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1 Raciocínio Lógico Matemático Conceitos básicos de matemática Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos • Unidade de Ensino: 1 • Competência da Unidade: Conhecer métodos e técnicas de operações matemáticas para desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico de apoio à tomada de decisão. • Resumo: Serão desenvolvidas técnicas para a realização de operações matemáticas básicas, aquelas que utilizamos em situações do dia a dia, tais como: operações com frações, proporções, razões, potência e logaritmos. • Palavras-chave: razões proporcionais; potência; logaritmos • Título da Teleaula: Conceitos básicos de matemática • Teleaula nº: 1 Contextualização Que situações cotidianas podemos utilizar conceitos matemáticos? Canva.com Raciocínio Lógico Matemático Conceitos básicos de matemática Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos Fração Fração É um número que pode representar parte de um inteiro ou parte de uma quantidade. Representação: Numerador: Indica o número de partes selecionadas do inteiro. Denominador: Indica o número partes iguais que o inteiro foi dividido. Numerador Denominador 𝑏 ≠ 0 Canva.com 1 2 3 4 5 6 2 Frações equivalentes Quando duas ou mais frações representam a mesma parte do todo, dizemos que elas são frações equivalentes. Por exemplo: Soma e subtração com Frações Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais, basta operar os numeradores e conservar o denominador. Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário encontrar outras frações equivalentes a essas que possuam denominadores iguais Multiplicação e divisão com frações Para multiplicar duas frações multiplicamos os numeradores e os denominadores 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑐 𝑑 = 𝑎 ⋅ 𝑐 𝑏 ⋅ 𝑑 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 𝑒 𝑑 ≠ 0 Na divisão de frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑑 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 𝑒 c ≠ 0 Exemplos de operações com frações 1 5 + 3 5 = 4 5 1 9 − 2 3 = 3 − 18 27 = −15 27 = − 5 9 1 3 . 3 5 = 3 15 = 1 5 2 3 ÷ 1 3 = 2 3 ⋅ 3 1 = 6 3 = 2 Canva.com O tamanho de um terreno A família de Dona Marina mora numa chácara em que a construção de sua casa ocupa 3/7 de um terreno. No restante do terreno, Dona Marina tem plantações de frutas da época, criação de animais e uma área sem nenhuma utilização específica. Do terreno restante, 1/4 é destinado à plantação de frutas e 1/9 à criação dos animais. Qual a fração que representa a área do terreno sem nenhuma utilização específica? Canva.com 7 8 9 10 11 12 3 O primeiro passo é encontrar quanto corresponde a parte sem a construção da casa: 1 − 3 7 = 7 7 − 3 7 = 4 7 Desses sabemos que foi destinado a plantação de frutas e a criação de animais. Assim precisamos saber qual a fração correspondente a área que tem alguma utilização: 1 4 + 1 9 = 13 36 Porém essa fração é referente a assim precisamos encontrar quanto vale 13 36 de 4 7 13 36 ⋅ 4 7 = 13 63 Essa fração corresponde a área ocupada, para descobrirmos área que não tem utilização nenhuma precisamos subtrair de 4 7 − 13 63 = 23 63 Raciocínio Lógico Matemático Conceitos básicos de matemática Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos Razão e Proporção Razão Usa-se uma razão quando queremos comparar unidades, entre si. Por exemplo: Razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos. Número de meninas: 20 Total de alunos: 50 A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada pelo quociente, que é uma divisão representada como fração: 20 está para 50 Proporção É a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão 𝒂 ∶ 𝒃 for igual à razão 𝒄 ∶ 𝒅. Indicamos esta proporção por: 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 A proporção obedece à seguinte propriedade: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐 13 14 15 16 17 18 4 Exemplo Uma família tem uma renda líquida de 𝑅$ 15000,00 mensais. Dessa renda, a família consome (gasta) 𝑅$ 10000,00 e poupa o restante. A partir dessas informações podemos dizer que a razão entre o que a família gasta (consumo) e a renda é dada por: 10000 15000 = 10 15 = 2 3 Regra de três simples A regra de três simples consiste em um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores, sendo três valores conhecidos um valor desconhecido. Por exemplo 𝑥 7 = 6 21 21𝑥 = 42 𝑥 = 42 21 = 2 Porcentagem Porcentagem Indica uma razão ou uma divisão por 100. O símbolo utilizado para indicar a porcentagem é %. Isso significa que, quando nos deparamos com um número seguido deste símbolo, ele é um número percentual. Por exemplo: 50% = 50 100 Canva.com Cálculo de porcentagem Determine: 1% de 50 1 100 ⋅ 50 = 50 100 = 1 2 = 0,5 20% de 350 20 100 ⋅ 350 = 7000 100 = 70 Estudo de juros 19 20 21 22 23 24 5 Uma pessoa vai pagar uma parcela do financiamento do carro com atraso, sendo que a multa correspondente a esse atraso é de 3,75% do valor do boleto. Sabendo que o valor do boleto é de R$ 335,70, qual é o valor que a pessoa vai desembolsar ao pagar a parcela atrasada? Canva.com Podemos considerar que o valor total do boleto corresponde a 100% e encontrar 3,75% do valor do boleto. Depois somamos ao valor inicial, visto que os 3,75% do valor total é o juro a ser pago junto com a parcela. 