Introdução logica fuzzy

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LÓGICA PARA 
INTELIGÊNCIA 
ARTIFICIAL 
Luiz Fernando Calaça Silva
Lógica Fuzzy
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Detalhar a definição e modelagem de variáveis linguísticas.
 � Descrever as operações sobre conjuntos Fuzzy.
 � Explicar o processo de inferência Fuzzy.
Introdução
Quando comparada com a conhecida lógica aristotélica booleana ou biva-
lente, percebe-se uma grande importância na lógica Fuzzy, pois ela aponta 
que o mundo real não é definido apenas por verdadeiro ou falso e que há uma 
relação entre os conjuntos. Por exemplo, quando pensamos no ar atmosférico, 
a faixa de valores de temperatura se relaciona com a de umidade, e, entre tais 
interações, é possível inferir fenômenos físicos. Assim, originaram-se diversos 
estudos de estatística e probabilidade para o contexto.
Quando alguém diz que está escuro em um determinado local, seria 
possível remodelar dizendo o quanto falta luz, realizar a chamada fuzzifi-
cação e, então, criar graus de falta de luz, uma vez que é preciso modelar 
esse problema para que represente a realidade. Os conceitos iniciais 
da teoria Fuzzy foram estudados pelo lógico polonês Jan Łukasiewicz 
(1878–1956). Em 1920, ele introduziu conjuntos com graus de pertinência, 
os quais diferiam dos conjuntos clássicos, em que um elemento pertencia 
somente a um conjunto. Então, Łukasiewicz criou três graus — 0, ½ e 1 
— e, mais tarde, os expandiu para um faixa de valores infinitos entre 0 e 1.
A primeira publicação sobre lógica Fuzzy é datada de 1965, quando 
assim foi denominada. Seu autor foi Lotfi Asker Zadeh, professor em 
Berkeley, Universidade da California. Zadeh criou a lógica Fuzzy combi-
nando os conceitos da lógica clássica com os conjuntos de Łukasiewicz, 
definindo graus de pertinência.
Neste capítulo, você estudará sobre a definição e a modelagem de 
variáveis linguísticas. Além disso, conhecerá os conjuntos e os processos 
de inferência Fuzzy.
1 A modelagem dos termos Fuzzy
Uma variável linguística v no universo de discurso U é definida em um con-
junto de elementos E(u), com cada valor sendo um número Fuzzy definido 
em U. Por exemplo, se u for pressão, seu conjunto de termos E(v) poderia ser:
E(pressão) = {muito baixa, baixa, média, alta, muito alta}
onde muito baixa, baixa, média, alta, muito alta são as variáveis linguís-
ticas da grandeza pressão. Essas variáveis podem ser representadas conforme 
a Figura 1, onde o eixo vertical (y) contém as faixas de valores de saída, após 
estas serem atribuídas às variáveis linguísticas, ao passo que o eixo horizontal 
(x) contém a variação dos valores da pressão.
A propriedade fundamental da lógica Fuzzy está no contexto da função de pertinência 
µA(x), pois contém todos os valores dentro do intervalo [0,1], como pode ser observado 
no exemplo da Figura 1. Isso mostra que um dado elemento pode ser participante, 
parcialmente, de um conjunto, indicado por um valor fracionário dentro do intervalo 
numérico.
Já a função substancial das variáveis linguísticas é prover uma forma sistemática 
para uma caracterização aproximada de fenômenos complexos ou mal definidos, 
descrevendo melhor a realidade, a fim de representar adequadamente um problema 
e uma solução.
Observe que os conjuntos na Figura 1 se entrelaçam, demonstrando que 
um elemento pode pertencer a diversos conjuntos. Assim, há uma transição 
entre um e outro, como, por exemplo, entre o quente e o frio.
Lógica Fuzzy2
Figura 1. Representação hipotética de uma variável linguística.
Fonte: Adaptada de Caversan (2009).
1
0,5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
x
Muito perto
Perto Médio Distante Muito distante
Em suma, identificar uma variável linguística é observar se, ocultamente, ela repre-
senta mais dados do que aponta. Por exemplo, se alguém disser que está chovendo, 
deveríamos perguntar: de que forma? Muito, pouco, demais.
