Realize a integração numérica da função apresentada a seguir, utilizando o método 
de 1/3 de Simpson, utilizando o intervalo de integração de 0 a 3. Sabe-se que o resultado 
exato é 1,3863. Calcule o erro do método numérico. 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥
 
 
 Integração Numérica 
 
11 
 
Como o método 1/3 de Simpson utiliza 3 pontos, ele consequentemente utiliza 2 
subintervalos, sendo assim: 
 
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
3 − 0
2
=
3
2
 
Sendo assim, temos os pontos: 
 
𝑥0 = 0; 𝑥1 =
3
2
; 𝑥2 = 3 
Calculando os valores da função nos pontos: 
 
𝑓(0) =
1
1 + 0
= 1; 𝑓 (
3
2
) =
1
1 +
3
2
= 0,4; 𝑓(3) =
1
1 + 3
= 0,25; 
 
Agora podemos aplicar a Equação 4 diretamente: 
 
𝐼 ≅ (𝑥2 − 𝑥0)
𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)
6
 
𝐼 ≅ (3 − 0)
𝑓(0) + 4𝑓 (
3
2) + 𝑓(3)
6
 
𝐼 ≅ 3 ∗
1 + 4 ∗ 0,4 + 0,25
6
 
𝐼 ≅ 1,425 
 
𝜀 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜| = |1,3863 − 1,425| = 0,0387 
 
Observamos que o erro é menor que o erro calculado no Exemplo 1, mas ainda 
levemente superior ao erro calculado no Exemplo 2. Como o exemplo 2 utilizou 5 
subintervalos, era esperado mais precisão. Mas pode-se observar como, mesmo utilizando 
somente 2 subintervalos, o erro é pequeno, pois é utilizado uma função de grau maior. 
 
 
 
 
 Integração Numérica 
 
12 
 
INTEGRAÇÃO 3/8 DE SIMPSON 
 
De uma maneira parecida com a dedução da regra do trapézio e da regra 1/3 de 
Simpson, um polinômio de Lagrange de ordem quatro pode ser ajustado a quatro pontos e 
integrado, como apresentado no desenvolvimento a seguir e na Equação 5 (CHAPRA, 
CANALE, 2013). A figura 7 ilustra o método 3/8 de Simpson. 
 
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≅ ∫ 𝑓3(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝐼 ≅
3ℎ
8 
[𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)] 
 
𝑰 ≅ (𝒙𝟑 − 𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟎) + 𝟑𝒇(𝒙𝟏) + 𝟑𝒇(𝒙𝟐) + 𝒇(𝒙𝟑)
𝟖
 (5) 
 
Figura 7. Método 3/8 de Simpson 
 
Fonte: Gilat, Subramaniam, 2008. 
 
 
Exemplo 4: 
Realize a integração numérica da função apresentada a seguir, utilizando o método 
de 3/8 de Simpson, utilizando 0 a 3 de intervalo de integração. Sabe-se que o resultado 
exato é 1,3863. Calcule o erro do método numérico. 
 Integração Numérica 
 
13 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥
 
 
Como o método 3/8 de Simpson utiliza 4 pontos, ele consequentemente utiliza 3 
subintervalos, sendo assim: 
 
ℎ =
𝑏 − 𝑎
3
=
3 − 0
3
= 1 
 
Sendo assim, temos os pontos: 
 
𝑥0 = 0; 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 2; 𝑥3 = 3 
 
Calculando os valores da função nos pontos: 
 
𝑓(0) =
1
1 + 0
= 1; 𝑓(1) =
1
1 + 1
= 0,5; 𝑓(2) =
1
1 + 2
=
1
3
; 𝑓(3) =
1
1 + 3
= 0,25 
 
Agora podemos aplicar a Equação 5 diretamente: 
 
𝐼 ≅ (𝑥3 − 𝑥0)
𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3)
8
 
𝐼 ≅ (3 − 0)
1 + 3 ∗ 0.5 + 3 ∗ 1/3 + 0,25
8
 
𝐼 ≅ 3 ∗
1 + 1.5 + 1 + 0,25
8
 
𝐼 ≅ 1,4062 
 
𝜀 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜| = |1,3863 − 1,4062| = 0,0199 
 
É observado que a precisão do método de 3/8 foi maior que a do método de 1/3, 
conforme esperado devido ao aumento do grau do polinômio e aumento da quantidade de 
subintervalos utilizados. 
 
 
 
 
 Integração Numérica 
 
14 
 
APLICAÇÃO MISTA DOS MÉTODOS DE SIMPSON 
 
Como apresentado, o método 1/3 de Simpson pode ser aplicado a 2 subintervalos 
(3 pontos) e o método 3/8 de Simpson pode ser aplicado para 3 subintervalos (4 pontos). 
Os métodos de Simpson são conhecidos por sua boa precisão. Caso se tenha um número 
maior de intervalos e pontos, como pode ser realizada a aplicação do método de Simpson? 
Nessa última sessão, finalizamos o tópico abordando a aplicação mista dos métodos 
de Simpson. 
As Figuras 8 e 9 ilustram duas situações diferentes em que foram associados de 
maneira mista os métodos de Simpson. Pode-se observar que na Figura 8 foi utilizado um 
método 1/3 e um método 3/8. Resultando em um número ímpar de subintervalos. Na figura 
9, um dos subintervalos foi dividido em 3 subintervalos menores para a aplicação do 
método 3/8, enquanto o restante dos pontos foram utilizados em métodos 1/3 de Simpson. 
 
