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GRAZIELE TUANE DOS SANTOS RA 8089632 PORTFÓLIO DO CICLO II DE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA POLO BELO HORIZONTE – MG SETEMBRO DE 2019 GRAZIELE TUANE DOS SANTOS RA 8089632 PORTFÓLIO DO CICLO II DE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Trabalho apresentado ao Centro Universitário Claretiano para a disciplina de Vetores e Geometria Analítica, ministrada pela Tutora: Juliana Brassolatti Gonçalves. POLO DE BELO HORIZONTE – MG SETEMBRO DE 2019 1- INTRODUÇÃO Este trabalho tem como objetivo mostrar as resoluções de atividades relativas ao Ciclo II da disciplina Vetores e Geometria Analítica. Abordarei questões relacionadas Plano Cartesiano, ponto médio, distância entre dois pontos, mediana, equação da reta, coeficiente angular, circunferência, raio, equação reduzida e equação normal da circunferência, Geogebra. 2 – ATIVIDADES AVALIATIVAS: 1) Represente no plano cartesiano os pontos A=(3,0); B=(0,-2); C=(2,4); D=(-3,-5); E=(- 2,4) e F=(1,-3), dizendo em qual quadrante cada um deles pertence. Faça esse exercício manualmente e também no GEOGEBRA. Resolução: Resposta: • O ponto A não pertence a nenhum quadrante e tem coordenadas A(3,0). Ele está localizado no eixo das abscissas (x); • O ponto B não pertence a nenhum quadrante e tem coordenadas B(0,-2). Ele está localizado no eixo das ordenadas (y); • O ponto C pertence ao 1o quadrante e tem coordenadas C(2,4); • O ponto D pertence ao 3o quadrante e tem coordenadas C(-3,-5); • O ponto E pertence ao 2o quadrante e tem coordenadas C(-2,4); • O ponto F pertence ao 4o quadrante e tem coordenadas C(1,-3); 2) Sabendo que um triângulo tem vértices que correspondem aos pontos A = (0,5), B = (2,2) e C = (-2, -3), pede-se: a) Usando o GEOGEBRA, coloque os pontos no sistema cartesiano-ortogonal e construa o triângulo correspondente. b) Calcule a medida dos 3 lados do triângulo obtido no item a). Para isso utilize a fórmula da distância entre dois pontos. Resolução:(WZ)2 = (xz - xw ) 2 + (yz - yw) 2 Lado AC Lado AB Lado BC (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = ( -2 – 0)2 + ( -3 – 5)2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = ( 2 – 0)2 + ( 2 – 5)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = ( -2 – 2)2 + ( -3 – 2)2 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-2)2 + (-8)2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (2)2 + (-3)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-4)2 + (-5)2 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 4 + 64 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 4 + 9 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 16 + 25 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 68 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 13 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 41 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √68 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √13 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √41 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 8,25 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 3,6055 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 6,4 Resposta: O lado AB mede aproximadamente 3,6. O lado AC (hipotenusa) mede aproximadamente 8,25. O lado BC mede aproximadamente 6,4. c) Qual é o valor aproximado do maior lado? Confira o resultado no GEOGEBRA. Resolução: O maior lado é a distância 