Desse modo, é preciso observar bem, por exemplo, os advérbios de intensidade: 
demais, mais, menos, muito, quanto, quão, quase, tanto, pouco; as locuções adverbiais: 
em excesso, de todo, de muito, por completo, por demais; os adjetivos: feio, bonito, 
grande, cheio; e os advérbios de modo: bem, mal, melhor, pior, devagar. 
2 Operações sobre os conjuntos Fuzzy
A lógica clássica (booleana) define os conjuntos clássicos, que abrangem uma 
coleção de objetos de qualquer tipo. Nesse conjunto, um determinado objeto 
pertence ou não a um conjunto. Além disso, existem operações que podem 
ser aplicadas a ele, como, por exemplo, a união, a interseção e a complemen-
tação. Definir um conjunto clássico é definir uma função com uma regra de 
associação F(x), que retorna {0,1} para um x, o que significa que x pertence 
(1 — verdadeiro) ou não pertence (0 — falso) ao conjunto.
3Lógica Fuzzy
No contexto da teoria dos conjuntos Fuzzy, existe um grau de pertença 
de cada elemento a um conjunto. Para melhor compreensão, considere o 
exemplo a seguir.
1. conjunto de elementos das pessoas com bem-estar social no Brasil.
2. conjunto das pessoas com dinheiro no Brasil.
É possível verificar que não há um limite exato para concluir quando um 
elemento pertence ou não ao respectivo conjunto. Nos exemplos acima, uma 
pessoa pode ter pouco dinheiro, porém ter um alto ou baixo bem-estar social. 
Contudo, com a teoria Fuzzy, existem critérios e graus de pertinência 
para tais problemas. Ao organizar o pensamento, é possível perceber que os 
valores designados aos elementos do conjunto universo U também pertencem 
ao intervalo infinito de números reais de 0 a 1, isto é, o intervalo fechado [0,1]:
µA: U ↦ [0, 1]
Os valores infinitos entre 0 e 1 mostram o grau de pertinência dos elementos 
do conjunto U em relação ao conjunto A, tornando possível que um elemento 
possa pertencer a diversos conjuntos. Desse modo, a função é definida como 
de pertinência, ao passo que o conjunto A é definido como um conjunto Fuzzy.
Vejamos um exemplo com leitura de acordo com a lógica Fuzzy e o grau 
de pertinência. Considere como exemplo o conjunto dos jogadores da seleção 
brasileira de futebol e o quão eles estão confirmados para a próxima Copa do 
Mundo, a fim de dizer, hipoteticamente, o quão eles pertencem ao grupo de 
jogadores que serão selecionados.
O conjunto 1 é composto pelos números da camisa de cada jogador, ao 
passo que o conjunto 2 é composto pela relação de pertinência junto à seleção:
1. Conjunto de jogadores: {13, 11, 23, 5, 12, 20, 9, 6, 4, 7, 17}
2. Conjunto de pertinência junto à seleção brasileira = {(13,0.2), (11,0.2), 
(23,0.2), (5,0.2), (12,0.2), (20,0.2), (9,1.0), (6,0.1), (4,0.6), (7,0.5), (17,0.2)}
O jogador cujo número da camisa é 9 tem pertença 1 no conjunto anterior, 
portanto, é considerado plenamente participante do grupo para a Copa do 
Mundo.
Lógica Fuzzy4
Descrevendo os conjuntos Fuzzy
Dentro dos conjuntos Fuzzy, tem-se as seguintes afirmações sobre as opera-
ções em seus conjuntos, as quais possuem uma certa referência nos conjuntos 
clássicos.
 � A cardinalidade de um conjunto Fuzzy A sobre um conjunto universo 
finito U é a soma dos graus de pertinência de todos os elementos de 
U em A e indica-se:
|A| = (x)x U
∑
∈
 � O conjunto Fuzzy A é um subconjunto de um conjunto Fuzzy B se 
o grau de pertinência de cada elemento do conjunto universo U no 
conjunto A é menor ou igual que seu grau de pertinência no conjunto B.
