Geometria Analítica - Ponto

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MATEMÁTICA 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
PONTO. 
1.0. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 
O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois 
eixos perpendiculares entre si que se cruzam num 
ponto O denominado origem das coordenadas e 
que determinam um plano denominado plano 
cartesiano. 
 
O eixo horizontal (eixo Ox) é denominado eixo das 
abscissas e o eixo vertical (eixo Oy) é denominado 
eixo das ordenadas. Com a introdução do sistema 
cartesiano ortogonal todo ponto P do plano pode ser 
representado por um único par ordenado de números 
reais ( )x yP P, e, reciprocamente, a cada par 
ordenado de números reais ( )x yP P, corresponde 
um único ponto P do plano. O primeiro elemento do par 
ordenado é a abscissa e o segundo elemento é a 
ordenada do ponto. 
 
 
2.0. QUADRANTES 
Os eixos x e y dividem o plano em 
quatro regiões denominadas quadrantes , numeradas 
no sentido anti - horário conforme mostra a figura 
abaixo. 
 Dado um ponto P(x,y) qualquer do plano xOy, 
temos: 
 
 
a ) P1 quadrante  x > 0 e y > 0. 
b ) P 2 quadrante  x < 0 e y > 0. 
c ) P  3 quadrante  x < 0 e y < 0. 
d ) P  4 quadrante  x > 0 e y < 0 . 
 
 OBSERVAÇÃO. Por convenção os pontos 
localizados sobre os eixos cartesianos não 
pertencem a nenhum quadrante . 
3.0. PROPRIEDADES DO PLANO CARTESIANO 
3.1. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas, se e 
somente se, sua ordenada é nula, isto é: POXP(x 
,0). 
3.2. Um ponto P pertence ao eixo das ordenadas se, e 
somente se, sua abscissa é nula, isto é: 
P OY  P ( 0 , y ). 
4.0. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
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Sejam A ( )x yA A, e B ( )x yB B, dois pontos 
distintos do plano cartesiano. A distância 
ABd 
entre os pontos A e B é o comprimento do 
segmento BA . 
 y B
 °
A C
 0 x 
 
O triângulo ABC mostrado na figura ao lado é 
retângulo em C . 
Os seus catetos são: d x xAC B A= − e 
d y yBC B A= − . 
Pelo Teorema de Pitágoras , temos : 
d d dAB AC BC
2 2 2= +  
( ) ( )d x x y yAB B A B A
2 2 2= − + − 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros 
da última igualdade , 
obtemos : ( ) ( )d x x y yAB B A B A= − + −
2 2
. 
Vamos visualizar isso através de um exemplo. Imagine 
dois pontos A (1, 1) e B (4, 5) cuja distância um do 
outro queremos calcular. Veja-os no plano cartesiano: 
 
Exemplo 1: Calcular a distância entre os pontos A (-1, 
4) e B (3, 2). 
 
Exemplo 2: Sabe-se que o ponto P (a, 2) é equidistante 
dos pontos A (3, 1) e B (2, 4). Calcular a abscissa a do 
ponto P. 
 
5.0. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO. 
Consideremos o segmento orientado BA com 
origem no ponto A ( )x yA A, e extremidade no 
ponto B ( )x yB B, . Vamos calcular as 
coordenadas do ponto M que divide o segmento 
BA ao meio. 
 y
 B
 M
A
 0 x
 
Sendo M o ponto médio de BA , então AM=MB e, 
portanto, r=
AM
MB
= 1 , isto é, o ponto médio M divide 
o segmento BA na razão 1. 
Usando as fórmulas da razão, obtemos: 
1 2
2
=
−
−
 − = −  = +  =
+x x
x x
x x x x x x x x
x xM A
B M
B M M A M A B M
A B 
e 1 2
2
=
−
−
 − = −  = +  =
+y y
y y
y y y y y y y y
y yM A
B M
B M M A M A B M
A B 
Portanto, as coordenadas do ponto médio do segmento 
BA são calculadas através das fórmulas: 
2
BA
M
xx
x
+
= (média aritmética das abscissas das 
extremidades) e 
2
BA
M
yy
y
+
= (média aritmética 
das ordenadas das extremidades do segmento BA ). 
Exemplo 1: Determinar as coordenadas do ponto médio 
M do segmento AB, sendo dados A (-1, 4) e B (5, 2). 
 
Exemplo 2: Uma das extremidades de um segmentro é 
o ponto A (13, 19). Sendo M (-9, 30) o ponto médio do 
segmento, calcular as coordenadas do ponto B, que é a 
outra extremidade do segmento. 
 
6.0. BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO 
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6.1. MEDIANA DE UM TRIÂNGULO - é o 
segmento de reta que liga um dos vértices do 
triângulo ao ponto médio do lado oposto. 
6.2. BARICENTRO OU CENTRO DE GRAVIDADE 
DE UM TRIÂNGULO - é o ponto de encontro das 
três medianas do triângulo. 
6.3. COORDENADAS DO BARICENTRO. 
As coordenadas do baricentro do triângulo ABC cujos 
vértices são os pontos A ( )AA yx , , ( )BB yxB , e 
( )CC yxC , são calculadas através das fórmulas: 
3
CBA
G
xxx
x
++
= (média aritmética das abscissas 
dos vértices) e y
y y y
G
A B C=
+ +
3
. (média 
aritmética das ordenadas dos vértices). 
Exemplo: Os vértices de um triângulo são os pontos A 
(0, 4), B (2, -6) e C (-4, 2). Calcular os comprimentos 
das medianas do triângulo. 
 
ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
A área do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A
( ) ( )x y B x yA A B B, , , e C ( )x yC C, é 
calculada através da fórmula: S DABC =
1
2
 , 
onde D = 
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
. 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS 
Os pontos A ( ) ( ) ( )x y B x y e C x yA A B B C C, , , , 
estarão alinhados  
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
= 0. 
Exemplo: Determinar o valor de m para que os pontos 
A (m, 3), B (-2, -5) e C (-1, -3) sejam colineares. 
 
Exemplo 2: os pontos A (2, 4), B (-6, 2) e C(0, -2) são 
os vértices de um triângulo ABC. Calcular a área desse 
triângulo.