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (hipotenusa), que mede aproximadamente 8,25 cm. 3) Observando o triângulo ABC abaixo, responda o que se pede: a) Quais são as coordenadas dos pontos A, B e C. Resolução: O ponto A tem coordenada A =(-1,4). O ponto B tem coordenada B=(3,4). O ponto C tem coordenada C= (-1,-2). b) Qual é a medida dos catetos AB e AC? Resolução: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 3 – (-1) = 3 +1 = 4 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = -2 – 4 = - 6 Resposta: O cateto AB mede 4 e o cateto AC mede -6. c) Qual é a medida da hipotenusa BC? Resolução: (hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = ( 4)2 + ( -6)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 16 + 36 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 52 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √52 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 7,21 d) Quais são as coordenadas do ponto médio da hipotenusa BC? Resolução: Ponto médio (M) = ( 𝑥𝐴+𝑥𝐵 2 , 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵 2 ) = ( 3+(−1) 2 , 4+(−2) 2 ) = ( 2 2 , 2 2 ) = (1,1) Resposta: As coordenadas do ponto médio(M) são (1,1). e) Confira todos os resultados no GEOGEBRA. 4) Mediana de um triângulo é o segmento que tem como extremidades um vértice e o ponto médio do lado oposto. A partir dessa definição: a) construa o triângulo de vértices A(2,-4), B(-2, 2) e C(0, 6). Resolução: Lado AC Lado AB Lado BC (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = ( 0 – 2)2 + [6 – (-4)]2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = ( -2 – 2)2 + [2 – (-4)]2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = [0 –(- 2)]2 + ( 6 – 2)2 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-2)2 + (10)2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (-4)2 + (6)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 22 + (4)2 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 4 + 100 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 16 + 36 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 4 + 16 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 104 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 52 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 20 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √104 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √52 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √20 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 10,1980 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 7,2111 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 4,4721 b) calcule os comprimentos das 3 medianas desse triângulo. Resolução: Para calcular a mediana, é necessário saber o ponto médio(M). MBC = ( 𝑥𝐵+𝑥𝐶 2 , 𝑦𝐵+ 𝑦𝐶 2 ) = ( −2+0 2 , 2+6 2 ) = (− 2 2 , 8 2 ) = (-1,4) MAC = ( 𝑥𝑎+𝑥𝑐 2 , 𝑦𝑎+ 𝑦𝑐 2 ) = ( 2+0 2 , −4+6 2 ) = ( 2 2 , 2 2 ) = (1,1) MAB = ( 𝑥𝑎+𝑥𝑏 2 , 𝑦𝑎+ 𝑦𝑏 2 ) = ( 2−2 2 , −4+2 2 ) = ( 0 2 , −2 2 ) = (0, -1) Mediana: d2 = (xa - x b) 2 + ( ya - yb) 2 Vértice A(2,-4) e ponto médio (M) do lado BC (-1,4) Vértice B(-2,2) e ponto médio (M) do lado AC (1,1) Vértice C( 0,6) e ponto médio (M) do lado AB (0,-1) d2 = [ 2 – (-1)]2 + (-4 – 4)2 d2 = (- 2 – 1)2 + (2– 1)2 d2 = (0 – 0)2 + [6–(-1)]2 d2 = 32 + (-8)2 d2 = (-3)2 + 12 d2 = 02 + 72 d2 = 73 d2 = 9 + 1 d2 = 49 d = √73 d = √10 d = √49 d = 8,54 d = 3,16 d = 7 Resposta: Assim no comprimento da mediana relativa ao vértice A-lado BC mede √73, no comprimento relativo ao vértice B-lado AC mede √10 e no comprimento relativo ao vértice C- lado AB mede 7. c) Use o GEOGEBRA para conferir os resultados. 