 � Os conjuntos Fuzzy A e B são iguais se µA (x) = µB (x) para todo elemento 
x ∈ U e indica-se A = B.
 � Os conjuntos Fuzzy A e B não são iguais se µA (x) ≠ µB (x) para no 
mínimo um x ∈ U e indica-se A ≠ B.
 � O conjunto Fuzzy A é um subconjunto próprio do conjunto Fuzzy B 
quando A é um subconjunto de B e A ≠ B, isto é, µA (x) £ µB (x) para 
todo x ∈ U e µA (x) ≤ µB (x) para, no mínimo, um x ∈ U e indica-se 
A ⊂ B se e somente se A ⊆ B e A ≠ B.
 � O complemento de um conjunto Fuzzy A em relação ao conjunto 
universo U é indicado por A¢, e a função de pertinência é definida 
como: µA (x) = 1 − µA (x) para todo x∈ U.
5Lógica Fuzzy
A = {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 3}
B = {x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 4}
A (x) = {x ∈ R| x < 1, x > 3}
A Figura 2, a seguir, apresenta a representação da complementação dos conjuntos.
Figura 2. Representação da complementação dos conjuntos.
Fonte: Adaptada de Gomide (2009).
A (x) = 1 – A (x) ∀x∈X
Dado o conjunto H de homens altos e o conjunto M dos de média altura (esses conjuntos 
serão utilizados nos próximos exemplos): 
H = (0/1.80, 0.25/182.5, 0.5/185, 0.75/187.5, 1/190)
M = (0/165, 1/175, 0.5/180, 0.25/182.5, 0.0/185, 0/190)
Se um elemento x ∈ U tem grau de pertinência 0.7 no conjunto Fuzzy A, seu grau 
de pertinência em A¢ será 0.3.
O complemento C de H é, justamente, o dos não altos:
C = (1/1.80, 0.75/182.5, 0.5/185, 0.25/187.5, 0/190)
Lógica Fuzzy6
 � A união de dois conjuntos Fuzzy A e B é um conjunto Fuzzy A ⋃ B 
tal que para todo x ∈ U µA ⋃ B (x) = máx [µA (x), µB (x) ].
A união U dos dois conjuntos é justamente o contrário da intersecção e comporá os 
elementos em comum de maior pertinência. A partir dos conjuntos H e M, tem-se que:
M = (0.5/180, 0.25/182.5, 0.5/185, 1/190)
A = {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 3}
B = {x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 4}
A ⋃ B: {x ∈ R| 1≤ x ≤ 4}
A Figura 3, a seguir, apresenta a representação da união dos conjuntos.
Figura 3. Representação da união dos conjuntos.
Fonte: Adaptada de Gomide (2009).
(A ⋃ B)(x) = máx [A(x), B(x)] ∀x∈X
7Lógica Fuzzy
 � A intersecção de dois conjuntos Fuzzy A e B é um conjunto Fuzzy 
A ∩ B tal que para todo x ∈ U µA∩B(x) = min [µA (x), µB (x)].
A intersecção I dos dois conjuntos é justamente o encontro dos elementos em comum 
de menor pertinência. A partir dos conjuntos H e M, tem-se que:
I = (0/180, 0.25/182.5, 0/185, 0/190)
A = {x∈R| 1 ≤ x ≤ 3}
B = {x∈R| 2 ≤ x ≤ 4}
A ⋂ B: {x∈R| 2 ≤ x ≤ 3}
A Figura 4, a seguir, apresenta a representação da intersecção dos conjuntos.
Figura 4. Representação da intersecção dos conjuntos.
Fonte: Adaptada de Gomide (2009).
(A ⋂ B)(x) = mín [A(x), B(x)] ∀x∈X
Propriedades dos operadores de conjuntos Fuzzy
De modo similar aos conjuntos clássicos, na teoria Fuzzy existem propriedades 
envolvidas na operação entre conjuntos, conforme o Quadro 1.