335,70 −−−− −100% 𝑥 −−−−−− −3,75% 100𝑥 = 1258,875 𝑥 = 12,58875 Podemos dizer que o valor da multa é de aproximadamente 𝑅$ = 12,59 Logo o valor a ser pago é 335,70 + 12,59 = 348,29 Raciocínio Lógico Matemático Conceitos básicos de matemática Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos Potenciação Potenciação Você já se deparou com expressões matemáticas compostas por multiplicações de números repetidos? 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = Temos 8 fatores do número 3 38 = 6 561 Potência 22 : Lê-se, dois elevado a quadrado 23 : Lê-se, dois elevado ao cubo 24 : Lê-se, dois elevado a quarta potência n fatores EXPOENTE BASE 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 … 25 26 27 28 29 30 6 Cálculo de potência Base positiva: potência positiva 2 4 = 2 4 ⋅ 2 4 = 4 16 = 1 4 Base negativa: Expoente par: potência positiva −4 = (−4) ⋅ (−4) = 16 Expoente ímpar: potência negativa −4 = −4 ⋅ −4 ⋅ −4 = −64 Atenção! Seja n um número par −𝑎 ≠ −𝑎 Propriedades de potências Para quaisquer valor 𝑚 e 𝑛 temos: 𝑎 ⋅ 𝑎 = 𝑎 𝑎 : 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 , 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 > 1 𝑎 = 1, 𝑎 ≠ 0 Notação Científica Notação Científica A notação científica é um tipo de representação numérica em que os valores são escritos utilizando potências de base 10. Na representação em notação científica, os números são dados na forma 𝑎 ⋅ 10 , em que 𝑎 é um número real maior ou igual a um e menor do que 10, ou seja,1 ≤ 𝑎 < 10 , enquanto m é um número inteiro. Escrevendo um número em notação científica Quando o número a ser escrito na notação científica for menor que 1, a vírgula se desloca para a direita e o expoente da potência de 10 é negativo. Quando o número a ser escrito na notação científica for maior que 1, a vírgula se desloca para a esquerda e o expoente da potência de 10 é positivo. Por exemplo: 123000000 = 1,23 ⋅ 10 0,0000005 = 5 ⋅ 10 Analisando uma colônia de Bactérias 31 32 33 34 35 36 7 (FAPEC-2018) Em uma colônia de bactérias, a cada 30 minutos o número de microrganismos é multiplicado por 100. Se, a primeira vez que foi observada, a colônia tinha 1.000 bactérias, a ordem de grandeza de bactérias após 2 horas é? Canva.com Vamos analisar o crescimento dessa colônia Tempo Quantidade Potência 0 1000 10 30 1000 ⋅ 100 10 ⋅ 10 = 10 60 1000 ⋅ 100 ⋅ 100 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10 90 1000 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10 120 1000 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 10 ⋅ 10⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10 Raciocínio Lógico Matemático Conceitos básicos de matemática Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos Equação exponencial Equação Equação é toda sentença matemática na qual encontramos: Uma ou mais letras que indicam valores desconhecidos, que denominamos incógnitas; Um sinal de igualdade; Um expressão à esquerda, denominada 1º membro, e uma à direita, denominada 2º membro. Canva.com Equação exponencial Por exemplo: 2 = 8 3 = 27 5 + 5 = 30 A equação cuja incógnita se apresenta no expoente de pelo menos uma potência de base real, positiva e diferente de 1, é denominada equação exponencial. 37 38 39 40 41 42 8 Resolvendo uma equação exponencial Para resolver equações exponenciais que podem ser transformadas em uma igualdade de potências de mesma base utilizamos a seguinte igualdade: 𝑎 = 𝑎 ⟷ 𝑥 = 𝑥 Por exemplo: 3 = 243 3 = 3 ⟷ 𝑥 = 5 Logaritmo Logaritmos Seja 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1. O logaritmo de 𝑏 na base 𝑎 é igual a 𝑐 se, e somente se, 𝑎 elevado a 𝑐 for igual a 𝑏, ou, ainda log 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑏 Por exemplo: log 1024 = 𝑥 ⟷ 2 = 1024 2 = 2 ⟷ 𝑥 = 10 Base Logaritmando Logaritmo Quando a base do logaritmo é 𝒆 temos: log 𝑎 = ln 𝑎 Canva.com Propriedades de Logaritmo log 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑏 log 1 = 0 log 𝑎 = 1 log (𝑥 ⋅ 𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦 log = log 𝑥 − log 𝑦 log 𝑥 = 𝑟 ⋅ log 𝑥 𝑎 = 𝑥 log 𝑎 = 𝑥 Aplicação de logaritmo na Matemática Financeira 43 44 45 46 47 48 9 Imagine que um empresário fez um investimento em uma instituição financeira de R$ 1500,00 a uma taxa de 12% de juros anuais e, ao final do período, retirou R$ 2961,00. Sabendo que a expressão que representa este investimento é 𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 , sendo que M é o valor retirado ao final do período, 𝐶 é o valor investido, 𝑖 é a fração decimal correspondente à taxa de juros e 𝑡 é o tempo, em anos, por quanto tempo o dinheiro ficou investido? Canva.com Temos que a fórmula para juros compostos é: 𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 Pelo problema temos: 𝐶 = 1500 𝑀 = 2961 𝑖 = 12% = 0,12 𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 2961 = 1500 1 + 0,12 2961 1500 = 1,12 1,974 = 1,12 log , 1,974 = 𝑡 𝑡 = log 1,974 log 1,12 𝑡 ≅ 6 Raciocínio Lógico Matemático Conceitos básicos de matemática Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos Recapitulando Fração Razão e proporção Porcentagem Potenciação Equação exponencial Logaritmo Canva.com 49 50 51 52 53
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