5) Num triângulo isósceles a altura e a mediana relativas à base são segmentos coincidentes. Calcule a medida da altura relativa à base de um triângulo isósceles de vértices A(5,4), B(2,2) e C(8,2). Para isso é preciso saber o ponto médio da base BC, sendo B=(2,2) e C = (8,2): Mbc = ( 𝑥𝑏+𝑥𝑐 2 , 𝑦𝑏+ 𝑦𝑐 2 ) = ( 2+8 2 , 2+2 2 ) = ( 10 2 , 4 2 ) = (5,2) Mediana relativa à base BC, onde A= (5,4): d2 = (xa - xb) 2 + ( ya - yb) 2 d2 = (5 – 5)2 + (4– 2)2 d2 = 02 + 22 d2 = 4 d = √4 d = 2 Outra resolução é pelo cálculo da altura. Sendo A(5,4), B(2,2) e C(8,2) (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (xa - xb)2 + ( ya - yb)2 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (xa – xc)2 + ( ya – yc)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (xb – xc)2 + ( yb – yc)2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = ( 5 - 2)2 + ( 4 - 2)2 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 =(5 - 8)2 + ( 4- 2)2 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (2 – 8)2 + (2 – 2)2 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 32 + 22 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-3)2 + 22 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = (-6)2 + 02 (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 9 + 4 = 13 (𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 9 + 4 = 13 (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )2 = 36 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √13 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √13 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √36 = 6 Como é um triângulo isósceles 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . A altura e mediana são coincidentes, divide a base BC ao meio, formando 2 triângulos retângulos sendo que um dos catetos mede 3 e a hipotenusa mede √13. Então pode-se calcular altura(h), utilizando o teorema de Pitágoras: (√13)2 = 32 + h2 13 = 9 + h2 h2 = 13-9 h2 = 4 h = √4 = 2 Resposta: Tanto pelo cálculo da mediana, quanto pela altura do triângulo a medida de ambas são coincidentes. A medida da altura relativa à base de um triângulo isósceles de vértices A(5,4), B(2,2) e C(8,2) é 2. 6) Dado os pontos A = (2,-4) e B = (5, 2), responda o que se pede: a) Qual é a equação da reta que contém os pontos A e B? Resolução: Primeiro devemos calcular o coeficiente angular(m). O coeficiente angular que passa pelos pontos A = (2,-4) e B = (5, 2) será: m = 𝑦𝑏− 𝑦𝑎 𝑥𝑏− 𝑥𝑎 = 2−(−4) 5−2 = 6 3 = 2 Equação da reta: yb – ya = m( xb – xa) y – (-4) = 2(x – 2) y +4 = 2x – 4 y =2x – 4 – 4 y = 2x – 8 Resposta: A equação da reta que passa pelo ponto A = (2,-4) e B=(5, 2) é y = 2x – 8. b) A reta obtida no item a) é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta. Resolução:A reta é crescente, pois o coeficiente angular é positivo. Referências: Se o coeficiente angular é c) Esboce o gráfico da reta. d) Use o GEOGEBRA para conferir os resultados. Positivo : a reta é crescente; Negativo: a reta é decrescente; Nulo : a reta é horizontal; Não existe(divisão por zero): reta vertical 7) Sabendo que os pontos A(2,2) e B(4,1), pertencem à mesma reta, determine a equação geral da reta , que passa por esses dois pontos. Represente graficamente essa reta, utilizando o GEOGEBRA. Resolução: Para obtermos a equação geral da reta estabelecemos o seguinte determinante, utilizando as coordenadas dos pontos A e B. Det AB = | 𝑥 𝑦 1 2 2 1 4 1 1 | = 0 → | 𝑥 𝑦 1 2 2 1 4 1 1 | 𝑥 𝑦 2 2 4 1 = 0 Det AB → [(x.2.1) + (y.1.4) + (1.2.1)] – [(4.2.1) + (1.1.x) + (1.2.y)] = 0 Det AB → [2x + 4y + 2] –[8 + x + 2y] = 0 Det AB → 2x + 4y + 2 - 8 - x - 2y = 0 Det AB → x + 2y – 6 = 0 A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2,2) e B(4,1) é x + 2y – 6 = 0 ou simplificando (dividindo por 2) é y = - 1/2x + 3. 