Figura 8. Aplicação mista dos métodos 1/3 e 3/8 de Simpson. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
 
 
 Integração Numérica 
 
15 
 
Figura 9. Aplicação mista de 2 métodos 1/3 de Simpson, com 1 método 3/8 de Simpson. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
As figuras apresentadas ilustram situações em que podem ser associados diferentes 
técnicas de Simpson para cobrir um número de pontos da maneira mais adequada. A 
quantidade de aplicações depende da quantidade de subintervalos disponíveis. A Figura 10 
apresenta um gráfico com 12 subintervalos (13 pontos). Nesse caso foram utilizados 4 
métodos de 3/8 de Simpson. O resultado total da curva é a soma dos 4 resultados obtidos 
em cada método. 
 
Figura 10. Aplicação mista de 4 métodos 3/8 de Simpson. 
 
Fonte: Gilat, Subramaniam, 2008. 
 
 Integração Numérica 
 
16 
 
Exemplo 5: 
Realize a integração numérica da função apresentada a seguir, utilizando o método 
de Simpson composto, com 5 subintervalos, utilizando 0 a 3 de intervalo de integração. 
Sabe-se que o resultado exato é 1,3863. Calcule o erro do método numérico. 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥
 
 
Como o método composto irá utilizar 5 subintervalos: 
 
ℎ =
𝑏 − 𝑎
5
=
3 − 0
5
=
3
5
 
 
Sendo assim, temos os pontos: 
 
𝑥0 = 0; 𝑥1 =
3
5
; 𝑥2 =
6
5
; 𝑥3 =
9
5
; 𝑥4 =
12
5
; 𝑥5 = 3; 
 
Calculando os valores da função nos pontos: 
 
𝑓(0) =
1
1 + 0
= 1; 𝑓 (
3
5
) =
1
1 +
3
5
= 0,625; 𝑓 (
6
5
) =
1
1 +
6
5
= 0,4545; 
𝑓 (
9
5
) =
1
1 +
9
5
= 0,3571; 𝑓 (
12
5
) =
1
1 +
12
5
= 0,2941; 𝑓(3) =
1
1 + 3
= 0,25 
 
Aplicamos o método 1/3 de Simpson nos primeiros 3 pontos e o método 3/8de 
Simpson nos últimos 4 pontos: 
 
Método 1/3 de Simpson: 
 
𝐼1 ≅ (𝑥2 − 𝑥0)
𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)
6
 
𝐼1 ≅ (
6
5
− 0)
𝑓(0) + 4 𝑓 (
3
5
) + 𝑓 (
6
5
)
6
 
 
 Integração Numérica 
 
17 
 
𝐼1 ≅
6
5
∗
1 + 4 ∗ 0,625 + 0,4545
6
 
𝐼1 ≅ 0,7909 
 
Método 3/8 de Simpson: 
 
𝐼2 ≅ (𝑥5 − 𝑥2)
𝑓(𝑥2) + 3𝑓(𝑥3) + 3𝑓(𝑥4) + 𝑓(𝑥5)
8
 
𝐼2 ≅ (3 −
6
5
)
𝑓 (
6
5
) + 3𝑓 (
9
5
) + 3𝑓 (
12
5
) + 𝑓(3)
8
 
𝐼2 ≅ (
9
5
)
0,4545 + 3 ∗ 0,3571 + 3 ∗ 0,2941 + 0,25
8
 
𝐼2 ≅ 0,5981 
 
Obtendo o resultado total da integral: 
 
𝐼 ≅ 𝐼1 + 𝐼2 
𝐼 ≅ 0,7909 + 0,5981 
𝐼 ≅ 1,389 
 
Calculando o erro: 
 
𝜀 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜| = |1,3863 − 1,389| = 0,0027 
 
Observa-se que a aplicação composta erro menor que as aplicações individuais de 
cada método de Simpson, apresentados nos exemplos 3 e 4. 
 
 
 
 
 
 
 Integração Numérica 
 
18 
 
RESUMO 
 
Nesse capítulo foi apresentado três métodos numéricos de integração numérica, 
sendo eles o método dos trapézios, método 1/3 de Simpson e método 3/8 de Simpson. Para 
cada método foi apresentado exemplos completos de resolução, juntamente com análise de 
erro, visando ilustrar a aplicação dos métodos, assim como a análise de precisão. 
 
 
 
 
 
 
 Integração Numérica 
 
19 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
CELINA, J. Cálculo Numérico. Curitiba, InterSaberes, 2018. 
 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. McGraw-Hill, 
2008. 
 
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. Pearson, 2006. 
 
GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Métodos numéricos para engenharia e cientistas. 
Porto Alegre: Bookman,2008. 
 
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; E SILVA, L. H. M. Cálculo numérico. 2° edição 
São Paulo. Pearson, 2014.