Equacao Modular

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Momento Matemáti-cá Entre Nós 
 
Equação Modular 
 
Definição: 
 
O módulo dos números reais, para k > 0, onde temos como 
propriedade: 
 
| x | = k, decorre ==> x = k ou x = -k 
ou 
| x | = | y |, decorre ==> x = y ou x = -y 
 
 
Veja que a propriedade acima, estabelecemos a resolução de 
todos os problemas envolvendo Equações Modulares. Exemplos: 
 
| 2x – 1 | = 3 
| 3x – 1 | = 5 
| 2x – 1 | = | 3x – 1 | 
 
Vamos resolver três questões de Equações Modulares (uma 
simples, uma média e outra chamada de “desafio”) 
 
Uma Equação Exponencial – Simples 
 
 
 
Aplicando a propriedade descrita anteriormente, temos: 
 
x + 2 = 3 ou x + 2 = -3 
 
Vamos resolver cada expressão acima: 
 
x + 2 = 3 
x = 3 – 2 
x = 1 
ou 
 
 
x + 2 = -3 
x = -3 – 2 
x = -5 
 
S = { -5, 1 } 
 
Não existe dificuldade é simples e basta utilizar a regra. 
 
Uma Equação Exponencial – Média 
 
 
Aplicando a propriedade descrita anteriormente, temos: 
 
3x – 1 = 2x + 3 ou 3x – 1 = - (2x + 3) 
 
Vamos resolver cada expressão acima: 
 
3x – 1 = 2x + 3 
 
3x – 2x = 3 + 1 
 
x = 4 
 
 
 
3x – 1 = - (2x + 3) 
 
3x – 1 = - 2x – 3 
 
3x + 2x = -3 + 1 
 
5x = -2 
 
x = -2/5 
 
S = { -2/5, 4 } 
 
Continuo lhe afirmando que não existem dificuldades e 
utilizamos as regras expostas anteriormente. 
 
Uma Equação Exponencial – Desafio 
 
Parece complexa e você vai desistir? Nada disso, você é capaz e 
segue o passo a passo. Não vamos abandonar nossos objetivos no 
primeiro desafio. Vamos em frente: 
 
Aplique a seguinte técnica: 
| x | = w 
 
 
 
Substituindo o valor do w, a expressão fica da seguinte forma: 
w2 + w - 6 = 0 
Olha como ficou simples, chegamos a uma equação do 2o. Grau e 
vamos localizar as raízes: 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (1)2 – 4. 1. -6 
Δ = 1 + 24 
Δ = 25 
 
Calculando as raízes e vamos aplicar a fórmula de Bhaskara que 
você conhece muito bem. 
 
Calculando a 1o. raiz (w’) 
w' = ( -(1) + √25 )/2.1 
w' = ( -1 + 5 )/2 
w' = 4/2 
w' = 2 
 
 
 
 
Calculando a 2o. raiz (w’’) 
w'' = ( -(1) - √25 )/2.1 
w'' = ( -1 - 5 )/2 
w'' = -6/2 
w'' = -3 
 
Lembra que no início definimos a expressão | x | = w ? Agora 
vamos substituir cada valor de w que localizamos acima. 
| x | = w’ 
| x | = 2 
Aplicando a regra 
x = 2 ou x = -2 
| x | = w’’ 
| x | = -3 (Veja que essa sentença não existe, lembre-se que no início comentamos 
que o k > 0 lá na definição (*)) 
 
S = { -2, 2 } 
 
 
 
 
 
(*) reforçando a explicação para não ter nenhuma dúvida, pois 
quando você encontrar uma Equação Modular semelhante a essa: 
| 2x – 3 | = -1 
Não perca tempo tentando resolver, ou seja, a solução é S = Ø 
(esse símbolo, Ø, significa vazio). 
O resultado de uma operação que envolve módulo resulta em um 
número positivo. O Módulo de um número negativo é sempre 
positivo. Exemplo: 
| 3 | = 3 ou | -3 | = 3 
Tá claro agora? 
Vamos resolver outro problema para fixar ainda mais o que 
comentamos anteriormente. 
 
Aplicando a regra que já dominamos, temos: 
x + 1 = 3x + 2 ou x + 1 = -(3x + 2) 
Vamos resolver cada expressão acima: 
 
x + 1 = 3x + 2 
x – 3x = 2 – 1 
-2x = 1 
x = -1/2 
 
 
 
x + 1 = -(3x + 2) 
x + 1 = -3x - 2 
x + 3x = -2 – 1 
4x = -3 
x = -3/4(Esse valor não atende a solução da nossa Equação Modular) 
 
 
Mas PROFESSORRRRRRRRRRRRRRR não entendi porque esse 
valor não atende a solução dessa Equação Modular. 
Calmmmaaaaaaaaaaaaaaaa e sem desespero!!! 
 
 
Não se esqueça do que falamos anteriormente “...O resultado da 
operação dentro do módulo resulta sempre em um número 
positivo ...” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos pegar o valor do x e substituir apenas na expressão que 
não tem módulo: 
 
 
 
3x + 2 
 
 3.-3/4 + 2 
-9/4 + 2 
 ( -9 + 8 )/4 
-1/4 
 
Veja que o resultado dentro do módulo jamais pode resultar em 
um número negativo 
 
Portanto a solução da nossa e Equação Modular: 
S = { -1/2 }