Lógica Fuzzy8
Comutatividade
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Associatividade
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Distributivo
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Idempotência
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Condições de fronteira
A ∪ φ = A e A ∪ X = X
A ∩ φ = φ e A ∩ X = A
Involução
═
A = A
Transitividade Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C
Quadro 1. Propriedades envolvidas na operação entre conjuntos Fuzzy
As inferências que serão realizadas dentro do contexto Fuzzy necessitam operar entre 
diversos conjuntos. Assim, é importante conhecer as operações envolvidas.
Anteriormente, observou-se a semelhança com os conjuntos clássicos, porém, é 
preciso perceber que há diversas características peculiares nos conjuntos Fuzzy, como 
a pertença múltipla que um elemento pode ter entre diversos conjuntos.
Probabilidade e possibilidade no contexto Fuzzy
Há uma diferença notável entre probabilidade e possibilidade dentro dos 
conjuntos nebulosos. Por exemplo, dizer que há chance de 80% de chuva não 
infere a potencialidade do evento, isto é, se é fraca, média ou forte. Seria 
possível mapear a chuva indicado o seguinte: 
9Lógica Fuzzy
1,0 = tempestade; 
0,8 = chuva forte; 
0,6 = chuva intermitente; 
0,4 = garoa; 
0,2 = garoa fina
Cada elemento apontado representa o grau da variável chuva, porém a 
inferência no contexto da probabilidade é um outro caso.
3 As regras e o processo de inferência
A inferência Fuzzy interpreta os valores do vetor de entrada após a fuzzificação 
e, a partir de uma base de um conjunto de regras, apresenta um resultado, que 
passará pelo processo de desfuzzificação.
Vale salientar que tanto as entradas como as saídas (Figura 5) são valores 
reais, e apenas o processamento interno é baseado em regras de aritmética 
Fuzzy.
Figura 5. Representação do fluxo do processo das etapas das regras de inferência.
Fonte: Adaptada de Santos, Felix e Vieira (2012).
Regras
Entradas
determinísticas
Desfuzzi�caçãoFuzzi�cação
Conjuntos Fuzzy
de entrada
Saídas
determinísticas
Inferência
Conjuntos Fuzzy
de saída
Lógica Fuzzy10
 � Fuzzificação: representa a transformação de entradas determinísticas em termos 
que façam sentido para a representação das diversas possibilidades em determi-
nado problema.
 � Desfuzzificação: representa as saídas determinísticas após os processos de 
fuzzificação dos dados de entrada e a passagem pela inferência a partir das regras 
criadas para determinado contexto.
Para entender melhor o processamento dos sistemas de inferência Fuzzy, 
observe o exemplo no Quadro 2, no qual é possível inferir, a partir de alguns 
dados, a classificação de uma pessoa por meio de sua altura. A variação de 
0 a 1 nas colunas baixa, média e alta significa a pertença que a pessoa tem 
àquele conjunto. Deve-se considerar as regras a seguir.
 � Regra 1: se a altura for maior ou igual a 1,70, a pessoa será classificada 
como alta. 
 � Regra 2: se a altura for menor que 1,70, a pessoa será classificada como 
média.
Altura Baixa Média Alta
1,65 0 1 0
1,69 0 1 0
1,70 0 0,75 0,8
1,6 0 0,5 1
1,75 0 0,2 1
1,80 0 0,1 1
1,90 0 0 1
1,95 0 0 1
2,00 0 0 1
Quadro 2. Classificação de pessoas pela altura em metros
11Lógica Fuzzy
Logo, formalmente, pode-se verificar a seguinte generalização sobre di-
versas variáveis de entrada, uma regra K, inferência F e saída S:
Regra K: se (variável l é z) e (variável 2 é y) ... e (variável j é w)
Então:
Saída S = f (z, y... w)
Outro exemplo seria analisar o movimento do corpo humano como um 
caso de inúmeras variáveis e diversas regras envolvidas, com o objetivo de 
estudo para a simulação em robôs. Se o movimento da coluna ir tantos metros 
para a frente, com os ombros em certa posição, os cotovelos com a devida 
angulação e em perfeito equilíbrio, é possível flexionar uma perna levemente 
para a frente da outra e, assim, organizar cada passo de uma corrida.