8) Verifique se os pontos A = (0,3), B = (-1,1) e C = (-2,-1) são colineares. Justifique sua resposta através dos cálculos. Resolução: Verificando os coeficientes angulares: mab = 𝑦𝑏− 𝑦𝑎 𝑥𝑏− 𝑥𝑎 = 1−3 −1−0 = −2 −1 =2 mac = 𝑦𝑐− 𝑦𝑎 𝑥𝑐− 𝑥𝑎 = −1−3 −2−0 = −4 −2 = 2 mbc = 𝑦𝑐− 𝑦𝑏 𝑥𝑐− 𝑥𝑏 = −1−1 −2+1 = −2 −1 = 2 Det = | 𝑥𝑎 𝑦𝑎 1 𝑥𝑏 𝑦𝑏 1 𝑥𝑐 𝑦𝑐 1 | → | 0 3 1 −1 1 1 −2 −1 1 | 0 3 −1 1 −2 −1 Det = [ (0.1.1) +(-6) + (1) – (-2.1.1) + (-1.1.0) + (-3) = (0 – 6 +1) – ( -2 – 0 – 3) = -5 + 5 = 0 Resposta: Os pontos A = (0,3), B = (-1,1) e C = (-2,-1) são colineares, pois o determinante é zero e mab = mac = mbc (ou seja, os três pontos - A,B e C – pertencem a uma mesma reta) 9) Determinar a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: a) C(1,5) e r = 3 Resolução: (x -a)2 + (y – b)2 = r2 {equação reduzida} ou x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0 {equação normal da circunferência} (x -1)2 + (y – 5)2 = 32 → (x -1)2 + (y – 5)2 = 9 ou x2 + y2 – 2 ∙ 1x – 2 ∙ 5y + (12 + 52 – 32) = 0 → x2 + y2 – 2x – 10y + (1 + 25 - 9) = 0 → → x2 + y2 – 2x – 10y + 15 = 0 b) C(0, 0) e r = 3 Resolução: (x -0)2 + (y – 0)2 = 32 → x2 + y 2 = 9 Ou x2 + y2 – 2. 0x – 2. 0y + (02 + 02 – 32) = 0 → x2 + y2 - 9 = 0 c) C( -1,- 2) e r = 5 Resolução: (x -a)2 + (y – b)2 = r2 → [x –(-1)]2 + [y – ( -2)]2 = 52 → (x + 1)2 + (y +2)2 = 25 Ou x2 + y2 – 2(-1)x – 2(-2)y + [(-1)2 + (-2)2 – 52) = 0→ x2 + y2 + 2x + 4y + (1+ 4 - 25) = 0 → → x2 + y2 + 2x + 4y + 20 = 0. d) C(0,-1) e r = √𝟑 Resolução: (x -0)2 + [y – (-1)]2 = (√3)2 → x2 + (y + 1)2 = 3 ou x2 + y2 – 2. 0x – 2 (-1)y + [02 + (-1)2 – (√3) 2] = 0 → x2 + y2 + 2 y + (1 – 3)= 0 → x2 + y2 + 2 y – 2 = 0. 10)Determine o centro e o raio das seguintes circunferências: (sugestão: separe os termos com x dos termos com y e complete os quadrados): a) x2 + y2 – 6x +4y – 12 = 0 Resolução: Primeiro devemos agrupar os termos em x, os termos em y e isolarmos os termos independentes: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 x2 - 6x + _ + y2 + 4y + _ = 12 Determinar os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y , somando a ambos os membros as parcelas correspondentes: x2 - 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = 12 + 9 + 4 x 2x 3 y 2y 1 Faturamos os trinômios quadrados perfeitos: (x – 3)2 + ( y +2)2 = 25 Obtida a equação, determinamos o centro e o raio: a = 3 e b = -2. Logo, C(3,-2) r2 = 25 r = √25 = 5 Resposta: O centro da circunferência é C (3,-2) e raio 5. b) x2 + y2 – 8x + 7 = 0 Resolução: x2 – 8x + _ + y2 + 0y +_ = -7 x2 – 8x + 16 + y2 + 0y + 0 = -7 + 16 + 0 x 2x 4 y 2y 0 (x – 4)2 + ( y - 0)2 = 9 a = 4 e b = 0. Logo, C(4,0) r2 = 9 r = √9 = 3 Resposta: O centro da circunferência é C(4,0) e raio 3. 3 - CONCLUSÃO Aprendi à utilizar o Geogebra de maneira eficaz e proficiente. Conclui-se que esse trabalho é um material importante tanto para profissionais de diversas áreas como Educação Matemática, Medicina, Engenharia, Astronomia entre outras e, também para estudantes, pois servirá de base para diversas situações do dia a dia. A matemática está em praticamente todo lugar e todas as coisas! .
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