A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
19 pág.
portfólio ciclo2 geometria analitica e vetores

Pré-visualização | Página 1 de 2

GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
 
RA 8089632 
 
 
 
 
PORTFÓLIO DO CICLO II DE VETORES E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
POLO BELO HORIZONTE – MG 
SETEMBRO DE 2019 
 
 
 
GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
 
RA 8089632 
 
 
PORTFÓLIO DO CICLO II DE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 Trabalho apresentado ao 
Centro Universitário Claretiano 
para a disciplina de Vetores e 
Geometria Analítica, ministrada 
pela Tutora: Juliana Brassolatti 
Gonçalves. 
 
 
 
POLO DE BELO HORIZONTE – MG 
SETEMBRO DE 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1- INTRODUÇÃO 
 
 
 Este trabalho tem como objetivo mostrar as resoluções de atividades relativas ao 
Ciclo II da disciplina Vetores e Geometria Analítica. 
 Abordarei questões relacionadas Plano Cartesiano, ponto médio, distância entre 
dois pontos, mediana, equação da reta, coeficiente angular, circunferência, raio, equação 
reduzida e equação normal da circunferência, Geogebra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – ATIVIDADES AVALIATIVAS: 
 
1) Represente no plano cartesiano os pontos A=(3,0); B=(0,-2); C=(2,4); D=(-3,-5); E=(-
2,4) e F=(1,-3), dizendo em qual quadrante cada um deles pertence. Faça esse exercício 
manualmente e também no GEOGEBRA. 
Resolução: 
 
Resposta: 
• O ponto A não pertence a nenhum quadrante e tem coordenadas A(3,0). Ele está 
localizado no eixo das abscissas (x); 
• O ponto B não pertence a nenhum quadrante e tem coordenadas B(0,-2). Ele está 
localizado no eixo das ordenadas (y); 
• O ponto C pertence ao 1o quadrante e tem coordenadas C(2,4); 
• O ponto D pertence ao 3o quadrante e tem coordenadas C(-3,-5); 
• O ponto E pertence ao 2o quadrante e tem coordenadas C(-2,4); 
• O ponto F pertence ao 4o quadrante e tem coordenadas C(1,-3); 
 
2) Sabendo que um triângulo tem vértices que correspondem aos pontos A = (0,5), B = 
(2,2) e C = (-2, -3), pede-se: 
a) Usando o GEOGEBRA, coloque os pontos no sistema cartesiano-ortogonal e construa 
o triângulo correspondente. 
 
b) Calcule a medida dos 3 lados do triângulo obtido no item a). Para isso utilize a fórmula 
da distância entre dois pontos. 
Resolução:(WZ)2 = (xz - xw )
2 + (yz - yw)
2 
Lado AC Lado AB Lado BC 
(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = ( -2 – 0)2 + ( -3 – 5)2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = ( 2 – 0)2 + ( 2 – 5)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = ( -2 – 2)2 + ( -3 – 2)2 
(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-2)2 + (-8)2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (2)2 + (-3)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-4)2 + (-5)2 
(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 4 + 64 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 4 + 9 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 16 + 25 
(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 68 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 13 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 41 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √68 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √13 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √41 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 8,25 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 3,6055 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 6,4 
Resposta: O lado AB mede aproximadamente 3,6. O lado AC (hipotenusa) mede 
aproximadamente 8,25. O lado BC mede aproximadamente 6,4. 
 
c) Qual é o valor aproximado do maior lado? Confira o resultado no GEOGEBRA. 
Resolução: O maior lado é a distância 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (hipotenusa), que mede aproximadamente 8,25 cm. 
 
3) Observando o triângulo ABC abaixo, responda o que se pede: 
a) Quais são as coordenadas dos pontos A, B e C. 
Resolução: O ponto A tem coordenada A =(-1,4). O ponto B tem coordenada B=(3,4). O ponto 
C tem coordenada C= (-1,-2). 
 
b) Qual é a medida dos catetos AB e AC? 
Resolução: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 3 – (-1) = 3 +1 = 4 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = -2 – 4 = - 6 
Resposta: O cateto AB mede 4 e o cateto AC mede -6. 
 
c) Qual é a medida da hipotenusa BC? 
Resolução: 
(hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2 
(𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = ( 4)2 + ( -6)2 
(𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 16 + 36 
(𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 52 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √52 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 7,21 
d) Quais são as coordenadas do ponto médio da hipotenusa BC? 
Resolução: 
Ponto médio (M) = (
𝑥𝐴+𝑥𝐵
2
,
𝑦𝐴+ 𝑦𝐵
2
) = (
3+(−1)
2
 ,
4+(−2)
2
) = (
2
2
 ,
2
2
) = (1,1) 
Resposta: As coordenadas do ponto médio(M) são (1,1). 
 
e) Confira todos os resultados no GEOGEBRA. 
 