Façamos, hipoteticamente, os conjuntos citados:
1 — Movimento da coluna = {baixo, médio, longo}
2 — Postura do ombro = {atrás, unido ao corpo, frente}
3 — Angulação dos cotovelos = {pequena, média, alongada}
4 — Flexão da perna = {pequena, média, longa}
É possível organizar a seguinte regra de acordo com os conjuntos numerados:
Regra 1: SE (1 == médio) E (2 == frente) E (3 == alongado) 
Então:
Saída 1: Realizar 4 – (pequeno)
Contudo, existem, ainda, diversas outras regras, de modo que utilizar 
a lógica Fuzzy para o controle de um robô é um grande desafio.
Dentro da lógica Fuzzy, é possível encontrar dois tipos de inferência interessantes: 
o Mandani e o Sugeno, oriundos de publicações científicas. No software Fuzzy Logic 
ToolBox, do grupo Matlab, os dois tipos podem ser implementados. Na internet, você 
pode buscar as vantagens de cada abordagem e exemplos de uso delas.
Lógica Fuzzy12
É possível identificar, no contexto do diagnóstico médico, uma modelagem nas va-
riáveis linguísticas ditas pelos pacientes, modelá-las e realizar as devidas inferências 
patológicas a partir de regras previamente organizadas pelo médico. Por exemplo, os 
sinais e sintomas de caxumba são: cefaleia, edema glandular, febre (baixa a moderada), 
anorexia e mal-estar.
Para cada um desses elementos, seria possível perguntar o quão forte ou fraco se 
tem cada sintoma. Aqui, nos ateremos à febre (baixa a moderada), para a qual, quando 
combinada com os outros elementos, já se teria o diagnóstico.
Considere o conjunto F da febre com elemento F(f), tal que F(f): {baixa, média e 
moderada}, e o conjunto do universo do termômetro, tal que T = [22,27,35]. A tem-
peratura baixa é considerada próximo de 22ºC, a média, de 27ºC, e a moderada, de 
35ºC. O médico, ao perceber todos os outros elementos e a febre de baixa a moderada, 
poderá realizar o devido diagnóstico de acordo com a modelagem e a inferência Fuzzy.
CAVERSAN, F.L. Fuzzy Computing: Basic Concepts. AForge.net, [S. l.], 21 May 2009. 
Disponível em: http://www.aforgenet.com/articles/fuzzy_computing_basics/. Acesso 
em: 28 abr. 2020.
GOMIDE, F. Operations and Aggregations of Fuzzy Sets. Campinas: Unicamp, 2009. 104 p. 
(Notas de aula). Disponível em: http://www.dca.fee.unicamp.br/~gomide/fse/Slides/
FSE_Chap5_OperationsAggregationsFuzzySets.pdf. Acesso em: 28 abr. 2020.
SANTOS, A. V. N.; FELIX, L. B.; VIEIRA, J. G. V. Estudo da logística de distribuição fí-
sica de um laticínio utilizando lógica Fuzzy. Production, São Paulo, v. 22, n. 3, p. 576–
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abstract&pid=S0103-65132012000300016&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt. Acesso em: 
28 abr. 2020.
Leituras recomendadas
FERREIRA, A. F. G. et al. Sistema Fuzzy Como Ferramenta Auxiliar na Detecção da Murcha 
de Fusarium no Tomateiro. In: ESCOLA REGIONAL DE COMPUTAÇÃO APLICADA À SAÚDE, 
7., 2019, Teresina. Anais [...]. Porto Alegre: Sociedade Brasileira de Computação, 2019. 
p. 193–198. Disponível em: https://sol.sbc.org.br/index.php/ercas/article/view/9058. 
Acesso em: 28 abr. 2020.
13Lógica Fuzzy
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NICOLETTI, M. C.; CAMARGO, H. A. Fundamentos da teoria de conjuntos Fuzzy. São Carlos: 
UFSCar, 2006. 65 p. (Série Apontamentos).
PEDRYCZ, W.; GOMIDE, F. Fuzzy systems engineering toward human-centric computing. 
Hoboken: Wiley, 2007. 526 p.
SIMÕES, M. G.; SHAW, I. S. Controle e modelagem Fuzzy. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2007. 
200 p.
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