4) Mediana de um triângulo é o segmento que tem como extremidades um vértice e o ponto 
médio do lado oposto. A partir dessa definição: 
a) construa o triângulo de vértices A(2,-4), B(-2, 2) e C(0, 6). 
Resolução: 
Lado AC Lado AB Lado BC 
(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = ( 0 – 2)2 + [6 – (-4)]2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = ( -2 – 2)2 + [2 – (-4)]2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = [0 –(- 2)]2 + ( 6 – 2)2 
(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-2)2 + (10)2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (-4)2 + (6)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 22 + (4)2 
(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 4 + 100 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 16 + 36 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 4 + 16 
(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 104 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 52 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 20 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √104 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √52 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √20 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 10,1980 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 7,2111 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 4,4721 
 
 
b) calcule os comprimentos das 3 medianas desse triângulo. 
Resolução: 
Para calcular a mediana, é necessário saber o ponto médio(M). 
MBC = (
𝑥𝐵+𝑥𝐶
2
,
𝑦𝐵+ 𝑦𝐶
2
) = (
−2+0
2
 ,
2+6
2
) = (−
2
2
 ,
8
2
) = (-1,4) 
MAC = (
𝑥𝑎+𝑥𝑐
2
,
𝑦𝑎+ 𝑦𝑐
2
) = (
2+0
2
 ,
−4+6
2
) = (
2
2
 ,
2
2
) = (1,1) 
MAB = (
𝑥𝑎+𝑥𝑏
2
,
𝑦𝑎+ 𝑦𝑏
2
) = (
2−2
2
 ,
−4+2
2
) = (
0
2
 ,
−2
2
) = (0, -1) 
Mediana: d2 = (xa - x b)
2 + ( ya - yb)
2 
Vértice A(2,-4) e ponto médio 
(M) do lado BC (-1,4) 
Vértice B(-2,2) e ponto médio 
(M) do lado AC (1,1) 
Vértice C( 0,6) e ponto médio 
(M) do lado AB (0,-1) 
d2 = [ 2 – (-1)]2 + (-4 – 4)2 d2 = (- 2 – 1)2 + (2– 1)2 d2 = (0 – 0)2 + [6–(-1)]2 
d2 = 32 + (-8)2 d2 = (-3)2 + 12 d2 = 02 + 72 
d2 = 73 d2 = 9 + 1 d2 = 49 
d = √73 d = √10 d = √49 
d = 8,54 d = 3,16 d = 7 
Resposta: Assim no comprimento da mediana relativa ao vértice A-lado BC mede √73, no 
comprimento relativo ao vértice B-lado AC mede √10 e no comprimento relativo ao vértice C-
lado AB mede 7. 
 
c) Use o GEOGEBRA para conferir os resultados. 
 
5) Num triângulo isósceles a altura e a mediana relativas à base são segmentos 
coincidentes. Calcule a medida da altura relativa à base de um triângulo isósceles de 
vértices A(5,4), B(2,2) e C(8,2). 
Para isso é preciso saber o ponto médio da base BC, sendo B=(2,2) e C = (8,2): 
Mbc = (
𝑥𝑏+𝑥𝑐
2
,
𝑦𝑏+ 𝑦𝑐
2
) = (
2+8
2
 ,
2+2
2
) = (
10
2
 ,
4
2
) = (5,2) 
Mediana relativa à base BC, onde A= (5,4): 
d2 = (xa - xb)
2 + ( ya - yb)
2 
d2 = (5 – 5)2 + (4– 2)2 
d2 = 02 + 22 
d2 = 4 
d = √4 
d = 2 
Outra resolução é pelo cálculo da altura. Sendo A(5,4), B(2,2) e C(8,2) 
(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (xa - xb)2 + ( ya - yb)2 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (xa – xc)2 + ( ya – yc)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (xb – xc)2 + ( yb – yc)2 
(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = ( 5 - 2)2 + ( 4 - 2)2 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 =(5 - 8)2 + ( 4- 2)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (2 – 8)2 + (2 – 2)2 
(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 32 + 22 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-3)2 + 22 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-6)2 + 02 
(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 9 + 4 = 13 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 9 + 4 = 13 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 36 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √13 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √13 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √36 = 6 
Como é um triângulo isósceles 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . A altura e mediana são coincidentes, divide a base 
BC ao meio, formando 2 triângulos retângulos sendo que um dos catetos mede 3 e a hipotenusa 
mede √13. Então pode-se calcular altura(h), utilizando o teorema de Pitágoras: 
(√13)2 = 32 + h2 
13 = 9 + h2 
h2 = 13-9 
h2 = 4 
h = √4 = 2 
Resposta: Tanto pelo cálculo da mediana, quanto pela altura do triângulo a medida de ambas 
são coincidentes. A medida da altura relativa à base de um triângulo isósceles de vértices 
A(5,4), B(2,2) e C(8,2) é 2. 
 
6) Dado os pontos A = (2,-4) e B = (5, 2), responda o que se pede: 
a) Qual é a equação da reta que contém os pontos A e B? 
Resolução: 
Primeiro devemos calcular o coeficiente angular(m). O coeficiente angular que passa pelos 
pontos A = (2,-4) e B = (5, 2) será: m = 
𝑦𝑏− 𝑦𝑎
𝑥𝑏− 𝑥𝑎
 = 
2−(−4)
5−2
 = 
6
3
 = 2 
Equação da reta: yb – ya = m( xb – xa) 
y – (-4) = 2(x – 2) 
y +4 = 2x – 4 
y =2x – 4 – 4 
y = 2x – 8 
Resposta: A equação da reta que passa pelo ponto A = (2,-4) e B=(5, 2) é y = 2x – 8. 
 
b) A reta obtida no item a) é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. 
Resolução: